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数与式的探究【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·镇海区模拟）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？ （　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2025·长沙模拟）进位制是人们为了计数方便而人为定义的带进位的计数方法．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．计算机中常用的十六进制是一种逢十六进一的计数制，我们采用数字09和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7
十六进制 8 9 A B C D E F
十进制 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（　　）
A．D2 B．2D C．F5 D．E0
3．（2024·滕州模拟）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易 系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　）
A．或 B．1或 C．或4 D．1或4
4．（2024八上·五华期末）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
①②
③④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2024九下·武汉模拟）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干＋地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．
　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 　 　
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
如2024年为甲辰年．依据上述规律推断，1949年应为（　　）
A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年
6．（2025·武威模拟）方程，其中，对的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行一次“偏移变化”，再对方程中的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行二次“偏移变化”……，在变化过程中，记为偏移距离（为正整数），，则以下说法中，正确的个数是（　　）
①当时，是对方程进行三次“偏移变化”后得到方程的一组解；
②存在一个值，使得对方程进行偏移变化，偏移距离为；
③满足使为整数的的最小值为
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
7．（2024七下·宁波期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则　 　．
8．（2024九下·宁波模拟）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 　 　．
9．（2025·湖州模拟）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法
（说明：均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是-5．其中所有正确结论的序号是　 　．
10．（2024·平湖自主招生）"杨辉三角"是中国古代重要的数学成就，它比西方的"帕斯卡三角形"早了近300年，如图是一个"杨辉三角"数阵，第1行第1个数是1，第2行第2个数是，则第9行第3个数是　 　.
11．（2025·惠城模拟）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式：　 　．
三、实践探究题
12．（2025·滕州模拟）【项目学习】
配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1．把代数式进行配方．
解：原式；
例2．求代数式的最大值．
解：原式，
∵，∴，∴，∴的最大值为．
【问题解决】
（1）若m，k，h满足，求的值．
【迁移应用】
（2）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上．
①设，试用含x的代数式表示矩形工件的面积S；
②运用“配方法”求S的最大值．
13．我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：40(这里我们规定：a≠0时，1)，又如：而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”.二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似.
①我们可以把十进制整数转化成二进制整数.比如：，所以103用二进制数码表示是1100111，记为
②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：所以可以表示成二进制小数(0.001)2，记为
这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分子除以分母得到的二进制小数表示：
由于所以而可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1所以
③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如：由可知
问题解决：
（1）将十进制数35化成二进制数为，二进制小数(0.101)2化为十进制分数是　 　.
（2）将十进制分数化成二进制小数：=（　 　）2
（3）在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将0.6化为分数形式.
设则
故10x-x=6，即于是得到
同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数.
例如：将二进制循环小数(化成十进制分数.
设则
请将上述过程补充完整.
14．（2025·罗湖模拟）
（1）【新知探究】
对于正数，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题：
的值 的值 的值
5 4
4 4
4 m
3
①表格中的 ▲ ；
②根据表格，猜想与的大小关系（　　）；
A B C D
③当满足条件： ▲ 时，；
（2）【理解应用】
①已知，，当 ▲ 时，代数式取得最大值是 ▲ ；
②如图1，已知，在Rt中，，，求周长的最大值．
（3）【拓展提升】
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，为CD边上的动点，PA交BD于，过点作交BC边于点，连AF交BD于点，则面积的最小值是 ▲ ．
15．（2025·盐田模拟）综合与实践
问题情境】
求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得：
x的值 0 1 2 3
的值 13 30
小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即．
进一步取值，得到下表：
x的值 1.0 1.1 1.2 1.3
的值 0.84 2.29
得出结论：．
【操作判断】
（1）若关于x的一元二次方程在实数范围内有两个解、（其中）．
根据下列表格
x的值 1 1.5 2 2.5
的值 4 10
你能得出　 　的大致范围（填“”或“”）；请你写出这个解的取值范围：　 　．
【实践探究】已知二次函数（n为常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．
（2）若仅有一个交点的横坐标x满足，求出n的取值范围．
（3）不论n为何值，二次函数必过定点E．
①求E点坐标；
②连结，若，请求出n的值．
16．（2025·定海模拟）综合与实践 有趣的“乘法运算”
小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究．
【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘．
【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数．
例：，前积是13，后积是16
（1），前积是_______，后积是_______；
【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果．
（2）______________________________，
【推理算法】记两位数分别是和，且，其中，
（3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明．
17．（2024九下·钦南模拟）【综合与探究】如图①是2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．
（1）初步分析：计算图①中的结果为________．
将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0．
（2）数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其推理的过程如下，请你将其补充完整．
解：设，则，，________．
（　　）=________．
∴的值均为0．
（3）开放性拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究．请从下列A，B两题中任选一题作答．
A．在日历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由；
B．任日历中用“Y型框”框住位置如图④所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由．
日一二三四五六　　　123456789101112131415161718192021222324252627282930　　
a　b　　　c　d
ab　　cd
a　b　c　　d　
图① 图② 图③ 图④
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵圆表示数字0的点与数轴上表示的点重合，
∴当数轴上表示2025的点，圆滚动了个单位长度，
∵，
∴圆滚动了506周及2个单位到2025，
∴圆周上的2与数轴上的2025重合．
故答案为：C．
【分析】圆周上的0点与重合，滚动到2025，圆滚动了2026个单位长度，用2026除以4，余数即为重合点．
2．【答案】A
【知识点】有理数混合运算的实际应用；进位制的认识与探究
【解析】【解答】解：由于，
则，
所以用十六进制表示为，
故答案为：A．
【分析】先转化为十进制求出E与F的乘积，然后将结果转化成十六进制解题．
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解∶设幻方所填数如图所示，
∴，，
由①得，
由②
由得：，
解得：，，
故选：A．
【分析】根据幻方的规则，可得出关于x的一元二次方程，再求解方程即可．
4．【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故答案为：D
【分析】
观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
5．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：(年)，
，
，
∴天干为己，地支为丑，
∴1949年应为己丑年.
故答案为： B
【分析】根据“天干年为一周期，地支年为一周期”结合题意即可得到从年到年过的年数，进而即可求解。
6．【答案】D
【知识点】分式的值；分式的化简求值
【解析】【解答】解：①当时，，
，
，
∴，
将代入，有，
解得，
故是方程的一组解；故①正确；
②当时，
，
令，
解得，故②正确；
③，
，
，
，
，
∴，
∵，
，
，
，
∴，
∴，
当时，，解得(舍去)；
当时，，解得(舍去)；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
∴的最小值为，故③正确；
综上，①②③都是正确的，
故答案为：D．
【分析】①当时，求出，，的值，可得，将代入方程，解方程可判断①；②当时，求出，解方程可得，可判断②；③根据题意求出，，的值，总结规律可得，再求得，，的值，总结规律可得，则，分类讨论即可求出答案.
7．【答案】3
【知识点】三元一次方程组及其解法；幻方、幻圆数学问题；整体思想
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
①+②得：，
，
故答案为：3．
【分析】先根据题意，得到关于a，b的二元一次方程组，再利用整体思想求解．
8．【答案】
【知识点】三元一次方程组的应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】设左下角的空格中的数字为，
根据题意得：，
解得：，
．
故答案为：．
【分析】设左下角的空格中的数字为，根据“幻方”要求列三元一次方程组，然后用含x的代数式表示的值，代入计算即可．
9．【答案】①④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
∴，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
②∵，
∴，
解得：，
∴，故错误；
③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，故错误；
④当，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴c的值不可能是，说法正确；
综上所述：正确的结论有①④；
故答案为①④．
【分析】先根据表中信息，得出，再根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次判断正误．
10．【答案】36
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：第5行的前三个数为1，5，10，
第6行的前三个数为1，6，15，
∴第n行第三个数为1+2+3+4+……+(n-1)=
∴第9行的前三个数为，
故答案为：36.
【分析】根据 "杨辉三角"数阵依次得到前3个数计算即可.
11．【答案】
【知识点】“二十四点”游戏
12．【答案】解：（1）由题意，∵，
又∵，
∴，，
∴；
（2）①设的长度是x厘米，的长度是y厘米时，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为，
∴矩形面积；
②
，
故当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米．
【知识点】配方法解一元二次方程；二次函数的最值；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）将等号左边进行配方化简，根据对应相等可得k，h，再代入代数式即可求出答案.
（2）①设的长度是厘米，的长度是厘米，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值化简可得，再根据矩形面积即可求出答案.
②根据二次函数的性质即可求出答案.
13．【答案】（1）.
（2）
（3）解： 设则
∴
∴
∴
∴
【知识点】进位制的认识与探究
【解析】【解答】解：（1）解：
故答案为：.
（2）解：
故答案为：.
【分析】（1）把35写成；把写成即可求解；
（2）进而即可求解；
（3） 设则，则解此方程即可求解.
14．【答案】（1）①
②C
③a=b
（2）①20；100
②解：设BC=a，AC=b
∴
∵
∴
∴
∴周长的最大值为
（3）
【知识点】二次根式的化简求值；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得
故答案为：
②由表格可得：
，即
故答案为：C
③当且仅当a=b时，
故答案为：a=b
（2）①∵
∴x-10>0，30-x>0
∴当x-10=30-x，即x=20时，代数值取得最大值为(20-10)(30-20)=100
故答案为：20；100
（3）连接AC交BD于点O，连接CE
由正方形对称性可得，AE=CE，∠BCE=∠BAE
∵正方形ABCD的边长为4
∴AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD
∴
∵FE⊥AP
∴∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE
∴EF=EC=EA
∴∠EAF=45°
∵AO⊥BD，
∴
当OG=OE时，S△ACE最小
此时AO是GE的垂直平分线
∴AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°
∵OB=OD，AB=AD
∴△ABG≌△ADE
∴BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO
过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x
∵∠ABD=∠ADB=45°
∴
∴
解得：
∴
∴
∴面积的最小值为
【分析】（1）①根据几何平均数的定义计算即可求出答案.
②根据表格信息即可求出答案.
③根据表格信息即可求出答案.
（2）①根据不等式性质可得x-10>0，30-x>0，再根据（1）中结论即可求出答案.
②设BC=a，AC=b，根据勾股定理可得，根据（1）中结论可得，则，即可求出答案.
（3）连接AC交BD于点O，连接CE，根据正方形性质可得AE=CE，∠BCE=∠BAE，AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD，根据勾股定理可得，则，根据角之间的关系可得∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE，则EF=EC=EA，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得，当OG=OE时，S△ACE最小，此时AO是GE的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°，再根据全等三角形判定定理可得△ABG≌△ADE，则BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO，过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x，根据等腰直角三角形性质可得，建立方程，解方程可得，则，即可求出答案.
15．【答案】（1）x1；1.5（2）解：当x=5时，y=-2n+14
当x=6时，y=-3n+22
∵仅有一个交点的横坐标x满足
∴①或②
解①得：
解②得：无解
综上，n的取值范围为
（3）解：①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4
由上式可知，当x=3时，不论n取何值，y恒等于4
故点E的坐标为(3，4)
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形
分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F
∴∠EHA=∠DFA，∠AEH=∠DAF=90°-∠EAH，AE=AD
∴△EHA≌△AFD
设A(x1，0)，B(x2，0)
由题意可得，x1∵E(3，4)
∴EH=AF=4，HA=DF=x1-3，BF=x2-x1-4
∵∠DBF=∠EBH，∠DFB=∠EHB
∴△BDF∽△BEH
∴，即
整理得：①
对于函数
令y=0，得到方程
方程的判别式
根据题意可得
由求根公式得，，
代入①中，得
解得：，此时满足
【知识点】相似三角形的判定；等腰直角三角形；一元二次方程的求根公式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）∵a<0
∴当时，y随x的增大而增大
由表格可知，表格给的数据是y随x的增大而增大
∴可得出x1的大致范围
∵
∴1.5故答案为：x1；1.5【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）①①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4，根据二次函数的性质即可求出答案.
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形，分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F，根据全等三角形判定定理可得△EHA≌△AFD，设A(x1，0)，B(x2，0)，由题意可得，x116．【答案】算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且，其中，，那么．
证明：∵，，
∴
，
∵，
∴
．
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；有理数的乘法法则；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴前积是22，后积是36．
故答案为：22，36；
（2）．
故答案为：，2125；
【分析】
（1）利用题干中的示例的方法解答即可；
（2）仿照例题的解答过程运算即可；
（3）利用多项式乘以多项式的法则运算即可．
17．【答案】（1）0
（2）；；0
（3）A．的值均为0，
理由：设，则，，，
，
所以，的值均为0
B．的值均为，
理由：设，则，，，
，
所以，的值均为．
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】（1）解：，
将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0，
故答案为：0
（2）设，则，，，
．
所以，的值均为0，
故答案为：；；0；
【分析】（1）根据图形规律即可求解；
（2）设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解；
（3）A．设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解；B．设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解；
（1）解：，
将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0，
故答案为：0
（2）设，则，，，
．
所以，的值均为0，
故答案为：；；0；
（3）A．的值均为0，
理由：设，则，，，
，
所以，的值均为0
B．的值均为，
理由：设，则，，，
，
所以，的值均为．
1 / 1数与式的探究【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·镇海区模拟）如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示哪个数字的点重合？ （　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵圆表示数字0的点与数轴上表示的点重合，
∴当数轴上表示2025的点，圆滚动了个单位长度，
∵，
∴圆滚动了506周及2个单位到2025，
∴圆周上的2与数轴上的2025重合．
故答案为：C．
【分析】圆周上的0点与重合，滚动到2025，圆滚动了2026个单位长度，用2026除以4，余数即为重合点．
2．（2025·长沙模拟）进位制是人们为了计数方便而人为定义的带进位的计数方法．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．计算机中常用的十六进制是一种逢十六进一的计数制，我们采用数字09和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：
十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7
十进制 0 1 2 3 4 5 6 7
十六进制 8 9 A B C D E F
十进制 8 9 10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（　　）
A．D2 B．2D C．F5 D．E0
【答案】A
【知识点】有理数混合运算的实际应用；进位制的认识与探究
【解析】【解答】解：由于，
则，
所以用十六进制表示为，
故答案为：A．
【分析】先转化为十进制求出E与F的乘积，然后将结果转化成十六进制解题．
3．（2024·滕州模拟）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易 系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　）
A．或 B．1或 C．或4 D．1或4
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解∶设幻方所填数如图所示，
∴，，
由①得，
由②
由得：，
解得：，，
故选：A．
【分析】根据幻方的规则，可得出关于x的一元二次方程，再求解方程即可．
4．（2024八上·五华期末）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：
①②
③④
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故答案为：D
【分析】
观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．
5．（2024九下·武汉模拟）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”十个符号叫天干；“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戊、亥”十二个符号叫地支．把干支（天干＋地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．
　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 　 　
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
如2024年为甲辰年．依据上述规律推断，1949年应为（　　）
A．癸亥年 B．己丑年 C．癸酉年 D．甲子年
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：(年)，
，
，
∴天干为己，地支为丑，
∴1949年应为己丑年.
故答案为： B
【分析】根据“天干年为一周期，地支年为一周期”结合题意即可得到从年到年过的年数，进而即可求解。
6．（2025·武威模拟）方程，其中，对的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行一次“偏移变化”，再对方程中的系数作变化：得到方程，其中，称为对方程进行二次“偏移变化”……，在变化过程中，记为偏移距离（为正整数），，则以下说法中，正确的个数是（　　）
①当时，是对方程进行三次“偏移变化”后得到方程的一组解；
②存在一个值，使得对方程进行偏移变化，偏移距离为；
③满足使为整数的的最小值为
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】分式的值；分式的化简求值
【解析】【解答】解：①当时，，
，
，
∴，
将代入，有，
解得，
故是方程的一组解；故①正确；
②当时，
，
令，
解得，故②正确；
③，
，
，
，
，
∴，
∵，
，
，
，
∴，
∴，
当时，，解得(舍去)；
当时，，解得(舍去)；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
∴的最小值为，故③正确；
综上，①②③都是正确的，
故答案为：D．
【分析】①当时，求出，，的值，可得，将代入方程，解方程可判断①；②当时，求出，解方程可得，可判断②；③根据题意求出，，的值，总结规律可得，再求得，，的值，总结规律可得，则，分类讨论即可求出答案.
二、填空题
7．（2024七下·宁波期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则　 　．
【答案】3
【知识点】三元一次方程组及其解法；幻方、幻圆数学问题；整体思想
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
①+②得：，
，
故答案为：3．
【分析】先根据题意，得到关于a，b的二元一次方程组，再利用整体思想求解．
8．（2024九下·宁波模拟）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方．图2是一个未完成的幻方，其中的值为 　 　．
【答案】
【知识点】三元一次方程组的应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】设左下角的空格中的数字为，
根据题意得：，
解得：，
．
故答案为：．
【分析】设左下角的空格中的数字为，根据“幻方”要求列三元一次方程组，然后用含x的代数式表示的值，代入计算即可．
9．（2025·湖州模拟）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中p，q，c均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法
（说明：均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②若，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是-5．其中所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①④
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；配方法的应用；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
∴，
①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故正确；
②∵，
∴，
解得：，
∴，故错误；
③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，故错误；
④当，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴c的值不可能是，说法正确；
综上所述：正确的结论有①④；
故答案为①④．
【分析】先根据表中信息，得出，再根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次判断正误．
10．（2024·平湖自主招生）"杨辉三角"是中国古代重要的数学成就，它比西方的"帕斯卡三角形"早了近300年，如图是一个"杨辉三角"数阵，第1行第1个数是1，第2行第2个数是，则第9行第3个数是　 　.
【答案】36
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：第5行的前三个数为1，5，10，
第6行的前三个数为1，6，15，
∴第n行第三个数为1+2+3+4+……+(n-1)=
∴第9行的前三个数为，
故答案为：36.
【分析】根据 "杨辉三角"数阵依次得到前3个数计算即可.
11．（2025·惠城模拟）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式：　 　．
【答案】
【知识点】“二十四点”游戏
三、实践探究题
12．（2025·滕州模拟）【项目学习】
配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题．
例1．把代数式进行配方．
解：原式；
例2．求代数式的最大值．
解：原式，
∵，∴，∴，∴的最大值为．
【问题解决】
（1）若m，k，h满足，求的值．
【迁移应用】
（2）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上．
①设，试用含x的代数式表示矩形工件的面积S；
②运用“配方法”求S的最大值．
【答案】解：（1）由题意，∵，
又∵，
∴，，
∴；
（2）①设的长度是x厘米，的长度是y厘米时，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为，
∴矩形面积；
②
，
故当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米．
【知识点】配方法解一元二次方程；二次函数的最值；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）将等号左边进行配方化简，根据对应相等可得k，h，再代入代数式即可求出答案.
（2）①设的长度是厘米，的长度是厘米，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值化简可得，再根据矩形面积即可求出答案.
②根据二次函数的性质即可求出答案.
13．我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：40(这里我们规定：a≠0时，1)，又如：而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”.二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似.
①我们可以把十进制整数转化成二进制整数.比如：，所以103用二进制数码表示是1100111，记为
②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：所以可以表示成二进制小数(0.001)2，记为
这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分子除以分母得到的二进制小数表示：
由于所以而可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1所以
③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如：由可知
问题解决：
（1）将十进制数35化成二进制数为，二进制小数(0.101)2化为十进制分数是　 　.
（2）将十进制分数化成二进制小数：=（　 　）2
（3）在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将0.6化为分数形式.
设则
故10x-x=6，即于是得到
同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数.
例如：将二进制循环小数(化成十进制分数.
设则
请将上述过程补充完整.
【答案】（1）.
（2）
（3）解： 设则
∴
∴
∴
∴
【知识点】进位制的认识与探究
【解析】【解答】解：（1）解：
故答案为：.
（2）解：
故答案为：.
【分析】（1）把35写成；把写成即可求解；
（2）进而即可求解；
（3） 设则，则解此方程即可求解.
14．（2025·罗湖模拟）
（1）【新知探究】
对于正数，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题：
的值 的值 的值
5 4
4 4
4 m
3
①表格中的 ▲ ；
②根据表格，猜想与的大小关系（　　）；
A B C D
③当满足条件： ▲ 时，；
（2）【理解应用】
①已知，，当 ▲ 时，代数式取得最大值是 ▲ ；
②如图1，已知，在Rt中，，，求周长的最大值．
（3）【拓展提升】
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，为CD边上的动点，PA交BD于，过点作交BC边于点，连AF交BD于点，则面积的最小值是 ▲ ．
【答案】（1）①
②C
③a=b
（2）①20；100
②解：设BC=a，AC=b
∴
∵
∴
∴
∴周长的最大值为
（3）
【知识点】二次根式的化简求值；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）①由题意可得
故答案为：
②由表格可得：
，即
故答案为：C
③当且仅当a=b时，
故答案为：a=b
（2）①∵
∴x-10>0，30-x>0
∴当x-10=30-x，即x=20时，代数值取得最大值为(20-10)(30-20)=100
故答案为：20；100
（3）连接AC交BD于点O，连接CE
由正方形对称性可得，AE=CE，∠BCE=∠BAE
∵正方形ABCD的边长为4
∴AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD
∴
∵FE⊥AP
∴∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE
∴EF=EC=EA
∴∠EAF=45°
∵AO⊥BD，
∴
当OG=OE时，S△ACE最小
此时AO是GE的垂直平分线
∴AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°
∵OB=OD，AB=AD
∴△ABG≌△ADE
∴BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO
过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x
∵∠ABD=∠ADB=45°
∴
∴
解得：
∴
∴
∴面积的最小值为
【分析】（1）①根据几何平均数的定义计算即可求出答案.
②根据表格信息即可求出答案.
③根据表格信息即可求出答案.
（2）①根据不等式性质可得x-10>0，30-x>0，再根据（1）中结论即可求出答案.
②设BC=a，AC=b，根据勾股定理可得，根据（1）中结论可得，则，即可求出答案.
（3）连接AC交BD于点O，连接CE，根据正方形性质可得AE=CE，∠BCE=∠BAE，AB=BC=CD=AD=4，AC⊥BD，根据勾股定理可得，则，根据角之间的关系可得∠EFC=180°-∠BFE=∠BAE=∠BCE，则EF=EC=EA，根据等腰直角三角形性质可得，再根据三角形面积可得，当OG=OE时，S△ACE最小，此时AO是GE的垂直平分线，根据垂直平分线性质可得AG=AE，∠GAO=∠EAO=22.5°，再根据全等三角形判定定理可得△ABG≌△ADE，则BG=DE，∠BAG=∠DAE=22.5°=∠GAO=∠EAO，过点G作GW⊥AB于点W，过点E作EK⊥AD于点K，则可设WG=GO=EK=OE=x，根据等腰直角三角形性质可得，建立方程，解方程可得，则，即可求出答案.
15．（2025·盐田模拟）综合与实践
问题情境】
求方程的解，就是求二次函数的图象与x轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，小亮取了自变量x的4个值，再分别算出相应的y值，列表得：
x的值 0 1 2 3
的值 13 30
小亮通过分析得出结论：方程必有两个解，其中一个解大于1且小于2，设这个解为x，即．
进一步取值，得到下表：
x的值 1.0 1.1 1.2 1.3
的值 0.84 2.29
得出结论：．
【操作判断】
（1）若关于x的一元二次方程在实数范围内有两个解、（其中）．
根据下列表格
x的值 1 1.5 2 2.5
的值 4 10
你能得出　 　的大致范围（填“”或“”）；请你写出这个解的取值范围：　 　．
【实践探究】已知二次函数（n为常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧）．
（2）若仅有一个交点的横坐标x满足，求出n的取值范围．
（3）不论n为何值，二次函数必过定点E．
①求E点坐标；
②连结，若，请求出n的值．
【答案】（1）x1；1.5（2）解：当x=5时，y=-2n+14
当x=6时，y=-3n+22
∵仅有一个交点的横坐标x满足
∴①或②
解①得：
解②得：无解
综上，n的取值范围为
（3）解：①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4
由上式可知，当x=3时，不论n取何值，y恒等于4
故点E的坐标为(3，4)
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形
分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F
∴∠EHA=∠DFA，∠AEH=∠DAF=90°-∠EAH，AE=AD
∴△EHA≌△AFD
设A(x1，0)，B(x2，0)
由题意可得，x1∵E(3，4)
∴EH=AF=4，HA=DF=x1-3，BF=x2-x1-4
∵∠DBF=∠EBH，∠DFB=∠EHB
∴△BDF∽△BEH
∴，即
整理得：①
对于函数
令y=0，得到方程
方程的判别式
根据题意可得
由求根公式得，，
代入①中，得
解得：，此时满足
【知识点】相似三角形的判定；等腰直角三角形；一元二次方程的求根公式及应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：（1）∵a<0
∴当时，y随x的增大而增大
由表格可知，表格给的数据是y随x的增大而增大
∴可得出x1的大致范围
∵
∴1.5故答案为：x1；1.5【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（3）①①将函数变形为y=(x-3)n+x2-3x+4，根据二次函数的性质即可求出答案.
②过点A作AD⊥AD交BE于点D，由∠AEB=45°可得△AED为等腰直角三角形，分别过点E，点D向x轴引垂线，垂足分别为点H，点F，根据全等三角形判定定理可得△EHA≌△AFD，设A(x1，0)，B(x2，0)，由题意可得，x116．（2025·定海模拟）综合与实践 有趣的“乘法运算”
小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究．
【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘．
【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数．
例：，前积是13，后积是16
（1），前积是_______，后积是_______；
【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果．
（2）______________________________，
【推理算法】记两位数分别是和，且，其中，
（3）请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明．
【答案】算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且，其中，，那么．
证明：∵，，
∴
，
∵，
∴
．
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；有理数的乘法法则；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴前积是22，后积是36．
故答案为：22，36；
（2）．
故答案为：，2125；
【分析】
（1）利用题干中的示例的方法解答即可；
（2）仿照例题的解答过程运算即可；
（3）利用多项式乘以多项式的法则运算即可．
17．（2024九下·钦南模拟）【综合与探究】如图①是2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图②所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．
（1）初步分析：计算图①中的结果为________．
将的方框移动到图①中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0．
（2）数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其推理的过程如下，请你将其补充完整．
解：设，则，，________．
（　　）=________．
∴的值均为0．
（3）开放性拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图①中的日历，继续进行如下探究．请从下列A，B两题中任选一题作答．
A．在日历中用“Z型框”框住位置如图③所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由；
B．任日历中用“Y型框”框住位置如图④所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由．
日一二三四五六　　　123456789101112131415161718192021222324252627282930　　
a　b　　　c　d
ab　　cd
a　b　c　　d　
图① 图② 图③ 图④
【答案】（1）0
（2）；；0
（3）A．的值均为0，
理由：设，则，，，
，
所以，的值均为0
B．的值均为，
理由：设，则，，，
，
所以，的值均为．
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】（1）解：，
将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0，
故答案为：0
（2）设，则，，，
．
所以，的值均为0，
故答案为：；；0；
【分析】（1）根据图形规律即可求解；
（2）设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解；
（3）A．设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解；B．设，则，，，根据数量关系列出算式计算即可求解；
（1）解：，
将的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为0，
故答案为：0
（2）设，则，，，
．
所以，的值均为0，
故答案为：；；0；
（3）A．的值均为0，
理由：设，则，，，
，
所以，的值均为0
B．的值均为，
理由：设，则，，，
，
所以，的值均为．
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