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安徽省蚌埠市五河县高级中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题
一、单选题
1．已知离散型随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
2．某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ）
A．11种 B．22种 C．30种 D．60种
3．若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（ ）
A． B． C． D．
5．二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．240 B． C． D．60
6．函数的极小值点为（ ）
A． B． C．0 D．1
7．篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分.已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为，则（ ）
A．1.2 B．2.4 C．2.16 D．2.52
8．若直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知随机变量X的分布列为
X 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 m 0.3 0.1
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
11．某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（ ）
A．若要求3名男生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法
B．若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有120种不同的排法
C．若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有72种不同的排法
D．若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有504种不同的排法
三、填空题
12．已知随机变量服从正态分布，且，则 .
13．已知，则 .
14．若，则的值被4除的余数为 ．
四、解答题
15．某学生想在物理 化学 生物 政治 历史 地理 技术这七门课程中选三门作为选考科目.
（1）若任意选择三门课程，求不同的选法总数；
（2）若物理和历史不能同时选，求不同的选法总数.
16．已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
(1)求的值；
(2)求函数在区间上的极值与最值．
17．某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为100分，规定测试成绩在区间内为“体质优秀”，在内为“体质良好”，在内为“体质合格”，在内为“体质不合格”.现从这个年级中随机抽取6名学生，测试成绩如下：
学生编号 1 2 3 4 5 6
测试成绩 60 85 80 78 90 91
（1）若该校高二年级有600名学生，将样本频率视为概率，试求在高二年级学生中任意抽取1人，此人是“体质优秀”学生的概率.
（2）若从这6名学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中“体质良好”的学生人数，求的分布列与数学期望.
18．“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为.
（1）从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率；
（2）若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示）
19．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求a的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】根据已知的分布列可得：，
故选D.
2．【答案】C
【详解】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法；
第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法；
根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）．
故选C．
3．【答案】A
【详解】由未来连续3天每天下雨的概率均为，可知这3天中只有1天下雨的概率为：，
故选A.
4．【答案】B
【详解】因为，所以，
故当时，，
即时，“高原版”复兴号动车的加速度为，
故选B
5．【答案】D
【详解】二项式展开式的通项为（且），
令，解得，
所以，即展开式中的常数项为.
故选D
6．【答案】C
【详解】，由，得，
由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值点为0．
故选C
7．【答案】C
【详解】由已知可得，的分布列为
0 3
所以，，
.
故选C.
8．【答案】A
【详解】已知直线是，的公切线，设切点分别为，．
由，得，所以的斜率为，
方程为，即，
由，得，所以的斜率为，
方程为，即，
因为直线是的公切线，
所以解得
所以直线的斜率为，与的切点为，
所以直线的方程为.
故选A．
9．【答案】AD
【详解】由随机变量分布列的性质，知，解得，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确．
故选AD．
10．【答案】AC
【详解】由随机变量可知：
所以成立，故A正确；
不成立，故B错误；
再由随机变量可知：
，故成立，故C正确；
由于，，
它们的临界值都是，所以，故D错误；
故选AC.
11．【答案】ABD
【详解】对于A. 若要求3名男生相邻，则这6名同学共有种不同的排法，故A正确；
对于B. 若要求男生甲、乙、丙的顺序一定，则这6名同学共有种不同的排法，故B正确；
对于C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有种不同的排法，故C错误；
对于D. 若要求男生甲不在排头女生乙不在排尾，则这6名同学共有种不同的排法，故D正确；
故选ABD.
12．【答案】/
【详解】由已知可得，
根据正态分布的对称性可知.
又，所以.
13．【答案】
【详解】因为，所以，
则有.
14．【答案】3
【详解】令，得，
因为，
所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即，
当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即，
所以，
又，
故被4除余3．
15．【答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）在物理 化学 生物 政治 历史 地理 技术这七门课程中选三门作为选考科目，
若任意选择三门课程，则不同的选法总数有种；
（2）在物理 化学 生物 政治 历史 地理 技术这七门课程中选三门作为选考科目，
若物理和历史不能同时选，则不同的选法总数有种.
16．【答案】(1);
(2)极小值为，极大值为，最大值为12，最小值为．
【详解】（1）由，得，
所以．
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
所以，即，解得．
（2）由（1），得，
令，解得，或．
当变化时，的变化情况如下表所示：
1
0 0
单调递减 单调递增 单调递减
所以当时，有极小值，且极小值为，当时，有极大值，且极大值为．
又，所以函数在区间上的最大值为12，最小值为．
17．【答案】（1）；
（2）分布列见解析，.
【详解】（1）由抽取的6名学生中，测试成绩“体质优秀”的共有3人，此时“体质优秀”的频率为，
将样本频率视为概率，则在高二年级学生中任意抽取1人，此人是“体质优秀”学生的概率为；
（2）从这6名学生中随机抽取3人，记为抽取的3人中“体质良好”的学生人数，
因为这6名学生中“体质良好”的学生人数为2人，则的所有可能取值为，
，
，
，
即的分布列为
.
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件，
，
所以；
（2）设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件，
，
则.
19．【答案】（1）答案见解析
（2）
【详解】（1）由题意知的定义域为，
，
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，
令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，得，
即，
令，将问题转化为恒成立，
，
令，则当时，
所以也就是在上单调递增，所以.
①当，即时，在上恒成立，
所以在上单调递增，所以，满足题意；
②当时，即时，因为当时，，
所以存在，使得，所以存在，使得，
所以对，，所以在上单调递减，
所以，不合题意.
综上所述，满足条件的a的取值范围为.

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