资源简介

福建省福州市八县市联盟校2024 2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．若，则实数的值为（ ）
A．5 B．3 C．10 D．5或3
2．年福清市元宵晚会共有个语言类节目，个杂技魔术类节目，个歌舞类节目，假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．函数在处可导，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．近几年，网购已逐渐成为透视消费市场和经济发展的一扇窗户.小米直播间共有位主播（男女），现需安排两人分别担任“主推官”和“推荐官”，要求：主推官和推荐官必须由不同性别的主播担任，且小李（男）和小红（女）至少有一人被选中，则不同的安排方案有（ ）
A． B． C． D．
6．定义的实数根叫函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，则大小为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数在上的最大值为，则实数的范围是（ ）
A． B． C． D．
8．随着互联网的发展，AI的出现为人们提供了很大的便利.某企业员工小唐撰写报告选择文心一言、豆包、DeepSeek的概率均为，而使用文心一言、豆包、DeepSeek出错的概率分别为、、，结果今天他的报告有误，在此条件下，他选择文心一言写报告的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则（ ）
A． B．
C．展开式常数项为 D．展开式中各项系数和为
二、多选题
10．随机变量分布列如下表，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．函数存在3个零点，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知函数，，若，则 ．
13．某校“星火”与“冲锋”两支排球队采用五局三胜制比赛，“星火”队获胜的概率为0.4，且每轮比赛都分出胜负，则“星火”队不超过四局获胜的概率为 ．
14．某市青少年机器人编程大赛进入决赛阶段，共有10支队伍参赛，其中4支队伍由女生主导（记为F组），6支队伍由男生主导（记为M组）．组委会通过随机抽签决定决赛展示顺序．设事件A为“第1个进行展示的队伍来自F组”，事件B为“第2个进行展示的队伍来自F组”．则 ， ．
四、解答题
15．在的展开式中，求．
（1）含项的系数；
（2）求展开式中所有的有理项．
16．某社区随机调查了100名居民的每日睡眠时长（小时），得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数（保留两位小数）；
（2）为进一步调查睡眠质量，采用分层抽样从每日睡眠时长在内的居民中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每日睡眠时长在内的调查人数的分布列和数学期望．
17．设曲线在处的切线与轴交于点.
（1）求的值；
（2）求函数的极值．
18．甲参加一档电视知识竞赛节目，该节目采用三轮两胜制．在每轮比赛中，甲需要回答一个知识问题，回答正确的概率为，回答错误的概率为，每轮比赛的结果是独立的，即每轮比赛甲回答正确的概率不受其他轮次结果的影响．
（1）当时，求甲最终获胜的概率；
（2）为了增加比赛的趣味性，节目组设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得5分，失败者得2分；方案二：最终获胜者得3分，失败者得0分.请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．
19．在计算机图形学中，若某曲线在内具有“单侧光反射”特性（即存在一条基准线，曲线在该区间内始终上升，并且与基准线在某一点处相切），则称该曲线为“光洁曲线”.曲线对应的函数为“光洁函数”，即函数在上单调递增，此时称为“超光洁函数” ．
（1）若是“超光洁函数”，求的取值范围；
（2）已知光洁曲线的一条基准线与曲线相切，求的方程；
（3）若，，，.证明：.（可用结论：当时，）
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，
所以或，
所以
故选A.
2．【答案】D
【详解】设事件第一次抽到杂技魔术类节目为，事件第二次抽到语言类节目为，
则，
，
则第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率
，
故选D.
3．【答案】B
【详解】，故，
由导数的定义可知，.
故选B
4．【答案】B
【详解】由题知，解得，所以，
又，
故选B.
5．【答案】C
【详解】分三种情况讨论：
小李（男）被选中，小红（女）没被选中，则需在另外名女主播中再选择一人，
此时，不同的安排方案种数为种；
小李（男）没被选中，小红（女）被选中，则需在另外名男主播中再选择一人，
此时，不同的安排方案种数为种；
小李（男）和小红（女）都被选中，此时不同的安排方案种数为种.
综上所述，不同的安排方案种数为种.
故选C.
6．【答案】C
【详解】因为，所以，
令可得，所以，
所以是函数的“躺平点”，故，
因为，所以，
令可得，所以，
所以是函数的“躺平点”，故，
因为，所以，
令可得，
设函数，
因为函数为增函数，在上单调递减，
所以函数在上为单调递增，
又，，
所以函数在上有且只有一个零点，
设其零点为，则，
所以方程的解集为，
所以是函数的“躺平点”，
即，， ，且，
所以，
故选C.
7．【答案】D
【详解】由可得，
函数，的导函数，，
若，当时，，函数在上单调递增，的最大值为，不符合题意；
若，当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
由函数在上的最大值为，可得，
所以，又，
所以；
若，当时，，函数在上单调递减，
函数在上的最大值为，满足条件，
所以时，函数在上的最大值为.
综上所述，的范围是.
故选D.
8．【答案】C
【详解】设事件为选择文心一言，事件为选择豆包，事件为选择DeepSeek，事件为报告有误，
，，，，
所有，
.
故选C
9．【答案】AC
【详解】展开式的二项式系数的和，得，故A正确；故B错误；
由二项式，常数项为，故C正确；
令， 展开式中各项系数和为，故D错误；
故选AC．
10．【答案】BCD
【详解】由已知结合分布列的性质可得，，，，B正确，
当，，，时，，
所以
所以，
即，A错误；
，
所以，
所以，当，时等号成立，
所以，当或时等号成立，C正确；
，又，
所以，故，D正确；
故选BCD.
11．【答案】ACD
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当时，函数在上单调递增，函数最多一个零点，不符合题意；
当时，由，得或；由，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，在处取得极小值，
由函数存在3个零点，得，解得，
所以实数的取值可以是，ACD是，B不是.
故选ACD
12．【答案】
【详解】对求导，因为是常数，所以.
将代入，可得.
已知，即，那么.
因为，在这个区间内满足的的值为.
13．【答案】0.1792
【详解】计算“星火”队三局获胜的概率：
“星火”队三局获胜，即前三局“星火”队都获胜.
因为每轮比赛结果相互独立，且“星火”队每局获胜的概率为0.4，根据独立事件概率的乘法公式，可得“星火”队三局获胜的概率为：
计算“星火”队四局获胜的概率：
“星火”队四局获胜，意味着前三局“星火”队胜局，第四局“星火”队获胜.
从三局中选两局“星火”队获胜的组合数为，前三局“星火”队胜局的概率为，第四局“星火”队获胜的概率为0.4，根据独立事件概率的乘法公式，可得“星火”队四局获胜的概率为：
计算“星火”队不超过四局获胜的概率：
“星火”队三局获胜与四局获胜这两个事件是互斥事件，根据互斥事件概率的加法公式，可得“星火”队不超过四局获胜的概率为：.
14．【答案】/
【详解】由题意可得事件B可以分为两种情况，即第一个进行展示的队伍来自组和第一个进行展示的队伍来自组，
所以；
，，
所以.
15．【答案】（1）60
（2）
【详解】（1）由题知展开式的通项为，，
令，解得，
所以展开式中含项为，
所以展开式中含项的系数为60.
（2）令，
∴
当时，
当时，
当时，
当时，
综上所述，展开式中所有的有理项分别为
16．【答案】（1）（小时）
（2）分布列见解析，
【详解】（1）由题意得
所以
所以该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数：
法1：因为：
所以50%分位数一定位于内，
由（小时），
法2：由题意得
所以
所以该100名居民的每日睡眠时长的第50百分位数：
设第50百分位数为x，则，
解得
（2）每日睡眠时长在内居民人数的频率分别为，
所以采用分层抽样从每日睡眠时长在内的居民中抽取10人中每日睡眠时长在内居民人数分别为，即人数分别为2，4，4 ，
所以X可取0，1，2，3
，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
数学期望
17．【答案】（1）
（2）的极大值为，极小值为
【详解】（1）由，得
令，则
所以曲线在点处的切线方程为
∵点在切线上，可得 解得.
（2）由（1）知且的定义域为，
则
令解得
则、、的变化情况如下：
单调递增 单调递减 单调递增
所以在和上单调递增，在上单调递减；
所以的极大值为，的极小值为.
18．【答案】（1）
（2）方案一
【详解】（1）记“甲最终以获胜”为事件，记“甲最终以获胜”为事件，“甲最终获胜”为事件
于是，与为互斥事件，
由于，
则，即甲最终获胜的概率为.
（2）由（1）可知，
若选用方案一，记甲最终获得积分为分，则可取
则的分布列为：
5
则
若选用方案二，记甲最终获得积分为分，则可取3，0
则的分布列为：
3 0
则
所以
答：方案一始终更优
19．【答案】（1）
（2）或
（3）证明见解析
【详解】（1）方法一：设，
则 ，
由题意可知恒成立，
故在上恒成立，
即在上恒成立，
故，解得，
方法二：设，
则，
由题意可知恒成立，
故在上恒成立，
即，在上恒成立，
，
（2）方法一：设直线与曲线相切于点，直线的斜率为，
因为，则，
设直线与曲线相切于点，
因为，则，
因此有，
整理得，解得或，
当时，的方程为，
当时，的方程为，
方法二：设直线与曲线相切于点，
则，，
设直线与曲线相切于点，
则，，
所以，
整理得，解得或，
当时，的方程为，
当时，的方程为，
（3）方法一：设，
则，
令，
则，
设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，
故，当且仅当时取等号，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
故，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以在上单调递增，又时，，
所以时，，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，同理，，
累加可得，
即，
方法二：，
令，则 ，
设，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，
故，当且仅当时取等号，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
故，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以在上单调递增，
令，，
则，又单调递增，
所以，则在上单调递增，
又当，，
所以时，，，
所以，即，
所以，
所以，
即.

展开更多......

收起↑