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5月下旬之三角形、四边形—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·深圳模拟）如图，某条楼梯及栏杆可以看作三角形与平行四边形构成，若，则该楼梯的坡角的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·广东模拟）如图，在四个相同的正方形网格中，分别作一个顶点均在格点上的平行四边形ABCD，其中边CD上的高最小的是
A． B．
C． D．
3．（广东省珠海市香洲区2025年中考模拟考试数学试卷 -）如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，．已知，，，则四边形的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2025·禅城模拟）如图，将矩形纸片沿剪开，再把沿着方向平移，得到，，．若重叠部分为菱形，则菱形的边长是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·连州模拟）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间（s）之间的函数关系图象（为图象的最高点），则平行四边形的面积为（　　）
A．6 B．12 C． D．24
6．（2025·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以OA、OC为边作矩形OABC；动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动；当移动时间为8秒时，的值（　　）
A．30 B． C．60 D．120
二、填空题
7．（2025·福田模拟）如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为　 　．
8．（2025·新兴模拟）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为　 　．
9．（2025·福田模拟）如图，在中，，平分，连接并延长至点，使得，连接，恰好有．若，则　 　．
10．（2025·河源模拟）如图，菱形中，，点E为上一点，点F为上一动点，点G为对角线上一动点，当取得最小值为6时，则的值是　 　．
11．（2025·惠阳模拟）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是对角线上的动点，且于点，于点．有以下结论：①为等边三角形，②，③，④．其中正确的是　 　（填写序号）
三、解答题
12．（2025·龙岗模拟）如图，在中，是边上一点，点关于的对称点落在边上．
【实践与操作】（1）请用无刻度直尺和圆规作出满足条件的D与；
【推理与计算】（2）以为圆心，为半径作，若点恰好落在上，且，，求的半径．
13．（2025·惠来模拟）综合应用
（1）【问题感知】
如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，若N是中点，则线段长度的最小值为 ．
（2）【问题呈现】
若图①中“N是中点”改为“”，再求线段长度的最小值．
【问题解决】
如图②，若把等边中“N是中点”改为“”，如何求线段的最小值．
解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线．则为 度，线段长度的最小值为 ．
（3）【应用迁移】
如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形是矩形，米，，若点M在上，点N在上，．求钢丝绳的最小值．
14．（2025·龙岗模拟）【定义】若平行四边形的一条内角平分线平分它的一条边，则该平行四边形称为“角分平行四边形”，该角平分线称为“角分线”．例如：如图1，在中，的角平分线交于点，若为边的中点，则称是“角分平行四边形”，是“角分线”．
【性质】（1）如图，从定义上我们可以得到“角分平行四边形”具有“平行四边形，平分，”的基本性质，除此之外，还有其它性质吗？请写出其中一条性质，并说明理由．
【判定】（2）如图，在中，．求证：四边形是“角分平行四边形”．
【应用】（3）现计划在如图所示的“角分平行四边形”绿地上进行景观美化，其中小路是它的“角分线”，另一条小路与边交于点，且，在和区域种植同品种的花卉，若区域的花卉种植费用为元，求区域的花卉种植费用（用含有的式子表示）．
15．（2025·深圳模拟）（1）如图1，在矩形中，，将沿折叠，的对应点恰好落在边上．若，求．
（2）如图2，在矩形中，为边上的一点，，，，求．
（3）如图3，在（2）的条件下，是射线上的一点，且，求．
16．（2024九下·东莞模拟）综合与探索
【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，
（1）直接写出_________，_________；
（2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________；
（3）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；
【拓展应用】
（4）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
17．（2025·南海模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，已知点、经过矩形的对称中心的直线与线段分别交于点，四边形与关于直线成轴对称，线段交边于点，设．
（1）当时，求直线的表达式；
（2）当是等边三角形时，求点坐标；
（3）如图，连接，分别交于点．记四边形的面积为，的面积为，求（用表示）．
18．（2025·广东模拟）综合与实践
【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为的矩形．
【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类A4矩形．
【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？
（1）【分析并解决问题】
学习小组利用一张A4纸ABCD对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示，其中．求证：四边形CDMN是类A4矩形；
（2）学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD，DE，再将其沿FG折叠，使得点与点重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形CDFG是类A4矩形；
（3）【拓展】
如图3，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分，点E，F，G，分别是边AB，BC，CD，DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点的对应点落在BD上，再沿FG，GH折叠，使得点C，D的对应点分别落在AC，BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出EF的值．
19．（2025·南山模拟）
（1）（一）探究过程
如图①，在ABC中，BD平分交AC于点，该同学得出．如图②，该同学给出如下证明过程：
方法一： 如图②，过点作，交AD延长线于点， ▲ ① 平分 ▲ ② 方法二： 如图③过点D作于点于点，过点作于点，平分，且 ▲ ③ ▲ ④ 又
请完成填空：① ▲ ；② ▲ ；③ ▲ ；④ ▲ ；
（2）（二）内化迁移
如图④，点为的边CA延长线上一点，连接BD，M为边CB延长线上一点，当时，判断与的数量关系，并给出证明；
（3）（三）问题解决
如图⑤，在矩形ABCD中，为边BC上一点，为CB延长线上一点．为矩形内部一动点，连接CQ并延长交AB于点，连接QE，若平分交BC于点，当时，连接QG、QD，求的最小值．
20．（2025·南山模拟）【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形）
例如：如图1，在四边形ABCD中，如果，那么四边形ABCD为单直邻等四边形．
（1）【实践与操作】
如图2，已知，请利用尺规作图，在射线AM上画出点，并补全四边形ABCD，使四边形ABCD是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）如图3，为等边三角形，点在的角平分线上，连接EA，将EA绕点顺时针旋转得到线段ED，连接CD，AD．
求证：四边形ABCD为单直邻等四边形；
（3）【拓展应用】
如图4，四边形ABCD为单直邻等四边形，，连接BD，若，，作，且，连接CE并延长交BD于点，交AB于点．求CM的长；
（4）【解决问题】
如图5，射线于点，点在射线CE上，，点在射线CF上，且四边形ABCD为单直邻等四边形，的角平分线交CD于点，请直接写出BP的长 ▲ ．
21．（2025·福田模拟）如图1，点是对角线BD上的一点，且使得，连接AP并延长，交CD于点。
（1）若，求的值。
（2）如图2，将沿AB方向平移到，求证：。
（3）如图3，连接PC，取PC的中点，连接DM交AE于点，若，求的值。
22．（2025·深圳模拟）某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究．
（1）【合作探究】
如图1，在中，点为上一点，，求证：．
（2）【内化迁移】
如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点，．若，，求的长．
（3）学以致用】
如图3，在菱形中，，，点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交延长线于点，若，求的长．
（4）【综合拓展】
如图4，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值 ▲ ．
23．（2025·深圳模拟）[问题提出]
如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）．
（1）[问题探究]
如图1，当点从点运动到点时，
①用含的代数式表示的长： ▲ ；
②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象：
0 1 2 3 4
0 1.5 2
表中的值为 ▲ ，的值为 ▲ ；
（2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式；
（3）[问题解决]
若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：A：平行四边形面积为：
，则CD边上的高为
B：平行四边形面积为：
，则CD边上的高为
C：该平行四边形为正方形
，则CD边上的高为
D：平行四边形面积为：
，则CD边上的高为
故答案为：A
【分析】先求出平行四边形面积，再根据勾股定理求出CD长，再根据面积求出CD边上的高，比较大小即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平移的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形是菱形，
，
∵将矩形纸片沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，
∴，，
∴，即，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
解得，
菱形的边长是，
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，再根据平移性质可得，根据勾股定理可得AC，再根据正弦定义可得，设，则，，代值式子可得，再建立方程，解方程即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；动点问题的函数图象
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：当移动时间为8秒时，OE=8，BF=8
∵四边形OABC是矩形
∴OA=BC，OA∥BC，∠AOC=90°
∵点A的坐标为(18，0)
∴OA=18
∴BC=18
∴AE=10，CF=10
∴AE=CF
∵OA∥BC
∴四边形AECF是平行四边形
∵点C的坐标为(0，6)
∴OC=6
在Rt△COE中，由勾股定理可得
∴CE=AE
∴四边形AECF是菱形
连接AC，EF，则AC⊥EF
∴
∴=2×10×6=120
故答案为：D
【分析】当移动时间为8秒时，OE=8，BF=8，根据矩形性质可得OA=BC，OA∥BC，∠AOC=90°，根据点的坐标可得OA=18，再根据边之间的关系可得AE=CF，再根据平行四边形判定定理可得四边形AECF是平行四边形，根据勾股定理可得CE，再根据菱形判定定理可得四边形AECF是菱形，连接AC，EF，则AC⊥EF，再根据菱形面积即可求出答案.
7．【答案】74
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形外角性质得，又，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，即可求出答案.
8．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，
∵，平分，
∴，，即垂直平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点，连接，根据等腰三角形性质可得，，即垂直平分，则，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，即，设，则，根据勾股定理可得DH，CE，根据余弦定义可得，根据直线平行判定定理可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；轴对称的性质；解直角三角形
11．【答案】①②③④
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
12．【答案】解：（1）如图所示，满足条件的与．
（2），
，
对称
的半径．
【知识点】圆的相关概念；相似三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）尺规作出的平分线交于点D，交于点即为所求；
（2）根据等边对等角了的，再根据对称性质可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】（1）
（2）30，2
（3）最小值为米
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
14．【答案】解：（）：由“角分平行四边形”定义推导出来的性质，
例如：；
，
，
，
平分，
，
；（或）；
，
，
，
平分，
，
；
（或），
，
，，
，
平分，
，
，
，
；
连接DE，则，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
（）作的平分线交于点，
则，
，
，，
，
，
，
，即，
四边形是“角分平行四边形”；
（）延长交延长线于点，连接，
角分平行四边形，是角分线，
，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
设，则，
，
，即，
∵区域的花卉种植费用为元，
∴区域的花卉种植费用元．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义即可求出答案.
②根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，根据等角对等边即可求出答案.
③根据平行四边形性质可得，，则，再根据角平分线定义可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
④连接DE，则，根据平行四边形性质可得，，则，再根据角平分线定义可得，则，根据边之间的关系可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）作的平分线交于点，则，根据平行四边形性质可得，，则，根据等角对等边可得，根据边之间的关系可得，即，再根据角分平行四边形的定义即可求出答案.
（3）延长交延长线于点，连接，根据角分平行四边形的定义可得，，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，设，则，根据三角形面积之间的关系即可求出答案.
15．【答案】解：（1）由翻折可得，
四边形为矩形，
，
，
，
；
（2）四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
设，
，
，
解得，
；
（3）如图，当点在线段上，
过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在线段延长线上，
过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的值为或．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由翻折可得，根据矩形性质可得，再根据正弦定义可得DC，再根据勾股定理可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，即，根据正弦定义设，根据勾股定理可得EC，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在线段上，过点作交于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得FM，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案；当点在线段延长线上，过点作交的延长线于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
16．【答案】（1）4，2；（2）；（3）；（4）存在，点D的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；正方形的性质
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
18．【答案】（1）解：折叠，
．
又四边形ABCD为矩形，
．
四边形CDMN为矩形．
，
四边形CDMN是类A4矩形．
（2）解：连接PE，设，则．
沿FG折叠使点与点重合，
．
又四边形ABCD为正方形，
，
，
四边形CDFG是矩形．
是等腰直角三角形，
折痕DE
由角平分线性质可得
又
．
四边形CDFG是类A4矩形．
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）设AC与BD相交于点O
∵四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上
∴EF∥AC
同理可得：FG∥BD，GH∥AC
∵AC⊥BD
∴四边形EFGH是类A4矩形
∴或
①当时，
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴
∵
∴
∵FG∥BD
∴△CFG∽△CBD
∴
∴
∴
∴BF=CF
∴
∴
②当时，
由①同理得△BEF∽△BAC
∴，即
∴
由①同理得△CFG∽△CBD
∴，即
∴
∴
∴CF=2BF
∴
∴
综上所述，EF的长为或
【分析】（1）根据折叠性质可得，再根据矩形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形CDMN为矩形，再根据类A4矩形定义即可求出答案.
（2）连接PE，设，则，根据折叠性质可得，再根据正方形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形CDFG是矩形，再根据等腰直角三角形性质可得，则，，根据折叠性质可得，再根据角平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据类A4矩形定义即可求出答案.
（3）AC与BD相交于点O，根据折叠性质可得EF∥AC，同理可得：FG∥BD，GH∥AC，再根据类A4矩形定义可得四边形EFGH是类A4矩形，则或，分情况讨论：①当时，，根据相似三角形判定定理可得△BEF∽△BAC，则，代值可得，再根据相似三角形判定定理可得△CFG∽△CBD，则，再根据边之间的关系可得，则BF=CF，即，即可求出答案；②当时，，由①同理得△BEF∽△BAC，则，即，可得，由①同理得△CFG∽△CBD，则，即，可得，即，化简可得CF=2BF，则，即，即可求出答案.
19．【答案】（1）①，
②AB，
③，
④，
（2）证明：，
理由如下，如图①，
作，交BD于，
，
又
又
，
即BD平分
（3）解：如图③，
连接BQ，BD，
四边形ABCD是矩形，且，
，
平分，且，
，
，
又
，
由（2）得QG平分，
，
，
，
，
，
当B、Q、D三点共线时，，
．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质，等腰三角形性质，角平分线性质，三角形面积即可求出答案.
（2）作，交BD于，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，根据等边对等角可得，再根据边之间的关系可得，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）连接BQ，BD，根据勾股定理可得BD，再根据角平分线定义可得，根据边之间的关系可得，则，再根据边之间的关系可得，根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据边之间的关系当B、Q、D三点共线时，，即可求出答案.
20．【答案】（1）解：如图，
点为所求作
（2）证明：是等边三角形，
，
平分，
，
绕点顺时针旋转得到线段ED，
，
，
，
，
，
，
，
：四边形ABCD为单直邻等四边形；
（3）解：如图
连接DM，作于，
四边形ABCD为单直邻等四边形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点D、M、B、C共圆，，
，
，
，
，
；
（4）2或6
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】作DG⊥CE于点G，设PB，CE交于点Q，则∠DGC=90°
①当点A在DG的上方时
∵∠DCF=90°，∠ECF=30°
∴∠DCE=60°
∵∠DGC=90°
∴∠CDG=30°
∴
∴
∵AB=BC
∴
∴BC=1
∵∠BPC=30°
∴BP=2BC=2
②当点A在DG的下方时
由①知，
∴
∴
∴BC=3
∴BP=2BC=6
【分析】（1）根据垂直平分线性质作图即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得，再根据角平分线定义可得，根据旋转性质可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据单直邻等四边形定义即可求出答案.
（3）连接DM，作于，根据单直邻等四边形定义可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，即点D、M、B、C共圆，，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得DM，再根据边之间的关系即可求出答案.
（4）作DG⊥CE于点G，设PB，CE交于点Q，则∠DGC=90°，分情况讨论：①当点A在DG的上方时，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得AG，再根据边之间的关系及含30°角的直角三角形性质即可求出答案；②当点A在DG的下方时，由①知，，根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
21．【答案】（1）解：
中
中
（2）解：如图1
平移
，
又
（SAS）
（3）解：如图5所示，延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设
为PC的中点
四边形CDPQ是平行四边形
中，
又，
中，
又
又
又
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平移的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得AB∥CD，则，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据平移性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得AB=MB，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设，根据线段中点可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形CDPQ是平行四边形，则，再根据平行四边形性质可得，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，则，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：如图1，，
，
，
（2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）方法一：如图3，连接AC交BD于点，
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于，过点作于，
Rt中，，
，
Rt中，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
（负值舍），
，
，
．
方法二（思路）：
分别延长EF、AD相交于点，易证四边形BDGE是平行四边形
易求
易证，
进而求解AE，
再求BE
（4）
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：（4）
如图，作和交于点，作于点，连接BG、CG，
，
，
，
，
，
－，
，
作的外接圆，记圆心为，连接OA、OD、OG，
则，
，
，
设圆与AB交于，则，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
三点共线，即是圆的直径，
，
圆的半径为1，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
作于点于点，则，
则，
，
，
四边形ONEM是矩形，
，
设，则，
，
在Rt中，，
，
令，则，
则，
整理得：，
，
整理得，
令，
则，
的解集为，
的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：.
【分析】 （1）证明△ACD∽△ABC即可得结论；
（2）证明△CEF∽△CFB即可解答；
（3）如图3，连接AC交BD于点O，根据菱形的性质和含30°的直角三角形的性质得：EF=4，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EN⊥AF于N，设AE=2b，则EN=b，证明∠AFE=∠AEB，根据三角函数列式即可解答.
23．【答案】（1）①
②由题意得：，
的值为1.5
的值为0
通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下：

（2）当点运动到线段AC的延长线上时，
（3）若从上至下存在三个不同位置的点，对应的矩形CDEF面积均相等，
如图：由函数的对称性得：，
当时，即，
设，
则，
由题意得，和时，函数值相等，
故，
整理得：，
解得：，
则，
即矩形的面积
【知识点】四边形的综合；用代数式表示几何图形的数量关系；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）利用△ADE∽△ACB，得到DE=，而DC=4-x，即可表示面积y；
（2）由y=DE CD，即可求解；
（3）由函数的对称性得：x1+x2=4，当AD3=2AD2-AD1时，即x1+x3=2x2，由题意得，x=x2和x=x3时，函数值相等，即可求解．
1 / 15月下旬之三角形、四边形—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·深圳模拟）如图，某条楼梯及栏杆可以看作三角形与平行四边形构成，若，则该楼梯的坡角的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
2．（2025·广东模拟）如图，在四个相同的正方形网格中，分别作一个顶点均在格点上的平行四边形ABCD，其中边CD上的高最小的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：A：平行四边形面积为：
，则CD边上的高为
B：平行四边形面积为：
，则CD边上的高为
C：该平行四边形为正方形
，则CD边上的高为
D：平行四边形面积为：
，则CD边上的高为
故答案为：A
【分析】先求出平行四边形面积，再根据勾股定理求出CD长，再根据面积求出CD边上的高，比较大小即可求出答案.
3．（广东省珠海市香洲区2025年中考模拟考试数学试卷 -）如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，．已知，，，则四边形的面积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质
4．（2025·禅城模拟）如图，将矩形纸片沿剪开，再把沿着方向平移，得到，，．若重叠部分为菱形，则菱形的边长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平移的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形是菱形，
，
∵将矩形纸片沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，
∴，，
∴，即，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
解得，
菱形的边长是，
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，再根据平移性质可得，根据勾股定理可得AC，再根据正弦定义可得，设，则，，代值式子可得，再建立方程，解方程即可求出答案.
5．（2025·连州模拟）如图1，在平行四边形中，，已知点在边上，以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点向点运动．若点同时出发，当点到达点时，点恰好到达点处，此时两点都停止运动．图2是的面积与点的运动时间（s）之间的函数关系图象（为图象的最高点），则平行四边形的面积为（　　）
A．6 B．12 C． D．24
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的性质；动点问题的函数图象
6．（2025·南山模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以OA、OC为边作矩形OABC；动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动；当移动时间为8秒时，的值（　　）
A．30 B． C．60 D．120
【答案】D
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：当移动时间为8秒时，OE=8，BF=8
∵四边形OABC是矩形
∴OA=BC，OA∥BC，∠AOC=90°
∵点A的坐标为(18，0)
∴OA=18
∴BC=18
∴AE=10，CF=10
∴AE=CF
∵OA∥BC
∴四边形AECF是平行四边形
∵点C的坐标为(0，6)
∴OC=6
在Rt△COE中，由勾股定理可得
∴CE=AE
∴四边形AECF是菱形
连接AC，EF，则AC⊥EF
∴
∴=2×10×6=120
故答案为：D
【分析】当移动时间为8秒时，OE=8，BF=8，根据矩形性质可得OA=BC，OA∥BC，∠AOC=90°，根据点的坐标可得OA=18，再根据边之间的关系可得AE=CF，再根据平行四边形判定定理可得四边形AECF是平行四边形，根据勾股定理可得CE，再根据菱形判定定理可得四边形AECF是菱形，连接AC，EF，则AC⊥EF，再根据菱形面积即可求出答案.
二、填空题
7．（2025·福田模拟）如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为　 　．
【答案】74
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形外角性质得，又，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，即可求出答案.
8．（2025·新兴模拟）如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
9．（2025·福田模拟）如图，在中，，平分，连接并延长至点，使得，连接，恰好有．若，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；解直角三角形
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，
∵，平分，
∴，，即垂直平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴设，则，
∴，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交于点，连接，根据等腰三角形性质可得，，即垂直平分，则，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，即，设，则，根据勾股定理可得DH，CE，根据余弦定义可得，根据直线平行判定定理可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
10．（2025·河源模拟）如图，菱形中，，点E为上一点，点F为上一动点，点G为对角线上一动点，当取得最小值为6时，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；轴对称的性质；解直角三角形
11．（2025·惠阳模拟）如图，在菱形中，，对角线，相交于点，是对角线上的动点，且于点，于点．有以下结论：①为等边三角形，②，③，④．其中正确的是　 　（填写序号）
【答案】①②③④
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
三、解答题
12．（2025·龙岗模拟）如图，在中，是边上一点，点关于的对称点落在边上．
【实践与操作】（1）请用无刻度直尺和圆规作出满足条件的D与；
【推理与计算】（2）以为圆心，为半径作，若点恰好落在上，且，，求的半径．
【答案】解：（1）如图所示，满足条件的与．
（2），
，
对称
的半径．
【知识点】圆的相关概念；相似三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）尺规作出的平分线交于点D，交于点即为所求；
（2）根据等边对等角了的，再根据对称性质可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2025·惠来模拟）综合应用
（1）【问题感知】
如图①，在等边中，，点M、N分别在边上，若N是中点，则线段长度的最小值为 ．
（2）【问题呈现】
若图①中“N是中点”改为“”，再求线段长度的最小值．
【问题解决】
如图②，若把等边中“N是中点”改为“”，如何求线段的最小值．
解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线．则为 度，线段长度的最小值为 ．
（3）【应用迁移】
如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形是矩形，米，，若点M在上，点N在上，．求钢丝绳的最小值．
【答案】（1）
（2）30，2
（3）最小值为米
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；解直角三角形
14．（2025·龙岗模拟）【定义】若平行四边形的一条内角平分线平分它的一条边，则该平行四边形称为“角分平行四边形”，该角平分线称为“角分线”．例如：如图1，在中，的角平分线交于点，若为边的中点，则称是“角分平行四边形”，是“角分线”．
【性质】（1）如图，从定义上我们可以得到“角分平行四边形”具有“平行四边形，平分，”的基本性质，除此之外，还有其它性质吗？请写出其中一条性质，并说明理由．
【判定】（2）如图，在中，．求证：四边形是“角分平行四边形”．
【应用】（3）现计划在如图所示的“角分平行四边形”绿地上进行景观美化，其中小路是它的“角分线”，另一条小路与边交于点，且，在和区域种植同品种的花卉，若区域的花卉种植费用为元，求区域的花卉种植费用（用含有的式子表示）．
【答案】解：（）：由“角分平行四边形”定义推导出来的性质，
例如：；
，
，
，
平分，
，
；（或）；
，
，
，
平分，
，
；
（或），
，
，，
，
平分，
，
，
，
；
连接DE，则，
，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
；
（）作的平分线交于点，
则，
，
，，
，
，
，
，即，
四边形是“角分平行四边形”；
（）延长交延长线于点，连接，
角分平行四边形，是角分线，
，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
设，则，
，
，即，
∵区域的花卉种植费用为元，
∴区域的花卉种植费用元．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义即可求出答案.
②根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，根据等角对等边即可求出答案.
③根据平行四边形性质可得，，则，再根据角平分线定义可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
④连接DE，则，根据平行四边形性质可得，，则，再根据角平分线定义可得，则，根据边之间的关系可得，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）作的平分线交于点，则，根据平行四边形性质可得，，则，根据等角对等边可得，根据边之间的关系可得，即，再根据角分平行四边形的定义即可求出答案.
（3）延长交延长线于点，连接，根据角分平行四边形的定义可得，，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，设，则，根据三角形面积之间的关系即可求出答案.
15．（2025·深圳模拟）（1）如图1，在矩形中，，将沿折叠，的对应点恰好落在边上．若，求．
（2）如图2，在矩形中，为边上的一点，，，，求．
（3）如图3，在（2）的条件下，是射线上的一点，且，求．
【答案】解：（1）由翻折可得，
四边形为矩形，
，
，
，
；
（2）四边形为矩形，
，
，，
，
，
，
，
，
设，
，
，
解得，
；
（3）如图，当点在线段上，
过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点在线段延长线上，
过点作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
．
综上所述，的值为或．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由翻折可得，根据矩形性质可得，再根据正弦定义可得DC，再根据勾股定理可得CE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据角之间的关系可得，即，根据正弦定义设，根据勾股定理可得EC，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点在线段上，过点作交于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得FM，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案；当点在线段延长线上，过点作交的延长线于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
16．（2024九下·东莞模拟）综合与探索
【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，
（1）直接写出_________，_________；
（2）在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为_________；
（3）如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式；
【拓展应用】
（4）如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限内一点，在平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4，2；（2）；（3）；（4）存在，点D的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；正方形的性质
17．（2025·南海模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点为坐标原点，已知点、经过矩形的对称中心的直线与线段分别交于点，四边形与关于直线成轴对称，线段交边于点，设．
（1）当时，求直线的表达式；
（2）当是等边三角形时，求点坐标；
（3）如图，连接，分别交于点．记四边形的面积为，的面积为，求（用表示）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
18．（2025·广东模拟）综合与实践
【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为的矩形．
【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类A4矩形．
【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？
（1）【分析并解决问题】
学习小组利用一张A4纸ABCD对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示，其中．求证：四边形CDMN是类A4矩形；
（2）学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD，DE，再将其沿FG折叠，使得点与点重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形CDFG是类A4矩形；
（3）【拓展】
如图3，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分，点E，F，G，分别是边AB，BC，CD，DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点的对应点落在BD上，再沿FG，GH折叠，使得点C，D的对应点分别落在AC，BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出EF的值．
【答案】（1）解：折叠，
．
又四边形ABCD为矩形，
．
四边形CDMN为矩形．
，
四边形CDMN是类A4矩形．
（2）解：连接PE，设，则．
沿FG折叠使点与点重合，
．
又四边形ABCD为正方形，
，
，
四边形CDFG是矩形．
是等腰直角三角形，
折痕DE
由角平分线性质可得
又
．
四边形CDFG是类A4矩形．
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）设AC与BD相交于点O
∵四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上
∴EF∥AC
同理可得：FG∥BD，GH∥AC
∵AC⊥BD
∴四边形EFGH是类A4矩形
∴或
①当时，
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴
∵
∴
∵FG∥BD
∴△CFG∽△CBD
∴
∴
∴
∴BF=CF
∴
∴
②当时，
由①同理得△BEF∽△BAC
∴，即
∴
由①同理得△CFG∽△CBD
∴，即
∴
∴
∴CF=2BF
∴
∴
综上所述，EF的长为或
【分析】（1）根据折叠性质可得，再根据矩形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形CDMN为矩形，再根据类A4矩形定义即可求出答案.
（2）连接PE，设，则，根据折叠性质可得，再根据正方形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形CDFG是矩形，再根据等腰直角三角形性质可得，则，，根据折叠性质可得，再根据角平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据类A4矩形定义即可求出答案.
（3）AC与BD相交于点O，根据折叠性质可得EF∥AC，同理可得：FG∥BD，GH∥AC，再根据类A4矩形定义可得四边形EFGH是类A4矩形，则或，分情况讨论：①当时，，根据相似三角形判定定理可得△BEF∽△BAC，则，代值可得，再根据相似三角形判定定理可得△CFG∽△CBD，则，再根据边之间的关系可得，则BF=CF，即，即可求出答案；②当时，，由①同理得△BEF∽△BAC，则，即，可得，由①同理得△CFG∽△CBD，则，即，可得，即，化简可得CF=2BF，则，即，即可求出答案.
19．（2025·南山模拟）
（1）（一）探究过程
如图①，在ABC中，BD平分交AC于点，该同学得出．如图②，该同学给出如下证明过程：
方法一： 如图②，过点作，交AD延长线于点， ▲ ① 平分 ▲ ② 方法二： 如图③过点D作于点于点，过点作于点，平分，且 ▲ ③ ▲ ④ 又
请完成填空：① ▲ ；② ▲ ；③ ▲ ；④ ▲ ；
（2）（二）内化迁移
如图④，点为的边CA延长线上一点，连接BD，M为边CB延长线上一点，当时，判断与的数量关系，并给出证明；
（3）（三）问题解决
如图⑤，在矩形ABCD中，为边BC上一点，为CB延长线上一点．为矩形内部一动点，连接CQ并延长交AB于点，连接QE，若平分交BC于点，当时，连接QG、QD，求的最小值．
【答案】（1）①，
②AB，
③，
④，
（2）证明：，
理由如下，如图①，
作，交BD于，
，
又
又
，
即BD平分
（3）解：如图③，
连接BQ，BD，
四边形ABCD是矩形，且，
，
平分，且，
，
，
又
，
由（2）得QG平分，
，
，
，
，
，
当B、Q、D三点共线时，，
．
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质，等腰三角形性质，角平分线性质，三角形面积即可求出答案.
（2）作，交BD于，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，根据等边对等角可得，再根据边之间的关系可得，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）连接BQ，BD，根据勾股定理可得BD，再根据角平分线定义可得，根据边之间的关系可得，则，再根据边之间的关系可得，根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据边之间的关系当B、Q、D三点共线时，，即可求出答案.
20．（2025·南山模拟）【概念感知】定义：我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形）
例如：如图1，在四边形ABCD中，如果，那么四边形ABCD为单直邻等四边形．
（1）【实践与操作】
如图2，已知，请利用尺规作图，在射线AM上画出点，并补全四边形ABCD，使四边形ABCD是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法）；
（2）如图3，为等边三角形，点在的角平分线上，连接EA，将EA绕点顺时针旋转得到线段ED，连接CD，AD．
求证：四边形ABCD为单直邻等四边形；
（3）【拓展应用】
如图4，四边形ABCD为单直邻等四边形，，连接BD，若，，作，且，连接CE并延长交BD于点，交AB于点．求CM的长；
（4）【解决问题】
如图5，射线于点，点在射线CE上，，点在射线CF上，且四边形ABCD为单直邻等四边形，的角平分线交CD于点，请直接写出BP的长 ▲ ．
【答案】（1）解：如图，
点为所求作
（2）证明：是等边三角形，
，
平分，
，
绕点顺时针旋转得到线段ED，
，
，
，
，
，
，
，
：四边形ABCD为单直邻等四边形；
（3）解：如图
连接DM，作于，
四边形ABCD为单直邻等四边形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点D、M、B、C共圆，，
，
，
，
，
；
（4）2或6
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；角平分线的概念；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】作DG⊥CE于点G，设PB，CE交于点Q，则∠DGC=90°
①当点A在DG的上方时
∵∠DCF=90°，∠ECF=30°
∴∠DCE=60°
∵∠DGC=90°
∴∠CDG=30°
∴
∴
∵AB=BC
∴
∴BC=1
∵∠BPC=30°
∴BP=2BC=2
②当点A在DG的下方时
由①知，
∴
∴
∴BC=3
∴BP=2BC=6
【分析】（1）根据垂直平分线性质作图即可求出答案.
（2）根据等边三角形性质可得，再根据角平分线定义可得，根据旋转性质可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据单直邻等四边形定义即可求出答案.
（3）连接DM，作于，根据单直邻等四边形定义可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据相似三角形判定定理可得，则，即点D、M、B、C共圆，，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得DM，再根据边之间的关系即可求出答案.
（4）作DG⊥CE于点G，设PB，CE交于点Q，则∠DGC=90°，分情况讨论：①当点A在DG的上方时，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理可得AG，再根据边之间的关系及含30°角的直角三角形性质即可求出答案；②当点A在DG的下方时，由①知，，根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
21．（2025·福田模拟）如图1，点是对角线BD上的一点，且使得，连接AP并延长，交CD于点。
（1）若，求的值。
（2）如图2，将沿AB方向平移到，求证：。
（3）如图3，连接PC，取PC的中点，连接DM交AE于点，若，求的值。
【答案】（1）解：
中
中
（2）解：如图1
平移
，
又
（SAS）
（3）解：如图5所示，延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设
为PC的中点
四边形CDPQ是平行四边形
中，
又，
中，
又
又
又
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的性质；平移的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得AB∥CD，则，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据平移性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得AB=MB，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）延长DM至点，使得，连接PQ，CQ，设，根据线段中点可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形CDPQ是平行四边形，则，再根据平行四边形性质可得，则，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据平行四边形性质可得，则，再根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．（2025·深圳模拟）某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究．
（1）【合作探究】
如图1，在中，点为上一点，，求证：．
（2）【内化迁移】
如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点，．若，，求的长．
（3）学以致用】
如图3，在菱形中，，，点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交延长线于点，若，求的长．
（4）【综合拓展】
如图4，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值 ▲ ．
【答案】（1）证明：如图1，，
，
，
（2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）方法一：如图3，连接AC交BD于点，
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于，过点作于，
Rt中，，
，
Rt中，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
（负值舍），
，
，
．
方法二（思路）：
分别延长EF、AD相交于点，易证四边形BDGE是平行四边形
易求
易证，
进而求解AE，
再求BE
（4）
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：（4）
如图，作和交于点，作于点，连接BG、CG，
，
，
，
，
，
－，
，
作的外接圆，记圆心为，连接OA、OD、OG，
则，
，
，
设圆与AB交于，则，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
三点共线，即是圆的直径，
，
圆的半径为1，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
作于点于点，则，
则，
，
，
四边形ONEM是矩形，
，
设，则，
，
在Rt中，，
，
令，则，
则，
整理得：，
，
整理得，
令，
则，
的解集为，
的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：.
【分析】 （1）证明△ACD∽△ABC即可得结论；
（2）证明△CEF∽△CFB即可解答；
（3）如图3，连接AC交BD于点O，根据菱形的性质和含30°的直角三角形的性质得：EF=4，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EN⊥AF于N，设AE=2b，则EN=b，证明∠AFE=∠AEB，根据三角函数列式即可解答.
23．（2025·深圳模拟）[问题提出]
如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）．
（1）[问题探究]
如图1，当点从点运动到点时，
①用含的代数式表示的长： ▲ ；
②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象：
0 1 2 3 4
0 1.5 2
表中的值为 ▲ ，的值为 ▲ ；
（2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式；
（3）[问题解决]
若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积．
【答案】（1）①
②由题意得：，
的值为1.5
的值为0
通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下：

（2）当点运动到线段AC的延长线上时，
（3）若从上至下存在三个不同位置的点，对应的矩形CDEF面积均相等，
如图：由函数的对称性得：，
当时，即，
设，
则，
由题意得，和时，函数值相等，
故，
整理得：，
解得：，
则，
即矩形的面积
【知识点】四边形的综合；用代数式表示几何图形的数量关系；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）利用△ADE∽△ACB，得到DE=，而DC=4-x，即可表示面积y；
（2）由y=DE CD，即可求解；
（3）由函数的对称性得：x1+x2=4，当AD3=2AD2-AD1时，即x1+x3=2x2，由题意得，x=x2和x=x3时，函数值相等，即可求解．
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