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5月下旬之函数—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·吴兴二模）在综合实践课上，两位同学利用一台旧的电子秤进行称重实验．阳阳在电子秤上放上一叠书，显示重量的读数为，然后小浦在书上面又放上质量为的砝码，显示重量的读数为．根据实验数据可以发现，这一叠书的实际重量是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·浙江二模）已知y1和y2均是关于x的一次函数，对于任意的实数a，b，当点（a，b）在的图象上时，点（b，a）就在的图象上，则称函数和具有性质P.以下函数和不具有性质P的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．（2025·浙江二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．若当时，都有，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．或
4．（2025·钱塘二模）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象.现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足(　　)
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
5．（2025·乐清二模）如图，在“探索一次函数中k，b与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
6．（2025·嘉兴模拟） 定义：抛物线（a， m， k 为常数，）中存在一点，使得， 则称 为该抛物线的“相对深度”.根据上述定义解答问题：已知抛物线 的“相对深度”为 4，则 a 的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
7．（2025·宁波模拟）已知，设的最大值为，则的最小值为（　　）
A． B．7 C． D．9
二、填空题
8．（2025·上城二模）春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约900km的青岛旅游，出发前将油箱加满油。下表记录了轿车行驶的路程x（km）与油箱剩余油量y（L）之间的部分数据：
轿车行驶的路程x/km 0 100 200 300 400 ……
油箱剩余油量y/L 50 42 34 26 18 ……
若该轿车满油为50L，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有5L及
以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开　 　公里就必须去加油。
9．（2025·宁波模拟）已知函数，则该函数与坐标轴围成的面积为　 　．
10．（2025·平湖二模）如图，点，均在反比例函数的图象上。连结AO，BO并延长，分别与反比例函数的图象交于点，，连结AB，，，。若，，则的值为　 　.
11．（2025·诸暨二模）如图，在第一象限中，连接□AOBC对角线AB，OC，∠ABC=90°，sin∠AOC=，函数图象经过A，B两点，函数图象经过点C，则　 　
12．（2025·椒江二模） 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是斜边AB上一个动点.过点E作EF⊥AB，垂足为E，交边AC（或边CB）于点F，连接CE，设AE=x，△CEF的面积为y，则y与x之间的函数图象如图2，已知，则tanA=　 　.
13．（2025·龙港模拟）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如：抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线（a为常数，且）的“孪生抛物线”为．抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若为直角三角形，则抛物线的表达式为　 　．
三、解答题
14．（浙江省金华市义乌市2025年中考二模考试数学试题）已知抛物线．
（1）若点在抛物线上，
①求此抛物线的解析式及顶点坐标．
②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围．
（2）已知点，是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．
15．（2025·普陀二模） 已知二次函数y=（x-m）（x-m+2），回答下列问题：
（1）若该函数图象经过点（2，-1）
①求该函数图象与x轴的交点坐标；
②点A（-1，1）向上平移2个单位长度，向右平移K（K>0）个单位长度后，落在二次函数y=（x-m）（x-m+2）图象上，求K的值。
（2）若该函数图象经过点（2m-1， a）与点（3m-4，b），且与x轴的两个交点到点（1，0）的距离均小于2，求证：b＜a。
16．（2025·普陀二模）在现代智能仓储系统中，一款名为“SwifiBot”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据：
载重W（kg） … 10 12 15 20 30 …
v（m/s） … 6 5 4 3 2 …
（1）把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如（10，6），（12，5）..已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测与W之间的函数关系，并求出函数关系式；
（3）某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量。
17．（2025·乐清二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
方案 恒温工作 间歇加热工作
过程 ①从加热到； ②保持进行加工。 ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段。
加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元。（注：自然降温阶段不产生成本）
（1）求材料加热到的时间。
（2）求材料自然降温时，关于的函数表达式。
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，，为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）。仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
18．（2025·黄岩二模）如图1，甲、乙两个容器内都装了一定量的水，现将甲容器中的水匀速倒入乙容器中．如图2，线段AB、线段CD分别表示容器中水的深度（厘米）与倒入时间（分钟）的函数图象．
（1）请说出点的纵坐标表示的实际意义：
（2）求经过多长时间，甲、乙两个容器中水的深度相等．
19．（2025·金东二模）已知二次函数 （a，b为常数且）的图像经过（-1，0），对称轴为直线。
（1）求二次函数的表达式。
（2）函数图象上有两个点，。
① 当，时，求的最大值。
② 若，时，存在，求m的取值范围。
20．（2025·温岭二模）为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象如图所示，其中折线ABC表示用快速充电桩充电时与的函数关系；线段AD表示用普通充电桩充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题：
（1）用快速充电桩充电时，电池电量从充到需　 　小时．
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
（3）车主小叶发现电池剩余电量为，于是开始充电，先用普通充电桩充电，后改为快速充电桩充电到，先后充电总共用时1h，求的值．
21．（2025·莲都模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差；
（3）已知点在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围．
22．（2024·鹿城模拟）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围．
素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时， ．
素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）．
任务1：求I关于R的函数表达式．
任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围．
23．（2025·临安模拟）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到地面的距离相等，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，上沿抛物线的顶点比点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点是支撑架与下沿抛物线的交点，过点作于点，交上沿抛物线于点，，求点的坐标．
24．（2025·温州模拟）一辆快车和一辆慢车在相距16km的A，B两站点间往返载客，两车均在每天早上8：00从A站出发，快车中途不停靠，慢车仅在A，B两站的中点C站点停靠上下客，设两车行驶速度不变，在各站点停靠时长相同，两车离A站的路程为S（km），经过的时间为：（min），上午发车后慢车第一个往返期间两车行驶如图所示.
（1）求慢车、快车的速度和他们第一次停靠的时长.
（2）求慢车和快车出发后第一次相遇时离A站的路程，
（3）慢车和快车第一次相遇后，经过多少时间两车再次相遇？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设一叠书的实际重量是，秤的比例系数为，
第一次秤读数得，
第二次秤读数得，
由可得，，
再由，可得，
故选B．
【分析】设一叠书的实际重量是，秤的比例系数为，根据第一次秤读数和第二次秤读数得出方程，解方程即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由条件可知：开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵点A(-2，y1)，B(2，y2)，C(m，y3)在抛物线
y=ax2+bx+3(a>0)上，且y1>y3>y2，
∴|h+2|>|m-h|>|h-2|，
由条件可得1<|m-h|<2，
∴
解得：1≤h≤3；
故答案为：C.
【分析】根据“开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小”可知：|h+2|>|m-h|>|h-2|，然后可得，进而问题可求解.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴x的取值范围是x≠-m，由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴m<0，由图可知，当x>0时的函数图象位于x轴的下方，
∴当x>0时，y<0，
又∵当x>0时，(x+m)2>0，
∴n<0，
故答案为：D.
【分析】由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由x>0时的函数图象判断n的正负.
5．【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：如图，
若点P为（2，1）时，m＞n，则b＜0，故A错误；
若点P为（1，4）时，m＜n，则b＞0，故B错误；
当m+n=3时，由题意可知0＜m＜3，0＜n＜3，
∵一次函数y=kx+b图象经过A（3，3），P（m，n），
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0，故C正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】 利用图象即可判断A、B；利用一次函数的性质即可判断C、D.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，
，解得，
是抛物线上的点，
，
，解得.
故答案为： B.
【分析】利用相对深度的定义可得，解得，再通过二次函数解析式的性质可得，进而求得.
7．【答案】C
【知识点】二次函数的最值
8．【答案】562.5
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
9．【答案】3
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
10．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥轴于E，
∵点A(a，b)，B(b，a)均在反比例函数(k≠0)的图象上，
∴，ab=k，
由题意可知OA=OA'，OB=OB'，
∵点A(a，b)，B(b，a)，
∴OA2=a2+b2=OB2，
∴OA=OB，
∵OA=OA'，OB=OB'，
∴四边形ABA'B'是矩形，
∵AB=4，AB=8，
∴四边形ABA'B的面积为4×8=32，
∴，
∴
∵A(a，b)，B(b，a)，AB=4
∴(a-b2)+(b-a)2=16，
∴，
∴，
∴，
由解得，
∴k=ab=6，
故答案为：6.
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥轴于E，即可得出，ab=k，证得四边形ABA'B'是矩形，即可求得四边形ABA'B的面积为4×8=32，，利用，求出ab值即为k值.
11．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作y轴的垂线，垂足为E，过点B作x轴的垂线，垂足为F，则四边形OEDF是矩形，设AB、OC相交于点Q，
∵四边形AOBC是平行四边形，∠ABC=90°，
∴∠OAB=90°，AQ=BQ，OQ=CQ，
∵，即，
∴OA=，
设AQ=，则OQ=5，BQ=，AB=OA=，
∴△OAB是等腰直角三角形，
设A(a，b)，即AE=a，OE=b，
∵∠OEA=∠ADB=∠OAB=90°，
∴∠OAE=90°-∠DAB=∠ADB，
∴△OAE≌△ABD(AAS)，
∴BD=AE=a，AD=OE=b，
∴BF=b-a，OF=DE=a+b，
∴B(a+b，b-a)，
作CG⊥x轴于点G，作BH⊥CG于点H，则四边形BFGH是矩形，
由条件可知OA=BC，
∴△OAE≌△CBH(AAS)，
∴CH=OE=b，BH=AE=a，
∴OG=2a+b，CG=2b-a，
∴C(2a+b，2b-a)，
∵A(a，b)、B(a+b，b-a)在反比例函数图象上，
∴k1=ab=(a+b)(b-a)=b2-a2，
∵C(2a+b，2b-a)在反比例函数图象上，
∴k2=(2a+b)(2b-a)=3ab+2(b2-a2)=5ab，
∴，
故答案为：.
【分析】过点A作y轴的垂线，垂足为E，过点B作x轴的垂线，垂足为F，则四边形OEDF是矩形，设AB、OC相交于点Q，先证明△OAB是等腰直角三角形，设A(a，b)，通过AAS证明△OAE≌△ABD，得到B(a+b，b-a)，作CG⊥x轴于点G，作BH⊥CG于点H，则四边形BFGH是矩形，再证明△OAE≌△CBH，可得到C（2a+b，2b-a）再根据及反比例函数的性质求解即可.
12．【答案】
【知识点】求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，
观察图象可发现：当点E运动到点D时，C，F两点重合，△CEF不存在，当点E运动到点B时，E，F两点重合，△CEF不存在，
则对应函数图象上第二个和第三个零点，
设m=3k，n=7k(k>0)，
由函数图象对称的性质可得第二个和第三个零点的值分别为6k，8k，
则AD=6k，BD=2k，
∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
即CD2=12k2，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，观察图象可发现：①当点E运动到点D时，C，F两点重合，②当点E运动到点B时，E，F两点重合，△CEF不存在；设m=3k，n=7k(k>0)，由函数图象对称的性质，证明△ACD∽△CBD，从而推出正确答案.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；直角三角形斜边上的中线
14．【答案】（1）①，顶点，②或
（2）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
15．【答案】（1）解：①把(2，-1)代入y=(x-m)(x-m+2)得m=3，∴y =(x-3)(x-1)
则与x轴的交点坐标为(3，0)和(1，0)
②点A（-1，1)向上平移2个单位长度，向右平移k个单位长度后得(-1+k，3)
代入y=(x-3)(x-1)得：3=(k-1-3)(k-1-1)
∴k1=1， k2=5
（2）证明：把(2m-1， a)、(3m-4， b)代入得：
∵图象与x轴的交点(m，0)和(m-2，0)之间的距离为2，
（1，0）到(m，0)和(m-2，0)的距离均小于2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】(1)①利用待定系数法求得m的值，然后令y=0，解方程即可求解；
②求得平移后的点的坐标，代入解析式即可求解；
(2)根据题意得到关于m的不等式组，解不等式组求得m的取值范围，把点(2m-1，a)与点(3m-4，b)代入解析式可得a，b的代数式，即可得出b-a的代数式，即可证得结论.
16．【答案】（1）解：如图；
（2）解：v与W成反比例函数关系
设v =，(10，6)代入得：k=60
∴v=
(12，5)(15， 4)(20， 3)(30， 2)代入上式，均符合，
∴v=.
（3）解：
答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）根据题意，连线作图即可；
（2）根据（1）可知，图象为反比例函数，进而用待定系数法求解析式即可；
（3）根据题意可求出v的值，即可求出 的最值.
17．【答案】（1）由图可知加热时，关于的函数为一次函数，
可设解析式为，
将点代入，得
解得
关于的函数解析式为．
当时，，解得．
第一次加热到时间为20分钟。
（2）由题意可设加热后关于的表达式为，
将（20，90）代入，得，
关于的表达式为
（3）由题意可知，加热时长为10分钟．
恒温阶段分钟，
费用为：元。
间歇加热工作：对于，令，得，
除第一次加热到需要10分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要20分钟．一天8小时中，加热时间为分钟，
费用为：元。
，因此仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出解析式，然后把 y=90时代入即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解.
18．【答案】（1）点的纵坐标表示的实际意义是乙容器中原有的水的深度是5cm
（2）设直线AB的解析式为：，
把代入上式得，
解得
；
设直线CD的解析式为：，
把代入上式得，
解得
；
当时，，解得
分钟时，两容器内水的深度相等
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】(1)直接利用函数图象得出点C的纵坐标的实际意义；
(2)首先利用待定系数法求出直线AB，CD的解析式，再求出其交点，即可得出答案.
19．【答案】（1）解： ，得，
（2）解：①当 ， 最大为 3，， 最小为 ， 最大为 ；
② 时 ；
时 ；
时 ；
时 ；
，解得 ；
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)①分别求出y1最大值和y2最小值，即可求出答案；
②根据题意列出不等式组进行解答即可.
20．【答案】（1）
（2）解：设函数解析式为
将代入解析式，得
解得
因此函数解析式为
（3）方法1：由题意得分段函数ABC向右平移，使C点至，即点至，平移后的AB段与AE交于F点
AB的解析式为，
的函数解析式为
AF的函数解析式为，
令，
解得
方法2：由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于．
AB段充电速度，
由题意得
解得
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：(1)由图象可知，用快速充电桩充电时，电池电量从20kW·h充到100kW·h需要小时，
故答案为：.
【分析】(1)根据函数图象即可求出答案；
(2)用待定系数法求出x的函数解析式即可；
(3)方法一：先分别求出AB段、B'F段和AF段的函数解析式，进而即可求解；
方法二：先求出AB段的充电速度，进而即可求解.
21．【答案】（1）解：因为对称轴为直线，
所以设，
因为图象经过点，所以，解得，
所以二次函数的表达式为．
（2）解：因为点到轴的距离不大于2，所以，
因为该函数二次项系数为1大于0，
所以当时，有最小值1；当时，取得最大值为10，
因为，所以的最大值与最小值之差为9．
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，
①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以．
②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以，
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】 （1）将A（2，2）代入解析式，并利用对称轴解析式解答即可；
（2）由题意得-2≤m≤2，由于开口向上，那么当m=1时，n有最小值1；由于横坐标为-2的点到对称轴的距离1-（-2）=3大于点A到对称轴的距离1，则当m=-2时，n取得最大值，即可求解；
（3）①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，则， 由于y1＞y2恒成立，所以 ，再分别解不等式和不等式组；②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，则 ，由于y1＞y2恒成立，则 ，再分别解不等式和不等式组即可.
22．【答案】解：任务1：由题意： 电流I与总电阻R成反比例，
∴设，
∵ ，， 当时，，
即R=5+10=15时，I=0.4，
∴k=15×0.4=6，
故 I关于R的函数表达式 为.
任务2：由图3得，当光照强度在 300-750lux 之间（包含临界值）时， 电流满足：，
把代入，得：Ω；
把代入，得：Ω；
∵ ，，
.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：由题意： 电流I与总电阻R成反比例，故可设，代入，即可算出值；
任务2：由图 3 得可得电流，把和代入，求得值的范围，从而得到的范围．
23．【答案】（1）
（2）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
24．【答案】（1）解：慢车速度为；快车速度为，他们第一次停靠的时长为（分钟）
（2）解：由题意得，当时，
慢车离A站的路程S关于t的函数表达式为，
快车离A站的路程S关于t的函数表达式为，
由
解得
.
所以第一次相遇时离A站的路程为km
（3）解：由（2）得，.
由题意可得函数图象关于直线对称，，是一组对称点.
所以，解得.
所以.
答：第一次相遇后，经过24分钟后两车再次相遇.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据速度=路程÷时间，列式计算即可求解；
(2)利用待定系数法求一次函数解析式，再联立方程即可求解；
(3)第一次相遇后，根据函数图象可得关于直线对称，进而即可推出结论.
1 / 15月下旬之函数—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·吴兴二模）在综合实践课上，两位同学利用一台旧的电子秤进行称重实验．阳阳在电子秤上放上一叠书，显示重量的读数为，然后小浦在书上面又放上质量为的砝码，显示重量的读数为．根据实验数据可以发现，这一叠书的实际重量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设一叠书的实际重量是，秤的比例系数为，
第一次秤读数得，
第二次秤读数得，
由可得，，
再由，可得，
故选B．
【分析】设一叠书的实际重量是，秤的比例系数为，根据第一次秤读数和第二次秤读数得出方程，解方程即可求出答案.
2．（2025·浙江二模）已知y1和y2均是关于x的一次函数，对于任意的实数a，b，当点（a，b）在的图象上时，点（b，a）就在的图象上，则称函数和具有性质P.以下函数和不具有性质P的是（　　）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
3．（2025·浙江二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线．若当时，都有，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由条件可知：开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵点A(-2，y1)，B(2，y2)，C(m，y3)在抛物线
y=ax2+bx+3(a>0)上，且y1>y3>y2，
∴|h+2|>|m-h|>|h-2|，
由条件可得1<|m-h|<2，
∴
解得：1≤h≤3；
故答案为：C.
【分析】根据“开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小”可知：|h+2|>|m-h|>|h-2|，然后可得，进而问题可求解.
4．（2025·钱塘二模）数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象.现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足(　　)
A．m>0，n>0 B．m>0，n<0 C．m<0，n>0 D．m<0，n<0
【答案】D
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵，
∴x的取值范围是x≠-m，由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴m<0，由图可知，当x>0时的函数图象位于x轴的下方，
∴当x>0时，y<0，
又∵当x>0时，(x+m)2>0，
∴n<0，
故答案为：D.
【分析】由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断m的正负，由x>0时的函数图象判断n的正负.
5．（2025·乐清二模）如图，在“探索一次函数中k，b与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过A，P，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】解：如图，
若点P为（2，1）时，m＞n，则b＜0，故A错误；
若点P为（1，4）时，m＜n，则b＞0，故B错误；
当m+n=3时，由题意可知0＜m＜3，0＜n＜3，
∵一次函数y=kx+b图象经过A（3，3），P（m，n），
∴y随x的增大而增大，
∴k＞0，故C正确，D错误.
故答案为：C.
【分析】 利用图象即可判断A、B；利用一次函数的性质即可判断C、D.
6．（2025·嘉兴模拟） 定义：抛物线（a， m， k 为常数，）中存在一点，使得， 则称 为该抛物线的“相对深度”.根据上述定义解答问题：已知抛物线 的“相对深度”为 4，则 a 的值为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，
，解得，
是抛物线上的点，
，
，解得.
故答案为： B.
【分析】利用相对深度的定义可得，解得，再通过二次函数解析式的性质可得，进而求得.
7．（2025·宁波模拟）已知，设的最大值为，则的最小值为（　　）
A． B．7 C． D．9
【答案】C
【知识点】二次函数的最值
二、填空题
8．（2025·上城二模）春节假期小明一家自驾车从杭州到离家约900km的青岛旅游，出发前将油箱加满油。下表记录了轿车行驶的路程x（km）与油箱剩余油量y（L）之间的部分数据：
轿车行驶的路程x/km 0 100 200 300 400 ……
油箱剩余油量y/L 50 42 34 26 18 ……
若该轿车满油为50L，假设该轿车正常行驶时每千米耗油量相同，油箱内至少要有5L及
以上汽油才能保证汽车正常行驶，则小明家的轿车至多开　 　公里就必须去加油。
【答案】562.5
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
9．（2025·宁波模拟）已知函数，则该函数与坐标轴围成的面积为　 　．
【答案】3
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
10．（2025·平湖二模）如图，点，均在反比例函数的图象上。连结AO，BO并延长，分别与反比例函数的图象交于点，，连结AB，，，。若，，则的值为　 　.
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作AD⊥x轴于D，BE⊥轴于E，
∵点A(a，b)，B(b，a)均在反比例函数(k≠0)的图象上，
∴，ab=k，
由题意可知OA=OA'，OB=OB'，
∵点A(a，b)，B(b，a)，
∴OA2=a2+b2=OB2，
∴OA=OB，
∵OA=OA'，OB=OB'，
∴四边形ABA'B'是矩形，
∵AB=4，AB=8，
∴四边形ABA'B的面积为4×8=32，
∴，
∴
∵A(a，b)，B(b，a)，AB=4
∴(a-b2)+(b-a)2=16，
∴，
∴，
∴，
由解得，
∴k=ab=6，
故答案为：6.
【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥轴于E，即可得出，ab=k，证得四边形ABA'B'是矩形，即可求得四边形ABA'B的面积为4×8=32，，利用，求出ab值即为k值.
11．（2025·诸暨二模）如图，在第一象限中，连接□AOBC对角线AB，OC，∠ABC=90°，sin∠AOC=，函数图象经过A，B两点，函数图象经过点C，则　 　
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点A作y轴的垂线，垂足为E，过点B作x轴的垂线，垂足为F，则四边形OEDF是矩形，设AB、OC相交于点Q，
∵四边形AOBC是平行四边形，∠ABC=90°，
∴∠OAB=90°，AQ=BQ，OQ=CQ，
∵，即，
∴OA=，
设AQ=，则OQ=5，BQ=，AB=OA=，
∴△OAB是等腰直角三角形，
设A(a，b)，即AE=a，OE=b，
∵∠OEA=∠ADB=∠OAB=90°，
∴∠OAE=90°-∠DAB=∠ADB，
∴△OAE≌△ABD(AAS)，
∴BD=AE=a，AD=OE=b，
∴BF=b-a，OF=DE=a+b，
∴B(a+b，b-a)，
作CG⊥x轴于点G，作BH⊥CG于点H，则四边形BFGH是矩形，
由条件可知OA=BC，
∴△OAE≌△CBH(AAS)，
∴CH=OE=b，BH=AE=a，
∴OG=2a+b，CG=2b-a，
∴C(2a+b，2b-a)，
∵A(a，b)、B(a+b，b-a)在反比例函数图象上，
∴k1=ab=(a+b)(b-a)=b2-a2，
∵C(2a+b，2b-a)在反比例函数图象上，
∴k2=(2a+b)(2b-a)=3ab+2(b2-a2)=5ab，
∴，
故答案为：.
【分析】过点A作y轴的垂线，垂足为E，过点B作x轴的垂线，垂足为F，则四边形OEDF是矩形，设AB、OC相交于点Q，先证明△OAB是等腰直角三角形，设A(a，b)，通过AAS证明△OAE≌△ABD，得到B(a+b，b-a)，作CG⊥x轴于点G，作BH⊥CG于点H，则四边形BFGH是矩形，再证明△OAE≌△CBH，可得到C（2a+b，2b-a）再根据及反比例函数的性质求解即可.
12．（2025·椒江二模） 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E是斜边AB上一个动点.过点E作EF⊥AB，垂足为E，交边AC（或边CB）于点F，连接CE，设AE=x，△CEF的面积为y，则y与x之间的函数图象如图2，已知，则tanA=　 　.
【答案】
【知识点】求正切值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，
观察图象可发现：当点E运动到点D时，C，F两点重合，△CEF不存在，当点E运动到点B时，E，F两点重合，△CEF不存在，
则对应函数图象上第二个和第三个零点，
设m=3k，n=7k(k>0)，
由函数图象对称的性质可得第二个和第三个零点的值分别为6k，8k，
则AD=6k，BD=2k，
∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵∠ADC=∠BDC=90°，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
即CD2=12k2，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，观察图象可发现：①当点E运动到点D时，C，F两点重合，②当点E运动到点B时，E，F两点重合，△CEF不存在；设m=3k，n=7k(k>0)，由函数图象对称的性质，证明△ACD∽△CBD，从而推出正确答案.
13．（2025·龙港模拟）新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如：抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线（a为常数，且）的“孪生抛物线”为．抛物线的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若为直角三角形，则抛物线的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；直角三角形斜边上的中线
三、解答题
14．（浙江省金华市义乌市2025年中考二模考试数学试题）已知抛物线．
（1）若点在抛物线上，
①求此抛物线的解析式及顶点坐标．
②已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与抛物线只有一个公共点，求的取值范围．
（2）已知点，是抛物线上的两点，若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）①，顶点，②或
（2）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
15．（2025·普陀二模） 已知二次函数y=（x-m）（x-m+2），回答下列问题：
（1）若该函数图象经过点（2，-1）
①求该函数图象与x轴的交点坐标；
②点A（-1，1）向上平移2个单位长度，向右平移K（K>0）个单位长度后，落在二次函数y=（x-m）（x-m+2）图象上，求K的值。
（2）若该函数图象经过点（2m-1， a）与点（3m-4，b），且与x轴的两个交点到点（1，0）的距离均小于2，求证：b＜a。
【答案】（1）解：①把(2，-1)代入y=(x-m)(x-m+2)得m=3，∴y =(x-3)(x-1)
则与x轴的交点坐标为(3，0)和(1，0)
②点A（-1，1)向上平移2个单位长度，向右平移k个单位长度后得(-1+k，3)
代入y=(x-3)(x-1)得：3=(k-1-3)(k-1-1)
∴k1=1， k2=5
（2）证明：把(2m-1， a)、(3m-4， b)代入得：
∵图象与x轴的交点(m，0)和(m-2，0)之间的距离为2，
（1，0）到(m，0)和(m-2，0)的距离均小于2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】(1)①利用待定系数法求得m的值，然后令y=0，解方程即可求解；
②求得平移后的点的坐标，代入解析式即可求解；
(2)根据题意得到关于m的不等式组，解不等式组求得m的取值范围，把点(2m-1，a)与点(3m-4，b)代入解析式可得a，b的代数式，即可得出b-a的代数式，即可证得结论.
16．（2025·普陀二模）在现代智能仓储系统中，一款名为“SwifiBot”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据：
载重W（kg） … 10 12 15 20 30 …
v（m/s） … 6 5 4 3 2 …
（1）把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如（10，6），（12，5）..已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点；
（2）观察所画的图象，猜测与W之间的函数关系，并求出函数关系式；
（3）某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量。
【答案】（1）解：如图；
（2）解：v与W成反比例函数关系
设v =，(10，6)代入得：k=60
∴v=
(12，5)(15， 4)(20， 3)(30， 2)代入上式，均符合，
∴v=.
（3）解：
答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】（1）根据题意，连线作图即可；
（2）根据（1）可知，图象为反比例函数，进而用待定系数法求解析式即可；
（3）根据题意可求出v的值，即可求出 的最值.
17．（2025·乐清二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分．
方案 恒温工作 间歇加热工作
过程 ①从加热到； ②保持进行加工。 ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段。
加热成本 加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元。（注：自然降温阶段不产生成本）
（1）求材料加热到的时间。
（2）求材料自然降温时，关于的函数表达式。
（3）已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，，为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）。仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？
【答案】（1）由图可知加热时，关于的函数为一次函数，
可设解析式为，
将点代入，得
解得
关于的函数解析式为．
当时，，解得．
第一次加热到时间为20分钟。
（2）由题意可设加热后关于的表达式为，
将（20，90）代入，得，
关于的表达式为
（3）由题意可知，加热时长为10分钟．
恒温阶段分钟，
费用为：元。
间歇加热工作：对于，令，得，
除第一次加热到需要10分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要20分钟．一天8小时中，加热时间为分钟，
费用为：元。
，因此仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本．
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】 （1）利用待定系数法求出解析式，然后把 y=90时代入即可求解；
（2）利用待定系数法即可求解；
（3）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解.
18．（2025·黄岩二模）如图1，甲、乙两个容器内都装了一定量的水，现将甲容器中的水匀速倒入乙容器中．如图2，线段AB、线段CD分别表示容器中水的深度（厘米）与倒入时间（分钟）的函数图象．
（1）请说出点的纵坐标表示的实际意义：
（2）求经过多长时间，甲、乙两个容器中水的深度相等．
【答案】（1）点的纵坐标表示的实际意义是乙容器中原有的水的深度是5cm
（2）设直线AB的解析式为：，
把代入上式得，
解得
；
设直线CD的解析式为：，
把代入上式得，
解得
；
当时，，解得
分钟时，两容器内水的深度相等
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】(1)直接利用函数图象得出点C的纵坐标的实际意义；
(2)首先利用待定系数法求出直线AB，CD的解析式，再求出其交点，即可得出答案.
19．（2025·金东二模）已知二次函数 （a，b为常数且）的图像经过（-1，0），对称轴为直线。
（1）求二次函数的表达式。
（2）函数图象上有两个点，。
① 当，时，求的最大值。
② 若，时，存在，求m的取值范围。
【答案】（1）解： ，得，
（2）解：①当 ， 最大为 3，， 最小为 ， 最大为 ；
② 时 ；
时 ；
时 ；
时 ；
，解得 ；
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)①分别求出y1最大值和y2最小值，即可求出答案；
②根据题意列出不等式组进行解答即可.
20．（2025·温岭二模）为了解某品牌新能源汽车的充电情况，经测试，在用快速充电桩或普通充电桩对该电动车充电时，其电量（单位：）与充电时间（单位：h）的函数图象如图所示，其中折线ABC表示用快速充电桩充电时与的函数关系；线段AD表示用普通充电桩充电时与的函数关系．根据相关信息，回答下列问题：
（1）用快速充电桩充电时，电池电量从充到需　 　小时．
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
（3）车主小叶发现电池剩余电量为，于是开始充电，先用普通充电桩充电，后改为快速充电桩充电到，先后充电总共用时1h，求的值．
【答案】（1）
（2）解：设函数解析式为
将代入解析式，得
解得
因此函数解析式为
（3）方法1：由题意得分段函数ABC向右平移，使C点至，即点至，平移后的AB段与AE交于F点
AB的解析式为，
的函数解析式为
AF的函数解析式为，
令，
解得
方法2：由于普通充电桩充电1小时达不到，所以普通充电桩充电a小时后只能电量小于．
AB段充电速度，
由题意得
解得
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：(1)由图象可知，用快速充电桩充电时，电池电量从20kW·h充到100kW·h需要小时，
故答案为：.
【分析】(1)根据函数图象即可求出答案；
(2)用待定系数法求出x的函数解析式即可；
(3)方法一：先分别求出AB段、B'F段和AF段的函数解析式，进而即可求解；
方法二：先求出AB段的充电速度，进而即可求解.
21．（2025·莲都模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差；
（3）已知点在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为对称轴为直线，
所以设，
因为图象经过点，所以，解得，
所以二次函数的表达式为．
（2）解：因为点到轴的距离不大于2，所以，
因为该函数二次项系数为1大于0，
所以当时，有最小值1；当时，取得最大值为10，
因为，所以的最大值与最小值之差为9．
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，
①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以．
②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以，
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】 （1）将A（2，2）代入解析式，并利用对称轴解析式解答即可；
（2）由题意得-2≤m≤2，由于开口向上，那么当m=1时，n有最小值1；由于横坐标为-2的点到对称轴的距离1-（-2）=3大于点A到对称轴的距离1，则当m=-2时，n取得最大值，即可求解；
（3）①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，则， 由于y1＞y2恒成立，所以 ，再分别解不等式和不等式组；②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，则 ，由于y1＞y2恒成立，则 ，再分别解不等式和不等式组即可.
22．（2024·鹿城模拟）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围．
素材1：图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯．图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时， ．
素材2：图3是该台灯电流和光照强度的关系．研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）．
任务1：求I关于R的函数表达式．
任务2：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围．
【答案】解：任务1：由题意： 电流I与总电阻R成反比例，
∴设，
∵ ，， 当时，，
即R=5+10=15时，I=0.4，
∴k=15×0.4=6，
故 I关于R的函数表达式 为.
任务2：由图3得，当光照强度在 300-750lux 之间（包含临界值）时， 电流满足：，
把代入，得：Ω；
把代入，得：Ω；
∵ ，，
.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：由题意： 电流I与总电阻R成反比例，故可设，代入，即可算出值；
任务2：由图 3 得可得电流，把和代入，求得值的范围，从而得到的范围．
23．（2025·临安模拟）药碾子是传统的碾药工具，从东汉时期沿用至今，如图1，碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分．如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点，点与点到地面的距离相等，，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，上沿抛物线的顶点比点高．
（1）求出上沿抛物线的函数表达式．
（2）点是支撑架与下沿抛物线的交点，过点作于点，交上沿抛物线于点，，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
24．（2025·温州模拟）一辆快车和一辆慢车在相距16km的A，B两站点间往返载客，两车均在每天早上8：00从A站出发，快车中途不停靠，慢车仅在A，B两站的中点C站点停靠上下客，设两车行驶速度不变，在各站点停靠时长相同，两车离A站的路程为S（km），经过的时间为：（min），上午发车后慢车第一个往返期间两车行驶如图所示.
（1）求慢车、快车的速度和他们第一次停靠的时长.
（2）求慢车和快车出发后第一次相遇时离A站的路程，
（3）慢车和快车第一次相遇后，经过多少时间两车再次相遇？
【答案】（1）解：慢车速度为；快车速度为，他们第一次停靠的时长为（分钟）
（2）解：由题意得，当时，
慢车离A站的路程S关于t的函数表达式为，
快车离A站的路程S关于t的函数表达式为，
由
解得
.
所以第一次相遇时离A站的路程为km
（3）解：由（2）得，.
由题意可得函数图象关于直线对称，，是一组对称点.
所以，解得.
所以.
答：第一次相遇后，经过24分钟后两车再次相遇.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据速度=路程÷时间，列式计算即可求解；
(2)利用待定系数法求一次函数解析式，再联立方程即可求解；
(3)第一次相遇后，根据函数图象可得关于直线对称，进而即可推出结论.
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