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图形与坐标-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·邻水模拟）若点P坐标可表示为，其中m为任意实数，点P不可能在（　　）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025·婺城模拟）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点分别为，平移线段AB，点，的对应点分别为，已知，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·榕城模拟）如图，在平面直角坐标系中，将绕原点逆时针旋转，则其对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·北川模拟）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点A的坐标为，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·南沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到、、、、、，那么的坐标为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·德阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．（2025·椒江二模） 已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（1，1），B（3，1），C（x，0），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=　 　.
8．（2024九上·大东期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是　 　．
9．（2025·北川模拟）已知点 ，且，则点 P关于原点对称的点的坐标为　 　
10．（2025·长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为　 　．
11．（2024·龙华模拟）如图所示，将一副三角板如图放置在平面直角坐标系，斜边平行x轴，，点C的坐标为　 　．
12．（2024·青川模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与其关于直线对称的图象交于四点， 则四边形的面积为　 　．
三、解答题
13．（2025·湖州模拟）在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．
例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）求点的“纵横差”；
（2）求函数的“纵横极差”；
（3）若函数的“纵横极差”为4，求h的值．
14．（2025·温州模拟）已知抛物线（a，b为常数）经过点，．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
（3）点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围．
15．（2025·杭州模拟）在直角坐标系中，设函数与函数（，，b是常数，）的图象交于点A(1，4)，B(-2，t).
（1） 求函数，的表达式.
（2） 当时，比较与的大小.（直接写出结果）
（3） 若点C在函数的图象上，将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，点D恰好落在函数的图象上，求点C的坐标.
16．（2024·湖南模拟）2023年7月10日，习近平主席向全球共享发展行动论坛首届高级别会议致贺信中指出：“发展是人类社会的永恒主题，共享发展是建设美好世界的重要路径．”我们把函数与函数衍生出的函数称为“共享”函数．
（1）请求出函数与函数的“共享”函数，并求出此“共享”函数的最小值；
（2）若函数与函数的“共享”函数图象的顶点为A，与y轴的交点为B，此时由原点O与A，B三点组成的是以为底的等腰三角形，求点B的坐标；
（3）若函数与函数的“共享”函数的图象过点，且满足，．求点离原点O的距离的取值范围．
四、实践探究题
17．（2024·大余二模）综合与实践
某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象.发现：如图①所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明）.他们称：定点为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程.准线与轴的交点为，其中原点为的中点，.例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为：，其中，.
图① 图②
（1）【基础训练】
①抛物线的焦点坐标为 ▲ ，准线的方程为 ▲ ；
②如图②，已知抛物线上一点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，求点的坐标.
（2）【能力提升】
如图③，已知抛物线的焦点为，准线方程为，直线：交轴于点，交轴于点，抛物线上的动点到轴的距离为，到直线的距离为，请直接写出的最小值；
图③
（3）【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至.抛物线内有一定点，直线过点且与轴平行.当动点在该抛物线上运动时，点到直线的距离始终等于点到点的距离（该结论不需要证明）.例如：抛物线上的动点到点的距离等于点到直线：的距离.
请阅读上面的材料，回答问题
如图④，是第二象限内一定点，是抛物线上一动点.当取最小值时，请求出的面积.
图④
五、阅读理解题
18．（2021·凉山模拟）阅读下列材料：
平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程.例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.
（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：_　 　；
（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
2．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵A(2，4)平移后得到A'的坐标为(0，5)，
∴向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，
∴B(8，8)平移后的点的坐标为(8-2，8+1)，即点B'的坐标为(6，9)，
故答案为：A.
【分析】根据A点的坐标及其对应点A'的坐标可得线段AB向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，即可得到点B的坐标.
3．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
4．【答案】A
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作 轴于，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，过点作 轴于，得，根据点的坐标得，然后求出，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出长，再根据点在第四象限，即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】点的坐标
6．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故答案为：C
【分析】①根据“倍增点”的定义，分别验证即可求解；②根据点A结合“倍增点”的定义列出方程，进而求出a即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”的定义列出方程，再根据一元二次方程根的判别式得出该方程根的情况，进而即可判断；④设点，根据“倍增点”的定义得到，再根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，进而即可求解。
7．【答案】2或－2
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点C的坐标为(2，0)或(-2，0)，
∴x=2或-2；
故答案为：2或-2.
【分析】根据平行四边形的性质，对边平行且长度相等或对角线互相平分，分两种情况讨论点C的坐标.
8．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
，相似比为，
与的面积之比为．
故答案为：．
【分析】由题意，用位似的性质可得，相似比为，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解．
9．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；关于原点对称的点的坐标特征；偶次方的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点关于原点对称的点的坐标，
故答案为：．
【分析】根据几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，结合偶次方的非负性以及二次根式被开方数大于等于0，得关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出点P坐标，再根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可．
10．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于点，轴于点，如图，
∴∠BNC=∠BNO=∠BMO=∠MON=90°，
∴∠NBC=90°－∠NCB=45°=∠NCB，且四边形OMBN为矩形，
∴OM=BN=CN，ON=BM.
是等腰直角三角形，
，，
∵∠POA=∠AMB=90°，
，
，
，
，
，
，
∵，
故答案为：．
【分析】过点作于点，轴于点，证明∠NBC=∠NCB，四边形OMBN为矩形，可得OM=BN=CN，ON=BM.证明△APO≌△BAM，可得得，OA=BM，于是可得ON=BM=OA=3，然后根据即可求解．
11．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，作于点D，
∵，，
．
∵斜边平行x轴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作于点D，由勾股定理求出，再根据含30°角的直角三角形性质可得，求出，可得，由勾股定理求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】轴对称的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由，
解得或，
∴，，
∴，
连接，
设，
∵点关于直线对称，
∴，，
把、代入y=-x2+2x+1得，
，
得，，
整理得，，
即，
∴，
把代入得，，
整理得，，
解得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】联立直线y=-x与y=-x2+2x+1，求解得出求出A、C坐标，从而根据平面内两点间的距离公式可算出AC的长；连接BD，设，由点B、D关于直线对称，可得，，根据二次函数图象上点的坐标特点将B、D两点的坐标分别代入y=-x2+2x+1得出关于字母a、b的二元二次方程组，求解得出B、D两点的坐标，根据平面内两点间的距离公式算出BD的长，进而根据对角线互相垂直的四边形的面积等于量对角线乘积的一半，列式计算即可.
13．【答案】（1）解：点的“纵横差”为；；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴时，的最大值是，
∴函数的“纵横极差”为．
（3）解：∵函数的“纵横极差”为4，
∴当时，的最大值为4；
①若，则当时，有最大值为4，
∴，
解得：．
②若，则当时，有最大值为4，
∴，
解得：或（舍去）．
③若，则当时，有最大值为4，
∴，
解得：（舍去）．
综上可得，或.
【知识点】点的坐标；二次函数的最值；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据“纵横差”的定义即可求解；
（2）根据“纵横极差”的定义即可求解；
（3）根据“纵横极差”的定义得出的最大值为4．根据对h分三种情况：①若h＜-1，②若-1≤h≤3，③h＞3时，根据二次函数的图象和性质即可求解．
（1）解：点的“纵横差”为，
（2）解：因为，
所以，，
因为，
所以时，的最大值是，
所以，函数的“纵横极差”为．
（3）解：因为函数的“纵横极差”为4，
所以，当时，的最大值为4．
①若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得．
②若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得或（舍去）．
③若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得（舍去）．
综上所述，或
14．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵抛物线的函数表达式为，
∴当时，有，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，
∴，
解得：；
（3）解：∵抛物线的函数表达式为，
∴令，有，
解得：，
令，有，
解得：，
∵点C在抛物线上，且在第一象限，
∴由图象可得，的取值范围是或．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）先根据二次函数的顶点坐标公式求出顶点坐标，然后由坐标平移的性质得到关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（3）先求出和时x的值，然后根据二次函数的增减性以及结合图象即可求解.
（1）解：把，代入，
得解得
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴解得
（3）令，则，解得．
令，则，解得．
∵点C在抛物线上，且在第一象限，
∴由图象可得，的取值范围是或．
15．【答案】（1）解：∵两个函数图象交于点A(1，4)，
∵点. 在直线 图象上，
解得
；
（2）解：两个函数图象如图所示，
由图可知， 当 时，
（3）解：设点C坐标为
∵将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，
∵点D恰好落在函数 的图象上，
整理得
或
∴C(3，8)或(0，2).
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【分析】(1)待定系数法求出两个函数解析式即可；
(2)画出图象，利用数形结合解答即可；
(3)根据点的平移法则设点C坐标为 写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标.
16．【答案】（1）解：根据题意，函数与函数的“共享”函数是，由知，当时，y有最小值为，
即此“共享”函数的最小值为
（2）解：由题意，函数与函数的“共享”函数为，由得顶点A坐标为，
当时，，则点B坐标为，
∵点O与A，B三点组成的是以为底的等腰三角形，
∴，即，
∴，
解得，
∴，
∴点B的坐标为
（3）解：由题意，函数与函数的“共享”函数为，
∵该函数的图象过点，
∴，即，
∵，
∴，，，
由得得，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，即，
∴，
当时，，
∵当时，，
当时，，
当时，，
且，，
∴，
∵，
∴，
∴且；
当时，或，
∵当时，，
当时，，
∵，，
∴，
即，
综上，点离原点O的距离的取值范围为当时，且；当时，
【知识点】坐标与图形性质；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据“共享”函数的定义，得到二次函数的解析式，配方成顶点式得到最值即可解题；
（2）先根据“共享”函数的定义得到“共享”函数，即可得到顶点A坐标为，点B坐标为，利用等腰三角形的定义和两点坐标距离公式求得m值解题；
（3）先得到“共享”函数为，即可得到，进而得到，根据两点坐标距离公式求得，即可得到，分为和两种情况，求得的取值范围，根据二次函数的增减性求出的取值范围即可．
（1）解：根据题意，函数与函数的“共享”函数是，
由知，当时，y有最小值为，
即此“共享”函数的最小值为；
（2）解：由题意，函数与函数的“共享”函数为，
由得顶点A坐标为，
当时，，则点B坐标为，
∵点O与A，B三点组成的是以为底的等腰三角形，
∴，即，
∴，
解得，
∴，
∴点B的坐标为；
（3）解：由题意，函数与函数的“共享”函数为，
∵该函数的图象过点，
∴，即，
∵，
∴，，，
由得得，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，即，
∴，
当时，，
∵当时，，
当时，，
当时，，
且，，
∴，
∵，
∴，
∴且；
当时，或，
∵当时，，
当时，，
∵，，
∴，
即，
综上，点离原点O的距离的取值范围为当时，且；当时，．
17．【答案】（1）解：①；
②点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，
点到直线的距离是它到轴距离的3倍.
，
，
解得.
将代入得，，
解得（负值已舍去），
点的坐标为
（2）解：的最小值为.
（3）解：在抛物线中，，
，
抛物线的焦点坐标为，准线的方程为.
过点作准线于点，如图③.
，
.
图③ 图④
要使取得最小值，则的值要最小，故当，，三点共线时，，此刻的值最小，如图④.
点的坐标为准线，
点的横坐标为，代入，得，
，
的面积为.
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1） ① 由题意知：a=，则，
∴ 抛物线的焦点坐标为；
准线的方程为
故答案为：；.
（2）如图所示：过点P作PG⊥x轴交直线m于点G，
设点，则.
∴=，
对于直线m：，
令x=0，则y=-3；令y=0，则x=6，
故OC=3，OD=6.
∵PGCF，
∴PGE=OCE，故tanEPG=tan∠ODC=，
∴，
∴，
∴
∴=
∴=
∵a>0，
∴有最小值为=
【分析】
(1) ① 根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
② 根据PF=PN，把PF转化成PN=，P到X轴的距离为，，解出，
将代入，解出即可；
（2）先设P点坐标，表示出PG，，再通过化斜为直，找到与PG的关系，最后写出的表达式，根据二次函数的最值公式求出的最小值；
（3）根据题意求得抛物线的焦点坐标为F（0，0），准线的方程，过点P作准线l的垂线交于点G，结合题意和(1)中结论可知PG=PF=PO，则PO+PD=PG+PD，根据两点之间线段最短可得当D，P，G三点共线时，PO+PD的值最小，进而求出和DP，即可求出 的面积.
18．【答案】（1）
（2）解：∵⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，
∴圆心坐标为C（2，0），
∵点A（3，﹣1），AC=
∴点A在⊙C的内部.
【知识点】点与圆的位置关系；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），
∴，
故答案为：；
【分析】（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），然后根据题意可得标准方程；
（2）根据⊙C的标准方程可得圆心坐标为C（2，0），利用两点间距离公式求出AC，据此判断.
1 / 1图形与坐标-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·邻水模拟）若点P坐标可表示为，其中m为任意实数，点P不可能在（　　）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
2．（2025·婺城模拟）在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点分别为，平移线段AB，点，的对应点分别为，已知，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵A(2，4)平移后得到A'的坐标为(0，5)，
∴向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，
∴B(8，8)平移后的点的坐标为(8-2，8+1)，即点B'的坐标为(6，9)，
故答案为：A.
【分析】根据A点的坐标及其对应点A'的坐标可得线段AB向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，即可得到点B的坐标.
3．（2025·榕城模拟）如图，在平面直角坐标系中，将绕原点逆时针旋转，则其对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
4．（2025·北川模拟）小超同学在平面直角坐标系中画的奔驰车车标如图所示，若点A的坐标为，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作 轴于，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，过点作 轴于，得，根据点的坐标得，然后求出，根据含30°的直角三角形的性质得，利用勾股定理求出长，再根据点在第四象限，即可得到答案.
5．（2025·南沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按如下方向依次不断移动，得到、、、、、，那么的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标
6．（2024·德阳模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于点P（x1，y1），当点Q（x2，y2）满足2（x1+x2）＝y1+y2时，称点Q（x2，y2）是点P（x1，y1）的“倍增点”．已知点P1（1，0），有下列结论：
①点Q1（3，8），Q2（﹣2，﹣2）都是点P1的“倍增点”；
②若直线y＝x+2上的点A是点P1的“倍增点”，则点A的坐标为（2，4）；
③抛物线y＝x2﹣2x﹣3上存在两个点是点P1的“倍增点”；
④若点B是点P1的“倍增点”，则P1B的最小值是；
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
∵，，
∴，
∴，则是点的“倍增点”；
故①正确，符合题意；
②设点，
∵点A是点的“倍增点”，
∴，
解得：，
∴，
故②不正确，不符合题意；
③设抛物线上点是点的“倍增点”，
∴，整理得：，
∵，
∴方程有两个不相等实根，即抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
故③正确，符合题意；
④设点，
∵点是点的“倍增点”，
∴，
∵，，
∴
，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值是，
故④正确，符合题意；
综上：正确的有①③④，共3个．
故答案为：C
【分析】①根据“倍增点”的定义，分别验证即可求解；②根据点A结合“倍增点”的定义列出方程，进而求出a即可判断；③设抛物线上点是点的“倍增点”，根据“倍增点”的定义列出方程，再根据一元二次方程根的判别式得出该方程根的情况，进而即可判断；④设点，根据“倍增点”的定义得到，再根据两点间距离公式可得，把代入化简并配方，即可得出的最小值为，进而即可求解。
二、填空题
7．（2025·椒江二模） 已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（1，1），B（3，1），C（x，0），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x=　 　.
【答案】2或－2
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，
∴点C的坐标为(2，0)或(-2，0)，
∴x=2或-2；
故答案为：2或-2.
【分析】根据平行四边形的性质，对边平行且长度相等或对角线互相平分，分两种情况讨论点C的坐标.
8．（2024九上·大东期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
，相似比为，
与的面积之比为．
故答案为：．
【分析】由题意，用位似的性质可得，相似比为，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解．
9．（2025·北川模拟）已知点 ，且，则点 P关于原点对称的点的坐标为　 　
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；关于原点对称的点的坐标特征；偶次方的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点关于原点对称的点的坐标，
故答案为：．
【分析】根据几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，结合偶次方的非负性以及二次根式被开方数大于等于0，得关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出点P坐标，再根据点关于原点对称的点的坐标为求解即可．
10．（2025·长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点作于点，轴于点，如图，
∴∠BNC=∠BNO=∠BMO=∠MON=90°，
∴∠NBC=90°－∠NCB=45°=∠NCB，且四边形OMBN为矩形，
∴OM=BN=CN，ON=BM.
是等腰直角三角形，
，，
∵∠POA=∠AMB=90°，
，
，
，
，
，
，
∵，
故答案为：．
【分析】过点作于点，轴于点，证明∠NBC=∠NCB，四边形OMBN为矩形，可得OM=BN=CN，ON=BM.证明△APO≌△BAM，可得得，OA=BM，于是可得ON=BM=OA=3，然后根据即可求解．
11．（2024·龙华模拟）如图所示，将一副三角板如图放置在平面直角坐标系，斜边平行x轴，，点C的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，作于点D，
∵，，
．
∵斜边平行x轴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作于点D，由勾股定理求出，再根据含30°角的直角三角形性质可得，求出，可得，由勾股定理求出，再根据边之间的关系即可求出答案.
12．（2024·青川模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与其关于直线对称的图象交于四点， 则四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】轴对称的性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：由，
解得或，
∴，，
∴，
连接，
设，
∵点关于直线对称，
∴，，
把、代入y=-x2+2x+1得，
，
得，，
整理得，，
即，
∴，
把代入得，，
整理得，，
解得，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】联立直线y=-x与y=-x2+2x+1，求解得出求出A、C坐标，从而根据平面内两点间的距离公式可算出AC的长；连接BD，设，由点B、D关于直线对称，可得，，根据二次函数图象上点的坐标特点将B、D两点的坐标分别代入y=-x2+2x+1得出关于字母a、b的二元二次方程组，求解得出B、D两点的坐标，根据平面内两点间的距离公式算出BD的长，进而根据对角线互相垂直的四边形的面积等于量对角线乘积的一半，列式计算即可.
三、解答题
13．（2025·湖州模拟）在平面直角坐标系中，点的纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横差”．某范围内函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．
例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“纵横极差”为7．
根据定义，解答下列问题：
（1）求点的“纵横差”；
（2）求函数的“纵横极差”；
（3）若函数的“纵横极差”为4，求h的值．
【答案】（1）解：点的“纵横差”为；；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴时，的最大值是，
∴函数的“纵横极差”为．
（3）解：∵函数的“纵横极差”为4，
∴当时，的最大值为4；
①若，则当时，有最大值为4，
∴，
解得：．
②若，则当时，有最大值为4，
∴，
解得：或（舍去）．
③若，则当时，有最大值为4，
∴，
解得：（舍去）．
综上可得，或.
【知识点】点的坐标；二次函数的最值；一次函数的性质
【解析】【分析】（1）根据“纵横差”的定义即可求解；
（2）根据“纵横极差”的定义即可求解；
（3）根据“纵横极差”的定义得出的最大值为4．根据对h分三种情况：①若h＜-1，②若-1≤h≤3，③h＞3时，根据二次函数的图象和性质即可求解．
（1）解：点的“纵横差”为，
（2）解：因为，
所以，，
因为，
所以时，的最大值是，
所以，函数的“纵横极差”为．
（3）解：因为函数的“纵横极差”为4，
所以，当时，的最大值为4．
①若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得．
②若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得或（舍去）．
③若，则当时，有最大值为4，
所以，，解得（舍去）．
综上所述，或
14．（2025·温州模拟）已知抛物线（a，b为常数）经过点，．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）若点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，求m，n的值．
（3）点C在抛物线上，且在第一象限，若点C的纵坐标小于16，求点C的横坐标的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵抛物线的函数表达式为，
∴当时，有，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵点B向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线的顶点处，
∴，
解得：；
（3）解：∵抛物线的函数表达式为，
∴令，有，
解得：，
令，有，
解得：，
∵点C在抛物线上，且在第一象限，
∴由图象可得，的取值范围是或．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）先根据二次函数的顶点坐标公式求出顶点坐标，然后由坐标平移的性质得到关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（3）先求出和时x的值，然后根据二次函数的增减性以及结合图象即可求解.
（1）解：把，代入，
得解得
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：当时，，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴解得
（3）令，则，解得．
令，则，解得．
∵点C在抛物线上，且在第一象限，
∴由图象可得，的取值范围是或．
15．（2025·杭州模拟）在直角坐标系中，设函数与函数（，，b是常数，）的图象交于点A(1，4)，B(-2，t).
（1） 求函数，的表达式.
（2） 当时，比较与的大小.（直接写出结果）
（3） 若点C在函数的图象上，将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，点D恰好落在函数的图象上，求点C的坐标.
【答案】（1）解：∵两个函数图象交于点A(1，4)，
∵点. 在直线 图象上，
解得
；
（2）解：两个函数图象如图所示，
由图可知， 当 时，
（3）解：设点C坐标为
∵将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，
∵点D恰好落在函数 的图象上，
整理得
或
∴C(3，8)或(0，2).
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【分析】(1)待定系数法求出两个函数解析式即可；
(2)画出图象，利用数形结合解答即可；
(3)根据点的平移法则设点C坐标为 写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标.
16．（2024·湖南模拟）2023年7月10日，习近平主席向全球共享发展行动论坛首届高级别会议致贺信中指出：“发展是人类社会的永恒主题，共享发展是建设美好世界的重要路径．”我们把函数与函数衍生出的函数称为“共享”函数．
（1）请求出函数与函数的“共享”函数，并求出此“共享”函数的最小值；
（2）若函数与函数的“共享”函数图象的顶点为A，与y轴的交点为B，此时由原点O与A，B三点组成的是以为底的等腰三角形，求点B的坐标；
（3）若函数与函数的“共享”函数的图象过点，且满足，．求点离原点O的距离的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意，函数与函数的“共享”函数是，由知，当时，y有最小值为，
即此“共享”函数的最小值为
（2）解：由题意，函数与函数的“共享”函数为，由得顶点A坐标为，
当时，，则点B坐标为，
∵点O与A，B三点组成的是以为底的等腰三角形，
∴，即，
∴，
解得，
∴，
∴点B的坐标为
（3）解：由题意，函数与函数的“共享”函数为，
∵该函数的图象过点，
∴，即，
∵，
∴，，，
由得得，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，即，
∴，
当时，，
∵当时，，
当时，，
当时，，
且，，
∴，
∵，
∴，
∴且；
当时，或，
∵当时，，
当时，，
∵，，
∴，
即，
综上，点离原点O的距离的取值范围为当时，且；当时，
【知识点】坐标与图形性质；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）根据“共享”函数的定义，得到二次函数的解析式，配方成顶点式得到最值即可解题；
（2）先根据“共享”函数的定义得到“共享”函数，即可得到顶点A坐标为，点B坐标为，利用等腰三角形的定义和两点坐标距离公式求得m值解题；
（3）先得到“共享”函数为，即可得到，进而得到，根据两点坐标距离公式求得，即可得到，分为和两种情况，求得的取值范围，根据二次函数的增减性求出的取值范围即可．
（1）解：根据题意，函数与函数的“共享”函数是，
由知，当时，y有最小值为，
即此“共享”函数的最小值为；
（2）解：由题意，函数与函数的“共享”函数为，
由得顶点A坐标为，
当时，，则点B坐标为，
∵点O与A，B三点组成的是以为底的等腰三角形，
∴，即，
∴，
解得，
∴，
∴点B的坐标为；
（3）解：由题意，函数与函数的“共享”函数为，
∵该函数的图象过点，
∴，即，
∵，
∴，，，
由得得，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，即，
∴，
当时，，
∵当时，，
当时，，
当时，，
且，，
∴，
∵，
∴，
∴且；
当时，或，
∵当时，，
当时，，
∵，，
∴，
即，
综上，点离原点O的距离的取值范围为当时，且；当时，．
四、实践探究题
17．（2024·大余二模）综合与实践
某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象.发现：如图①所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线：的距离（该结论不需要证明）.他们称：定点为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程.准线与轴的交点为，其中原点为的中点，.例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为：，其中，.
图① 图②
（1）【基础训练】
①抛物线的焦点坐标为 ▲ ，准线的方程为 ▲ ；
②如图②，已知抛物线上一点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，求点的坐标.
（2）【能力提升】
如图③，已知抛物线的焦点为，准线方程为，直线：交轴于点，交轴于点，抛物线上的动点到轴的距离为，到直线的距离为，请直接写出的最小值；
图③
（3）【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线平移至.抛物线内有一定点，直线过点且与轴平行.当动点在该抛物线上运动时，点到直线的距离始终等于点到点的距离（该结论不需要证明）.例如：抛物线上的动点到点的距离等于点到直线：的距离.
请阅读上面的材料，回答问题
如图④，是第二象限内一定点，是抛物线上一动点.当取最小值时，请求出的面积.
图④
【答案】（1）解：①；
②点到焦点的距离是它到轴距离的3倍，
点到直线的距离是它到轴距离的3倍.
，
，
解得.
将代入得，，
解得（负值已舍去），
点的坐标为
（2）解：的最小值为.
（3）解：在抛物线中，，
，
抛物线的焦点坐标为，准线的方程为.
过点作准线于点，如图③.
，
.
图③ 图④
要使取得最小值，则的值要最小，故当，，三点共线时，，此刻的值最小，如图④.
点的坐标为准线，
点的横坐标为，代入，得，
，
的面积为.
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1） ① 由题意知：a=，则，
∴ 抛物线的焦点坐标为；
准线的方程为
故答案为：；.
（2）如图所示：过点P作PG⊥x轴交直线m于点G，
设点，则.
∴=，
对于直线m：，
令x=0，则y=-3；令y=0，则x=6，
故OC=3，OD=6.
∵PGCF，
∴PGE=OCE，故tanEPG=tan∠ODC=，
∴，
∴，
∴
∴=
∴=
∵a>0，
∴有最小值为=
【分析】
(1) ① 根据题中所给抛物线的焦点坐标和准线方程的定义求解即可；
② 根据PF=PN，把PF转化成PN=，P到X轴的距离为，，解出，
将代入，解出即可；
（2）先设P点坐标，表示出PG，，再通过化斜为直，找到与PG的关系，最后写出的表达式，根据二次函数的最值公式求出的最小值；
（3）根据题意求得抛物线的焦点坐标为F（0，0），准线的方程，过点P作准线l的垂线交于点G，结合题意和(1)中结论可知PG=PF=PO，则PO+PD=PG+PD，根据两点之间线段最短可得当D，P，G三点共线时，PO+PD的值最小，进而求出和DP，即可求出 的面积.
五、阅读理解题
18．（2021·凉山模拟）阅读下列材料：
平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程.例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.
（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：_　 　；
（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系.
【答案】（1）
（2）解：∵⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，
∴圆心坐标为C（2，0），
∵点A（3，﹣1），AC=
∴点A在⊙C的内部.
【知识点】点与圆的位置关系；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），
∴，
故答案为：；
【分析】（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y），然后根据题意可得标准方程；
（2）根据⊙C的标准方程可得圆心坐标为C（2，0），利用两点间距离公式求出AC，据此判断.
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