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河北省承德市第八中学2024 2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．在的展开式中，的系数是（ ）
A．10 B．20 C．60 D．80
2．数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C．5 D．
3．曲线在点处切线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．在数列中，，，则
A． B． C． D．
6．圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的个数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．60
7．已知函数与的图象如图所示，则函数（ ）
A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数
8．已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知是等差数列，是其前n项和，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若和都为递增数列，则
10．如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ）
A．
B．第8行所有数字之和为256
C．
D．记第20，21行数字的最大值分别为，则
11．已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
三、填空题（本大题共3小题）
12．设（m、n为正整数）对任意实数x都成立，若，则的最小值为 .
13．如图，根据下列图形及相应图形中顶点的个数，找出其中的一种规律，写出第n个图形中共有 个顶点.
14．定义在上的函数满足，，则关于x的不等式的解集为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数.
（1）在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少
（2）在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第几个
（3）在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有多少
16．设函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求的极大值点与极小值点；
（3）求在区间上的最大值与最小值．
17．已知．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
18．已知等差数列的前项和为，若且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，令，求数列的前项和.
19．设函数.
（1）当时，求函数的单调区间.
（2）求函数的极值.
（3）若时，，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【详解】的展开式的通项，令，解得，
所以，所以项的系数为.
故选D.
2．【答案】A
【详解】数列中，因为，所以，
数列周期为3，
则.
故选A.
3．【答案】C
【详解】，故在点处切线的斜率，
因为，故，
故选C.
4．【答案】B
【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立．利用二次函数的性质求出在上的最大值即可得答案.
【详解】的定义域为，且在定义域内单调递增，
在上恒成立，
即在上恒成立．
令，
，
，
即实数的取值范围为．
故选B.
5．【答案】A
【详解】试题分析：在数列中，
故选A.
6．【答案】D
【详解】梯形的两条边平行，可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以从5组不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形后，梯形共有60个.
故选D
7．【答案】B
【详解】由得，
由题中图象可知，当时，，所以，则函数单调递增；
当时，，所以，则函数单调递减；
当时，，所以，则函数单调递增；
当时，，所以，则函数单调递减；
故ACD都错，B正确，
故选B
8．【答案】A
【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解.
【详解】因为命题“”为真命题，所以．
令与在上均为增函数，
故为增函数，当时，有最小值，即，
故选A．
9．【答案】BC
【分析】根据题意，求得，结合，A错误；根据数列的求和公式和等差数列的性质，可判定B正确；由，求得，C正确；根据题意，求得任意的，结合的正负不确定，D错误．
【详解】对于A中，由，，
可得，所以，
又由，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由，所以，
又因为，则，所以C正确；
对于D中，因为为递增数列，可得公差，
因为为递增数列，可得，
所以对任意的，但的正负不确定，所以D错误．
故选BC.
10．【答案】BC
【详解】对于A，，
所以，故A错误；
对于B，由二项式系数的性质知，第行各数的和为，
所以第8行所有数字之和为，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，
所以，故D错误.
故选BC.
11．【答案】BC
【详解】设，
由是定义在上的奇函数知，
则时，为偶函数，
且时，，故在单调递减，
由偶函数的对称性知，在单调递增，
故，即，故，B选项正确；
当时，，故，C选项正确；
当时，，故，D选项错误；
由B,D选项知，，故，A选项错误.
故选BC.
12．【答案】25
【详解】，
则，
，，
当或6时，的最小值是25.
13．【答案】
【详解】可以先计算时顶点的个数，可发现顶点计算的一般规律.
当时，顶点个数为；
当时，顶点个数为；
当时，顶点个数为；…
其规律为：第n个图形应由正边形“扩展”而来，原有顶点个数为，每条边向外扩展正边形，多出个顶点，
因此第n个图形有个顶点.
14．【答案】
【详解】因时，，即，也即，
取，则，即在上单调递减，
又，则，
由可得，故得，，解得，.
15．【答案】（1）60
（2）51
（3）36
【详解】（1）由题在组成的五位数中，所有的偶数有两类：
第一类是首位即最高位和末尾数均为偶数的数共有个，
第二类是首位即最高位为奇数、末尾为偶数的数共有个，
所以在组成的五位数中，所有偶数的个数有.
（2）1或2排在首位的数共有个，
则接下来按从小到大排列的数是，
所以在组成的五位数中，若从小到大排列，30214排第51个.
（3）将数字2和3捆绑在一起作为一个整体，
根据最高位不为0可得在组成的五位数中，数字2和3相邻的个数有个.
16．【答案】（1）；
（2）极小值点为，极大值点为；
（3），.
【详解】（1）由题意得：，则，
又，
在处的切线方程为，即；
（2）令，解得：或，
则变化情况如下表：
极小值 极大值
的极小值点为，极大值点为；
（3）由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
，.
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为，
令，则，即．
（2）令，则，
所以．
（3）令，则，
令，则，
故．
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意知：，
即：，化简得.
所以数列的通项公式.
（2）因为
所以
化简得：.
19．【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
（3）
【详解】（1）当时，，则，令，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2），
当时，在上单调递增，无极值，
当时，由，得，由0得
则在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得极小值，无极大值，
所以当时，函数无极值，
当时，函数有极小值，无极大值；
（3）由（2）知当时，在上单调递增，所以当时，符合题意，
当时，在上单调递增，符合题意，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得.
综上,的取值范围是.

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