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湖北省部分高中2024 2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
2．5名同学分别报名参加书法、绘画、摄影、编程四个社团，每个社团至少1人，不同的报名方法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．0
5．设，若为函数的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，则共有96种排法
B．2名男生和5名女生站成一排，则2名男生相邻的排法共有1280种
C．2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有4800种
D．2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有3120种
11．已知定义在上的函数满足，且当时，.若在上恒成立，则k的可能取值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数在点处的切线方程为，则 .
13．已知，的二项式系数的最大值分别为a，b，若，则正整数 .
14．已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．从装有3个红球、2个白球、1个黑球的袋中任取3个球，求：
(1)恰好取到2个红球的概率；
(2)至少取到1个红球的概率.
16．已知函数，且.
(1)求的解析式；
(2)求函数的单调区间.
17．在的展开式中，
(1)求有理项的个数；
(2)系数最大的项是第几项
18．已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若对，都有恒成立，求的取值范围；
(3)已知，若存在，使得，求证：.
19．已知函数，其中.
(1)若是偶函数，求；
(2)当时，讨论函数在上的零点个数；
(3)若对，求的取值范围.
（注：记，可用含的表达式表示）
参考答案
1．【答案】C
【详解】由，则，
.
故选C.
2．【答案】B
【详解】由题，先将5人分成四组有种，再将四组分配给4个社团有种，
所以不同的报名方法有种.
故选B.
3．【答案】A
【详解】，
则斜率，又，
所以函数在处的切线方程为，即.
故选A.
4．【答案】A
【详解】令，可得，
令，可得，
所以，
故选A.
5．【答案】D
【详解】∵，
∴.
令，解得或.
若，即时，
当时，
令，解得或；令，解得，
∴函数在，上单调递增，在上单调递减，
此时是函数的极大值点，不符合题意；
当时，
令，解得；令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
此时是函数的极小值点，满足题意，
此时由，可得；
若，即时，
当时，
令，解得或；令，解得，
∴函数在，上单调递增，在上单调递减，
此时是函数的极小值点，满足题意，
此时由，可得；
当时，
令，解得；令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
此时是函数的极大值点，不符合题意，
综上，一定成立.
故选D.
6．【答案】C
【详解】由题意可得，解得且，即定义域为，可排除D，
设，则，
所以当时，；当时，，即，
所以当时，，可排除A；当，，可排除A，
综上，C为正确选项.
故选C.
7．【答案】D
【详解】令函数，而函数是偶函数，则，
即函数是奇函数，当时，求导得，
即函数在上递增，则在上递增，
因为，所以，即，
所以，虽然，但不能确定与的大小，故ABC错误，D正确.
故选D.
8．【答案】B
【详解】函数的定义域满足：，解得，
则函数的定义域为：，
，
要使得函数有3个零点，则在有两个变号零点，
令整理得，所以，
解得，故实数的取值范围为.
故选B.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，若，则，故选项A正确；
对于B，若，则，故选项B错误；
对于C，若，则，故选项C正确；
对于D，若，则，故选项D正确.
故选ACD.
10．【答案】AD
【详解】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余4个位置，有种排法，则共有种排法，故A正确；
对于B：2名男生相邻，有种排法，和剩余5名女生排列，相当于6人作排列，有种排法，所以共有种排法，故B错误；
对于C：先排5名女生，共有种排法，且形成6个空位，再排2名男生，共有种排法，所以共有种排法，故C错误；
对于D：由C选项可得2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有种排法，若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，所以2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有种，故D正确.
故选AD.
11．【答案】CD
【详解】定义在上的函数满足，则为奇函数，
所以，所以，
则当时，，则恒成立，
所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
所以在上递增，
不等式转化为：，
所以，即，
因为，所以，则，故
故选CD.
12．【答案】3
【详解】∵，∴，.
∵函数在点处的切线方程为，
∴，，
解得，，∴.
13．【答案】5
【详解】因为为偶数，为奇数，结合二项式系数的最值可得，
又因为，即，
可得，整理可得，解得.
14．【答案】
【详解】不等式，可化为，，
令，则，
所以在上单调递增，
因为，，所以，，则，
所以不等式，即为，
，即对恒成立，
令，则，
当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
，则，即的取值范围为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设“恰好取到2个红球”为事件A，则；
（2）设“至少取到1个红球”为事件B，则.
16．【答案】(1)
(2)的单调增区间为，单调减区间.
【详解】（1）由题意知，，
所以，
又，所以，
故函数解析式为.
（2）由（1）知，，
令，得，（舍），
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减.
17．【答案】(1)4个
(2)第8项
【详解】（1）由二项式定理知，
要为有理项则，因为，且，
所以，故有理项有4个；
（2）设第项的系数最大，则
解得，
又，故.
所以系数最大的项为第8项
18．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，所以，所以
又，故所求切线方程为，即
（2）方法一：原命题等价于对恒成立，
令，则，
∵，令∴
∴在单调递增，在单调递减
又，，又，所以
故的取值范围为.
方法二：由题意知，当时，，又，
①当时，恒成立，即在上单调递减，
所以恒成立，所以，
②当时，由，得到，由，得到，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当，即时，在区间上单调递增，，
所以，（舍去），
当即时，在上单调递减，，所以
当即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，得到，所以，
综上，的取值范围为.
（3）∵，令，得
则在单调递减，在单调递增
又且，所以
要证，只需证明，
因为，，且函数在区间上单调递增，
所以只需证明，又因为，即证，
令，
即，注意到，
因为，
则在上单调递减，所以在恒成立，
所以.
19．【答案】(1)
(2)2个
(3)
【详解】（1）由题意可知，即
即，即
则，又，故.
（2）当时，，则，
令，则恒成立，
故在上单调递增，
又，，故使得，
则得；得，
故在单调递减，在单调递增，
又因，则，
又，则在上存在一个零点，
故在上有2个零点.
（3）因对恒成立，
则当时，上式必然成立，此时，又因，则；
当时，，
令，则，
则在上单调递增，则，
（i）若，则，则在上单调递增，
则，符合题意；
（ii）若，则，，
则由零点存在性定理可知，使得，即①，
则得，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
则②，
因，，则，
若，②式显然成立，
若，即，
则联立，得，得或（舍），
因，则，即，
则，则，
因，则，则，
则
综上可知，的取值范围是.

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