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江苏省连云港市2024 2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．计算：（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
2．中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
3．在的展开式中，的系数是（ ）
A． B．8 C． D．4
4．如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则（ ）
A． B． C． D．
6．用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．36 B．48 C．60 D．72
7．已知，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．2名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有种.
A． B． C． D．
10．设，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第5项 D．
11．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积不变 B．平面
C． D．平面平面
三、填空题（本大题共3小题）
12．若，则的值为 ．
13．被9除所得的余数是 .
14．某小区为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知.
(1)求；
(2)求与夹角的余弦值；
(3)当时，求实数的值.
16．某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．
（1）若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的选法？
（2）若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的选法？
（3）若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？
17．如图，在正方体中，是正方形的中心，是的中点.
(1)求证：是平面的法向量；
(2)求与平面所成角的余弦值；
(3)求二面角的正弦值．
18．在二项式的展开式中，______.给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于46；
②所有奇数项的二项式系数的和为256.
试在上面两个条件中选择一个补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的常数项；
（3）求展开式中项的系数最大的项.
19．高二（16）班参加青华中学红五月节目：猜歌名，班级只有一个名额，结合平时观察积累，闫某峻，贾某轩两名学生进入最后选拔，申老师为此设计了如下选拔方案：挑选8首歌进行测试，在这8首歌曲中，闫某峻能正确说出其中的6首歌名，贾某轩能正确说出每首歌名的概率均为，假设闫某峻、贾某轩两名学生说出每首歌名都相互独立、互不影响，现闫某峻、贾某轩从这8首歌中分别随机抽取4首进行竞猜
（1）求闫某峻、贾某轩共答对3首歌名的概率；
（2）从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表高二（16）班参加红五月活动？
参考答案
1．【答案】D
【详解】.
故选D.
2．【答案】A
【详解】由题可知，每名同学都有3种选法，故不同的选购方式有种，经检验只有A选项符合.
故选A
3．【答案】A
【详解】的展开式通项为，
取，则，系数为.
故选A
4．【答案】C
【详解】以D作坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设与所成的角的大小为，
则.
故选C
5．【答案】B
【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题意,,故.故选B.
6．【答案】C
【详解】当个位数为0时，有个，
当个位数为2或4时，有个，
所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，
故选C.
7．【答案】C
【详解】因为，所以，
所以在上投影的长度为，
所以点到直线的距离为.
故选C
8．【答案】B
【详解】解：，
，
，
，
所以，
故选B
9．【答案】BC
【详解】由题意，先排男生，再插入女生，可得选项B正确，或用减法，先进行全排列再减去女生相邻的情况，可得选项C正确．
【详解】由题意，可先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有，故B正确；
也可先进行全排列，则2名女生相邻情况为，则2名女生不相邻的排法有，故C正确；
故选BC.
10．【答案】BD
【详解】对于选项，在中，令，可得，所以选项错误.
对于选项，令，则，即.
由选项可知，所以，选项正确.
对于选项，因为为偶数，根据二项式系数的性质，
当为偶数时，中间一项（即第项）的二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项是第项，选项错误.
对于选项，二项式展开式的通项公式为.
当时，；
当时，.
因为，即，选项正确.
故选BD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，的面积是定值，，平面，平面，
∴平面，故到平面的距离为定值，
∴三棱锥的体积是定值，即三棱锥的体积不变，故A正确；
对于B，由选项A知，平面，同理平面，而，
平面，∴平面平面，平面，平面，故B正确；
对于C，以为原点，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，P在上，故可设，
则，
，，
则不一定为0，
和不垂直，故C错误；
对于D，设，
则，
，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
.
∴平面和平面垂直，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】6或8
【详解】因为，所以或，其中，
解得或，经检验符合题意.
13．【答案】2
【详解】因为
又能被9整除，
所以被9除所得的余数为2，
14．【答案】1560
【详解】因每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，
故有两种分配方案：
第一种“”方案：先从6个志愿服务小组选取3个小组为一大组与另外的三个小组分成4组，
到4个大门进行服务，共有方法种数为；
第二种“”方案，依次从6个志愿服务小组选取2个，2个，1个，1个
到4个大门进行服务，共有方法种数为，
由分类加法计数原理，不同的分配方法种数为.
15．【答案】(1)-10
(2)
(3)或
【分析】（1）根据空间向量的坐标运算律,即可求解.
（2）根据空间向量的夹角公式,代入求解.
（3）由,转化为数量积为0即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）当时，，得，
，或.
16．【答案】（1）64；
（2）128；
（3）51.
【详解】（1）利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1人担任组长，共有种不同的选法；
（2）先选后排，可得从甲、乙两组中各选1人担任正副班长有种不同的选法；
（3）先分类再分步：第一类：甲组1男生：，第二类：乙组1男生：，
则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有51种.
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）设正方体棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【详解】（1）设正方体棱长为2，如图建立空间直角坐标系.
，
又，，，
，，
即，，
又，面，
面，
是平面的法向量.
（2），，，
又由（1）知平面的法向量 ，设与所成的角为，
， ，则，
即与平面所成角的余弦值是.
（3）在正方体中，面，
是面的法向量，又，
，
由图可知二面角为锐二面角，设为，
，
则二面角平面角的正弦值为.
18．【答案】（1），
（2）
（3）
【详解】（1）选择①：，即，
即，即，解得或（舍去）.
选择②：，即，解得.
展开式中二项式系数最大的项为第5项和第6项，
，.
（2）展开式的通项为，
令，得，所以展开式中常数项为第7项，常数项为；
（3）由展开式的通项为，
假设第项系数最大，则，解得，且，所以，即系数最大项为.
19．【答案】（1）
（2）见解析
【详解】（1）设闫某峻、贾某轩答对的题数分别为,
则可能为2，3，4，
则,
由题意知，贾某轩答对的题数满足，
故,
闫某峻、贾某轩共答对3首歌名,即闫某峻答对2道，贾某轩答对1道或者闫某峻答对3道，贾某轩答对0道，
故共答对3首歌名的概率：.
（2）由（1）可知，闫某峻答对的题数的分布列如下：
X 2 3 4
P
故期望，
方差，
且，故，,
故.
所以闫某峻、贾某轩答对的题数期望一样，但是闫某峻的方差更小，发挥更稳定，
故应选拔闫某峻代表高二（16）班参加红五月活动

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