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5月下旬之数式与函数—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·潮南模拟）我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集．同样，如果引进“虚数”，则实数集就扩展到“复数集”．现在我们定义：虚数单位“”，其运算规则是：，，，，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·广东模拟）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高A3）．若要使频率升高到440Hz（即达到标准音高A4），应该如何调整张力？
A．增大至150N B．减小至150N C．增大至100N D．减小至100N
3．（2025·潮南模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A、B两点，P是以点为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，M为AP的中点．则线段OM长度最大值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
4．（2025·揭东模拟）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·澄海模拟）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·禅城模拟）图甲为我国古代的计时工具——漏刻，图乙为它的示意图．漏壶中的水均匀滴入箭壶，木块与箭杆组成的箭舟匀速上浮，从盖孔处看箭杆上的标记h，就能知道对应的时刻t，下表记录了t（分钟）与对应h（厘米）的部分数据，其中有一个h的值记录错误，则错误的是（　　）
分钟 0 1 2 3 4 5 …
厘米 …
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2025·肇庆模拟）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为　 　．
2 9 　
　 5 　
x 　 y
8．（2025·龙岗模拟）请写出同时满足“①随的增大而增大；②函数图象与轴交于负半轴”两个条件的一次函数解析式：　 　．
9．（2025·连州模拟）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如的方程的图解法是：如图，以和为直角边作，再在斜边上截取，则的长为所求方程的正根．若关于的一元二次方程，当图中，那么的值为　 　．
10．（2025·龙岗模拟）小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长　 　．
频率 10 15 50
波长 30 20 6
11．（2025·深圳模拟）如图，已知中，，，与关于所在直线对称，反比例函数恰好经过点，则　 　．
12．（2025·禅城模拟）双曲线如图所示，边长为2的正方形顶点A横坐标为2，轴．将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，则k的值是　 　．
13．（广东省汕头龙湖区2025年九年级数学一模试卷　）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为　 　．
三、解答题
14．（2025·龙岗模拟）为响应深圳市教育局“每周半天计划”，深圳某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托鲲鹏径20段特色线路展开活动．学校将初一年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的200公里轨迹．
【信息收集】信息一：
　 路段 路程（千米） 计划平均速度（千米／时）
第11组 鲲鹏径11段 （梧桐山北大门至大梧桐顶） 12.5
第19组 鲲鹏径19段 （西涌至东涌） 6
信息二：第11组和第19组计划用时相等．
【问题解决】
（1）求的值和计划用时；
（2）第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米/时多长时间？
15．（2025·深圳模拟）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买A，两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买共需花费4300元，其中购买A型号“文房四宝”花费3000元．
（1）求每套型号的“文房四宝”的标价．
（2）该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，型号“文房四宝”满20套送一套的优惠价，已知A，两种型号的“文房四宝”每套进价分别为50元和105元，学校购买了A型号“文房四宝”50套，若通过此单生意，该店获利不低于2100元，则该校至少买了多少套型“文房四宝”？
16．（2025·福田模拟）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是拋物线的一部分）．
（1）轨道初段的总长为__________；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，求抛物线的函数关系式．
②延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
17．（广东省珠海市香洲区2025年中考模拟考试数学试卷 -）数学兴趣小组围绕着“关于x的二次函数在给定范围内，当x为何值时，y取最小值”展开研究．
【基础回顾】（1）当时，则，其中，当_______时，y取最小值；
【举一反三】关于x的二次函数，学生选取不同的t值，其中，当x为何值时，y取最小值，并记录如下：
0 4 5
y取最小值时x的值 或0
【探究发现】
发现：由表格数据，数学小组发现：以为分界， ①当，时，y取最小值； ②当，或0时，y取最小值； ③当时，y取最小值． （3）猜想证明：请你补充数学小组未完成的证明： 设，是关于x的二次函数图象上的两端点， 抛物线的对称轴记为，MN中点的横坐标记为． ， 抛物线的开口向下． 当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值． 当时，即，_______； 当时，即，_______； 综上所述：猜想（2）得证．
（2）猜想： 关于x的二次函数，其中，当_______时，y取最小值．
【实际运用】（4）如图，在青少年足球比赛中，球员甲在点O处准备挑球过人．以O为原点，足球离地面高度y米与到原点的水平距离x米近似满足二次函数关系．因在甲正前方7.5米C处有防守运动员乙准备拦截，甲调整出球力度，使足球沿抛物线飞向防守运动员乙．防守运动员乙一个跨步（约0.5米）范围内防守，即当时，足球离地面高度大于防守运动员乙的最高摸高米，求t的取值范围．
18．（2025·新兴模拟）综合与实践
主题：二次函数与刹车距离的探究
素材1 如图，刹车距离是指车辆在行驶过程中，从驾驶员开始踩下刹车踏板到车辆完全停止时，所行驶的距离．
素材2 在汽车行驶安全研究中，汽车的刹车距离是重要的研究指标．经大量实验和数据分析，发现某品牌汽车的刹车距离（单位：米）与刹车时汽车的速度（单位：千米/小时）之间存在二次函数关系．
素材3 当汽车的速度为0千米/小时，刹车距离为0米；当汽车的速度为40千米/小时，刹车距离为16米；当汽车的速度为60千米/小时，刹车距离为30米．
请根据上述素材，解答下列问题．
（1）求与的二次函数关系式．
（2）在高速公路上，一辆该品牌汽车前方70米处突然出现落石，为了避免撞到该落石，汽车刹车时的速度不能超过多少？（不考虑汽车变道和司机的反应时间）
19．（2025·汕尾模拟）【问题背景】
抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E．
【构建联系】
（1）填空：______，______，点E的坐标为______．
（2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标．
【深入探究】
（3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由．
20．（2025·河源模拟）如图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
某学习小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度 43 46.3 49.6 52.9 56.2
凳面的宽度 248 264.5 281 297.5 314
请你帮助小组解决下列问题：
（1）已知y是x的函数，求出该函数关系式．
（2）经研究表明，最舒适的凳面宽度为，其中是传统工艺与现代人体工学的理想折中点．现要加工一张凳面宽度为的“四脚八叉凳”，榫眼的位置怎么确定？请说明理由．
21．（2025·惠城模拟）（综合与实践）
项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装问题．其中有一种规格的碗要装入包装盒，获得信息如下：
【信息1】碗以及叠放后的尺寸如图：（单位：cm）
【信息2】有两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：cm）和成本（单位：元）如图：
【问题解决】
任务1：n个碗叠放后的总高度为L（单位：cm），请求出L与n的关系式．
任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入___________个碗，B盒最多可放入___________个碗．
任务3．若要买A盒或B盒若干分装上述规格的碗90个，问买这些盒子最少要多少元？
22．（2025·南山模拟）城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．如图1是2025年深圳地铁线路图．小方了解到列车从后海站开往南山站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个问题，小方通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
（1）建立模型
①收集数据
（秒） 0 4 8 12 16 20 24
（米） 256 196 144 100 64 36 16
②建立平面直角坐标系
为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是 ▲ 函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设，因为时，，所以，则．
请根据表格中的数据，求a，b的值．
验证：把a，b的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．
（2）应用模型
列车从减速开始经过 ▲ 秒，列车停止；最后两秒钟，列车滑行的距离为 ▲ 米．
23．（2025·南山模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量36千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，
①假设安排个深蹲，则安排 ▲ 个开合跳；（用含的代数式填空．）
②小亮安排多少个深蹲使消耗的热量最多？
24．（2025·龙岗模拟）数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数为常数）进行研究．
【特例分析】
（1）数学兴趣小组分别取三个特殊值进行特例研究．
①确定表达式：
当时，，当时，，当时，____________；
②画函数图象：
平面直角坐标系中已画出和的图象，请你在同一坐标系中画出的图象；
【性质探究】
（2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论为何值，二次函数图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由．
【性质应用】
（3）已知点，若二次函数图象与线段有且只有一个交点，求的取值范围．
25．（2025·深圳模拟）太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．
（1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是______；
（2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径为1.5米，凹面深度为0.25米，求抛物线的表达式______；
（3）如图4，在（2）的条件下，为平行于轴的入射光线，为反射光线，为切点，为焦点，当时，求点的横坐标；
（4）如图5，在（1）的条件下，点是焦点，表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当为时，求点的坐标．
26．（2024九上·龙湖月考）【问题背景】
已知抛物线（a，b为常数，）的顶点为，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点.
【构建联系】
（1）如图1，当，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标；
（2）如图2，当时，求的值；
【深入探究】
（3）如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值.
27．（2025·澄海模拟）如图，抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点，其中a、b分别是一元二次方程的两个根（）．连接，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作轴于点D，交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作于点P，使，以，为邻边作矩形，设矩形的面积为S，求S的最大值，并求S取得最大值时点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q、A、C为顶点的三角形是锐角三角形，请求出点Q纵坐标n的取值范围．
28．（2025·广东模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点O，A．
（1）线段OA的长度为 ▲ ；
（2）将函数的图象沿轴正方向平移个单位得到函数的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点在点的左边时，函数的图象交于点，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过的图象顶点作轴的平行线，将直线向下平移，当直线与函数的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为，请判断是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
29．（2025·南山模拟）综合与探究
【定义】对于y关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为函数的极差值，记作．
【示例】对于函数，在范围内，当时，该函数取最大值；当时，该函数取最小值，即．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）一次函数的极差值 ▲ ；
（2）已知函数的图象经过以下各点：
①绘图：
列表：下表是与的几组对应值，其中 ▲ ；
… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
… 0 3 4 3 0 5 …
描点：根据表中各组对应值，请在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整；
②求该函数的R[2，10]的值；
（3）已知函数和函数是关于的函数，并且两个函数的相等．其中函数的图象经过点，请直接写出的值．
30．（2025·福田模拟）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动。轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙。小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止。小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）。
（1）轨道初段AC的总长为 ▲ cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）。
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线的函数关系式。
②延长线段OP，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接。请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s。若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由。
31．（2025·深圳模拟）[问题提出]
如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）．
（1）[问题探究]
如图1，当点从点运动到点时，
①用含的代数式表示的长： ▲ ；
②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象：
0 1 2 3 4
0 1.5 2
表中的值为 ▲ ，的值为 ▲ ；
（2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式；
（3）[问题解决]
若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
2．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设f与T之间的函数关系式为
将T=200，f=220代入可得：k=200×220=44000
∴f与T之间的函数关系式为
当f=440时，得
解得：T=100
∴应该将张力减小至100N
故答案为：D
【分析】设f与T之间的函数关系式为，根据待定系数法将T=200，f=220代入关系可得f与T之间的函数关系式为，再将f=440代入解析式即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
4．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点；
∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为，
，，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意，得，的纵坐标，从而得 ，的值，进而得的值，于是得的值 ，然后令，可得的值，再观察题目中的规律，可知 ，据此进行计算即可．
5．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
6．【答案】B
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设水位单位：关于时间单位：的函数解析式为，
把，代入解析式得：，
解得，
，
当时，，
当时，；
当时，，
当时，；
点不在该函数图象上，与题目中有一个h的值记录错误相符合，
故选：B．
【分析】设水位单位：关于时间单位：的函数解析式为，根据待定系数法将点，代入解析式求出函数解析式，再将和和和代入求出相应的函数解析式，即可求出答案.
7．【答案】8
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；有理数的加法法则
8．【答案】（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知，满足题意的函数解析式可以为，
故答案为： （答案不唯一）．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
9．【答案】12
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
10．【答案】5
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设波长关于频率的函数解析式为 ，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
当时，，
答：当时，此电磁波的波长为．
故答案为：5．
【分析】设波长关于频率的函数解析式为 ，根据待定系数法将点代入可得，再将代入解析式即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，，
连接，交于点，过点作轴，
根据对称可得，
∴，，
∴，
∵，则，
解得：，
∵，则，
解得：，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正切定义可得OB，再根据勾股定理可得AB，连接，交于点，过点作轴，根据对称可得，再根据三角形面积可得，再根据正弦定义可得，则，即，再根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
12．【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，
∴落在双曲线上，
∵边长为2的正方形顶点A横坐标为2，
∴设平移后，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意设平移后，则，再将点A，C坐标代入反比例函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．【答案】10
【知识点】反比例函数的实际应用
14．【答案】（1）解：根据题意得：
解得：，
经检验：是分式方程的根，
（小时），
答：的值为1.2千米/时，计划用时为5小时；
（2）解：设需要保持平均速度为3千米/时小时，
根据题意得：
解得：
答：至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设需要保持平均速度为3千米/时小时，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：根据题意得：
解得：，
经检验：是分式方程的根，
（小时），
答：的值为1.2千米/时，计划用时为5小时；
（2）设需要保持平均速度为3千米/时小时，
根据题意得：
解得：
答：至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时
15．【答案】（1）解：设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
答：每套A型号的“文房四宝”的标价为100元；
（2）解：设该校至少买了y套型“文房四宝”，
由（1）知每套型号的“文房四宝”的标价为（元），
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
当时，根据题意，得：
，
解得：，
∵y为整数，
∴的整数；
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
综上，该校至少买了29套B型“文房四宝”．
答：该校至少买了29套B型“文房四宝”．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，根据购买、两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设该校至少买了y套型“文房四宝”，根据该店获利不低于2100元，列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
答：每套A型号的“文房四宝”的标价为100元；
（2）解：设该校至少买了y套型“文房四宝”，
由（1）知每套型号的“文房四宝”的标价为（元），
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
当时，根据题意，得：
，
解得：，
∵y为整数，
∴的整数；
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
综上，该校至少买了29套B型“文房四宝”．
答：该校至少买了29套B型“文房四宝”．
16．【答案】（1）；
（2）解：①由题意，Q为顶点，设，则，
代入，有，
解得（舍去），
故，即；
②设直线表达式：，代入，有，即，
联立得，
，
直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，
故线段与抛物线光滑连接；
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，
由题意，
解得，，
当时，，
故轨道起点与点A之间的距离为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：轨道初段的总长为；
设，则解得，
故；
【分析】（1）设，根据待定系数法将点坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①由题意，Q为顶点，设，则，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案；
②设直线表达式：，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得，联立抛物线解析式，根据判别式，可得直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，即可求出答案.
（3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：轨道初段的总长为；
设，则解得，
故；
（2）解：①由题意，Q为顶点，设，则，
代入，有，
解得（舍去），
故，即；
②设直线表达式：，代入，有，即，
联立得，
，
直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，
故线段与抛物线光滑连接；
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，
由题意，
解得，，
当时，，
故轨道起点与点A之间的距离为．
17．【答案】（1）0；（2）m或n；（3）点M，N离对称轴距离一样，则当或n时，y取最小值．点M离对称轴较远，当时，y取最小值；（4）
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-抛球问题
18．【答案】（1）解：由题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为，∵当时，
∴．
∴．
又 ∵当时，；当时，，
∴．
∴．
∴解析式为．
（2）解：由题意，∵要求刹车距离不超过 70米，
∴令．
∴．
∴解得正根（负根舍去）．
∴刹车时速度不能超过．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）依据题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为，再利用待定系数法求解即可；
（2）依据题意，可得要求刹车距离不超过，从而结合（1）可令，故，求出后即可判断得解．
（1）解：由题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为，
∵当时，
∴．
∴．
又 ∵当时，；当时，，
∴．
∴．
∴解析式为．
（2）解：由题意，∵要求刹车距离不超过 70米，
∴令．
∴．
∴解得正根（负根舍去）．
∴刹车时速度不能超过．
19．【答案】（1）；3；
（2）
（3）能，点N的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
20．【答案】（1）
（2）榫眼的位置为对称轴两侧处
【知识点】一次函数的其他应用
21．【答案】任务1：；
任务2：A盒最多可放入10个碗，B盒最多可放入8个碗；
任务3：5.7元
【知识点】不等式的解及解集；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
22．【答案】（1）解：③根据题意连线如下：
④二次；
⑤解：把和代入．
可得
函数解析式为．
（2）32，1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（2）由题意，当时，，
∴最后2秒钟，即当时，；
又当时，，
（米）
故答案为：21；1
【分析】（1）③根据描点法作图即可求出答案.
④根据二次函数的图象即可求出答案.
⑤根据待定系数法将点和代入即可求出答案.
（2）将s=0代入解析式可得t值，再将t=30，t=32代入解析式，求出s值，作差即可求出答案.
23．【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，
根据题意得：，
解得：．
答：小亮每做一个深蹲消耗0.8千卡的热量，一个开合跳消耗0.5千卡的热量；
（2）①
②根据题意得：，
解得：．
设消耗的总热量为千卡，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值．
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（2）①设安排m个深蹲，则安排个开合跳
故答案为：
【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①根据题意列式计算即可求出答案.
②根据题意求出m的取值范围，设消耗的总热量为千卡，列出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
24．【答案】（1）①，
②如图所示
（2），
当时，，
此时，
不论为何值，二次函数图象经过点．
（3）①当时，；当时，；
即，
解得：；
②当时，；当时，；
即，
解得：；
③由得，
则，
，
当，解得：；
当时，方程的解，即交点的横坐标不在范围内，即舍去．
综上，或或．
【知识点】描点法画函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）①当时，；
故答案为：；
【分析】（1）①将代入解析式即可求出答案.
②根据描点法作图即可求出答案.
（2）根据点代入关系式即可求出答案.
（3）①根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
②由得，联立二次函数解析式，根据判别式，解方程可得，再根据自变量取值范围判断即可求出答案.
25．【答案】（1）
（2）
（3）解：如图，过点作轴交于点，
根据题意可得点为焦点，坐标为，
轴，轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
当点在轴右边时，设，
把代入，
可得，
解得（负值舍去），
当点在轴左边时，点的横坐标为，即，
综上，点的横坐标为或；
（4）解：，
为等腰直角三角形，
设，
，
，
把代入抛物线表达式为，
解得（负值舍去），
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：，
所以焦点的坐标是，
故答案为：；
（2）
解：∵为1.5，
∴，
∵为0.25米，
∴，
设抛物线的表达式的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以抛物线的表达式的表达式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）由图可得，设抛物线的表达式的表达式为，再根据待定系数法将点A坐标点代入表达式即可求出答案.
（3）过点作轴交于点，根据题意可得点为焦点，坐标为，根据直线平行性质可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，设，则，分情况讨论：当点在轴右边时，设，将点N坐标代入抛物线表达式即可求出答案；当点在轴左边时，点的横坐标为，即，即可求出答案.
（4）根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，设，则，即，再将点B坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（1）解：，
所以焦点的坐标是，
故答案为：；
（2）解：∵为1.5，
∴，
∵为0.25米，
∴，
设抛物线的表达式的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以抛物线的表达式的表达式为，
故答案为：；
（3）解：如图，过点作轴交于点，
根据题意可得点为焦点，坐标为，
轴，轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
当点在轴右边时，设，
把代入，
可得，
解得（负值舍去），
当点在轴左边时，点的横坐标为，即，
综上，点的横坐标为或；
（4）解：，
为等腰直角三角形，
设，
，
，
把代入抛物线表达式为，
解得（负值舍去），
．
26．【答案】（1）该抛物线顶点的坐标为；（2）；（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
27．【答案】（1）
（2）S取得最大值为6，此时
（3）点Q纵坐标n的取值范围为：或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
28．【答案】（1）4
（2）解：，当时，
解得
平移后函数为
解得
（3）解：存在，最大值为12．
当直线位于点上方时，
根据平移的性质可得．
，
，
．
．
当直线位于点下方时，
根据平移的性质可得．
．
综上．
所以存在最大值12．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）当y=0时，则
解得：x=0或x=4
∴A(0，4)
∴OA=4
故答案为：4
【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式可得点A坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，根据函数图象平移性质可得平移后函数为，联立两解析式，解方程组即可求出答案.
（3）分情况讨论：当直线位于点上方时，当直线位于点下方时，根据图象平移性质，结合函数图象即可求出答案.
29．【答案】（1）3
（2）①5
②由函数图象可知，在的范围内，
当时，函数有最小值；
当时，函数有最大值；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）当x=-1时，y=1+5=6
当x=2时，y=5-2=3
∴6-3=3
故答案为：3
（3）当x=0时，y1=0
当，
∴
∵抛物线经过点(0，0)，则a2-4=01且a-2≠0，解得：a=-2
∴抛物线的表达式为y=-4x2+8x，且对称轴
当时
函数在x=0时取得最小值为0，则时取得最大值为
∴
解得：
当时，，舍去
当时，极差值为4，不符合题意，舍去
当时
则函数的顶点(1，4)取得最大值，在取得最小值为
∴
解得：或，此时，不符合题意，舍去
综上所述，
【分析】（1）根据一次函数的性质将x=-1，x=2代入解析式，再作差即可求出答案.
（2）①根据函数图象的对称性可得q值，再描点，连线作图即可.
②根据函数图象求出x=8，x=10的函数值，再作差即可求出答案.
（3）根据题意求出极差值，再根据待定系数法将点(0，0)代入抛物线解析式可得抛物线的表达式为y=-4x2+8x，求出对称轴，分情况讨论：当时，当时，当时，根据题意建立不等式，解不等式，结合极差值的定义即可求出答案.
30．【答案】（1）轨道初段AC的总长为40cm；
设，则解得
故
（2）解：①由题意，为顶点，设，则
代入，有
解得（舍去）
故
②设直线OP表达式：，代入，有
即，
联立
得
直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与拋物线对称轴平行
故线段OP与抛物线光滑连接
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点
由题意
解得，
当时，
故轨道起点与点之间的距离为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由图3可得AC长，设，根据待定系数法带点计算即可求出答案.
（2）①由题意，为顶点，设，则，根据待定系数法将点P坐标代入解析式即可求出答案.
②设直线OP表达式：，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得即，联立二次函数解析式，根据二次方程判别式，可知直线OP与抛物线有且只有一个交点.
（3）：假设存在这节轨道，且小球第秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，根据题意建立方程，解方程可得，再将m值代入二次函数解析式即可求出答案.
31．【答案】（1）①
②由题意得：，
的值为1.5
的值为0
通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下：

（2）当点运动到线段AC的延长线上时，
（3）若从上至下存在三个不同位置的点，对应的矩形CDEF面积均相等，
如图：由函数的对称性得：，
当时，即，
设，
则，
由题意得，和时，函数值相等，
故，
整理得：，
解得：，
则，
即矩形的面积
【知识点】四边形的综合；用代数式表示几何图形的数量关系；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）利用△ADE∽△ACB，得到DE=，而DC=4-x，即可表示面积y；
（2）由y=DE CD，即可求解；
（3）由函数的对称性得：x1+x2=4，当AD3=2AD2-AD1时，即x1+x3=2x2，由题意得，x=x2和x=x3时，函数值相等，即可求解．
1 / 15月下旬之数式与函数—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·潮南模拟）我们知道，引进了无理数后，有理数集就扩展到实数集．同样，如果引进“虚数”，则实数集就扩展到“复数集”．现在我们定义：虚数单位“”，其运算规则是：，，，，，，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律
2．（2025·广东模拟）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高A3）．若要使频率升高到440Hz（即达到标准音高A4），应该如何调整张力？
A．增大至150N B．减小至150N C．增大至100N D．减小至100N
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设f与T之间的函数关系式为
将T=200，f=220代入可得：k=200×220=44000
∴f与T之间的函数关系式为
当f=440时，得
解得：T=100
∴应该将张力减小至100N
故答案为：D
【分析】设f与T之间的函数关系式为，根据待定系数法将T=200，f=220代入关系可得f与T之间的函数关系式为，再将f=440代入解析式即可求出答案.
3．（2025·潮南模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A、B两点，P是以点为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，M为AP的中点．则线段OM长度最大值为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的中位线定理
4．（2025·揭东模拟）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点；
∴令，可得：纵坐标为， 纵坐标为，
，，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】根据题意，得，的纵坐标，从而得 ，的值，进而得的值，于是得的值 ，然后令，可得的值，再观察题目中的规律，可知 ，据此进行计算即可．
5．（2025·澄海模拟）如图，在平行四边形中，，，，点E是边上的动点，连接，，过点A作于点F．设，，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
6．（2025·禅城模拟）图甲为我国古代的计时工具——漏刻，图乙为它的示意图．漏壶中的水均匀滴入箭壶，木块与箭杆组成的箭舟匀速上浮，从盖孔处看箭杆上的标记h，就能知道对应的时刻t，下表记录了t（分钟）与对应h（厘米）的部分数据，其中有一个h的值记录错误，则错误的是（　　）
分钟 0 1 2 3 4 5 …
厘米 …
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设水位单位：关于时间单位：的函数解析式为，
把，代入解析式得：，
解得，
，
当时，，
当时，；
当时，，
当时，；
点不在该函数图象上，与题目中有一个h的值记录错误相符合，
故选：B．
【分析】设水位单位：关于时间单位：的函数解析式为，根据待定系数法将点，代入解析式求出函数解析式，再将和和和代入求出相应的函数解析式，即可求出答案.
二、填空题
7．（2025·肇庆模拟）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则的值为　 　．
2 9 　
　 5 　
x 　 y
【答案】8
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；有理数的加法法则
8．（2025·龙岗模拟）请写出同时满足“①随的增大而增大；②函数图象与轴交于负半轴”两个条件的一次函数解析式：　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意可知，满足题意的函数解析式可以为，
故答案为： （答案不唯一）．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
9．（2025·连州模拟）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如的方程的图解法是：如图，以和为直角边作，再在斜边上截取，则的长为所求方程的正根．若关于的一元二次方程，当图中，那么的值为　 　．
【答案】12
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题
10．（2025·龙岗模拟）小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长　 　．
频率 10 15 50
波长 30 20 6
【答案】5
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设波长关于频率的函数解析式为 ，
把点代入上式中得：，
解得：，
；
当时，，
答：当时，此电磁波的波长为．
故答案为：5．
【分析】设波长关于频率的函数解析式为 ，根据待定系数法将点代入可得，再将代入解析式即可求出答案.
11．（2025·深圳模拟）如图，已知中，，，与关于所在直线对称，反比例函数恰好经过点，则　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形；面积及等积变换
【解析】【解答】解：∵中，，，
∴，，
连接，交于点，过点作轴，
根据对称可得，
∴，，
∴，
∵，则，
解得：，
∵，则，
解得：，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正切定义可得OB，再根据勾股定理可得AB，连接，交于点，过点作轴，根据对称可得，再根据三角形面积可得，再根据正弦定义可得，则，即，再根据待定系数法将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
12．（2025·禅城模拟）双曲线如图所示，边长为2的正方形顶点A横坐标为2，轴．将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，则k的值是　 　．
【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，
∴落在双曲线上，
∵边长为2的正方形顶点A横坐标为2，
∴设平移后，则，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意设平移后，则，再将点A，C坐标代入反比例函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．（广东省汕头龙湖区2025年九年级数学一模试卷　）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示，当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度h为　 　．
【答案】10
【知识点】反比例函数的实际应用
三、解答题
14．（2025·龙岗模拟）为响应深圳市教育局“每周半天计划”，深圳某校推出“山海课堂”，将课堂搬至山海之间，依托鲲鹏径20段特色线路展开活动．学校将初一年级分为20个组，化身“探路者”，每组独立完成一段路线任务，最终拼合出完整的200公里轨迹．
【信息收集】信息一：
　 路段 路程（千米） 计划平均速度（千米／时）
第11组 鲲鹏径11段 （梧桐山北大门至大梧桐顶） 12.5
第19组 鲲鹏径19段 （西涌至东涌） 6
信息二：第11组和第19组计划用时相等．
【问题解决】
（1）求的值和计划用时；
（2）第11组的同学前段的平均速度为3千米/时，后段由于体力下降，平均速度降为2千米/时．如果第11组的同学想要在计划的时间内到达终点，则至少需要保持平均速度为3千米/时多长时间？
【答案】（1）解：根据题意得：
解得：，
经检验：是分式方程的根，
（小时），
答：的值为1.2千米/时，计划用时为5小时；
（2）解：设需要保持平均速度为3千米/时小时，
根据题意得：
解得：
答：至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设需要保持平均速度为3千米/时小时，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：根据题意得：
解得：，
经检验：是分式方程的根，
（小时），
答：的值为1.2千米/时，计划用时为5小时；
（2）设需要保持平均速度为3千米/时小时，
根据题意得：
解得：
答：至少需要保持平均速度为3千米/时2.5小时
15．（2025·深圳模拟）“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．某中学为了落实双减政策，丰富学生的课余活动，开设了书法社团，计划为学生购买A，两种型号“文房四宝”共40套．已知某文化用品店每套型号的“文房四宝”的标价比A型号的“文房四宝”的标价高，若按标价购买共需花费4300元，其中购买A型号“文房四宝”花费3000元．
（1）求每套型号的“文房四宝”的标价．
（2）该中学的课余活动进行得如火如荼，另一所学校也打算购入A，两种型号的工具开展相关活动．考虑到购买较多，店主同意该中学按A型号“文房四宝”八折，型号“文房四宝”满20套送一套的优惠价，已知A，两种型号的“文房四宝”每套进价分别为50元和105元，学校购买了A型号“文房四宝”50套，若通过此单生意，该店获利不低于2100元，则该校至少买了多少套型“文房四宝”？
【答案】（1）解：设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
答：每套A型号的“文房四宝”的标价为100元；
（2）解：设该校至少买了y套型“文房四宝”，
由（1）知每套型号的“文房四宝”的标价为（元），
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
当时，根据题意，得：
，
解得：，
∵y为整数，
∴的整数；
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
综上，该校至少买了29套B型“文房四宝”．
答：该校至少买了29套B型“文房四宝”．
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，根据购买、两种型号“文房四宝”共40套，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设该校至少买了y套型“文房四宝”，根据该店获利不低于2100元，列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：设每套A型号的“文房四宝”的标价为x元，则每套B型号的“文房四宝”的标价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，且符合题意，
答：每套A型号的“文房四宝”的标价为100元；
（2）解：设该校至少买了y套型“文房四宝”，
由（1）知每套型号的“文房四宝”的标价为（元），
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
当时，根据题意，得：
，
解得：，
∵y为整数，
∴的整数；
当时，根据题意，得：
，
解得：（舍去），
综上，该校至少买了29套B型“文房四宝”．
答：该校至少买了29套B型“文房四宝”．
16．（2025·福田模拟）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动．轨道初段绝对光滑；除段外，剩下轨道粗糙．小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止．小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（段是拋物线的一部分）．
（1）轨道初段的总长为__________；并求出小球在粗糙轨道（图中射线上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为，求抛物线的函数关系式．
②延长线段，如果直线与抛物线有且只有一个交点，且直线不与抛物线对称轴平行，则称线段与抛物线光滑连接．请你通过计算和推理判断线段与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线上，是否存在一节长为的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为．若存在，请求出这节轨道的起点与点A之间的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：①由题意，Q为顶点，设，则，
代入，有，
解得（舍去），
故，即；
②设直线表达式：，代入，有，即，
联立得，
，
直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，
故线段与抛物线光滑连接；
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，
由题意，
解得，，
当时，，
故轨道起点与点A之间的距离为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：轨道初段的总长为；
设，则解得，
故；
【分析】（1）设，根据待定系数法将点坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①由题意，Q为顶点，设，则，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案；
②设直线表达式：，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得，联立抛物线解析式，根据判别式，可得直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，即可求出答案.
（3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：轨道初段的总长为；
设，则解得，
故；
（2）解：①由题意，Q为顶点，设，则，
代入，有，
解得（舍去），
故，即；
②设直线表达式：，代入，有，即，
联立得，
，
直线与抛物线有且只有一个交点P，且直线不与抛物线对称轴平行，
故线段与抛物线光滑连接；
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第m秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，
由题意，
解得，，
当时，，
故轨道起点与点A之间的距离为．
17．（广东省珠海市香洲区2025年中考模拟考试数学试卷 -）数学兴趣小组围绕着“关于x的二次函数在给定范围内，当x为何值时，y取最小值”展开研究．
【基础回顾】（1）当时，则，其中，当_______时，y取最小值；
【举一反三】关于x的二次函数，学生选取不同的t值，其中，当x为何值时，y取最小值，并记录如下：
0 4 5
y取最小值时x的值 或0
【探究发现】
发现：由表格数据，数学小组发现：以为分界， ①当，时，y取最小值； ②当，或0时，y取最小值； ③当时，y取最小值． （3）猜想证明：请你补充数学小组未完成的证明： 设，是关于x的二次函数图象上的两端点， 抛物线的对称轴记为，MN中点的横坐标记为． ， 抛物线的开口向下． 当，即，点N离对称轴较远，则当时，y取最小值． 当时，即，_______； 当时，即，_______； 综上所述：猜想（2）得证．
（2）猜想： 关于x的二次函数，其中，当_______时，y取最小值．
【实际运用】（4）如图，在青少年足球比赛中，球员甲在点O处准备挑球过人．以O为原点，足球离地面高度y米与到原点的水平距离x米近似满足二次函数关系．因在甲正前方7.5米C处有防守运动员乙准备拦截，甲调整出球力度，使足球沿抛物线飞向防守运动员乙．防守运动员乙一个跨步（约0.5米）范围内防守，即当时，足球离地面高度大于防守运动员乙的最高摸高米，求t的取值范围．
【答案】（1）0；（2）m或n；（3）点M，N离对称轴距离一样，则当或n时，y取最小值．点M离对称轴较远，当时，y取最小值；（4）
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-抛球问题
18．（2025·新兴模拟）综合与实践
主题：二次函数与刹车距离的探究
素材1 如图，刹车距离是指车辆在行驶过程中，从驾驶员开始踩下刹车踏板到车辆完全停止时，所行驶的距离．
素材2 在汽车行驶安全研究中，汽车的刹车距离是重要的研究指标．经大量实验和数据分析，发现某品牌汽车的刹车距离（单位：米）与刹车时汽车的速度（单位：千米/小时）之间存在二次函数关系．
素材3 当汽车的速度为0千米/小时，刹车距离为0米；当汽车的速度为40千米/小时，刹车距离为16米；当汽车的速度为60千米/小时，刹车距离为30米．
请根据上述素材，解答下列问题．
（1）求与的二次函数关系式．
（2）在高速公路上，一辆该品牌汽车前方70米处突然出现落石，为了避免撞到该落石，汽车刹车时的速度不能超过多少？（不考虑汽车变道和司机的反应时间）
【答案】（1）解：由题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为，∵当时，
∴．
∴．
又 ∵当时，；当时，，
∴．
∴．
∴解析式为．
（2）解：由题意，∵要求刹车距离不超过 70米，
∴令．
∴．
∴解得正根（负根舍去）．
∴刹车时速度不能超过．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】
（1）依据题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为，再利用待定系数法求解即可；
（2）依据题意，可得要求刹车距离不超过，从而结合（1）可令，故，求出后即可判断得解．
（1）解：由题意，设刹车距离与速度的二次函数关系为，
∵当时，
∴．
∴．
又 ∵当时，；当时，，
∴．
∴．
∴解析式为．
（2）解：由题意，∵要求刹车距离不超过 70米，
∴令．
∴．
∴解得正根（负根舍去）．
∴刹车时速度不能超过．
19．（2025·汕尾模拟）【问题背景】
抛物线的图象与x轴交于点，B，顶点为C，与y轴交于点D，与一次函数的图象交于点A，E．
【构建联系】
（1）填空：______，______，点E的坐标为______．
（2）如图1，点P为x轴上方抛物线上一点，连接，，当时，求点P的坐标．
【深入探究】
（3）如图2，在（2）的条件下，将点B沿的方向平移个单位长度，得到点．若将线段沿的方向平移，得到线段，则在平移过程中，点P，M，N能否构成等腰三角形？若能，请直接写出点N的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；3；
（2）
（3）能，点N的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
20．（2025·河源模拟）如图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
某学习小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度 43 46.3 49.6 52.9 56.2
凳面的宽度 248 264.5 281 297.5 314
请你帮助小组解决下列问题：
（1）已知y是x的函数，求出该函数关系式．
（2）经研究表明，最舒适的凳面宽度为，其中是传统工艺与现代人体工学的理想折中点．现要加工一张凳面宽度为的“四脚八叉凳”，榫眼的位置怎么确定？请说明理由．
【答案】（1）
（2）榫眼的位置为对称轴两侧处
【知识点】一次函数的其他应用
21．（2025·惠城模拟）（综合与实践）
项目小组在超市包装部实习，帮助超市优化货品的包装问题．其中有一种规格的碗要装入包装盒，获得信息如下：
【信息1】碗以及叠放后的尺寸如图：（单位：cm）
【信息2】有两种长方体形状的包装盒尺寸（单位：cm）和成本（单位：元）如图：
【问题解决】
任务1：n个碗叠放后的总高度为L（单位：cm），请求出L与n的关系式．
任务2：叠放后的碗可横放，也可竖放，A盒最多可放入___________个碗，B盒最多可放入___________个碗．
任务3．若要买A盒或B盒若干分装上述规格的碗90个，问买这些盒子最少要多少元？
【答案】任务1：；
任务2：A盒最多可放入10个碗，B盒最多可放入8个碗；
任务3：5.7元
【知识点】不等式的解及解集；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
22．（2025·南山模拟）城市轨道交通是现代大城市交通的发展方向，发展轨道交通是解决大城市病的有效途径．如图1是2025年深圳地铁线路图．小方了解到列车从后海站开往南山站时，在距离停车线256米处开始减速．他想知道列车从减速开始，经过多少秒停下来，以及最后两秒滑行的距离．为了解决这个问题，小方通过建立函数模型来描述列车离停车线的距离（米）与滑行时间（秒）的函数关系，再应用该函数解决相应的问题．
（1）建立模型
①收集数据
（秒） 0 4 8 12 16 20 24
（米） 256 196 144 100 64 36 16
②建立平面直角坐标系
为了观察（米）与（秒）的关系，建立如图2所示的平面直角坐标系．
③描点连线
请在平面直角坐标系中将表中未描出的点补充完整，并用平滑的曲线依次连接．
④选择函数模型
观察这条曲线的形状，它可能是 ▲ 函数的图象．
⑤求函数解析式
解：设，因为时，，所以，则．
请根据表格中的数据，求a，b的值．
验证：把a，b的值代入中，并将其余几对值代入求出的解析式，发现它们都满足该函数解析式．
（2）应用模型
列车从减速开始经过 ▲ 秒，列车停止；最后两秒钟，列车滑行的距离为 ▲ 米．
【答案】（1）解：③根据题意连线如下：
④二次；
⑤解：把和代入．
可得
函数解析式为．
（2）32，1
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（2）由题意，当时，，
∴最后2秒钟，即当时，；
又当时，，
（米）
故答案为：21；1
【分析】（1）③根据描点法作图即可求出答案.
④根据二次函数的图象即可求出答案.
⑤根据待定系数法将点和代入即可求出答案.
（2）将s=0代入解析式可得t值，再将t=30，t=32代入解析式，求出s值，作差即可求出答案.
23．（2025·南山模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量36千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，
①假设安排个深蹲，则安排 ▲ 个开合跳；（用含的代数式填空．）
②小亮安排多少个深蹲使消耗的热量最多？
【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，
根据题意得：，
解得：．
答：小亮每做一个深蹲消耗0.8千卡的热量，一个开合跳消耗0.5千卡的热量；
（2）①
②根据题意得：，
解得：．
设消耗的总热量为千卡，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值．
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（2）①设安排m个深蹲，则安排个开合跳
故答案为：
【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①根据题意列式计算即可求出答案.
②根据题意求出m的取值范围，设消耗的总热量为千卡，列出函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
24．（2025·龙岗模拟）数学兴趣小组在学习二次函数后，发现二次函数中字母系数与其图象有直接联系，他们借助学习函数的经验，对二次函数为常数）进行研究．
【特例分析】
（1）数学兴趣小组分别取三个特殊值进行特例研究．
①确定表达式：
当时，，当时，，当时，____________；
②画函数图象：
平面直角坐标系中已画出和的图象，请你在同一坐标系中画出的图象；
【性质探究】
（2）数学兴趣小组通过观察图象得到猜想：不论为何值，二次函数图象经过点．请问这个猜想是否正确？请说明理由．
【性质应用】
（3）已知点，若二次函数图象与线段有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1）①，
②如图所示
（2），
当时，，
此时，
不论为何值，二次函数图象经过点．
（3）①当时，；当时，；
即，
解得：；
②当时，；当时，；
即，
解得：；
③由得，
则，
，
当，解得：；
当时，方程的解，即交点的横坐标不在范围内，即舍去．
综上，或或．
【知识点】描点法画函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）①当时，；
故答案为：；
【分析】（1）①将代入解析式即可求出答案.
②根据描点法作图即可求出答案.
（2）根据点代入关系式即可求出答案.
（3）①根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
②由得，联立二次函数解析式，根据判别式，解方程可得，再根据自变量取值范围判断即可求出答案.
25．（2025·深圳模拟）太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．
（1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是______；
（2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径为1.5米，凹面深度为0.25米，求抛物线的表达式______；
（3）如图4，在（2）的条件下，为平行于轴的入射光线，为反射光线，为切点，为焦点，当时，求点的横坐标；
（4）如图5，在（1）的条件下，点是焦点，表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当为时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）解：如图，过点作轴交于点，
根据题意可得点为焦点，坐标为，
轴，轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
当点在轴右边时，设，
把代入，
可得，
解得（负值舍去），
当点在轴左边时，点的横坐标为，即，
综上，点的横坐标为或；
（4）解：，
为等腰直角三角形，
设，
，
，
把代入抛物线表达式为，
解得（负值舍去），
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：，
所以焦点的坐标是，
故答案为：；
（2）
解：∵为1.5，
∴，
∵为0.25米，
∴，
设抛物线的表达式的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以抛物线的表达式的表达式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）由图可得，设抛物线的表达式的表达式为，再根据待定系数法将点A坐标点代入表达式即可求出答案.
（3）过点作轴交于点，根据题意可得点为焦点，坐标为，根据直线平行性质可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，设，则，分情况讨论：当点在轴右边时，设，将点N坐标代入抛物线表达式即可求出答案；当点在轴左边时，点的横坐标为，即，即可求出答案.
（4）根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，设，则，即，再将点B坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（1）解：，
所以焦点的坐标是，
故答案为：；
（2）解：∵为1.5，
∴，
∵为0.25米，
∴，
设抛物线的表达式的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以抛物线的表达式的表达式为，
故答案为：；
（3）解：如图，过点作轴交于点，
根据题意可得点为焦点，坐标为，
轴，轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
当点在轴右边时，设，
把代入，
可得，
解得（负值舍去），
当点在轴左边时，点的横坐标为，即，
综上，点的横坐标为或；
（4）解：，
为等腰直角三角形，
设，
，
，
把代入抛物线表达式为，
解得（负值舍去），
．
26．（2024九上·龙湖月考）【问题背景】
已知抛物线（a，b为常数，）的顶点为，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点.
【构建联系】
（1）如图1，当，与交于点时，求该抛物线顶点的坐标；
（2）如图2，当时，求的值；
【深入探究】
（3）如图3，若是抛物线上的点，且点在第四象限，，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值.
【答案】（1）该抛物线顶点的坐标为；（2）；（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理
27．（2025·澄海模拟）如图，抛物线（）与x轴交于、两点，与y轴交于点，其中a、b分别是一元二次方程的两个根（）．连接，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作轴于点D，交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，作于点P，使，以，为邻边作矩形，设矩形的面积为S，求S的最大值，并求S取得最大值时点P的坐标；
（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线上，若以点Q、A、C为顶点的三角形是锐角三角形，请求出点Q纵坐标n的取值范围．
【答案】（1）
（2）S取得最大值为6，此时
（3）点Q纵坐标n的取值范围为：或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
28．（2025·广东模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点O，A．
（1）线段OA的长度为 ▲ ；
（2）将函数的图象沿轴正方向平移个单位得到函数的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点在点的左边时，函数的图象交于点，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过的图象顶点作轴的平行线，将直线向下平移，当直线与函数的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为，请判断是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）4
（2）解：，当时，
解得
平移后函数为
解得
（3）解：存在，最大值为12．
当直线位于点上方时，
根据平移的性质可得．
，
，
．
．
当直线位于点下方时，
根据平移的性质可得．
．
综上．
所以存在最大值12．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）当y=0时，则
解得：x=0或x=4
∴A(0，4)
∴OA=4
故答案为：4
【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式可得点A坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，根据函数图象平移性质可得平移后函数为，联立两解析式，解方程组即可求出答案.
（3）分情况讨论：当直线位于点上方时，当直线位于点下方时，根据图象平移性质，结合函数图象即可求出答案.
29．（2025·南山模拟）综合与探究
【定义】对于y关于的函数，函数在范围内有最大值和最小值，则称为函数的极差值，记作．
【示例】对于函数，在范围内，当时，该函数取最大值；当时，该函数取最小值，即．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）一次函数的极差值 ▲ ；
（2）已知函数的图象经过以下各点：
①绘图：
列表：下表是与的几组对应值，其中 ▲ ；
… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
… 0 3 4 3 0 5 …
描点：根据表中各组对应值，请在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整；
②求该函数的R[2，10]的值；
（3）已知函数和函数是关于的函数，并且两个函数的相等．其中函数的图象经过点，请直接写出的值．
【答案】（1）3
（2）①5
②由函数图象可知，在的范围内，
当时，函数有最小值；
当时，函数有最大值；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）当x=-1时，y=1+5=6
当x=2时，y=5-2=3
∴6-3=3
故答案为：3
（3）当x=0时，y1=0
当，
∴
∵抛物线经过点(0，0)，则a2-4=01且a-2≠0，解得：a=-2
∴抛物线的表达式为y=-4x2+8x，且对称轴
当时
函数在x=0时取得最小值为0，则时取得最大值为
∴
解得：
当时，，舍去
当时，极差值为4，不符合题意，舍去
当时
则函数的顶点(1，4)取得最大值，在取得最小值为
∴
解得：或，此时，不符合题意，舍去
综上所述，
【分析】（1）根据一次函数的性质将x=-1，x=2代入解析式，再作差即可求出答案.
（2）①根据函数图象的对称性可得q值，再描点，连线作图即可.
②根据函数图象求出x=8，x=10的函数值，再作差即可求出答案.
（3）根据题意求出极差值，再根据待定系数法将点(0，0)代入抛物线解析式可得抛物线的表达式为y=-4x2+8x，求出对称轴，分情况讨论：当时，当时，当时，根据题意建立不等式，解不等式，结合极差值的定义即可求出答案.
30．（2025·福田模拟）如图1，一个小球以的初速度，在一条足够长且平直的轨道上运动。轨道初段AC绝对光滑；除AC段外，剩下轨道粗糙。小球在绝对光滑轨道上不存在阻力；在粗糙轨道上，存在恒定的摩擦力，速度会逐渐减小，直至停止。小球运动过程中，其速度与时间之间的关系如图2所示，其路程与时间之间的关系如图3所示（PQ段是抛物线的一部分）。
（1）轨道初段AC的总长为 ▲ cm；并求出小球在粗糙轨道（图中射线CB上）运动时，与之间的关系式（不要求写出自变量取值范围）。
（2）①若测得小球从开始出发到最终停止，行进的总路程为140cm，求抛物线的函数关系式。
②延长线段OP，如果直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与抛物线对称轴平行，则称线段OP与抛物线光滑连接。请你通过计算和推理判断线段OP与抛物线是否光滑连接？
（3）在（2）的条件下，在射线CB上，是否存在一节长为9cm的轨道段，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s。若存在，请求出这节轨道的起点与点之间的距离；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）轨道初段AC的总长为40cm；
设，则解得
故
（2）解：①由题意，为顶点，设，则
代入，有
解得（舍去）
故
②设直线OP表达式：，代入，有
即，
联立
得
直线OP与抛物线有且只有一个交点，且直线OP不与拋物线对称轴平行
故线段OP与抛物线光滑连接
（3）解：假设存在这节轨道，且小球第秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点
由题意
解得，
当时，
故轨道起点与点之间的距离为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由图3可得AC长，设，根据待定系数法带点计算即可求出答案.
（2）①由题意，为顶点，设，则，根据待定系数法将点P坐标代入解析式即可求出答案.
②设直线OP表达式：，根据待定系数法将点P坐标代入解析式可得即，联立二次函数解析式，根据二次方程判别式，可知直线OP与抛物线有且只有一个交点.
（3）：假设存在这节轨道，且小球第秒行使至轨道起点，则第秒行使至轨道终点，根据题意建立方程，解方程可得，再将m值代入二次函数解析式即可求出答案.
31．（2025·深圳模拟）[问题提出]
如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）．
（1）[问题探究]
如图1，当点从点运动到点时，
①用含的代数式表示的长： ▲ ；
②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象：
0 1 2 3 4
0 1.5 2
表中的值为 ▲ ，的值为 ▲ ；
（2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式；
（3）[问题解决]
若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积．
【答案】（1）①
②由题意得：，
的值为1.5
的值为0
通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下：

（2）当点运动到线段AC的延长线上时，
（3）若从上至下存在三个不同位置的点，对应的矩形CDEF面积均相等，
如图：由函数的对称性得：，
当时，即，
设，
则，
由题意得，和时，函数值相等，
故，
整理得：，
解得：，
则，
即矩形的面积
【知识点】四边形的综合；用代数式表示几何图形的数量关系；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）利用△ADE∽△ACB，得到DE=，而DC=4-x，即可表示面积y；
（2）由y=DE CD，即可求解；
（3）由函数的对称性得：x1+x2=4，当AD3=2AD2-AD1时，即x1+x3=2x2，由题意得，x=x2和x=x3时，函数值相等，即可求解．
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