资源简介

5月下旬之三角形、四边形—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·莲都模拟）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
2．（2025·平湖二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC的长度是定值。在较长的对角线BD上有两点E，F，OE=OF，连结AE，AF，CE，CF。设四边形ABCD和四边形AECF的面积分别是m，n，若∠EAF+∠BAD=180°，则下列运算结果为定值的是（　　）
A．m+n B．m-n C．mn D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
3．（2025·平湖二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理
4．（2025·上城二模）如图，在ABC中，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，与AB，AC交于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线AF交BC于点G.以点C为圆心，AC长为半径作弧，与AB交于点H，连结CH，交AG于点M，若∠B=34°，∠ACB=78°，则∠AMH的度数为（　　）
A．88° B．78° C．68° D．58°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
5．（2025·浙江模拟） 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，D为AC的中点，连结BD，E
为BD上一点，BE=3，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，记AM长为x，NC长为y。当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．xy C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
6．（2025·普陀二模）小明同学在学习了八年级上册“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了下图，那么下列选项不适合填入的是（　　）
A．两边相等 B．一个角为直角
C．有一个角45° D．斜边与直角边比为：1
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；等腰直角三角形；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.两边相等的三角形是等腰三角形，故A不符合题意；
B.有一个角为直角的三角形是直角三角形，故B不符合题意；
C.有一个角45°的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，故C符合题意；
D.斜边与直角边比为的直角三角形是等腰直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形、直角三角形和等腰直角三角形的判断方法判断即可.
7．（2025·诸暨二模） 如图，在平行四边形ABCD中，的顶点E，F分别在边AB，AD上，满足，，，，在CE上取一点M，满足，则（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
8．（2025·诸暨二模） 如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A， B 重合），对角线 AC， BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC， BD 的垂线，分别交 AC， BD 于点 E 与点 F，交 AD， BC 于点 G 与点 H，若正方形的边长是 2，则四边形 OEPF 的周长是（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
9．（2025·乐清二模）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．如图由两个全等的矩形ABHC和矩形BDJE，与一个小正方形EFHG剪拼成大正方形CBJK，点A，B，D在一条直线上，若，则拼补后的正方形CBJK边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：
设AB=a，BD=b，
根据题意得，，
∴，
∴AB=4，AC=3，
∴BC=，
∴拼补后的正方形CBJK边长为5.
故答案为：A.
【分析】 设AB=a，BD=b，根据题意列方程组，然后根据勾股定理即可得到结论.
10．（2023九上·杭州月考）如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
四边形为菱形，
，，
和为直角三角形，且，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
，，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】设，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得OD=2DE，用勾股定理可将OE、OB用含a的代数式表示出来，由线段的和差OC=OD+CD、EB=OB-OE将OC、EB用含a的代数式表示出来，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
11．（2025·乐清二模）如图，在矩形ABCD中，是BC上一点，交AD于点，交对角线AC于点，连接BG，DG，DE．若求阴影部分的面积，则只需要知道（　　）
A．的面积 B．的面积
C．四边形ABEF的面积 D．四边形CDFE的面积
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设AB=BE=x，EC=y，
由FE∥CD得，，
∴，
由GE∥AB得，△GEC∽△ABC，
∴，
即，
∴GE=
则===xy，
又∵SCDFE=EC·DC=xy=，
故答案为：D.
【分析】根据平行线间的距离相等，得到阴影部分面积为△GBC面积，设B=BE=x，EC=y，通过相似将GE用x，y的代数式表示，进而可表示△GBC的面积为xy，即为四边形CDFE的一半.
12．（2025·龙港模拟）如图，在中，分别是，的中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（　　）
A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线
二、填空题
13．（2025·浙江模拟）如图，在⊙O中，弦AD=4厘米，作正方形ABCD，点B，C均落在圆内，圆
心O在正方形内。若将正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与OO相切，则将正方形ABCD沿射线AB方向平移　 　厘米时，正方形其中一条边与⊙O相切。
【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；平移的性质
14．（2025·浙江二模）如图，正方形纸片ABCD，点在对角线AC上，连结BE，沿BE对折至，连结DF．若，则　 　；若，则与四边形ECDF的面积比为　 　．
【答案】；
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接CF，延长BE，交CF，CD分别于点G、H，连接FH，如图，
由折叠的性质可知：BH⊥CF，，
∴FH=CH
∴∠HFC=∠HCF，
∵DF//BE，
∴CF⊥DF，
即∠DFC=90°，
∴∠HFC+∠DFH=∠FDH+∠HCF=90°，
∴∠DFH=∠FDH
∴FH=DH=CH
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°
∴，
连接BD，DE，交AC于点O，过点B作BM⊥DF于点M，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BCD=∠ABC=90°，，
∠ABD=∠ADB=∠ACB=∠ACD=45°，
由折叠的性质可知：BC=BF，∠BCE=∠BFE=45°，
∵∠DFE=90°
∴∠BFD=135°
∴∠BFM=45°，
即△BMF是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴∠BDM=30°，
∴∠MBD=60°，∠FBD=∠BFM-∠BDF=15°，
∴∠ABF=∠ABD-∠FBD=30°
∴∠FBE=∠CBE=30°，
∵BC=DC，∠BCE=DCE=45°，CE=CE
∴△BCE △DCE(SAS)，
∴BE=DE，∠CBE=CDE=30°，S△BCE=S△DCE，
∴∠FDE=∠FDB+∠BDC-∠CDE=45°，
∴△FDE是等腰直角三角形，
∴
过点E作ET⊥BC于点T，
设ET=TC=a，
∴，BE=2a，
∴DE=BE=2a，，
∴，
∴，，
∴
∴，
故答案为：；.
【分析】连接CF，延长BE，交CF，CD分别于点G、H，连接FH，由题意易得∠HFC=∠HCF，然后可得FH=DH=CH，进而问题可求解；连接BD，DE交AC于点O，过点B作BM⊥DF于点M，由题意易得∠BDM=30°，则有∠FBE=∠CBF=30°，，过点E作ET⊥BC于点T，设ET=TC=a，，BE=2a，最后问题可求解.
15．（2025·诸暨二模）如图，四边形ABCD中，AB=4，CD=2，连接AC，BD，点E，F，G分别是BD，AC，BC的中点，则EG+FG=　 　.
【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
16．（2025·黄岩二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在边AD，BC上，且，当正方形FGCE的顶点是MN的中点时，矩形ABNM与正方形FGCE的面积相等，则AM的长为　 　。
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
17．（2025·长兴二模）如图，点是对角线AC的中点，沿过点的直线MN将折叠，使点A，B分别落在，处，交CD于点交AD于点，若点是CD的中点，且，则与四边形MOCD的面积比为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结OF，OE，
点是CD的中点，
由折叠易得，
，
与四边形MOCD的面积比为．
故答案为：.
【分析】先根据三角形的中位线性质得到OE∥AD∥NC，，证明△COE∽△CAD得到再证明△ONE≌△OMF，MF=NE，再证明，从而可得，进而可求解．
18．（浙江省金华市义乌市2025年中考二模考试数学试题）如图1，在平行四边形中，，．点、分别是线段、上的点，连结、、．将和分别沿、翻折，使点的对应点和点的对应点都落在对角线上，连结、．
（1）如图2，若，则的值为　 　．
（2）若为钝角，延长交射线于点且，则的值为　 　．
【答案】（1）；
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
三、作图题
19．（2025·黄岩二模）在等腰中，，点是AB的中点，要求用尺规作图的方法在BC上找一点，连结DE，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）①做法正确的同学有 ▲ ；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
【答案】（1）①甲、丙：
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知AE平分
又点为AB的中点
方法二：由图可知AE平分
为BC边上的中线，即点为BC的中点
又点为AB的中点
是的中位线
丙的做法证明如下：
方法一：连结BF，CF
由图可知点在BC的垂直平分线上
点在BC的垂直平分线上
是BC的垂直平分线
又点为AB的中点
方法二：连结BF，CF
由图可知点在BC的垂直平分线上
点在BC的垂直平分线上
是BC的垂直平分线，即点为BC的中点
又点为AB的中点
是的中位线
（2）
其他做法酌情给分
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理；尺规作图-等腰（等边）三角形
20．（2025·瑞安二模）尺规作图：在正方形ABCD中，求作等边△AEF，使点E，F分别在边CD，BC上.
以下是小金的作图过程，如图所示： 1.分别以点C，D为圆心，CD的长为半径作圆弧交于正方形外一点G，连结CG，DG，连结AG交CD于点E. 2. 以点A为圆心，AE的长为半径作圆弧交BC于点F，连结AF，EF. 则△AEF即为所求.
请根据作图过程回答以下问题：
（1）求∠ADG的度数.
（2）求证： △AEF为等边三角形.
【答案】（1）解：由题意可知CD=CG=DG，
∴△GDC为等边三角形，
∴∠GDC=60°.
在正方形ABCD中，∠ADC=90°
∴∠ADG=150°.
（2）证明：在正方形 ABCD中，AD=CD，
∵CD=DG，∴AD=DG，
∴∠DAG=∠DGA.
∵∠ADG=150°
∴∠DAG=15°.
由题意可知AE=AF，∠ADC=∠B=90°，AD=AB，
∴RtΔADE≌RtΔABF(HL)，
∴∠BAF=∠DAG=15°
∵∠DAB=90°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】(1)证明∠ADC=90°，∠CDG=60°可得结论；
(2)利用全等三角形的判定和性质证明∠BAF=∠DAE=15°可得结论.
21．（2025·玉环二模）如图，在中，，且．
任务①：请小明作的平分线AD；任务②：请小红作AC边上的高线BE；
小明的作法如图①：分别以B，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点，作射线AM交BC于点，则AD为的平分线；小红的作法如图②：以为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点，再分别以N，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线BG交AC于点；则BE为AC边上的高线．
（1）判断他们的作图方法是否正确？（填“正确”或“不正确”）①小明的作法 ▲ ；②小红的作法 ▲ ；
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．
【答案】（1）①正确；②正确
（2）①选小明，连BM、CM，
证明菱形或三角形全等
再说明角相等
②选小红，连BN，
说明是等腰三角形
再说明BG是CN的垂直平分线，即BE是高线
（第（1）小题若选择错误，不影响第（2）小题得分）
【知识点】菱形的性质；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
22．（2025·椒江二模）王老师布置了一道尺规作图的作业：利用无刻度直尺和圆规在矩形ABCD的边CD上作一点P，使得△ABP是等腰三角形，雯雯和周周两位同学在边CD上分别作出了点P.雯雯同学：以点A为圆心，AB长为半径作弧，交CD于点P，连接AP，BP（如图1）；
周周同学：以点B为圆心，AB长为半径作弧，交CD于点P，连接AP，BP.
（1）请按照周周同学的作法，在图2中作出等腰三角形ABP；
（2）两位同学继续探索，发现第三个点P，请你在图3中作出等腰三角形ABP.
【答案】（1）解：如图所示
（2）解：如图所示
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)根据要求作出图形；
(2)作线段AB的垂直平分线交CD于点P，连接AP，BP即可.
23．（2025·长兴二模）尺规作图问题：
已知是钝角，，请用尺规作AC的中点.
小聪：如图1，以点为圆心，BC长为半径作弧，以点为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点，连结BQ交AC于点，则点为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点，作BC的中垂线，垂足为点，以点为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点，则点为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦……我明白了.
（1）证明：小聪的作法是正确的.
（2）指出小明作法中存在的问题.
【答案】（1）解：由作法得：，
四边形ABCQ是平行四边形，
∵点P为AC与BQ的交点，
∴点P为AC的中点，
小聪的作法是正确的．
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图．
小明的作法存在问题.
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由作图可得，AQ=BC，AB=CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点．
（2）以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案．
24．（2025·温岭二模）如图，点是平分线上的一点，点是射线BC上的一点（异于点，），连结MP，在射线BA上用尺规作图的方法找一点，使．下面有两种作图方法．
方法1：以为圆心，BM为半径作弧，交射线BA与，连结PN，则．
方法2：以为圆心，PM为半径作弧，交射线BA与，连结PN，则．
（1）请选择你认为正确的方法作出图形，并证明；
（2）直接写出当的大小满足什么条件时，两种方法都正确．
【答案】（1）方法一正确
画图如图所示
证明：由作图可得
平分
在和中
（2）或
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（2）当∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM时，两种方法都正确；
理由：当∠PMB=90°时，PM⊥BC，PM的长即为点P到BC的距离，
按照方法2作图，PN的长即为点P到AB的距离，∠PNB=90°，
射线AB上有且只有一个点N符合，则△BPN △BPM；
当∠PMB<∠PBM时，PM>PB，
此时按照方法2作图，PN>PB，
射线AB上有且只有一个点N符合，
则△BPN △BPM.
故答案为：∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM.
【分析】(1)方法一正确，根据题意画图即可；根据SAS即可证明全等；
(2)当以P为圆心，PM为半径作弧，与射线BA的交点N只有一个，即当∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM时，两种方法都正确的.
25．（2025·浙江二模）尺规作图问题：如图1，菱形，点是边BC上一点（不包含B，C），连接AE，用尺规在CD边上找到点，连结AF，EF，使．
小明：如图2，以为圆心，CE长为半径作弧，交DC于点，连结AF，EF，则．
小丽：以点为圆心，AE长为半径作弧，交CD于点，连结AF，EF，则．
（1）如图2，请你证明小明的作法是正确的．
（2）指出小丽作法中存在的问题．
【答案】（1）证明：如图，连接AC．
菱形，
．
，
．
．
，
．
是等边三角形．
．
（2）不正确．
理由如下：如图，以点为圆心，AE长为半径作弧，
与菱形的边交于点，此时与类形的边CD一般会有两个交点，只有其中一个点符合要求，所以小丽的作法不正确.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】(1)连接AC，证明△ACE △ADF，得到∠EAC=∠FAD，AE=AF，从而可证明△EAF是等边三角形，即可得出结论；
(2)根据以点A为圆心，AB长为半径作弧，与菱形的边交于点F，此时与菱形的边CD一般会有两个交点，只有其中一个点符合要求，即可作出判断.
26．（2025·义乌模拟）尺规作图问题：
如图1，已知点是的其中一边BA上一点，用尺规作图方法作.
（1）连结BF，根据作图痕迹，请说明BF平分.
（2）如图2，以为圆心，BD长为半径作弧，交BC于点，连结FG.
求证：四边形BGFD是菱形.
【答案】（1）解：
平分
（2）证明：且
，
四边形DBGF是平行四边形
又
四边形DBGF是菱形
【知识点】菱形的判定；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)由等角对等边可得∠DBF=∠DFB，由平行线的性质可得∠DFB=∠FBC，从而可得∠DBF=∠FBC即可得解；
(2)根据菱形的判定定理证明即可.
四、解答题
27．（2025·上城二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为BC，AB中点，连结DE并延长，使 DE=EF。
（1）求证：四边形ADBF为矩形；
（2）记∠ADE=α， ∠AEM=β。
①求∠DEM(用含α，β的代数式表示）；
②若β=90°-2α，求证：2DE2=DM·DA。
【答案】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，又D为BC中点
∴AD⊥BD
∴∠ADB=90°
又∵E为AB中点
∴AE=BE…
∴DE=EF
∴四边形ADBF为平行四边形
又∠ADB=90°
∴□ADBF为矩形
（2）解：①四边形ADBF为矩形
∴AE=DE， ∠DAF=90°，DF=2DE
∴∠ADE=∠MAE=α
又∵∠AEM=β
∴∠DME=∠MAE+∠AEM=α+β
∴∠DEM=180°-∠DME-∠ADE=180°-2α-β
②∵β=90°-2α
∴∠DEM=180°-2α-β=90°
∴∠DEM=∠DAF
又∵∠MDE=∠FDA
∴△DEM∽△DAF
∴
∴DM·DA=DE·DF
即 DM·DA=DE·2DE
∴2DE2=DM·DA·
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
28．（2025·普陀二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，连结BE，EF，FG。
（1）求证：四边形BEFG为平行四边形；
（2）如图1，若BD=2AB，求证：BE⊥AO；
（3）如图2，当平行四边形ABCD为菱形时，若BD=AB，AB=8，求四边形BEFG的面积。
【答案】（1）证明： ∵ 四边形ABCD 是 ABCD，
∴，，
∵点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，
∴，，，
∴，，
∴五边形BEFG是平行四边形；
（2）证明：∵ ABCD，
∴AC，BD互相平分，
∴，
∵，
∴，
∴点E为AO中点，
∴；
（3）解：过点 E 作 于点 H，
菱形
为等边三角形
∴四边形BEFG的面积。
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据中位线定理可得EF∥AD，EF=AD，BG=BC，即可得出EF∥BG，EF=BG，即可得证；
(2)先证BO=BA，再根据等腰三角形三线合一证垂直即可；
(3)过点E作EH⊥BC于点H，易得BD的长度，根据边关系可得∠BAO的度数，进而可得△ABC为等边三角形，从而得解.
29．（2025·浙江模拟）如图 1，正方形ABCD 中，点 E 是边AB上一点，连结 DE，取 DE 中点F，连结 BF并延长交CD延长线于点G.
（1）求证；BF=GF.
（2）将 BF绕点F逆时针旋转 90°至HF（如图 2），连结 BH，CH，DH，
①求∠DCH的度数；
②求证：∠ADE+∠CDH=45°.
【答案】（1）证明：正方形ABCD中，CD//AB，
∴∠G=∠ABG，∠FDG=∠FEB，
∵点F为DE中点，
∴DF=EF，
∴△GDF≌△BEF，
∴BF=GF.
（2）解：①如图，连结BD，
∵BF=GF，∴BG=2BF，
∵，BF=HF，
∴，，
∴，
在正方形ABCD中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴.
②证明：∵，且相似比为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
30．（2025·浙江模拟）如图
（1）【感知方法】△ABC与△DEF的面积相等，按如图1所示摆放，点D在边BC上，△DEF与△ABC的边交于点G，H，M，N.已知△CDH的面积比△EGH面积大 2，△AGN与△BDM·面积和为3，求△FMN的面积.
第1步；设未知数，
设△CDH， △EGH，△AGN，△BDM，△FMN的面积分别为a，b.c，d，e.
第2步：表示，
a-b=2，c+d=3.
第3步：找数量关系，列式（方程），
请你完成第3步.
（2）【尝试应用】
如图 2，矩形ABCD中，连接AC，点 E 是△ACD内部一点，已知四边形ABCE与凹四边形ADCE 面积分别为12，7，求△AEC的面积.
（3）【拓展迁移】
如图 3，点 E 是矩形ABCD内部一点，过点 E 作线段MN，GF把矩形分成4个小矩形，点 M，N，G，F 在矩形边上，连接 AE，CE，AC，已知矩形 BFEM 与矩形 DNEG 的面积分别为m，n，求△AEC 的面积.
【答案】（1）解：△ABC与△DEF的面积相等，
∴b+e=a+c+d，
即b+e=(b+2)+c+(3-c)，
解得e=5，
∴△FMN的面积为5.
（2）解：设△∠AEC的面积为x，则△ABC的面积为12-x，△ADC的面积为7+x，
在矩形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，
∴△ABC的面积与△ADC的面积相等，即：12-x=7+x，
解得x=
∴△AEC的面积为
（3）解：由【尝试应用】得，
△AEC的面积=（矩形BFEM的面积-矩形DNEG的面积)=
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SSS
1 / 15月下旬之三角形、四边形—浙江省数学2025年中考模拟精选新题速递
一、选择题
1．（2025·莲都模拟）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·平湖二模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC的长度是定值。在较长的对角线BD上有两点E，F，OE=OF，连结AE，AF，CE，CF。设四边形ABCD和四边形AECF的面积分别是m，n，若∠EAF+∠BAD=180°，则下列运算结果为定值的是（　　）
A．m+n B．m-n C．mn D．
3．（2025·平湖二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·上城二模）如图，在ABC中，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，与AB，AC交于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线AF交BC于点G.以点C为圆心，AC长为半径作弧，与AB交于点H，连结CH，交AG于点M，若∠B=34°，∠ACB=78°，则∠AMH的度数为（　　）
A．88° B．78° C．68° D．58°
5．（2025·浙江模拟） 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，D为AC的中点，连结BD，E
为BD上一点，BE=3，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，记AM长为x，NC长为y。当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．xy C． D．
6．（2025·普陀二模）小明同学在学习了八年级上册“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了下图，那么下列选项不适合填入的是（　　）
A．两边相等 B．一个角为直角
C．有一个角45° D．斜边与直角边比为：1
7．（2025·诸暨二模） 如图，在平行四边形ABCD中，的顶点E，F分别在边AB，AD上，满足，，，，在CE上取一点M，满足，则（　　）
A．1 B． C． D．2
8．（2025·诸暨二模） 如图，在正方形 ABCD 中，点 P 是 AB 上一动点（不与 A， B 重合），对角线 AC， BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC， BD 的垂线，分别交 AC， BD 于点 E 与点 F，交 AD， BC 于点 G 与点 H，若正方形的边长是 2，则四边形 OEPF 的周长是（　　）
A．2 B． C．4 D．
9．（2025·乐清二模）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．如图由两个全等的矩形ABHC和矩形BDJE，与一个小正方形EFHG剪拼成大正方形CBJK，点A，B，D在一条直线上，若，则拼补后的正方形CBJK边长为（　　）
A．5 B．6 C． D．
10．（2023九上·杭州月考）如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·乐清二模）如图，在矩形ABCD中，是BC上一点，交AD于点，交对角线AC于点，连接BG，DG，DE．若求阴影部分的面积，则只需要知道（　　）
A．的面积 B．的面积
C．四边形ABEF的面积 D．四边形CDFE的面积
12．（2025·龙港模拟）如图，在中，分别是，的中点，是对角线上一点（点不与端点重合），过点作交于点，交于点．连结，，若已知的面积，则一定能求出（　　）
A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积
二、填空题
13．（2025·浙江模拟）如图，在⊙O中，弦AD=4厘米，作正方形ABCD，点B，C均落在圆内，圆
心O在正方形内。若将正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与OO相切，则将正方形ABCD沿射线AB方向平移　 　厘米时，正方形其中一条边与⊙O相切。
14．（2025·浙江二模）如图，正方形纸片ABCD，点在对角线AC上，连结BE，沿BE对折至，连结DF．若，则　 　；若，则与四边形ECDF的面积比为　 　．
15．（2025·诸暨二模）如图，四边形ABCD中，AB=4，CD=2，连接AC，BD，点E，F，G分别是BD，AC，BC的中点，则EG+FG=　 　.
16．（2025·黄岩二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在边AD，BC上，且，当正方形FGCE的顶点是MN的中点时，矩形ABNM与正方形FGCE的面积相等，则AM的长为　 　。
17．（2025·长兴二模）如图，点是对角线AC的中点，沿过点的直线MN将折叠，使点A，B分别落在，处，交CD于点交AD于点，若点是CD的中点，且，则与四边形MOCD的面积比为　 　.
18．（浙江省金华市义乌市2025年中考二模考试数学试题）如图1，在平行四边形中，，．点、分别是线段、上的点，连结、、．将和分别沿、翻折，使点的对应点和点的对应点都落在对角线上，连结、．
（1）如图2，若，则的值为　 　．
（2）若为钝角，延长交射线于点且，则的值为　 　．
三、作图题
19．（2025·黄岩二模）在等腰中，，点是AB的中点，要求用尺规作图的方法在BC上找一点，连结DE，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）①做法正确的同学有 ▲ ；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
20．（2025·瑞安二模）尺规作图：在正方形ABCD中，求作等边△AEF，使点E，F分别在边CD，BC上.
以下是小金的作图过程，如图所示： 1.分别以点C，D为圆心，CD的长为半径作圆弧交于正方形外一点G，连结CG，DG，连结AG交CD于点E. 2. 以点A为圆心，AE的长为半径作圆弧交BC于点F，连结AF，EF. 则△AEF即为所求.
请根据作图过程回答以下问题：
（1）求∠ADG的度数.
（2）求证： △AEF为等边三角形.
21．（2025·玉环二模）如图，在中，，且．
任务①：请小明作的平分线AD；任务②：请小红作AC边上的高线BE；
小明的作法如图①：分别以B，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点，作射线AM交BC于点，则AD为的平分线；小红的作法如图②：以为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点，再分别以N，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线BG交AC于点；则BE为AC边上的高线．
（1）判断他们的作图方法是否正确？（填“正确”或“不正确”）①小明的作法 ▲ ；②小红的作法 ▲ ；
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由．
22．（2025·椒江二模）王老师布置了一道尺规作图的作业：利用无刻度直尺和圆规在矩形ABCD的边CD上作一点P，使得△ABP是等腰三角形，雯雯和周周两位同学在边CD上分别作出了点P.雯雯同学：以点A为圆心，AB长为半径作弧，交CD于点P，连接AP，BP（如图1）；
周周同学：以点B为圆心，AB长为半径作弧，交CD于点P，连接AP，BP.
（1）请按照周周同学的作法，在图2中作出等腰三角形ABP；
（2）两位同学继续探索，发现第三个点P，请你在图3中作出等腰三角形ABP.
23．（2025·长兴二模）尺规作图问题：
已知是钝角，，请用尺规作AC的中点.
小聪：如图1，以点为圆心，BC长为半径作弧，以点为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点，连结BQ交AC于点，则点为AC的中点.
小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点，作BC的中垂线，垂足为点，以点为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点，则点为AC的中点.
小聪：小明，你的作法有问题.
小明：哦……我明白了.
（1）证明：小聪的作法是正确的.
（2）指出小明作法中存在的问题.
24．（2025·温岭二模）如图，点是平分线上的一点，点是射线BC上的一点（异于点，），连结MP，在射线BA上用尺规作图的方法找一点，使．下面有两种作图方法．
方法1：以为圆心，BM为半径作弧，交射线BA与，连结PN，则．
方法2：以为圆心，PM为半径作弧，交射线BA与，连结PN，则．
（1）请选择你认为正确的方法作出图形，并证明；
（2）直接写出当的大小满足什么条件时，两种方法都正确．
25．（2025·浙江二模）尺规作图问题：如图1，菱形，点是边BC上一点（不包含B，C），连接AE，用尺规在CD边上找到点，连结AF，EF，使．
小明：如图2，以为圆心，CE长为半径作弧，交DC于点，连结AF，EF，则．
小丽：以点为圆心，AE长为半径作弧，交CD于点，连结AF，EF，则．
（1）如图2，请你证明小明的作法是正确的．
（2）指出小丽作法中存在的问题．
26．（2025·义乌模拟）尺规作图问题：
如图1，已知点是的其中一边BA上一点，用尺规作图方法作.
（1）连结BF，根据作图痕迹，请说明BF平分.
（2）如图2，以为圆心，BD长为半径作弧，交BC于点，连结FG.
求证：四边形BGFD是菱形.
四、解答题
27．（2025·上城二模）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别为BC，AB中点，连结DE并延长，使 DE=EF。
（1）求证：四边形ADBF为矩形；
（2）记∠ADE=α， ∠AEM=β。
①求∠DEM(用含α，β的代数式表示）；
②若β=90°-2α，求证：2DE2=DM·DA。
28．（2025·普陀二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，连结BE，EF，FG。
（1）求证：四边形BEFG为平行四边形；
（2）如图1，若BD=2AB，求证：BE⊥AO；
（3）如图2，当平行四边形ABCD为菱形时，若BD=AB，AB=8，求四边形BEFG的面积。
29．（2025·浙江模拟）如图 1，正方形ABCD 中，点 E 是边AB上一点，连结 DE，取 DE 中点F，连结 BF并延长交CD延长线于点G.
（1）求证；BF=GF.
（2）将 BF绕点F逆时针旋转 90°至HF（如图 2），连结 BH，CH，DH，
①求∠DCH的度数；
②求证：∠ADE+∠CDH=45°.
30．（2025·浙江模拟）如图
（1）【感知方法】△ABC与△DEF的面积相等，按如图1所示摆放，点D在边BC上，△DEF与△ABC的边交于点G，H，M，N.已知△CDH的面积比△EGH面积大 2，△AGN与△BDM·面积和为3，求△FMN的面积.
第1步；设未知数，
设△CDH， △EGH，△AGN，△BDM，△FMN的面积分别为a，b.c，d，e.
第2步：表示，
a-b=2，c+d=3.
第3步：找数量关系，列式（方程），
请你完成第3步.
（2）【尝试应用】
如图 2，矩形ABCD中，连接AC，点 E 是△ACD内部一点，已知四边形ABCE与凹四边形ADCE 面积分别为12，7，求△AEC的面积.
（3）【拓展迁移】
如图 3，点 E 是矩形ABCD内部一点，过点 E 作线段MN，GF把矩形分成4个小矩形，点 M，N，G，F 在矩形边上，连接 AE，CE，AC，已知矩形 BFEM 与矩形 DNEG 的面积分别为m，n，求△AEC 的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；多边形内角与外角
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；等腰直角三角形；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A.两边相等的三角形是等腰三角形，故A不符合题意；
B.有一个角为直角的三角形是直角三角形，故B不符合题意；
C.有一个角45°的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，故C符合题意；
D.斜边与直角边比为的直角三角形是等腰直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形、直角三角形和等腰直角三角形的判断方法判断即可.
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：
设AB=a，BD=b，
根据题意得，，
∴，
∴AB=4，AC=3，
∴BC=，
∴拼补后的正方形CBJK边长为5.
故答案为：A.
【分析】 设AB=a，BD=b，根据题意列方程组，然后根据勾股定理即可得到结论.
10．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
四边形为菱形，
，，
和为直角三角形，且，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
，，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】设，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得OD=2DE，用勾股定理可将OE、OB用含a的代数式表示出来，由线段的和差OC=OD+CD、EB=OB-OE将OC、EB用含a的代数式表示出来，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
11．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：设AB=BE=x，EC=y，
由FE∥CD得，，
∴，
由GE∥AB得，△GEC∽△ABC，
∴，
即，
∴GE=
则===xy，
又∵SCDFE=EC·DC=xy=，
故答案为：D.
【分析】根据平行线间的距离相等，得到阴影部分面积为△GBC面积，设B=BE=x，EC=y，通过相似将GE用x，y的代数式表示，进而可表示△GBC的面积为xy，即为四边形CDFE的一半.
12．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线
13．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；平移的性质
14．【答案】；
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接CF，延长BE，交CF，CD分别于点G、H，连接FH，如图，
由折叠的性质可知：BH⊥CF，，
∴FH=CH
∴∠HFC=∠HCF，
∵DF//BE，
∴CF⊥DF，
即∠DFC=90°，
∴∠HFC+∠DFH=∠FDH+∠HCF=90°，
∴∠DFH=∠FDH
∴FH=DH=CH
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°
∴，
连接BD，DE，交AC于点O，过点B作BM⊥DF于点M，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠BCD=∠ABC=90°，，
∠ABD=∠ADB=∠ACB=∠ACD=45°，
由折叠的性质可知：BC=BF，∠BCE=∠BFE=45°，
∵∠DFE=90°
∴∠BFD=135°
∴∠BFM=45°，
即△BMF是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴∠BDM=30°，
∴∠MBD=60°，∠FBD=∠BFM-∠BDF=15°，
∴∠ABF=∠ABD-∠FBD=30°
∴∠FBE=∠CBE=30°，
∵BC=DC，∠BCE=DCE=45°，CE=CE
∴△BCE △DCE(SAS)，
∴BE=DE，∠CBE=CDE=30°，S△BCE=S△DCE，
∴∠FDE=∠FDB+∠BDC-∠CDE=45°，
∴△FDE是等腰直角三角形，
∴
过点E作ET⊥BC于点T，
设ET=TC=a，
∴，BE=2a，
∴DE=BE=2a，，
∴，
∴，，
∴
∴，
故答案为：；.
【分析】连接CF，延长BE，交CF，CD分别于点G、H，连接FH，由题意易得∠HFC=∠HCF，然后可得FH=DH=CH，进而问题可求解；连接BD，DE交AC于点O，过点B作BM⊥DF于点M，由题意易得∠BDM=30°，则有∠FBE=∠CBF=30°，，过点E作ET⊥BC于点T，设ET=TC=a，，BE=2a，最后问题可求解.
15．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
17．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连结OF，OE，
点是CD的中点，
由折叠易得，
，
与四边形MOCD的面积比为．
故答案为：.
【分析】先根据三角形的中位线性质得到OE∥AD∥NC，，证明△COE∽△CAD得到再证明△ONE≌△OMF，MF=NE，再证明，从而可得，进而可求解．
18．【答案】（1）；
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
19．【答案】（1）①甲、丙：
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知AE平分
又点为AB的中点
方法二：由图可知AE平分
为BC边上的中线，即点为BC的中点
又点为AB的中点
是的中位线
丙的做法证明如下：
方法一：连结BF，CF
由图可知点在BC的垂直平分线上
点在BC的垂直平分线上
是BC的垂直平分线
又点为AB的中点
方法二：连结BF，CF
由图可知点在BC的垂直平分线上
点在BC的垂直平分线上
是BC的垂直平分线，即点为BC的中点
又点为AB的中点
是的中位线
（2）
其他做法酌情给分
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理；尺规作图-等腰（等边）三角形
20．【答案】（1）解：由题意可知CD=CG=DG，
∴△GDC为等边三角形，
∴∠GDC=60°.
在正方形ABCD中，∠ADC=90°
∴∠ADG=150°.
（2）证明：在正方形 ABCD中，AD=CD，
∵CD=DG，∴AD=DG，
∴∠DAG=∠DGA.
∵∠ADG=150°
∴∠DAG=15°.
由题意可知AE=AF，∠ADC=∠B=90°，AD=AB，
∴RtΔADE≌RtΔABF(HL)，
∴∠BAF=∠DAG=15°
∵∠DAB=90°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；全等三角形中对应角的关系；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【分析】(1)证明∠ADC=90°，∠CDG=60°可得结论；
(2)利用全等三角形的判定和性质证明∠BAF=∠DAE=15°可得结论.
21．【答案】（1）①正确；②正确
（2）①选小明，连BM、CM，
证明菱形或三角形全等
再说明角相等
②选小红，连BN，
说明是等腰三角形
再说明BG是CN的垂直平分线，即BE是高线
（第（1）小题若选择错误，不影响第（2）小题得分）
【知识点】菱形的性质；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形
22．【答案】（1）解：如图所示
（2）解：如图所示
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)根据要求作出图形；
(2)作线段AB的垂直平分线交CD于点P，连接AP，BP即可.
23．【答案】（1）解：由作法得：，
四边形ABCQ是平行四边形，
∵点P为AC与BQ的交点，
∴点P为AC的中点，
小聪的作法是正确的．
（2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图．
小明的作法存在问题.
【知识点】平行四边形的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由作图可得，AQ=BC，AB=CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点．
（2）以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案．
24．【答案】（1）方法一正确
画图如图所示
证明：由作图可得
平分
在和中
（2）或
【知识点】三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：（2）当∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM时，两种方法都正确；
理由：当∠PMB=90°时，PM⊥BC，PM的长即为点P到BC的距离，
按照方法2作图，PN的长即为点P到AB的距离，∠PNB=90°，
射线AB上有且只有一个点N符合，则△BPN △BPM；
当∠PMB<∠PBM时，PM>PB，
此时按照方法2作图，PN>PB，
射线AB上有且只有一个点N符合，
则△BPN △BPM.
故答案为：∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM.
【分析】(1)方法一正确，根据题意画图即可；根据SAS即可证明全等；
(2)当以P为圆心，PM为半径作弧，与射线BA的交点N只有一个，即当∠PMB=90°或∠PMB<∠PBM时，两种方法都正确的.
25．【答案】（1）证明：如图，连接AC．
菱形，
．
，
．
．
，
．
是等边三角形．
．
（2）不正确．
理由如下：如图，以点为圆心，AE长为半径作弧，
与菱形的边交于点，此时与类形的边CD一般会有两个交点，只有其中一个点符合要求，所以小丽的作法不正确.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】(1)连接AC，证明△ACE △ADF，得到∠EAC=∠FAD，AE=AF，从而可证明△EAF是等边三角形，即可得出结论；
(2)根据以点A为圆心，AB长为半径作弧，与菱形的边交于点F，此时与菱形的边CD一般会有两个交点，只有其中一个点符合要求，即可作出判断.
26．【答案】（1）解：
平分
（2）证明：且
，
四边形DBGF是平行四边形
又
四边形DBGF是菱形
【知识点】菱形的判定；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1)由等角对等边可得∠DBF=∠DFB，由平行线的性质可得∠DFB=∠FBC，从而可得∠DBF=∠FBC即可得解；
(2)根据菱形的判定定理证明即可.
27．【答案】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，又D为BC中点
∴AD⊥BD
∴∠ADB=90°
又∵E为AB中点
∴AE=BE…
∴DE=EF
∴四边形ADBF为平行四边形
又∠ADB=90°
∴□ADBF为矩形
（2）解：①四边形ADBF为矩形
∴AE=DE， ∠DAF=90°，DF=2DE
∴∠ADE=∠MAE=α
又∵∠AEM=β
∴∠DME=∠MAE+∠AEM=α+β
∴∠DEM=180°-∠DME-∠ADE=180°-2α-β
②∵β=90°-2α
∴∠DEM=180°-2α-β=90°
∴∠DEM=∠DAF
又∵∠MDE=∠FDA
∴△DEM∽△DAF
∴
∴DM·DA=DE·DF
即 DM·DA=DE·2DE
∴2DE2=DM·DA·
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
28．【答案】（1）证明： ∵ 四边形ABCD 是 ABCD，
∴，，
∵点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，
∴，，，
∴，，
∴五边形BEFG是平行四边形；
（2）证明：∵ ABCD，
∴AC，BD互相平分，
∴，
∵，
∴，
∴点E为AO中点，
∴；
（3）解：过点 E 作 于点 H，
菱形
为等边三角形
∴四边形BEFG的面积。
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据中位线定理可得EF∥AD，EF=AD，BG=BC，即可得出EF∥BG，EF=BG，即可得证；
(2)先证BO=BA，再根据等腰三角形三线合一证垂直即可；
(3)过点E作EH⊥BC于点H，易得BD的长度，根据边关系可得∠BAO的度数，进而可得△ABC为等边三角形，从而得解.
29．【答案】（1）证明：正方形ABCD中，CD//AB，
∴∠G=∠ABG，∠FDG=∠FEB，
∵点F为DE中点，
∴DF=EF，
∴△GDF≌△BEF，
∴BF=GF.
（2）解：①如图，连结BD，
∵BF=GF，∴BG=2BF，
∵，BF=HF，
∴，，
∴，
在正方形ABCD中，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴.
②证明：∵，且相似比为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA
30．【答案】（1）解：△ABC与△DEF的面积相等，
∴b+e=a+c+d，
即b+e=(b+2)+c+(3-c)，
解得e=5，
∴△FMN的面积为5.
（2）解：设△∠AEC的面积为x，则△ABC的面积为12-x，△ADC的面积为7+x，
在矩形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，
∴△ABC的面积与△ADC的面积相等，即：12-x=7+x，
解得x=
∴△AEC的面积为
（3）解：由【尝试应用】得，
△AEC的面积=（矩形BFEM的面积-矩形DNEG的面积)=
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SSS
1 / 1

展开更多......

收起↑