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福建省莆田市莆田第十二中学2024 2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　）
A．0 B．1 C． D．3
2．在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设是函数的导函数，若函数在开区间内可导，则“在内恒小于零”是“在内为减函数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．－1 B．－2 C．－3 D．0
5．函数在区间上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．在三棱锥中，底面ABC，，，，则点C到平面PAB的距离是
A． B． C． D．
7．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=1，BC=，点M在棱CC1上，且MD1⊥MA，则当△MAD1的面积最小时，棱CC1的长为（　　）

A． B． C．2 D．
8．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，则函数在下列区间上单调递增的有（ ）
A． B． C． D．
10．在正方体中，分别为棱的中点，则（ ）
A． B．四点共面
C．平面 D．平面
11．已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ）
A．已知，，则
B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值
C．已知，，则
D．已知，，，则三棱锥的表面积
三、填空题
12．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 .
13．已知函数，其导函数为，则的值为
14．如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最大值为 ．
四、解答题
15．已知向量，，若向量同时满足下列三个条件：
①；②；③与垂直．
（1）求向量的坐标；
（2）若向量与向量共线，求向量与夹角的余弦值．
16．如图，在平行六面体中，，，
（1）求的长；
（2）求证：直线平面．
17．已知函数.
（1）若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；
（2）若，求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方.
18．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.
（1）求函数的解析式；
（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.
19．如图，矩形中，，，E为的中点，将沿翻折，得到四棱锥.
（1）证明：；
（2）在①直线与平面所成角为，②若交于O，的面积为，③到平面的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题：已知______，求锐二面角的余弦值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为直线过点和两点，所以，
又直线的一个方向向量，所以，
所以，所以，
所以，解得，所以.
故选D
2．【答案】C
【详解】A选项：，所以A错；
B选项：，所以B错；
C选项：原式可整理为，所以C正确；
D选项：原式可整理为，，故D错.
故选C.
3．【答案】A
【详解】当在内恒小于零时，即，
则在内为减函数，即充分性成立；
令，易知在内为减函数，
而在上有，
故在内不恒小于零，即必要性不成立；
所以“在内恒小于零”是“在内为减函数”的充分非必要条.
故选A.
4．【答案】C
【详解】由题意可得，
根据导数的几何意义可知，在点处的切线斜率为，解得；
所以切点为，代入切线方程可得，解得.
故选C
5．【答案】D
【详解】由，
当时，，即递减；
当时，，即递增；
所以.
故选D
6．【答案】B
【详解】在三棱锥中，底面ABC，，，，

以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，
过A作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则4，，4，，0，，
0，，
4，，0，，
4，，
设平面PAB的法向量y，，
则，
取，得，
点C到平面PAB的距离．
故选B．
7．【答案】A
【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，，设 ， ，
，即，
，当且仅当时取等号，所以 ，故选A．
【方法点晴】本题主要考查空间向量垂直的坐标表示以及立体几何中的最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是转化为点到直线距离、到平面的距离以及平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.
8．【答案】C
【详解】，
若在上不单调，令，
对称轴方程为，则函数与
轴在上有交点．当时，显然不成立；
当时，有解得或．
四个选项中的范围，只有为的真子集，
∴在上不单调的一个充分不必要条件是.
故选C．
9．【答案】AC
【详解】因为的定义域为R，
，
令得：或，
所以在区间，上单调递增．
故选AC．
10．【答案】AC
【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则，
对于A，，，即有，因此，A正确；
对于B，，向量不共线，直线不平行，而直线平面，
平面，又平面平面，因此直线是异面直线，B错误；
对于C，，设平面的法向量，
则，取，得，显然，
而平面，因此平面，C正确；
对于D，，显然向量与不共线，直线不垂直于平面，D错误.
故选AC
11．【答案】BC
【详解】对于A，，
因为，且，所以，故A错误；
对于B，如图所示，设，，则点A在平面上，点在轴上，

由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确；
对于C，根据“仿射”坐标的定义可得，
，故C正确；
对于D，由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误．
故选BC．
12．【答案】
【详解】解：连接，如图所示：
因为是的中点，分别是，的中点，
所以
,
又因为，
所以，
所以.
13．【答案】2
【详解】由可知，，
所以，
是偶函数，所以，
所以.
14．【答案】/
【详解】设，，，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为.
15．【答案】（1）或；
（2）
【详解】（1）设，则由题可知，
解得或，
所以或．
（2）因为向量与向量共线，所以．
又，，所以，，
所以，且，，
所以与夹角的余弦值为．
16．【答案】（1）；（2）证明见解析
【详解】（1）设，，，则。
因为，，，
所以，
所以
，
所以
（2）由（1）知：，，
所以，
，
即，，又，
所以平面。
17．【答案】（1）在处取得极小值为.
（2）证明见解析.
【详解】分析：（1）代入参数值，对函数求导，得到导函数的根，进而得到函数的极值点；（2）设，对函数求导，研究函数的单调性，证得函数的最小值大于0即可.
详解：
（1）由于函数的定义域为，
当时，，
令得或（舍去），
当时，，因此函数在上单调递减，
当时，，因此函数在上单调递增，
则是的极小值点，所以在处取得极小值为；
（2）证明：设，
则 ，
当时，，故在区间上单调递减，
又，
∴在区间上，恒成立，即恒成立.
因此，当时，在区间上，函数的图象在函数图象的下方.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略（1） 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
18．【答案】（1）；（2）当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.
【详解】分析：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可.
详解：
（1）有题意可知，当时，，即，
解得，
所以.
（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则
，
，
令，得或（舍去），
所以当时，为增函数；
当时，为减函数，
故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，
即时函数取得最大值.
所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.
点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题.
19．【答案】（1）证明见解析，（2）
【详解】（1）证明：设交于，
因为，E为的中点，，
所以，
所以，所以，
因为，所以,
所以,
所以，
因为,平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
（2）由（1）知，，
过点作交于点，
因为平面，平面，
所以,
因为,平面,平面,
所以平面，
若选条件①，因为平面，
所以直线与平面所成角为，
在中，由正弦定理得,
得，所以，
所以，
所以，
若选条件②，因为，,
所以，
若选条件③，由于平面，所以到平面的距离为，
以为原点，以为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则
，得，令，则，
所以，
设锐二面角的大小为，则，
所以锐二面角的余弦值为

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