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5月下旬之图形变换、图形与坐标—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·长兴二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，AC的延长线分别交BD，DE于点F，G，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·滨江模拟）如图，在正方形中，，．现将该正方形先向右平移，使点与原点重合，再将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·余杭模拟）如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为，，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，，的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·长兴二模）如图，矩形ABCD被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形.若已知矩形ABCD的周长，则能够求出长度的线段是（　　）
A．AM B．MD C．ME D．EF
5．（2025·上城二模）如图，点E、F是边长为1的正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形沿EF折叠，使得点B的对应点B'在边CD上，AB的对应边A'B'交AD于点G，记B'C长为x，AG长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．(y+1）X(x+1）
C．xy D．x2+y2
6．（2025·余杭模拟）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2025·平湖二模）如图，AB为⊙O的直径，且AB=10，C为⊙O上异于A，B的一点。现将劣弧BC沿直线BC折叠，若弧BC与直径AB交于点D，BD=8，则BC的长为　 　.
8．（2025·温岭二模）在矩形ABCD中，为BC的中点，将沿着AE翻折，得到，连接DG并延长与AE相交于点，与AB相交于点．若点恰好为AE的中点，则的值为　 　．
9．（2025·宁波模拟）如图，已知点在反比例函数的图象上，为直角三角形，将旋转至，使得点恰好也在反比例函数的图象上，已知，则的值为　 　．
10．（2025·莲都模拟）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线 交于点，交于点，把四边形沿着翻折得到四边形．若，且，则与的面积比为　 　．
11．（2025·玉环二模）如图，在正方形ABCD中，点在边AD上（不与点重合），将沿BE折叠得到，延长交BC的延长线于点，交CD于点，设，则关于的函数关系式为　 　．
12．（2025·滨江模拟）如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则　 　．
三、解答题
13．（2025·上城二模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动(摆线的长度变化忽略不计）。如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作BD⊥OA于点D。当摆球运动至点C时，过点C作CE⊥OA于点E，(点O，A，B，C，D，E在同一平面内）。
（1）若 BD=8，AD=4，求 OB的长；
（2）若∠BOA=46°，∠AOC=28°，ED=10cm，求OA的长。
(sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin28°≈0.47， cos28°≈0.88， tan28°≈0.53，结果精确到 0.1cm）
14．（2025·普陀二模）如图，小明利用无人机测大楼的高度BC.在空中点P测得：到地面上一点A处的俯角∠MPA=60°，距离PA=80米，到楼顶C点处的俯角∠NPC=30°。已知点A与大楼的距离AB为70米。（点A、E、B共线且图中所有的点都在同一平面内）
（1）求点P到地面AB的距离PE；
（2）求大楼的高度BC。（结果保留根号）
15．（2025·温岭二模）综合与实践
聪聪学习解直角三角形知识后，对光的折射进行了综合性的学习．查阅资料了解到，光从空气进入H液体，会发生折射，折射率表示入射角，表示折射角．
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，测得水槽高度，一束光线从点按固定方向投射到底部的点形成光斑，测得．
第二步：向水槽注入H液体，液体高度时，此时光斑因光线折射向左移动至点，测得．（其中为入射点，直线MN为法线，AO为入射光线，OD为折射光线）
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求OE的长；
（2）求H液体的折射率．
16．（2025·西湖模拟）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法．
【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计）
【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，）
【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空：
（2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示．
解：设，因为，
所以．
同理，因为，
所以．
因为，
解得．
即可求得的长．
17．（2025·宁波模拟）
（1）在四边形ABED中，，在BC上有一点，连结，．证明：．
（2）若四边形ABCD为菱形，将沿CF对折，使恰好落在AD上，已知1：3，求．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
AC的延长线分别交BD于点F，
F不一定是BD的中点，
∴不一定成立，故A错误；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴∠EBD与∠ABC是对应角，
∴∠EBD=∠ABC，不能确定∠DBC与∠EBD的关系，故B错误；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴∠ACB与∠DEB是对应角，
∴∠ACB=∠DEB，不能说明∠ACB=∠AGE，
∴不一定成立，故C错误；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴AC与DE是对应边，它们的夹角就是旋转角度，
∴，故D正确；
故答案为：.
【分析】利用旋转的性质，对四个选项逐一分析，再作出判断.
2．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，将正方形先向右平移，使点与原点重合，得到正方形，
其中，，，且，，
∵将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，
∴点与点重合，
∴点的坐标是，
故选：B．
【分析】
先确定出点A的坐标，由于平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上，因此可通过点B与原点是一对对应点可确定平移的方向和距离，从而可确定点A的对应点的坐标；由于旋转的三要素是旋转中心、旋转角度和旋转方向，则由旋转的性质知点A`点C平移后的对应点重合．
3．【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：如图所示，延长到点，
∴，
∴，
∴点所在的角度为，
∴，
故答案为：C ．
【分析】如图所示，延长到点，由对顶角相等可得，由点C所在的位置可得点所在的角度为，于是点C表示的位置可求解．
4．【答案】A
【知识点】全等图形的概念；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为a，两个小矩形的长为b，宽为c，小正方形的边长为d，矩形ABCD的周长为l，
则l=2（2a+b+c），
由题意得，
①-②，得b-a=a+d-c-d=a-c，即2a=b+c，
∴l=2（2a+b+c）=2（b+c+b+c）=2（2b+2c）=4（b+c）或l=2（2a+b+c）=2（2a+2a）=2×4a=8a，
∴已知矩形ABCD的周长，则能够求出a，即能够求出线段AM的长度．
故答案为：A.
【分析】设大正方形的边长为a，两个小矩形的长为b，宽为c，小正方形的边长为d，矩形ABCD的周长为l，则可得l=2（2a+b+c），由题意，得，①-②，得b-a=a-c，即可得出2a=b+c，再根据矩形的周长公式计算，进而得出答案．
5．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作，交直线于，延长，交直线于，
在中，，，则，
，
，
，
，
，
手柄所在直线与地面之间的距离为：，
故答案为：A.
【分析】过点作，交直线于，延长，交直线于，根据正弦的定义sin∠D=可将CH用含b、θ的代数式表示出来，然后根据余弦的定义cos∠ACF=求出，再由线段的和差FH=CH+CF即可求解．
7．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作DE⊥BC交☉O于点E连接BE，交AC的延长线于点F，连接CE，
∴∠A+∠BEC=180°
∵∠BEC+∠CEF=180°
∴∠A=∠CEF
∵∠F=∠F，
∴△CEF~△BAF
∴
∴CF·AC=EF·BF
∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB=90°
∴AB，BF关于BC对称
∴BF=AB=10，EF=AD=AB-BD=10-8=2，CF=AC，
∵CF·AC=EF·BF
∴2AC2=2×10，
∴AC2=10.
∴.
故答案为：.
【分析】作DE⊥BC交☉O于点E连接BE，交AC的延长线于点F，连接CE，得到△CEF~△BAF，继而得到，CF·AC=EF·BF，推出AB，BF关于BC对称，求出AC2=10，进而即可得到答案.
8．【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：延长DH、CB交于点P，连结BG，CG，
∵四边形ABCD是矩形，E为BC的中点，
∴AB//CD，BC//AD，BC=AD，，
∴∠P=∠ADF，
∵点F为AE的中点，
∴EF=AF，
在△EFP和△AFD中，
∴△EFP △AFD(AAS)，
∴EP=AD，
∴EP=BC，
∴EP-BE=BC-BE，
∴BP=CE=BE，
∴EP=2BE，CP=3BE，
∵将△ABE沿着AE翻折，得到△AGE
∴GE=BE=CE，EF垂直平分BG，
∴∠EGB=∠EBG，∠EGC=∠ECG，
∴，
∴CG⊥BG
∴AE//CG，
∴∠AFH=∠EFG=∠CGD，
∴∠AHF=∠CDG，
∴△AFH∽△CGD，
∴
∵EF//CG，
∴△PEF∽△PCG，
∴
∴
故答案为：.
【分析】延长DH、CB交于点P，连结BG，CG，由矩形的性质得AB//CD，BC//AD，BC=AD，则∠P=∠ADF，而EF=AF，∠EFP=∠AFD，即可证明△EFP △AFD，得EP=AD=BC，则BP=CE=BE，由翻折得GE=BE=CE，EF垂直平分BG，推导出∠BGC=90°，则CG⊥BG，进而可以得到答案.
9．【答案】或
【知识点】旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
10．【答案】
【知识点】解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T，
∵，
∴可设，
∵矩形的对角线相交于点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在△OAE和△OCF中
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T，设，由勾股定理可将AC用含a的代数式表示出来，解直角三角形可得，在R据△HOV中，根据sin∠OCH=可将OH用含a的代数式表示出来；由折叠的性质可得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的对边相等可得；设，则，则，解得到，则，整理可将b用含a的代数式表示出来，；结合已知，用角角边可得，于是，再根据三角形的面积公式计算即可求解．
11．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）
12．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：连接，过点作于点H，交于点，交于点，
∵菱形的周长和面积分别为12和6，
∴，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵折叠，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵折叠，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
如图，连接，过点作于点H，交于点，交于点，由题意得可得菱形边长为3，高，由勾股定理求出，由菱形的性质以及折叠的性质可证明四边形是矩形，以及四边形为矩形，则，由平行线分线段成比例定理结合折叠可得，最后在中，由勾股定理即可求解．
13．【答案】（1）解：设OD=x，则OA=OB=x+4，
在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，
∴(x+4)2=x2+82
∴x=6，
∴OB=10
（2）解：∵摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，于点D. 当摆球运动至点C时，于点E，
∴，
在中，
，
，
∴，，
∴，
∵，
∴.
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
14．【答案】（1）解：
在 中，
∵，
∴（米）.
答：点P到地面AB的距离PE为米；
（2）解：延长 BC 交 MN 于 D 点，如图，
在 中，
∵，
∴（米），
∵ 米，
∴（米），
∵，
∴ 四边形 PEBD 为矩形，
∴，PD = BE = 30 米，
在 中，
∵，
∴（米），
∴（米）。
答：大楼的高度 BC 为 米。
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】(1)先根据平行线的性质得到∠PAE=∠MPA=60°，再根据含30°角的直角三角形三边的关系计算出AE的长度，然后计算PE的长即可；
(2)延长BC交MN于点Q，先计算出BE的长度，易得四边形PEBQ为矩形，进而可得PQ=BE=30米，BQ=PE=米，接着在Rt△PQC中利用正切的定义计算出CQ的长度，然后计算BQ-CQ即可.
15．【答案】（1）由题意得：
（2）由题意得：
在Rt中，
矩形
在中，
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)由题意得EO//BC，则△AOE∽△ABC，由相似三角形的性质计算即可得解；
(2)由题意得AC//MN，则，由勾股定理可得AO=10cm，得出，由矩形的性质可得EC=ON=12cm，EO=CA=8cm，求出ND=9cm，由勾股定理可得DO=15cm，从而可得，即可得解.
16．【答案】解：（1）
设，
，
解得，
故的高度为；
（2）①；②
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】
（2）解：设，因为，
所以．
同理，因为，
所以．
因为，
解得．
即可求得的长．
故答案为：①；②．
【分析】
（1）根据等腰三角形的判定和性质证明，设AD=BD=x，根据锐角三角函数tan∠ACD=得关于x的方程，解方程可求解；
（2）设AD=x，根据锐角三角函数tanα=、tanβ=分别将BD、CD表示出来，然后根据线段的和差BC=BD+CD即可求解．
17．【答案】（1）如图，延长BE至点，使得，
从而，由一线三等角可证．
（2）同上添加辅助线，不妨假设，则，
由一线三等角得，可得，
过作于，得，
由折叠，
．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA
1 / 15月下旬之图形变换、图形与坐标—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·长兴二模）如图，将绕点顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，AC的延长线分别交BD，DE于点F，G，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
AC的延长线分别交BD于点F，
F不一定是BD的中点，
∴不一定成立，故A错误；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴∠EBD与∠ABC是对应角，
∴∠EBD=∠ABC，不能确定∠DBC与∠EBD的关系，故B错误；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴∠ACB与∠DEB是对应角，
∴∠ACB=∠DEB，不能说明∠ACB=∠AGE，
∴不一定成立，故C错误；
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴AC与DE是对应边，它们的夹角就是旋转角度，
∴，故D正确；
故答案为：.
【分析】利用旋转的性质，对四个选项逐一分析，再作出判断.
2．（2025·滨江模拟）如图，在正方形中，，．现将该正方形先向右平移，使点与原点重合，再将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，将正方形先向右平移，使点与原点重合，得到正方形，
其中，，，且，，
∵将所得正方形绕原点按逆时针方向旋转，得到四边形，
∴点与点重合，
∴点的坐标是，
故选：B．
【分析】
先确定出点A的坐标，由于平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上，因此可通过点B与原点是一对对应点可确定平移的方向和距离，从而可确定点A的对应点的坐标；由于旋转的三要素是旋转中心、旋转角度和旋转方向，则由旋转的性质知点A`点C平移后的对应点重合．
3．（2025·余杭模拟）如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为，，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，，的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：如图所示，延长到点，
∴，
∴，
∴点所在的角度为，
∴，
故答案为：C ．
【分析】如图所示，延长到点，由对顶角相等可得，由点C所在的位置可得点所在的角度为，于是点C表示的位置可求解．
4．（2025·长兴二模）如图，矩形ABCD被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形.若已知矩形ABCD的周长，则能够求出长度的线段是（　　）
A．AM B．MD C．ME D．EF
【答案】A
【知识点】全等图形的概念；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为a，两个小矩形的长为b，宽为c，小正方形的边长为d，矩形ABCD的周长为l，
则l=2（2a+b+c），
由题意得，
①-②，得b-a=a+d-c-d=a-c，即2a=b+c，
∴l=2（2a+b+c）=2（b+c+b+c）=2（2b+2c）=4（b+c）或l=2（2a+b+c）=2（2a+2a）=2×4a=8a，
∴已知矩形ABCD的周长，则能够求出a，即能够求出线段AM的长度．
故答案为：A.
【分析】设大正方形的边长为a，两个小矩形的长为b，宽为c，小正方形的边长为d，矩形ABCD的周长为l，则可得l=2（2a+b+c），由题意，得，①-②，得b-a=a-c，即可得出2a=b+c，再根据矩形的周长公式计算，进而得出答案．
5．（2025·上城二模）如图，点E、F是边长为1的正方形ABCD的边AD、BC上的点，将正方形沿EF折叠，使得点B的对应点B'在边CD上，AB的对应边A'B'交AD于点G，记B'C长为x，AG长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．(y+1）X(x+1）
C．xy D．x2+y2
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
6．（2025·余杭模拟）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，过点作，交直线于，延长，交直线于，
在中，，，则，
，
，
，
，
，
手柄所在直线与地面之间的距离为：，
故答案为：A.
【分析】过点作，交直线于，延长，交直线于，根据正弦的定义sin∠D=可将CH用含b、θ的代数式表示出来，然后根据余弦的定义cos∠ACF=求出，再由线段的和差FH=CH+CF即可求解．
二、填空题
7．（2025·平湖二模）如图，AB为⊙O的直径，且AB=10，C为⊙O上异于A，B的一点。现将劣弧BC沿直线BC折叠，若弧BC与直径AB交于点D，BD=8，则BC的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作DE⊥BC交☉O于点E连接BE，交AC的延长线于点F，连接CE，
∴∠A+∠BEC=180°
∵∠BEC+∠CEF=180°
∴∠A=∠CEF
∵∠F=∠F，
∴△CEF~△BAF
∴
∴CF·AC=EF·BF
∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB=90°
∴AB，BF关于BC对称
∴BF=AB=10，EF=AD=AB-BD=10-8=2，CF=AC，
∵CF·AC=EF·BF
∴2AC2=2×10，
∴AC2=10.
∴.
故答案为：.
【分析】作DE⊥BC交☉O于点E连接BE，交AC的延长线于点F，连接CE，得到△CEF~△BAF，继而得到，CF·AC=EF·BF，推出AB，BF关于BC对称，求出AC2=10，进而即可得到答案.
8．（2025·温岭二模）在矩形ABCD中，为BC的中点，将沿着AE翻折，得到，连接DG并延长与AE相交于点，与AB相交于点．若点恰好为AE的中点，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：延长DH、CB交于点P，连结BG，CG，
∵四边形ABCD是矩形，E为BC的中点，
∴AB//CD，BC//AD，BC=AD，，
∴∠P=∠ADF，
∵点F为AE的中点，
∴EF=AF，
在△EFP和△AFD中，
∴△EFP △AFD(AAS)，
∴EP=AD，
∴EP=BC，
∴EP-BE=BC-BE，
∴BP=CE=BE，
∴EP=2BE，CP=3BE，
∵将△ABE沿着AE翻折，得到△AGE
∴GE=BE=CE，EF垂直平分BG，
∴∠EGB=∠EBG，∠EGC=∠ECG，
∴，
∴CG⊥BG
∴AE//CG，
∴∠AFH=∠EFG=∠CGD，
∴∠AHF=∠CDG，
∴△AFH∽△CGD，
∴
∵EF//CG，
∴△PEF∽△PCG，
∴
∴
故答案为：.
【分析】延长DH、CB交于点P，连结BG，CG，由矩形的性质得AB//CD，BC//AD，BC=AD，则∠P=∠ADF，而EF=AF，∠EFP=∠AFD，即可证明△EFP △AFD，得EP=AD=BC，则BP=CE=BE，由翻折得GE=BE=CE，EF垂直平分BG，推导出∠BGC=90°，则CG⊥BG，进而可以得到答案.
9．（2025·宁波模拟）如图，已知点在反比例函数的图象上，为直角三角形，将旋转至，使得点恰好也在反比例函数的图象上，已知，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
10．（2025·莲都模拟）如图，矩形的对角线相交于点，过点的直线 交于点，交于点，把四边形沿着翻折得到四边形．若，且，则与的面积比为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T，
∵，
∴可设，
∵矩形的对角线相交于点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，，
∴；
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
设，则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在△OAE和△OCF中
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，设交于T，设，由勾股定理可将AC用含a的代数式表示出来，解直角三角形可得，在R据△HOV中，根据sin∠OCH=可将OH用含a的代数式表示出来；由折叠的性质可得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的对边相等可得；设，则，则，解得到，则，整理可将b用含a的代数式表示出来，；结合已知，用角角边可得，于是，再根据三角形的面积公式计算即可求解．
11．（2025·玉环二模）如图，在正方形ABCD中，点在边AD上（不与点重合），将沿BE折叠得到，延长交BC的延长线于点，交CD于点，设，则关于的函数关系式为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）
12．（2025·滨江模拟）如图，在菱形中，为锐角，点，分别在边，上，且满足，．将菱形沿翻折，使点落在平面内的点处．若菱形的周长和面积分别为12和6，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：连接，过点作于点H，交于点，交于点，
∵菱形的周长和面积分别为12和6，
∴，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵折叠，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵折叠，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
如图，连接，过点作于点H，交于点，交于点，由题意得可得菱形边长为3，高，由勾股定理求出，由菱形的性质以及折叠的性质可证明四边形是矩形，以及四边形为矩形，则，由平行线分线段成比例定理结合折叠可得，最后在中，由勾股定理即可求解．
三、解答题
13．（2025·上城二模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动(摆线的长度变化忽略不计）。如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作BD⊥OA于点D。当摆球运动至点C时，过点C作CE⊥OA于点E，(点O，A，B，C，D，E在同一平面内）。
（1）若 BD=8，AD=4，求 OB的长；
（2）若∠BOA=46°，∠AOC=28°，ED=10cm，求OA的长。
(sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin28°≈0.47， cos28°≈0.88， tan28°≈0.53，结果精确到 0.1cm）
【答案】（1）解：设OD=x，则OA=OB=x+4，
在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，
∴(x+4)2=x2+82
∴x=6，
∴OB=10
（2）解：∵摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，于点D. 当摆球运动至点C时，于点E，
∴，
在中，
，
，
∴，，
∴，
∵，
∴.
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
14．（2025·普陀二模）如图，小明利用无人机测大楼的高度BC.在空中点P测得：到地面上一点A处的俯角∠MPA=60°，距离PA=80米，到楼顶C点处的俯角∠NPC=30°。已知点A与大楼的距离AB为70米。（点A、E、B共线且图中所有的点都在同一平面内）
（1）求点P到地面AB的距离PE；
（2）求大楼的高度BC。（结果保留根号）
【答案】（1）解：
在 中，
∵，
∴（米）.
答：点P到地面AB的距离PE为米；
（2）解：延长 BC 交 MN 于 D 点，如图，
在 中，
∵，
∴（米），
∵ 米，
∴（米），
∵，
∴ 四边形 PEBD 为矩形，
∴，PD = BE = 30 米，
在 中，
∵，
∴（米），
∴（米）。
答：大楼的高度 BC 为 米。
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】(1)先根据平行线的性质得到∠PAE=∠MPA=60°，再根据含30°角的直角三角形三边的关系计算出AE的长度，然后计算PE的长即可；
(2)延长BC交MN于点Q，先计算出BE的长度，易得四边形PEBQ为矩形，进而可得PQ=BE=30米，BQ=PE=米，接着在Rt△PQC中利用正切的定义计算出CQ的长度，然后计算BQ-CQ即可.
15．（2025·温岭二模）综合与实践
聪聪学习解直角三角形知识后，对光的折射进行了综合性的学习．查阅资料了解到，光从空气进入H液体，会发生折射，折射率表示入射角，表示折射角．
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，测得水槽高度，一束光线从点按固定方向投射到底部的点形成光斑，测得．
第二步：向水槽注入H液体，液体高度时，此时光斑因光线折射向左移动至点，测得．（其中为入射点，直线MN为法线，AO为入射光线，OD为折射光线）
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求OE的长；
（2）求H液体的折射率．
【答案】（1）由题意得：
（2）由题意得：
在Rt中，
矩形
在中，
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)由题意得EO//BC，则△AOE∽△ABC，由相似三角形的性质计算即可得解；
(2)由题意得AC//MN，则，由勾股定理可得AO=10cm，得出，由矩形的性质可得EC=ON=12cm，EO=CA=8cm，求出ND=9cm，由勾股定理可得DO=15cm，从而可得，即可得解.
16．（2025·西湖模拟）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法．
【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计）
【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，）
【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空：
（2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示．
解：设，因为，
所以．
同理，因为，
所以．
因为，
解得．
即可求得的长．
【答案】解：（1）
设，
，
解得，
故的高度为；
（2）①；②
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】
（2）解：设，因为，
所以．
同理，因为，
所以．
因为，
解得．
即可求得的长．
故答案为：①；②．
【分析】
（1）根据等腰三角形的判定和性质证明，设AD=BD=x，根据锐角三角函数tan∠ACD=得关于x的方程，解方程可求解；
（2）设AD=x，根据锐角三角函数tanα=、tanβ=分别将BD、CD表示出来，然后根据线段的和差BC=BD+CD即可求解．
17．（2025·宁波模拟）
（1）在四边形ABED中，，在BC上有一点，连结，．证明：．
（2）若四边形ABCD为菱形，将沿CF对折，使恰好落在AD上，已知1：3，求．
【答案】（1）如图，延长BE至点，使得，
从而，由一线三等角可证．
（2）同上添加辅助线，不妨假设，则，
由一线三等角得，可得，
过作于，得，
由折叠，
．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA
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