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广东省汕头市潮阳一中明光学校2024 2025学年高二下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数（ ）
A． B． C．4 D．5
3．函数在区间上的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
5．2022年11月，第五届中国国际进口博览会在上海举行，组委员会安排5名工作人员去A，B等4个场馆，其中A场馆安排2人，其余比赛场馆各1人，则不同的安排方法种数为（ ）
A．48 B．60 C．120 D．240
6．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通 安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（ ）（参考数据：，）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
7．若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．已知函数（其中表示不超过的最大整数），则关于的方程的所有实数根之和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．在上有4个零点 D．在上单调递增
10．若，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
11．甲罐中有个红球，个白球，乙罐中有个红球，个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．为互斥事件 B．
C． D．
三、填空题
12．离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20
则等于 .
13．展开式中含项的系数为 （结果用数值表示）.
14．若数列满足，（，），则的最小值是 .
四、解答题
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求：
（1）；
（2）的取值范围．
16．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：函数存在极小值；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数a的取值范围．
17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，过E作EF⊥PB，交PB于点F．
（1）证明：PB⊥平面EFD；
（2）若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为，求AD的长度.
18．已知圆，圆，．当r变化时，圆与圆的交点P的轨迹为曲线C，
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点，过曲线C右焦点的直线交曲线C于A、B两点，与直线交于点D，是否存在实数m，，使得成立，若存在，求出m，；若不存在，请说明理由．
19．学校食堂为了减少排队时间，从开学第天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前天选择了米饭套餐，则第天选择米饭套餐的概率为；若他前天选择了面食套餐，则第天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第天中午选择米饭套餐的概率为.
（1）求该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学开学第天中午选择米饭套餐的概率为证明：当时，.
参考答案
1．【答案】C
【详解】解绝对值不等式求出集合中的范围，根据为整数求得集合；再根据并集定义求得结果.
【详解】
本题正确选项：
2．【答案】D
【详解】解：复数z＝a+bi，a、b∈R；
∵2z，
∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）＝，
即，
解得a＝3，b＝4，
∴z＝3+4i，
∴|z|．
故选D．
3．【答案】B
【详解】令，则，
故或，而，
所以或或或或，
故共有5个零点，
故选B.
4．【答案】B
【详解】设圆锥底面圆半径为，球的半径为，

由题意知，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，
球的大圆是该等边三角形的内切圆，
所以，，
，
所以球与圆锥的表面积之比为
故选B
5．【答案】B
【详解】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果；第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为.
故选B．
6．【答案】D
【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．
【详解】由题意知，
所以，两边取以10为底的对数，得，
所以．
故选D．
7．【答案】A
【详解】设直线与曲线的切点为.
对求导，根据，可得.
因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知，
在切点处，即.
又因为切点既在直线上又在曲线上，
所以且，即.
将代入可得：，即.
将代入可得：
，
所以当，时，取得最小值为.
故选A
8．【答案】A
【详解】，即，
因为，所以可得，解得，
当时，满足题意；
当时，即，解得，满足题意；
当时，即，解得，满足题意，所有实数根之和为，
故选A.
9．【答案】BC
【详解】根据图象变换可得，故A错误；
由，故B正确；
由得，所以在上有4个零点，故C正确；
由得由正弦函数图象与性质可知在上不单调，故D错误.
故选BC
10．【答案】BC
【详解】令，则原式转化为：，
由二项式定理，
令，得，
令，得，所以.
故选BC.
11．【答案】BD
【详解】A选项: 事件可以同时发生；显然不成立，故A选项错误；
B选项:当发生时，乙罐中有个红球，个白球，此时发生的概率为，∴，∴B选项正确；
D选项: 当发生时，乙罐中有个红球，个白球，此时发生的概率为，
∴, ∴，∴D选项正确；
C选项:，∴C选项错误．
故选BD.
12．【答案】/
【详解】由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1，
则.
13．【答案】9
【详解】求出展开式中的常数项和含项，利用多项式乘多项式得答案．
【详解】解：
二项式的展开式中，通项公式为，
分别取，5，可得展开式中含项的系数为：．
14．【答案】6
【详解】由已知，，…，，，
所以，，
又也满足上式，所以，
设，由对勾函数性质知在上单调递减，在递增，
因此在时递减，在时递增，
又，，
所以的最小值是6.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
所以,
因为，
，
因为.
（2）由正弦定理，
，
因为，所以，所以，
所以，所以的取值范围是.
16．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．
【详解】解：（1）当时，，
所以．
所以．
曲线在点处的切线方程为．
（2）由，得．
令，则．
当时，，当时，，
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．
所以的最小值为．
当时，，．
又在单调递增，
故存在，使得，在区间上，在区间上．
所以，在区间上，在区间上，
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故函数存在极小值．
（3）对任意的实数，恒成立，等价于的最小值大于或等于．
①当时，，由（2）得，所以．
所以在上单调递增，
所以的最小值为．
由，得，满足题意．
②当时，由（2）知，在上单调递减，
所以在上，不满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
17．【答案】（1）证明见解析；
（2）a.
【详解】（1）∵PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，
∴，，
又，∴平面PDC，
∵平面PDC，∴．
又∵，E是PC的中点，∴，
∵，∴DE⊥平面PBC，∴．
又，，∴PB⊥平面EFD；
（2）如图，由题意知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，
则，，，，，
∴，，
由（1）知，DE⊥平面PBC，故是平面PBC的一个法向量，且．
设平面PBD的法向量为，
由得即取，得，
∴，解得，即．
18．【答案】（1）；（2）存在；，．
【详解】解：（1）由题意可知，，，
所以，
所以曲线C为以、为焦点的椭圆，且，，，
所以曲线C的方程为．
（2）假设存在，由题意知直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为，，，
联立|，消去y整理得，，
则，，
所以
，
，
因为，
所以，所以，，得，
所以存在，使成立．
19．【答案】（1）
（2）证明见解析
【详解】（1）设“第天选择米饭套餐”，则“第天选择面食套餐”，
根据题意，，，，
由全概率公式，得；
（2）设“第天选择米饭套餐”，
则，，，，
由全概率公式，得，
即，所以，
因为，所以是以为首项，为公比的等比数列；
可得，
当为大于的奇数时，；
当为正偶数时，，
综上所述：当时，.

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