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陕西省咸阳市礼泉县2024-2025学年高一下学期期中质量调研数学试题
一、单选题
1．复数（ ）
A． B． C． D．
2．若单位向量，的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．1
3．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上都不是
4．已知在四边形ABCD中，则四边形ABCD一定是（　　）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
5．已知，，是三条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．数系的扩充过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823－1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．若i为虚数单位，，且，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（ ）
（重力加速度取）
A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N
二、多选题
9．已知向量，，，则可能是（ ）
A． B． C． D．
10．若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形内（包含边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点四点共面 B．几何体的体积为
C．存在唯一的点，使平面 D．平面平面
三、填空题
12．已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为 ．
13．如图，直角是的斜二测直观图，其中，斜边，则的面积是 ．
14．如图所示，直角梯形中，，点是线段上的动点，，则满足条件的点的个数是 ．

四、解答题
15．已知复数，为虚数单位，为实数．
(1)若复数为纯虚数，求的值；
(2)若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围．
16．设为实数，若向量．
(1)若与垂直，求的值；
(2)当为何值时，三点共线．
17．如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求三棱柱的体积.
18．如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面．
(1)判断直线l与BC的位置关系并证明；
(2)求证：平面PAD；
(3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD 若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
19．如图，四边形为圆的内接四边形，.
(1)若，求；
(2)若，且为等边三角形，求圆的面积.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A D B B D AD ACD
题号 11
答案 BD
1．A
根据复数的运算法则计算即可.
【详解】.
故选：A.
2．C
根据数量积公式计算求解.
【详解】因为单位向量，的夹角为，则.
故选：C.
3．C
由异面直线的判定定理判断即可.
【详解】因为平面，平面，，
所以直线与是异面直线.
故选：C
4．A
根据平面向量减法法则判断即可.
【详解】由，可得，
所以四边形一定是平行四边形.
故选：A
5．D
由线面位置关系与面面位置关系逐一判断各个选项即可.
【详解】对于选项A，若，则或，故选项A错误；
对于选项B，如图所示，在正方体中，
直线平面，直线平面，且平面，平面，但平面平面，故选项B错误；
对于选项C，如图所示，在正方体中，平面，平面，但平面和平面相交，故选项C错误；
对于选项D，根据平行的传递性可知选项D正确.
故选：D.
6．B
由投影向量的概念求解即可.
【详解】向量在向量上的投影向量为：，
故选：B
7．B
根据复数的乘法与复数相等的条件求解即可
【详解】，由，
可得，即得．
故选：B.
8．D
设每根绳子上的拉力大小为，根据平衡条件列式求解即可．
【详解】设每根绳子上的拉力大小为，
则根据平衡条件可得，,
解得．
所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N．
故选：D.
9．AD
设，由向量模长的坐标运算可构造方程求得，由此即可求解.
【详解】∵，∴设，∴.
∵，∴，即，解得.
∴或.
故选：AD.
10．ACD
根据共轭复数的概念，复数的运算法则，逐一求解验证即可求解.
【详解】∵，∴，
∴，故选项A正确；
∵虚数不能比较大小，故选项B错误；
∵，故选项C正确；
∵，∴，，故选项D正确.
故选：ACD.
11．BD
推导出与为异面直线，即可判断A；计算几何体的体积即可判断B；取的中点，的中点，连接，可证平面平面，即可求出点的轨迹，从而判断C；应用正方体性质即可判断D.
【详解】对于A：在正方体中，又平面，平面，
所以平面，又平面，且，所以与为异面直线，
所以点四点不共面，故A错误；
对于B： ，故B正确；
对于C：取的中点，的中点，连接，
则，平面，平面，所以平面，
又且，所以四边形为平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面，又平面，点为正方形内（包含边界）的动点，
所以点在线段上有无数的点，满足平面，故C错误；
对于D：在平面即是平面，平面即是平面，
因为是正方体，所以平面平面，
所以平面平面，故D正确.
故选：BD
12．/
利用圆台的侧面积公式即可求解.
【详解】根据题意可知：圆台的侧面积为.
故答案为：.
13．
先由的斜二测直观图还原得的直观图，再求得的边长并判定形状，即可求得的面积，得到答案.
【详解】由的斜二测直观图还原得的直观图如下，
因为直角中，且，所以，
则在中，，，
所以的面积为.
故答案为：.
.
14．1
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，根据平面向量数量积的坐标运算结合可得出关于的方程，解出的值，即可求解.
【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则、，设点，其中，
则，，
则，整理可得，解得，
所以满足条件的点只有1个.
故答案为：1.

15．(1)2
(2)
（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值；
（2）根据条件得出该复数的实部和虚部都为正数，则可得出关于实数的不等式组，进而求解即可．
【详解】（1）由复数为纯虚数，得，解得.
（2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，
所以，解得，
即的取值范围为．
16．(1)
(2)或
（1）根据题意先求，再结合向量垂直的坐标表示运算求解；
（2）根据题意先求，再结合向量共线的坐标表示运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，
若与垂直，则，解得.
（2）由题意可得：，，
若三点共线，则，
可得，解得或．
17．（1）（2）
【详解】试题分析：（1）设底面半径为r，则母线长为2r，由V圆柱=πr2 2r=2π，求出r=1，由此能求出该圆柱的侧面积；
（2）因为△ABC为正三角形，底面圆的半径为1，所以可得边长AB=，利用三棱柱的体积，即可得解.
试题解析：
（1）设底面圆的直径为，由题可知
∴∴圆柱的侧面积
（2）因为△ABC为正三角形，底面圆的半径为1，
∴可得边长AB=∴三棱柱的体积
18．(1)，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在，为中点，证明见解析.
（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可.
（2）利用线面平行的判定定理证明即可.
（3）利用面面平行的判定定理证明即可.
【详解】（1）.
依题意，，平面，平面，则平面，
又平面平面，平面，所以.
（2）取中点，连接，在中，
在中，，则，即四边形为平行四边形，
因此，平面，平面，
所以平面.
（3）当为中点时，平面平面
证明如下：
取的中点为，连接，
在中，，平面，平面，
则平面，同理可证，平面，
又平面，，
所以平面平面.
19．(1)5
(2)
（1）由圆的内接四边形得到的关系，然后求出，由余弦定理建立方程求出；
（2）由圆的内接四边形对角互补和三角形的余弦定理建立方程组，求出正三角形的边长，然后求出其外接圆半径，即可得到圆的面积.
【详解】（1）∵，，
∴，
在中由余弦定理可得，
∴，解得（舍去）或，
∴.
（2）设，为等边三角形，设
在中由余弦定理可得，
在中由余弦定理可得，
由∵，∴，
即，
则，即①，
又∵正中，∴，
在中，
即，∴，②
由①②可知，，，
如图，取中点，连接，由对称性可知圆心在中线上，连接，
∴，又∵，
∴半径，
∴圆的面积为：.

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