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5月下旬之圆—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·连州模拟）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·罗湖模拟）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点有半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·澄海模拟）把一张半径为的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（广东省珠海市香洲区2025年中考模拟考试数学试卷 -）如题图，正五边形内接于圆，过点A的切线与直线，相交于点F，G，直线，相交于点H，下列结论中：①；②；③；④当正五边形的边长为2时，线段的长是．正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．（2025·东莞模拟）如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点.连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．（2025·广东模拟）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．船与两个灯塔的夹角为，若，则船位于安全区域时，的大小可能为　 　°．（写出一个即可）
7．（2025·博罗模拟）如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
8．（2025·阳江模拟）如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为　 　
三、解答题
9．（2025·深圳模拟）如图，在中，以上一点为圆心，为半径的与、相交于、，连接．
（1）从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．
①平分；②；③直线是的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）；
（2）在（1）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积．
10．（2025·福田模拟）如图，在中，．
（1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全．
（2）推理与计算：
在（1）的条件下，若．
①求证：直线是的切线；
②若，，求的半径．
11．（2025·广东模拟）已知直线与相切于点．
（1）如图1，BE是的直径，延长BE与直线交于点，过点作，垂足为，交于点，连接BD．若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ▲ ，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分）
（2）如图2，点是圆上一点，请用尺规在直线上求作一点，使得PQ与相切（不写作法，保留作图痕迹）．
12．（2025·福田模拟）如图，在中，。
（1）实践与操作：点在线段BC上，以为圆心作恰好过，两点，并与线段BC交于另一点。小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示。请你用尺规作图：作出点与点，并补全。
（2）推理与计算：
在（1）的条件下，若。
①求证：直线AB是的切线；
②若，求的半径。
13．（2025·禅城模拟）已知：矩形的边长为2，点P在射线上，过点O、P的与相切于点P．
（1）如图1，若点B在对角线上，且，则的长度是______；
（2）如图2，以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系，，设，
①求点B坐标（用含n的代数式表示）．
②连接，设且，当M取最大值时，作于E交于F，与交于G，求的值．
14．（2025·东莞模拟）某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题：
（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧的长为______，弧的长为______；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数．
（2）小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．
15．（2024·新兴模拟）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，）
（1）如图1，当时， ，点C到半圆O的最短距离= ；
（2）半圆O与相切时，求的长？
（3）如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？
（4）以，为边矩形，当半圆O与有两个公共点时，则的取值范围是 ．
16．（2025九下·江海模拟）
（1）【问题情境】点是外一点，点是上一动点．若的半径为，且，则点到点的距离最长为多少？
（2）【直接运用】如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是什么？
（3）【构造运用】如图，已知正方形的边长为，点分别从点同时出发，以相同的速度沿逆时针方向向终点和运动，连接和交于点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；圆的相关概念
3．【答案】A
【知识点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；圆与三角形的综合
6．【答案】54
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：设圆O与AP相交于点D
∵∠ADB是△DBP的一个外角
∴∠ADB>
∵∠ADB=∠ACB=55°
∴<55°
∴的大小可能为54°
故答案为：54
【分析】设圆O与AP相交于点D，根据三角形外角性质可得∠ADB>，则<55°，即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质
8．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
9．【答案】（1）①②，③
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故阴影部分的面积为．

【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：选择的条件是①②，结论是③．
理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接，根据等边对等角可得，根据角平分线定义得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，根据勾股定理可得BD，再根据，结合三角形及扇形面积即可求出答案.
（1）解：选择的条件是①②，结论是③．
理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故阴影部分的面积为．
10．【答案】（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：连接，
弧弧，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可求出答案.
（2）①连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）设的半径为r，则，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：方法一：连接，
弧弧，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
11．【答案】（1）提出问题：圆的半／直径是多少？
解：连接OD
直线与圆相切于点
根据勾股定理可得
又
设半径为
则，
解得
（2）解法一：连接OD，OP，作，交直线于点．
解法二：连接PD，作PD的中垂线交直线于点．
解法三：作射线OP，再作交直线于点．
【知识点】平行线的性质；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线性质可得，再根据勾股定理可得AB，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设半径为，则，代入等式，解方程即可求出答案.
（2）根据切线的性质作图即可求出答案.
12．【答案】（1）解：如图所示，、点、点即为所求。
（2）解：①证：连接AO
，
又是的半径
直线AB是的切线。
②设的半径为，则
在Rt中，，
即，解得
故的半径为
【知识点】勾股定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线作图即可求出答案.
（2）①连接AO，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
②设的半径为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】（1）
（2）解：①如图，过作于，则，
∵，，
∴，
当时，
∵矩形，，，，
∴，，，
结合切线性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，此时，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：；
②如图，
∵且，，
∴，
当时，最大，
此时，，，，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为：，
联立，
解得：，
∴，
∴，
过作于，而，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；切线的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：连接，
∵过点O、P的与相切于点P，．
∴，，
∵，，
∴，
∵矩形的边长为2，
∴，，
∴.
【分析】（1）连接，根据切线性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得∠DBP=30°，根据角之间的关系可得，则，，再根据正切定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
（2）①过作于，则，根据垂径定理可得，分情况讨论：当时，根据矩形性质可得，，，再根据切线性质可得，则，根据正切定义可得，代值计算可得，即可求出答案；当时，此时，同理可得：，则，代值计算可得，即可求出答案.
②做出图形，由题意可得，根据二次函数的性质可得当时，最大，此时，，，，设解析式为，根据待定系数法将点D坐标代入解析式可得解析式为，设解析式为，根据待定系数法将思安B，P坐标代入解析式可得解析式为：，联立直线OD解析式，解方程组可得，根据两点间距离可得GP，过作于，而，，则，根据正切定义可得，设，则，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：连接，
∵过点O、P的与相切于点P，．
∴，，
∵，，
∴，
∵矩形的边长为2，
∴，，
∴.
（2）解：①如图，过作于，则，
∵，，
∴，
当时，
∵矩形，，，，
∴，，，
结合切线性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，此时，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：；
②如图，
∵且，，
∴，
当时，最大，
此时，，，，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为：，
联立，
解得：，
∴，
∴，
过作于，而，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
14．【答案】（1）①，；②12，；
（2）正方形纸片的边长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算
15．【答案】（1）30；
（2）解：当半圆O与相切时，设切点为N，连接，，如图，
∵，
∴为半圆O的切线．
∵为半圆O的切线，
∴，
∴．
设，
∵，
∴．
∵为半圆O的切线，
∴．
∴，即，
解得：．
∴；
（3）解：过点O作于点H，连接，如图，
则．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴A，M，E三点重合，
∴．
∴扇形的面积；
（4）或
【知识点】切线的性质；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）连接，与半圆O交于点B，
在中， ，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴，
∴点C到半圆O的最短距离为，
故答案为：30，；
（4）如图，
当与边相切于点时，，
此时，与有一个公共点，
由（2）知：；
当与边相切于点时，，
此时，与有三个公共点，
∴．
∴当圆心O在与之间时，半圆O与有两个公共点，
∴；
当的圆心O在与点A之间时，此时与有两个或三个公共点，
当经过点B时，与有三个公共点，
∵，，，
∴，
解得：．
∴当时，与有三个公共点，
∴当时，与有两个公共点，
综上，当半圆O与有两个公共点时，的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】（1）连接，与半圆O交于点B，根据正弦定义可得DC，正切定义及特殊角的三角函数值可得，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）当半圆O与相切时，设切点为N，连接，，根据切线判定定理可得为半圆O的切线，再根据切线性质可得，根据边之间的关系可得AN=4，设，根据勾股定理可得AD=8，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点O作于点H，连接，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则A，M，E三点重合，再根据补角可得∠EOF，再根据扇形面积即可求出答案.
（4）利用分类讨论的思想，求得半圆O与有一个，两个，三个公共点时的值，结合图形即可得出结论
16．【答案】（1）解： （1）如图，当点O，P，A三点共线时，点P到点A的距离最长，
∵点P是⊙O上一动点．⊙O的半径为2，OA=5，
∴AP=OP+OA=2+5=7
（2）解： 连接OA，交半圆于P'，连接OP，如图所示：
∵AC=BC=2，BC为半圆的直径，
∴OP=OC=1，
∵∠ACB=90°，
∴OA=，
∵AP≥OA-OP，
∴AP≥，
∴最小值为
（3）解： 取AB中点O，连接OP、OC、PC，如图所示：
∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，
∴BM=CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=6，∠ABM=∠BCN=90°，
易证 △ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠CBN+∠ABN=90°，
∴∠BAM+∠ABN=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上运动，
当CP与圆O相切时，∠PCD最小，则tan∠DCP的值最小，
设DG=x，则AG=GP=6-x，
∴CG=12-x，
在Rt△DCG中，DG2+DC2=CG2，
∴x2+62=（12-x）2，
x=，即DG=，
∴tan∠DCP=
【知识点】圆的综合题；四边形的综合
【解析】【分析】 （1）当点O，P，A三点共线时，点P到点A的距离最长；
（2）连接OA，交半圆于P'，连接OP，先由勾股定理得OA= ，当点P在OA上时，AP最短；
（3）取AB中点O，连接OP、OC、PC，先证△ABM≌△BCN（SAS），得∠BAM=∠CBN，再证∠APB=90°，得点P在以AB为直径的⊙O上运动，当CP与圆O相切时，∠PCD最小，则tan∠DCP的值最小，由勾股定理及直角三角形的性质可求解.
1 / 15月下旬之圆—广东省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·连州模拟）如图，四边形是的内接四边形，点在四边形内部，过点作的切线交的延长线于点，连接，．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
2．（2025·罗湖模拟）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点有半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；圆的相关概念
3．（2025·澄海模拟）把一张半径为的圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
4．（广东省珠海市香洲区2025年中考模拟考试数学试卷 -）如题图，正五边形内接于圆，过点A的切线与直线，相交于点F，G，直线，相交于点H，下列结论中：①；②；③；④当正五边形的边长为2时，线段的长是．正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的性质；圆内接正多边形；相似三角形的判定与性质
5．（2025·东莞模拟）如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点.连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；圆与三角形的综合
二、填空题
6．（2025·广东模拟）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．船与两个灯塔的夹角为，若，则船位于安全区域时，的大小可能为　 　°．（写出一个即可）
【答案】54
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：设圆O与AP相交于点D
∵∠ADB是△DBP的一个外角
∴∠ADB>
∵∠ADB=∠ACB=55°
∴<55°
∴的大小可能为54°
故答案为：54
【分析】设圆O与AP相交于点D，根据三角形外角性质可得∠ADB>，则<55°，即可求出答案.
7．（2025·博罗模拟）如图，在菱形中，，，把菱形绕着顶点A逆时针旋转得到菱形，点C的运动轨迹为弧，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质
8．（2025·阳江模拟）如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，若，则图中阴影部分的面积为　 　
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SAS
三、解答题
9．（2025·深圳模拟）如图，在中，以上一点为圆心，为半径的与、相交于、，连接．
（1）从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．
①平分；②；③直线是的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）；
（2）在（1）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）①②，③
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故阴影部分的面积为．

【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：选择的条件是①②，结论是③．
理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接，根据等边对等角可得，根据角平分线定义得，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，根据勾股定理可得BD，再根据，结合三角形及扇形面积即可求出答案.
（1）解：选择的条件是①②，结论是③．
理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
故答案为：①②，③（答案不唯一）；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故阴影部分的面积为．
10．（2025·福田模拟）如图，在中，．
（1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全．
（2）推理与计算：
在（1）的条件下，若．
①求证：直线是的切线；
②若，，求的半径．
【答案】（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：连接，
弧弧，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线定义作图即可求出答案.
（2）①连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）设的半径为r，则，，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：如图所示，、点O、点D即为所求．
（2）①证明：方法一：连接，
弧弧，
，
，
，
，
．
又是的半径，
直线是的切线．
②解：设的半径为r，则，，
在中，，
即，
解得，
故的半径为．
11．（2025·广东模拟）已知直线与相切于点．
（1）如图1，BE是的直径，延长BE与直线交于点，过点作，垂足为，交于点，连接BD．若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ▲ ，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分）
（2）如图2，点是圆上一点，请用尺规在直线上求作一点，使得PQ与相切（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）提出问题：圆的半／直径是多少？
解：连接OD
直线与圆相切于点
根据勾股定理可得
又
设半径为
则，
解得
（2）解法一：连接OD，OP，作，交直线于点．
解法二：连接PD，作PD的中垂线交直线于点．
解法三：作射线OP，再作交直线于点．
【知识点】平行线的性质；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线性质可得，再根据勾股定理可得AB，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设半径为，则，代入等式，解方程即可求出答案.
（2）根据切线的性质作图即可求出答案.
12．（2025·福田模拟）如图，在中，。
（1）实践与操作：点在线段BC上，以为圆心作恰好过，两点，并与线段BC交于另一点。小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示。请你用尺规作图：作出点与点，并补全。
（2）推理与计算：
在（1）的条件下，若。
①求证：直线AB是的切线；
②若，求的半径。
【答案】（1）解：如图所示，、点、点即为所求。
（2）解：①证：连接AO
，
又是的半径
直线AB是的切线。
②设的半径为，则
在Rt中，，
即，解得
故的半径为
【知识点】勾股定理；切线的判定；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线作图即可求出答案.
（2）①连接AO，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
②设的半径为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2025·禅城模拟）已知：矩形的边长为2，点P在射线上，过点O、P的与相切于点P．
（1）如图1，若点B在对角线上，且，则的长度是______；
（2）如图2，以O为原点，为x轴建立平面直角坐标系，，设，
①求点B坐标（用含n的代数式表示）．
②连接，设且，当M取最大值时，作于E交于F，与交于G，求的值．
【答案】（1）
（2）解：①如图，过作于，则，
∵，，
∴，
当时，
∵矩形，，，，
∴，，，
结合切线性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，此时，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：；
②如图，
∵且，，
∴，
当时，最大，
此时，，，，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为：，
联立，
解得：，
∴，
∴，
过作于，而，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；切线的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：连接，
∵过点O、P的与相切于点P，．
∴，，
∵，，
∴，
∵矩形的边长为2，
∴，，
∴.
【分析】（1）连接，根据切线性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得∠DBP=30°，根据角之间的关系可得，则，，再根据正切定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
（2）①过作于，则，根据垂径定理可得，分情况讨论：当时，根据矩形性质可得，，，再根据切线性质可得，则，根据正切定义可得，代值计算可得，即可求出答案；当时，此时，同理可得：，则，代值计算可得，即可求出答案.
②做出图形，由题意可得，根据二次函数的性质可得当时，最大，此时，，，，设解析式为，根据待定系数法将点D坐标代入解析式可得解析式为，设解析式为，根据待定系数法将思安B，P坐标代入解析式可得解析式为：，联立直线OD解析式，解方程组可得，根据两点间距离可得GP，过作于，而，，则，根据正切定义可得，设，则，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：连接，
∵过点O、P的与相切于点P，．
∴，，
∵，，
∴，
∵矩形的边长为2，
∴，，
∴.
（2）解：①如图，过作于，则，
∵，，
∴，
当时，
∵矩形，，，，
∴，，，
结合切线性质可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，如图，此时，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上：；
②如图，
∵且，，
∴，
当时，最大，
此时，，，，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为，
设解析式为，则，
解得：，
∴解析式为：，
联立，
解得：，
∴，
∴，
过作于，而，，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴.
14．（2025·东莞模拟）某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径，杯底直径，杯壁母线．请你解决下列问题：
（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．
①图2中弧的长为______，弧的长为______；
②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧所在圆的圆心，如图3所示．求弧所在圆的半径及它所对的圆心角的度数．
（2）小顾同学用正方形纸片一张，按如图4所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．
【答案】（1）①，；②12，；
（2）正方形纸片的边长为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算
15．（2024·新兴模拟）如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，）
（1）如图1，当时， ，点C到半圆O的最短距离= ；
（2）半圆O与相切时，求的长？
（3）如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？
（4）以，为边矩形，当半圆O与有两个公共点时，则的取值范围是 ．
【答案】（1）30；
（2）解：当半圆O与相切时，设切点为N，连接，，如图，
∵，
∴为半圆O的切线．
∵为半圆O的切线，
∴，
∴．
设，
∵，
∴．
∵为半圆O的切线，
∴．
∴，即，
解得：．
∴；
（3）解：过点O作于点H，连接，如图，
则．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得：或（不合题意，舍去），
∴，
∴A，M，E三点重合，
∴．
∴扇形的面积；
（4）或
【知识点】切线的性质；切线的判定；扇形面积的计算；解直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）连接，与半圆O交于点B，
在中， ，
∴．
在中，，
∴．
∵，
∴，
∴点C到半圆O的最短距离为，
故答案为：30，；
（4）如图，
当与边相切于点时，，
此时，与有一个公共点，
由（2）知：；
当与边相切于点时，，
此时，与有三个公共点，
∴．
∴当圆心O在与之间时，半圆O与有两个公共点，
∴；
当的圆心O在与点A之间时，此时与有两个或三个公共点，
当经过点B时，与有三个公共点，
∵，，，
∴，
解得：．
∴当时，与有三个公共点，
∴当时，与有两个公共点，
综上，当半圆O与有两个公共点时，的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】（1）连接，与半圆O交于点B，根据正弦定义可得DC，正切定义及特殊角的三角函数值可得，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）当半圆O与相切时，设切点为N，连接，，根据切线判定定理可得为半圆O的切线，再根据切线性质可得，根据边之间的关系可得AN=4，设，根据勾股定理可得AD=8，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点O作于点H，连接，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，则A，M，E三点重合，再根据补角可得∠EOF，再根据扇形面积即可求出答案.
（4）利用分类讨论的思想，求得半圆O与有一个，两个，三个公共点时的值，结合图形即可得出结论
16．（2025九下·江海模拟）
（1）【问题情境】点是外一点，点是上一动点．若的半径为，且，则点到点的距离最长为多少？
（2）【直接运用】如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是什么？
（3）【构造运用】如图，已知正方形的边长为，点分别从点同时出发，以相同的速度沿逆时针方向向终点和运动，连接和交于点，求的最小值．
【答案】（1）解： （1）如图，当点O，P，A三点共线时，点P到点A的距离最长，
∵点P是⊙O上一动点．⊙O的半径为2，OA=5，
∴AP=OP+OA=2+5=7
（2）解： 连接OA，交半圆于P'，连接OP，如图所示：
∵AC=BC=2，BC为半圆的直径，
∴OP=OC=1，
∵∠ACB=90°，
∴OA=，
∵AP≥OA-OP，
∴AP≥，
∴最小值为
（3）解： 取AB中点O，连接OP、OC、PC，如图所示：
∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边BC、CD方向向终点C和D运动，
∴BM=CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=6，∠ABM=∠BCN=90°，
易证 △ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠CBN+∠ABN=90°，
∴∠BAM+∠ABN=90°，
∴∠APB=90°，
∴点P在以AB为直径的⊙O上运动，
当CP与圆O相切时，∠PCD最小，则tan∠DCP的值最小，
设DG=x，则AG=GP=6-x，
∴CG=12-x，
在Rt△DCG中，DG2+DC2=CG2，
∴x2+62=（12-x）2，
x=，即DG=，
∴tan∠DCP=
【知识点】圆的综合题；四边形的综合
【解析】【分析】 （1）当点O，P，A三点共线时，点P到点A的距离最长；
（2）连接OA，交半圆于P'，连接OP，先由勾股定理得OA= ，当点P在OA上时，AP最短；
（3）取AB中点O，连接OP、OC、PC，先证△ABM≌△BCN（SAS），得∠BAM=∠CBN，再证∠APB=90°，得点P在以AB为直径的⊙O上运动，当CP与圆O相切时，∠PCD最小，则tan∠DCP的值最小，由勾股定理及直角三角形的性质可求解.
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