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湖南省郴州市2025年高中学业水平合格性考试第一次监测数学试题
一、单选题（本大题共18小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
3．命题：“”是命题：“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．命题：“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．已知为第四象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
7．恩格斯曾经把对数的发明与解析几何学的产生、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很高的评价.根据对数的相关知识，下列四个命题中真命题的个数为（ ）个.
① ②，则
③ ④若，，
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（ ）
A．120° B．90° C．60° D．30°
9．若向量，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
11．函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
12．（ ）
A． B． C． D．
13．已知直线平面，则（ ）
A．与内所有直线都平行
B．内不存在直线与垂直
C．过的平面与必平行
D．内有无数条直线与垂直
14．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译密码的概率分别为，，则恰有一人能成功破译的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．为了得到函数的图象，则只需将的图象（ ）
A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
16．某校高一年级个班参加广播体操比赛的比赛分数由小到大排列为：、、、、、、、、、，则这组数据的分位数为（ ）
A． B． C． D．
17．函数的零点所在的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
18．在中，若，，，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．或
二、填空题（本大题共4小题）
19．若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 .
20．函数的定义域为 .
21．已知，，则的值为 ．
22．已知向量，，若，则 .
三、解答题（本大题共3小题）
23．已知函数.
(1)若为偶函数，求实数的值；
(2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
(3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围.
24．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点.
(1)求四棱锥的体积；
(2)证明：平面；
(3)证明：.
25．近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从2025年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数（BMI）=体重（kg）/身高，青少年的BMI理想范围参考值为：男生（15-18岁）：17.5-23.5；女生（15-18岁）：17.5-23.0；某城市对1000名高中生的体重指数（BMI）进行了调查，BMI的分组区间为、、、、、、，调查结果的频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中的值及高中生的平均数及中位数；
(2)在BMI为、、的三组学生中，用分层抽样的方法抽取10名学生，则BMI在的学生中应抽取多少名？
(3)在（2）条件下，在BMI为和的两组学生中任取2名学生，求这2名学生来自同一组学生的概率.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为集合，，则.
故选C.
2．【答案】B
【详解】因为，
所以的虚部为.
故选B.
3．【答案】B
【详解】当时，不一定成立，故命题不是命题的充分条件；
当时，一定成立，故命题是命题的必要条件.
所以命题是命题必要不充分条件.
故选B.
4．【答案】B
【详解】特称命题，的否定是全称命题，需要将特称改为全称，并将结论否定，即，.
故选B
5．【答案】D
【详解】因为为第四象限角，且，
所以，且.
所以.
故选D．
6．【答案】C
【详解】由已知最小正周期是，
故选C．
7．【答案】C
【详解】因为成立，故①正确；
由，故②正确；
根据对数的运算性质：成立，故③正确；
根据对数的运算性质：，时，，故④错误.
故选C
8．【答案】C
【详解】连接,因为且，所以四边形为平行四边形，
所以，即或其补角是异面直线与所成的角.
在正方体中，即是等边三角形，所以.
故选C．
9．【答案】D
【详解】因为，所以，
即.
故选D．
10．【答案】A
【详解】因为的定义域为，故BD错误；
又，故C错误；故A正确.
故选A．
11．【答案】D
【详解】由，得，则，当且仅当时取等号，
所以所求的最小值为8.
故选D．
12．【答案】A
【详解】.
故选A.
13．【答案】D
【详解】对于A，直线平面，则平面内的直线与直线l可能平行，或异面，故A错误；
对于B，由A分析，在与直线l异面的直线中，存在与直线l垂直，故B错误；
对于C，过l的平面可能与相交，故C错误；
对于D，由B分析，可在平面内做无数条与直线l垂直的直线，故D正确.
故选D．
14．【答案】A
【详解】设事件表示甲成功破译密码，事件表示乙成功破译密码，
事件表示恰有一人能成功破译密码，
则.
故选A．
15．【答案】B
【详解】因为，
所以只需将的图像向左平移个长度单位.
故选B.
16．【答案】D
【详解】因为，因此，这组数据的第分位数为.
故选D.
17．【答案】D
【详解】因为均为增函数，
所以函数在上单调递增，
且，，
所以函数的零点所在的一个区间是.
故选D.
18．【答案】D
【详解】由正弦定理得，即，
又因为，则，
所以或.
故选D．
19．【答案】
【详解】设幂函数，代入点，得，所以，
所以函数的解析式.
20．【答案】
【详解】得，故定义域为.
21．【答案】#0.6
【详解】解：∵，∴．
22．【答案】2或4
【详解】由题意，得，则，解得或4.
23．【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）由函数为偶函数，则，可得，
解得.
（2）由二次函数，则其图象开口向上，且对称轴为直线，
由函数在上单调，则或，解得或.
（3）由题意可得，解得.
24．【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【详解】（1）因底面，则为四棱锥的高，
因，正方形的边长为，
则四棱锥的体积为；
（2）连接，且，连接，
因四边形为正方形，则为线段的中点，
又为侧棱的中点，则为的中位线，则，
因平面，平面，则平面；
（3）因四边形为正方形，则，
又平面，平面，则，
因，平面，平面，则平面，
又平面，则.
25．【答案】(1)；平均数；中位数
(2)
(3)
【详解】（1）由频率分布直方图面积和为1可得，
解得，
高中生的平均数为，
因为前三组的频率之和为，
所以中位数在组，
设中位数为，则，解得，
所以中位数为.
（2）、、的频率之比为，
共抽10名，则的学生中应抽取名.
（3）由（2）可知，抽3人，设人分别为
则抽取人，2人分别为，
设事件表示抽取的2名学生来自同一组学生，
总情况数有
10种，
2名学生来自同一组学生的情况由4种，
则.

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