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广东省潮州市松昌中学2024 2025学年高二下学期期中教学检测数学试卷
一、单选题
1．设函数在处存在导数为2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．6
2．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知水净化到纯净度为时所需费用单位：元为那么净化到纯净度为时所需净化费用的瞬时变化率是（ ）元/t.
A． B． C． D．
4．今天是星期四，经过天后是星期（ ）
A．三 B．四 C．五 D．六
5．用0，1，2，3，4五个数组成没有重复数字的五位数，其中偶数共有（ ）
A．48个 B．60个 C．72个 D．120个
6．已知（a为常数）在上有最大值3，则此函数在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48 B．54 C．60 D．72
8．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为64
C．常数项为1215 D．二项式系数最大的项为第3项
10．如图，是可导函数，直线 l：是曲线在处的切线，令，其中是的导函数，则( )
A． B． C． D．
11．若函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值可能是（ ）
A．1 B．2 C． D．
三、填空题
12．甲、乙、丙三位同学去电影院看电影，每人可在《侠之大者》《封神2》《哪吒之魔童闹海》三部电影中任选一部，则不同的选法有 种.
13．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 .
14．若的二项展开式中第项和第项的二项式系数相等，则展开式中系数最大的项的系数为
四、解答题
15．设，求：
(1)；
(2)；
(3)．
16．已知（）在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求的单调区间；
（3）求在区间上的最大值和最小值.
17．名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答.
(1)从中选出名男生和名女生排成一列；
(2)全体站成一排，男生互不相邻；
(3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾；
(4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起；
18．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)当时，如果曲线恒在轴上方，求的取值范围.
19．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件．
（1）求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)；
（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由已知有，
则.
故选B
2．【答案】A
【详解】由，则，而，
所以点处的切线方程为，即.
故选A.
3．【答案】B
【详解】因为，
所以，
则，
故选．
4．【答案】C
【详解】解：一个星期的周期是7，
则，
即除以7余数是1，
即今天是星期四，经过天后是星期五，
故选C．
5．【答案】B
【详解】若五位数的个位为零，其余数位随意安排，其情况数为，
若五位数的个位不为零，而个位仅有两种选择，万位有种选择，其情况数为，
所以五位数为偶数的情况数为.
故选B.
6．【答案】A
【详解】由题意可知：，
令，解得；令，解得；
可知在上单调递增，则上单调递减，
则函数的最大值为，
此时，且，，
可知当时，函数取得最小值为.
故选A.
7．【答案】C
【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法；
故选C.
8．【答案】A
【详解】函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故选:A.
9．【答案】ABC
【详解】的展开式所有项的二项式系数和为，选项A正确；
中令得，选项B正确；
展开式通项为，
令，得，所以常数项为，选项C正确；
二项式系数最大的项为第4项，选项D不正确.
故选ABC.
10．【答案】ACD
【详解】由图可知，f(3)＝1，故A正确；
(3，1)在y＝kx＋2上，故1＝3k＋2，故，故B错误；
，则，故C正确；
，，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】BCD
【详解】由，得，令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，且，
作出的大致图像如图所示，
要使有两个不同的零点，只需直线与的图像在区间上有两个交点．
数形结合可知m的取值范围为．
故选BCD．
12．【答案】27
【详解】易知每个人都有3种选法，故不同的选法有27种.
13．【答案】
【详解】由，得，
因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即恒成立，因为，所以，所以，
所以实数的取值范围为.
14．【答案】
【详解】由题意可得，的通项公式为，
设第项的系数最大，解得，所以最大的系数为
15．【答案】(1)1
(2)243
(3)
【详解】（1）设，
则.
（2）∵，
∴，，
∴.
（3）
.
16．【答案】（1）1；（2）增区间为，，减区间为；（3）最大值为9，最小值为.
【详解】（1）求导，由已知得，解得的值，再代入检验可得结论.
（2）由（1）得，求导，分析导函数取得正负的区间可得原函数的单调区间.
（3）由（2）得出的函数的单调性可求得函数的极值，从而求得函数的最值.
【详解】（1），由于在处取得极值，故，解得，经检验，当时，在处取得极值，故.
（2）由（1）得，，由得或；由得.
故的单调增区间为，，单减区间为.
（3）由（2）得函数的极大值为，得函数的极小值为，又，所以函数在区间上的最大值为9，最小值为.
17．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）从名男生中任选名有种选法，从名女生中任选名有种选法，
再将选取的人排列有种排法，由乘法原理共有种排法，
（2）先将女生全排有种，再从个空隙中选出3个将3个男生插入到3个空隙中有种，
由乘法原理共有种排法.
（3）先排甲，有种方法，其余人有种排列方法，共有种，
（4）甲乙必须相邻，先将甲乙捆绑有种，再与剩下的个人排列有种，共有种.
18．【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【详解】（1）时，，
故，
故切线方程是：，即；
（2），
①当时，由于，故，∴，
∴的单调递增区间为，无单调减区间；
②当时，令，得，
在区间上，；在区间上，；
∴的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，的单调递增区间为，无单调减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由题意知在上恒成立，即在上恒成立，
令，
则，
令，解得：；令，解得：；
故在单调递增，在单调递减，
而，
∴在上，
故，即a的范围为
19．【答案】（1）
（2）答案见解析
【详解】（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：．
（2）．
令得或（不合题意，舍去）．
，．在两侧的值由正变负．
所以当即时，
．
当即时，，
所以
答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；
若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）．

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