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广东省中山市杨仙逸中学2024 2025学年高二下学期期中考试（4月）数学试题
一、单选题（本大题共5小题）
1．设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．的极大值为，极小值为
B．的极大值为，极小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极大值为，极小值为
2．设，化简（ ）
A． B． C． D．
3．某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则大学恰好被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数（ ）．
A． B．1 C． D．2
5．已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”，下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共1小题）
6．设函数，在R上的导函数存在，且，则当时，下列不正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、单选题（本大题共2小题）
7．如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A．72 B．56 C．48 D．36
8．已知，则之间的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
四、多选题（本大题共3小题）
9．下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B．从10人中选2人去游泳
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
10．已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．在上单调递减
C．
D．的图象关于原点中心对称
11．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
五、填空题（本大题共3小题）
12．函数的最大值为 .
13．圆周上有个等分点，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．
14．函数有两个零点，则的取值范围是 .
六、解答题（本大题共5小题）
15．（1）计算：
（2）已知，求.
16．已知数列满足：，（n≥2）．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式及其前n项和的表达式．
17．已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值与最小值.
18．设函数
（1）讨论的单调性；
（2）求在区间的最大值和最小值．
19．已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处切线的方程；
（2）试讨论函数的单调区间.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由图象可知，当和时，，则；
当时， ，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
所以在，上单调递减；在上单调递增；
所以的极小值为，极大值为.
故选C.
2．【答案】B
【详解】因为，
所以，
所以，
故，
故选B.
3．【答案】B
【详解】依题意，
在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为：，
大学恰好被选中的基本事件为：，
所以大学恰好被选中的概率为：.
故选B.
4．【答案】C
【详解】因为，
所以曲线在点处的切线的斜率为，直线l的斜率，
由切线与直线l垂直知，即，解得．
故选C．
5．【答案】D
【详解】对于A：，则，令，则，故有“巧值点”；
对于B，，则，令，故方程有解，故有“巧值点”；
对于C，，则，令，
则.
∴方程有解，故函数有“巧值点”．
对于D：定义域为，则，而，
显然无根，故没有“巧值点”.
故选D．
6．【答案】ABD
【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，
若，则，故A错误，
若，则，故B错误；
对于CD，因为，在上的导函数存在，且，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，即，所以，
由得，则，故C正确；
由得，则，故D错误.
故选ABD.
7．【答案】C
【详解】将四个区域标记为，如下图所示：
第一步涂：种涂法，
第二步涂：种涂法，
第三步涂：种涂法，
第四步涂：种涂法，
根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法，
故选.
8．【答案】B
【详解】设，
则，
令得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，且，
所以，即，
故选B
9．【答案】AD
【详解】对于A，从6个人中选2人分别去游泳和跳绳，选出的2人有分工的不同，是排列问题；
对于B，从10个人中选2人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；
对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；
对于D，从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题．
故选AD
10．【答案】ABC
【详解】，则，
因函数的图象在处的切线斜率为9，
所以，解得，故A正确.
，，
令，得，
所以在上单调递减，故B正确.
由于，故C正确.
函数，，，
所以，则的图象关于点中心对称，故D错误.
故选ABC
11．【答案】AC
【详解】由题，，令得或，
令得，
所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.
故选AC.
12．【答案】/0.25
【详解】当时，求导得：，令，得，
当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，
则当时，y取得最大值，即，
所以函数的最大值为.
13．【答案】
【详解】由题意知,只有三角形的一条边过圆心,才能组成直角三角，
因为圆周上有 个等分，所以共有条直径，
每条直径可以和除去本身的两个端点外的点组成直角三角形，所以可做个直角三角形.
根据分步计数原理知,共有 个
14．【答案】
【详解】函数有两个零点，方程有两个根，
即方程有两个根，
设，则函数与的图象有两个交点，
，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
函数在时，取得最大值，
又当时，；当时，且，
函数的大致图象，如图所示，
由图象可知，，
的取值范围是.
15．【答案】（1）；（2）2或3
【详解】（1）
（2）或解之：或.
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）由题得，，
，，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，，即，
所以前n项和.
17．【答案】（1）
（2）最大值为2，最小值为
【详解】（1）因为，所以.则所求切线的斜率为，且，
故所求切线方程为，即；
（2）因为，，所以.
令，得（舍去），
当，，函数单调递减，
当，，函数单调递增，
所以的极小值为.又，，
所以的最大值为2，最小值为.
18．【答案】（1）函数在上单调递增；在上单调递减；
（2）在区间上的最大值为，最小值为.
【详解】（1）函数的定义域为，
又.
令，解得或；令，解得.
所以函数在上单调递增；在上单调递减；
（2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增.
所以当时，函数取得最小值，
又，，
而，
所以当时，函数取得最大值为：.
即在区间上的最大值为，最小值为.
19．【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【详解】（1）当时，,则，
，又，
在点处切线的方程为；
（2）由题可得，
令，解得或，
若，，当变化时，，的变化情况如表：
,
0 0
增函数 减函数 增函数
的单调增区间为和,，单调减区间为；
②若，，当变化时，，的变化情况如表：
,
0 0
增函数 减函数 增函数
的单调增区间为和，单调减区间为；
③若，则，函数的单调增区间为；
综上，当时，的单调增区间为和,，单调减区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为.

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