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河北省沧州市第二中学等校2024 2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．现有4幅不同的油画，3幅不同的国画，2幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．9种 B．6种 C．12种 D．24种
2．在的展开式中，的系数为（ ）
A．250 B．500 C． D．
3．已知随机变量X的分布列为
则（ ）
A． B． C． D．
4．已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙依次不放回地各随机抽取1张，设事件“甲中奖”，事件“乙没中奖”，则（ ）
A． B． C． D．
5．对图中个区域涂色，有种不同的颜色可供选择（不一定每种颜色都使用），要求每个区域涂种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．将名志愿者安排到个小区参加以“健康生活”为主题的宣传活动，每名志愿者只去个小区，每个小区至少安排名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
7．一个盒子中有5个白色乒乓球和4个橘黄色乒乓球．现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．已知甲投篮的命中率为0.7，若甲连续投篮n次，要使其最少投中1次的概率超过99％，则至少需要投篮（参考数据：）（ ）
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于样本相关系数r，下列说法正确的是（ ）
A．
B．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强
C．当时，成对样本数据之间没有任何相关关系
D．当时，成对样本数据正相关
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知表示中最小的数，表示中最大的数.若数列，都只有项，且都是由数字，，，，，，，随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记，，则（ ）
A．X的值可能为，，， B．的值可能为，，，
C．的概率为 D．的概率为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，，，则 .
13．一捆树苗中有6棵松树树苗和4棵杉树树苗，松树树苗的成活率为0.9，杉树树苗的成活率为0.8，从这捆树苗中随机抽1棵种植，其成活的概率为 .
14．某校高二年级有1～10共10个班级，有宋老师、齐老师、梁老师等5位数学教师，每位教师教两个班级，其中宋老师一定教3班，齐老师一定教8班，不教5班，梁老师至少教9班和10班中的一个班，则不同的排班方法有 种.（用数字作答）
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知某产品近年的市场销售单价（单位：元）如下表：
年份
年份编号
市场销售单价
（1）已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程；
（2）试预测该产品年的市场销售单价.
附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，.
16．某机构为了调查喝酸奶是否可以降体脂，邀请了40名女性作为研究对象，将其随机分成两组，实验组中人员每天喝220g酸奶，对照组中人员每天喝220g牛奶，持续24周后，得到如下数据.
单位：人
受试者 脂肪 合计
没有减少1kg 至少减少1kg
每天喝220g酸奶 2 18 20
每天喝220g牛奶 8 12 20
合计 10 30 40
（1）根据小概率值的独立性检验，能否推断喝酸奶与降体脂有关联？
（2）若将表中所有数据都扩大为原来的k（）倍，再用独立性检验推断喝酸奶是否与降体脂有关联，若要使得依据的独立性检验，可以推断喝酸奶与降体脂有关联，求k的最小值.
附：，.
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17．某林业科学院培育了金桔新品种，从该新品种金桔中抽取1000颗，测量它们的重量，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求这1000颗金桔重量的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）．
（2）由频率分布直方图可以认为，该新品种金桔的质量Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
①利用该正态分布，求；
②甲购买了100颗该新品种金桔，记X表示这100颗金桔中重量位于区间内的颗数，利用①的结果，求．
附：.若，则，，．
18．甲、乙两人玩一个游戏：甲、乙各自一次性投掷3枚骰子，观察点数为1的骰子个数，根据点数为1的骰子个数给甲、乙积分.规定：每掷出1个点数为1的骰子积10分.
（1）求甲积20分的概率；
（2）假设甲的初始积分为50，最终积分为初始积分减去掷骰子所得的积分，记甲的最终积分为X，求；
（3）在（2）的条件下，若乙没有掷出点数为1的骰子，则乙的初始积分为40，若乙掷出了点数为1的骰子，乙的初始积分为，最终积分为初始积分减去掷骰子所得的积分，记乙的最终积分为Y，且，求m的最小值.
附：设X，Y为两个随机变量，则，.
19．某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有个白球和个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．
（1）求第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率；
（2）求这两份奖品都被第名顾客抽取的概率；
（3）求由第名顾客终止抽奖活动的概率．
参考答案
1．【答案】A
【详解】根据分类加法计数原理，共有种不同的选法.
故选A
2．【答案】C
【详解】由二项式展开式的通项公式可得，，
令，解得，所以的系数为．
故选C
3．【答案】D
【详解】由随机变量的分布列，可得：，
所以方差为.
故选D.
4．【答案】A
【详解】由3张奖券中只有1张有奖，甲、乙依次不放回地各随机抽取1张，
可得，，所以.
故选A.
5．【答案】B
【详解】先涂区域，有种选择，再涂区域、、、，各有种选择，
故不同的涂色方法有种.
故选B.
6．【答案】B
【详解】符合要求的安排方法可以分为两步完成，
第一步，将名志愿者看作一组，符合要求的选法有种，
第二步，将组志愿者分配到个小区，符合要求的分法有种，
由分步乘法计数原理可得不同的安排方法有种.
故选B.
7．【答案】C
【详解】盒中有两种颜色的球，任取3个，橘黄色的可能有0个，1个，2个，3个，属于超几何分布，
取出的3个乒乓球中的颜色为橘黄色的个数为，则．
故选C.
8．【答案】B
【详解】由甲投篮的命中率为，可得投篮次都没投中的概率为，
因为最少投中1次的概率超过99％，所以，即，
可得，又因为，所以至少需要投篮4次.
故选B.
9．【答案】ABD
【详解】由相关系数性质可得，A正确；
由相关系数性质可得当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强，B正确；
当时，成对样本数据之间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系，C错误，
由相关系数性质可得当时，成对样本数据正相关，D正确，
故选ABD.
10．【答案】ABD
【详解】由，
令，可得，所以A正确.
令，可得，所以B正确.
令，可得，所以，所以C错误.
令，可得，两式相减得，
所以，所以D正确.
故选ABD.
11．【答案】ACD
【详解】将1，2，3，4，5，6，7，8平均分成组，有种分法.
X的值可能为，，，，A正确；
不妨设，
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
若，，，中的最大值为，则，，，中的最大值为，有种情况，此时.
，，，.
，C正确；
又的值可能为，，，，B错误；
不妨设
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
若，，，中的最小值为，则，，，中的最小值为，有种情况，此时.
，，，.
，D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】由，，，
得，又，
所以.
13．【答案】/
【详解】根据题意，由全概率公式，可得其成活的概率为.
14．【答案】
【详解】若梁老师教9班和5班，则齐老师可在1，2，4，6，7，10班中选一个班，
选完后宋老师再选一个班，再排其他老师的课，有种排法；
若梁老师教9班，则另一个班从1，2，4，6，7班中选，
再依次排齐老师、宋老师及其他老师的课，有种排法；
同理，若梁老师教10班，不教9班，则有种排法；
若梁老师同时教9班和10班，则依次排齐老师、宋老师及其他老师的课，有种排法.
由分类加法计数原理，所以不同的排班方法有种不同的安排方法.
15．【答案】（1）
（2）元.
【详解】（1）由题意得，.
因为，
.
所以，
.
故经验回归方程为.
（2）由已知2026年对应的年份编号为，
令，则.
故预测该产品年的市场销售单价为元.
16．【答案】（1）认为喝酸奶与降体脂有关联
（2）3
【详解】（1）零假设为：喝酸奶与降体脂没有关联.
根据列联表中的数据，可得.
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喝酸奶与降体脂有关联.
（2）.
令，解得.
因为，所以k的最小值为3.
17．【答案】（1）70克，37.5
（2）①0.9545；②95.45
【详解】（1）克；
．
（2）①由（1）知，
；
②由①知，一颗金桔的重量位于区间内的概率为0.9545，
依题意知，所以．
18．【答案】（1）
（2）45
（3）
【详解】（1）解：投掷1枚骰子，得到点数为1的概率为，
若甲积20分，则甲掷出的3个骰子中有2枚点数为1的骰子，
所以甲积20分的概率为.
（2）解：记甲掷骰子所得的积分为，则的可能取值为，
则，，
，，
所以随机变量的分布列为：
0 10 20 30
所以，则.
（3）解：若乙没有掷出点数为1的骰子，则其概率为；
若乙掷出了点数为1的骰子，则其概率为，
记乙的初始积分为Z，则，
记乙掷骰子所得的积分为，同理可得，故，
因为，所以，
解得，即m的最小值为.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）由题意可得第名和第名顾客各抽中一份奖品，即第名顾客抽取的是红球；
第名顾客第一次抽取的是白球，第二次抽取的是红球；第名顾客抽取的是白球.
故第名和第名顾客各抽中一份奖品的概率为.
（2）这两份奖品被第名顾客抽走的概率为，
被第名顾客抽走的概率为，
被第名顾客抽走的概率为，
，
被第名顾客抽走的概率为.
（3）设由第名顾客终止抽奖的概率为，则，以下讨论的情形：
若第名顾客共抽取了两份奖品，则前面名顾客都没有抽到奖品，其概率为，
若第名顾客抽取了一份奖品，则前面名顾客中第名顾客抽到了一份奖品，
则前面名顾客五人抽到奖品，其概率为，
第名顾客只获得一份奖品，其概率为，
第名顾客到第名顾客都没有抽到奖品，其概率为，
所以，第名顾客抽取了一份奖品的概率为
，
所以，，
当时，不符合上式，
因此，由第名顾客终止抽奖活动的概率为.

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