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图形的探究-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2024·长沙模拟） “割圆术”孕育了微积分思想，领先世界近千年．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为
A． B．3 C． D．
2．（2024九上·南京期中）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2018的坐标是（　　）
A．（﹣2018，0） B．（21009，0）
C．（21008，﹣21008） D．（0，21009）
3．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边上，三角形①的边在边上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2022·荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形 ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形 的面积是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·镇海区期中）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为时，向右平移；当余数为时，向上平移；当余数为时，向左平移），每次平移个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则点的坐标为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
二、填空题
6．（2025·湖南模拟）如图，个边长为的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，的面积为，则　 　．
7．（2025·内江模拟）如图，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的顶点，，在射线上，顶点，在射线上，连接交于点，连接交于点，连接交于点，…，连接交于点，连接交于点，…，按照这个规律进行下去，设四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，…，若，则等于　 　．（用含有正整数的式子表示）．
8．（2024八下·江门期中）如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直角边，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为　 　．
9．（2024九下·齐齐哈尔模拟）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为　 　．
10．（2024·成都一诊）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和图形N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N间的“捷径距离”，记为d（图形M，图形N）．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，2），将三角形ABC绕点D（a，a）逆时针旋转90°得到△A'B'C'，若△A'B'C'上任意点都在半径为4的⊙O内部或圆上，则△ABC与△A'B'C'的“捷径距离”d（△ABC，△A'B'C'）的最小值是 　 　，最大值是 　 　．
11．（2024·永州模拟）如图①②③④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正n边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，连接交于点P．在图①②③中，的度数分别为、、，则在图④中　 　（用含n的代数式表示）．
三、实践探究题
12．（2025·深圳模拟）[问题提出]
如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）．
（1）[问题探究]
如图1，当点从点运动到点时，
①用含的代数式表示的长： ▲ ；
②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象：
0 1 2 3 4
0 1.5 2
表中的值为 ▲ ，的值为 ▲ ；
（2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式；
（3）[问题解决]
若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积．
13．（2025·鹿城模拟）如图，在矩形ABCD中，过点作．连接BE交边AD于点，连接BF交边CD于点．
（1）［认识图形］求证：．
（2）［研究特例］若，直接写出与的值．
（3）［探索关系］若（是常数），设，求关于的函数表达式．
（4）［应用结论］若，求AB的长．
14．（2025·东莞模拟）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1．将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点，打开铺平，连接、、．
【探究提炼】
（1）如图1，点是上任意一点；线段和线段存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．
①求的度数；
②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值：若不存在，说明理由．
15．（2024九上·余杭期中）根据以下素材，探索完成任务：
如何拼制“花朵”
素材1 如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个半圆①和⑦，等腰直角三角形②，都含45°角的不规则图形③、直角梯形④、不规则图形⑤，圆⑥组成. 已知半圆①的直径是2，AJ=BK，AB=BC=2AI.
素材2 如图2，矩形POMN内，上面这个智力七巧板恰好能拼成“一朵花”自的形状.
问题解决
任务1 探究板块大小 根据素材1，求AB和KH的长.
任务2 拟定摆放方法 在图2这朵花中，请你分割出七块板的摆放方法（一种即可），并标上序号.
任务3 确定花朵大小 求矩形PQMN的周长
16．（广东省深圳市坪山区部分学校2024-2025学年九年级中考适应性考试数学 试卷 ）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，则，试说明理由．
（1）思路梳理
，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合.
，点，，共线根据______ 从“，，，”中选择填写，易证 ______ ，得．
（2）类比引申
如图，四边形中，，，点，分别在边，上，若，都不是直角，则当与满足等量关系______ 时，仍有．
（3）联想拓展
如图，在中，，，点，均在边上，且猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程．
（4）思维深化
如图，在中，，，点，均在直线上，点在点的左边，且，当，时，直接写出的长．
17．（2025·深圳模拟）某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究．
（1）【合作探究】
如图1，在中，点为上一点，，求证：．
（2）【内化迁移】
如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点，．若，，求的长．
（3）学以致用】
如图3，在菱形中，，，点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交延长线于点，若，求的长．
（4）【综合拓展】
如图4，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；“割圆术”
【解析】【解答】解：如图所示， 正十二边形内接于 ，过点A作AC⊥OB于点C，
∠AOC=360°÷12=30°，
的半径为1，
OA=OB=1，
，
，
正十二边形的面积为，
圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为3.
故答案为：B.
【分析】如图所示， 正十二边形内接于 ，过点A作AC⊥OB于点C，求出∠AOC=30°，根据直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得出AC=，进而可得正十二边形的面积为3，据此即可得的估计值.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-图形的递变加循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵A1（1，1），A2（2，0），A3（2，﹣2），A4（0，﹣4），A5（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），A9（16，16），A10（32，0），…，
∴A8n+2（24n+1，0）（n为自然数）．
∵2018＝252×8+2，
∴点A2018的坐标为（21009，0）．
故答案为：B．
【分析】先分别A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、…的坐标，再从中找出规律，然后利用规律求解．
3．【答案】D
【知识点】七巧板与拼图制作；正方形的性质
【解析】【解答】解：设七巧板正方形的边长为，
，
，
，
，
．
故答案为：D
【分析】设七巧板正方形的边长为，进而根据七巧板的特点得到，化简得到，从而即可得到，再相比根据分式的约分化简即可求解。
4．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；探索图形规律；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接AC，BD， A1C1 ， B1D1 .
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ， ， .
∵ ， ， ， 分别是矩形四个边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形A1B1C1D1是菱形，
∵ ， ，
∴四边形A1B1C1D1的面积为： .
同理，由中位线的性质可知，
， ，
， ，
∴四边形A2B2C2D2是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形A2B2C2D2是矩形，
∴四边形A2B2C2D2的面积为： .
∴每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，
∴四边形AnBnCnDn的面积是 .
故答案为：A.
【分析】连接AC，BD，A1C1 ， B1D1 ，易证四边形A1B1C1D1是菱形，可得四边形A1B1C1D1 的面积为矩形ABCD面积的一半，则四边形A1B1C1D1 的面积=ab，易证四边形A2B2C2D2是矩形，可得矩形A2B2C2D2的面积=，从而得出每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，据此即可求解.
5．【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵“和点“按上述规则连续平移16次后，到达点，
∴将点反向平移16次后，到达“和点“，
根据题意，可知”和点“ 的平移过程为：向右平移1个单位长度得到，向上平移1个单位长度得到，向左平移1个单位长度得到，向上平移1个单位长度得到，......，
∴平移规则为：先向右平移1个单位长度，再按照”向上、向左“平移1个单位长度的循环规律进行平移，
①当点先向右平移1个单位长度得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，
∴应该是向右平移个单位得到， 故矛盾，不成立；
②当点先向下平移1个单位长度得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个 单位得到，故符合题意，
∴先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，
∴最后一次若向右平移则为，若向左平移则为 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意得将点反向平移16次后，到达“和点“，然后由”和点“P的平移过程找出平移的规则：先向右平移1个单位长度，再按照”向上、向左“平移1个单位长度的循环规律进行平移，接下来进行分类讨论：①先向右个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是向右平移个单位得到， 故矛盾，不成立；②先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意.读懂题意，熟练掌握平移与坐标关系，利用反向运动理解是解题的关键.
6．【答案】
【知识点】探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
的面积为
则
故答案为：128.
【分析】利用相似三角形的性质求出. 再利用三角形的面积公式代入值计算即可.
7．【答案】．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵正方形，正方形，且，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理，
∵正方形，正方形，正方形，边长分别为2，4， 8，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∵，
∴，
设△EDB1和△EB2D1的边DB1和B2D1上的高分别为h1和，
∴
∵
∴，
设的边的高分别为，
∴
∴；
同理求得：；
；
…
．
故答案为：．
【分析】先根据平行线分线段成比例得到CD=，，然后证明△△，即可求出边D上的高为，得到S1的值，依次类推得到S2，S3的值，总结规律解题即可.
8．【答案】
【知识点】勾股定理；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：∵在，，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
同理可以求出正方形的边长为，
正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
故答案为：．
【分析】先求出正方形的边长为，正方形的边长为，可得规律正方形的边长为，再将n=2024代入计算即可.
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：根据题意可知：直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，
点坐标为，点坐标为，
∴，
，
，
，
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
四边形是以为边的正方形，且点坐标为，
，
，
=，
∴，
∴，
，
四边形是以为边的正方形，
是等腰直角三角形，
，
，
=，
点的坐标为，
正方形的边长为3，
同理可得：，
，
=，
∴，
∴，
，
四边形是以为边的正方形，
是等腰直角三角形，
，
，
=，
同理可得：正方形的边长是9，，，，，，
，
根据以上规律可以得出：，为整数），
，
的长为．
故答案为：．
【分析】先利用等腰直角三角形得性质、勾股定理和三角函数求出、的长，找出规律，为整数），再根据规律即可求得的长.
10．【答案】2；
【知识点】勾股定理；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
（1）由题可知，点D(a，a)在直线y=x上移动，点C'在直线y=-1上运动，如图，当C'在点A的正下方时，C'A⊥直线y=-1，垂足为C'时，AC'距离最小，这时最小值为2
故答案为：2.
(2)当A'在⊙O上时，CC'最小，接OA'，过点A'作AE⊥x轴于点E，过点B作BE⊥x轴垂足为M，且交BC的延长线于点F，由题意可知：点A'在直线y=-2上运动，因此A'E=2，
又∵⊙O的半径是4，∴AO=4
在Rt△A'OE中，
又∵A'，B'之间的水平距离为1
∴EM=1，OM=
∵C（﹣1，2）， ∴CF=OM+1=+1=
∵C'F=1+2=3
在Rt△C'FC中，
故答案为：.
【分析】(1)当C'在点A 的下方时，C'A⊥直线y=-1，AC'距离最小，这时最小值为2
（2）当当A'在⊙O上时，CC'最小，作垂直构造直角三角形，利用勾股定理解题即可.
11．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】在图①中，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，
∴，即，
又∵，
∴，即 ，
∵是正三角形，
∴，
在图②中，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，
∴，即，
又∵，
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴．
同理可得：在图③中，；
和多边形边数的关系就是等于正多边形的一个内角，
即正多边形每个内角的度数为（，且n为整数），
．
故答案为：.
【分析】根据题意可知推出，然后利用三角形的外角性质可推出，通过正三角形和四边形得出规律和多边形边数的关系就是等于正多边形的一个内角，即可求得．
12．【答案】（1）①
②由题意得：，
的值为1.5
的值为0
通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下：

（2）当点运动到线段AC的延长线上时，
（3）若从上至下存在三个不同位置的点，对应的矩形CDEF面积均相等，
如图：由函数的对称性得：，
当时，即，
设，
则，
由题意得，和时，函数值相等，
故，
整理得：，
解得：，
则，
即矩形的面积
【知识点】四边形的综合；用代数式表示几何图形的数量关系；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）利用△ADE∽△ACB，得到DE=，而DC=4-x，即可表示面积y；
（2）由y=DE CD，即可求解；
（3）由函数的对称性得：x1+x2=4，当AD3=2AD2-AD1时，即x1+x3=2x2，由题意得，x=x2和x=x3时，函数值相等，即可求解．
13．【答案】（1）解：矩形ABCD，
．
．
，
．
．
．
（2）
（3）解：作于点，作于点，
，
．
，
．
，
，
．
．
．
又，
．
．
．
．
（4）解：，
，
，
．
，
．
，
．
【知识点】矩形的性质；四边形的综合；8字型相似模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)∵矩形ABCD，
∴∠A=90°，
∴，
过点E作EP⊥AD于P，过点F作FQ⊥CD于Q，
则∠EPD=∠EPA=90°=∠A，
又∵∠ABD=∠EDA，
∴△EPD~△DAB，
∴
∴
∵∠AGB=∠EGP，∠A=∠EPG，
∴△BAG~△EPG，
∴
同理可证△FQD~△DCB，
∴
∴，
∴∠C=∠FQH-90°，∠BHC=∠FHQ，
∴△BCH~△FQH
∴.

【分析】(1)利用矩形的性质与余角的性质可得出结论；
(2)过点E作EP⊥AD于P，过点F作FQ⊥CD于Q，证明△EPD~△DAB，进而可求出，再证明△BAG~△EPG，得出，可求解；同理可证△FQD~△DCB，求出，再证明△BCH~△FQH，得可求解；
(3)证明△BAG~△FPG，得，证明△BCH~△FQH，得，再证明△EPD △DQF(AAS)，得EP=DQ，DP=FQ，则，然后根据，，而∠ABD=∠EDP，得，代入即可得出结论；
(4)根据y=n2x求得，从而求得，不规则由勾股定理，得EP2+DP2=DE2，求得，根据，即，即可求解.
14．【答案】解：（1），理由如下：
由折叠的性质可知垂直平分，
；
（2）由（1）知，垂直平分，
，
，
由折叠的性质同理可得，
，，
在△QHP和△QHD中
，
，
，
恰好垂直于，
四边形为正方形，
平分，，
，
，
，
，
，
，
正方形边长为，
；
（3）①解：过点作于点，过点作于点，
，
，
，
草坪为菱形，为菱形的对角线，
，
在Rt△NRM和Rt△NSD中
，
，
；
②解：存在，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，
，
当最小时，面积最小，
即时，面积最小，
，
，
菱形草坪的边长为，
，
，
（）．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可知垂直平分，再结合垂直平分线性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解；
（2）结合折叠的性质，用边边边可证，由等腰三角形性质，以及全等三角形性质得到，结合正方形性质得到，再根据三角形内角和等于180°可得，然后根据等腰三角形性质可求解；
（3）①过点作于点，过点作于点，利用四边形内角和得到，结合菱形性质，用HL定理可证，由全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”并结合角的和差∠MND=∠SND+∠SNM可求解；
②过点作于点，结合直角三角形性质，等腰三角形性质，以及勾股定理得到，根据三角形的面积公式可将三角形MND用含MD2的代数式表示出来，根据垂线段最短可得：当最小时，面积最小，即时，面积最小，然后直角三角形性质和勾股定理求出即可求解．
15．【答案】解：任务1．∵半圆①的直径是2，
∴．
∴．
过点K作AB的垂线ML，交AB于点M，交IH于点L，如图所示．
∵，
∴，
∴，
∴．
任务2．分割出七块板的摆放方法，标上序号如下图，
答案不唯一，分割出一种方法即可．
任务3．∵，，
∴矩形PQMN的周长为．
【知识点】七巧板与拼图制作；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】任务1：过点H作于点M，利用矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质解答即可；
任务2：利用花朵的特征与现代智力七巧板的特征分解答即可；
任务3：利用任务1的线段长度求出矩形的边长的长度，再利用矩形的周长公式解答即可.
16．【答案】（1） ，
（2）
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）的长为或
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，点、、共线，再根据全等三角形判定定理可得，则，即：，即可求出答案.
（2）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，点、、共线，再根据全等三角形判定定理可得，则，即：，即可求出答案.
（3）把绕点A顺时针旋转得到，连接，根据旋转性质可得，则，，，，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，即，根据勾股定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
（4）点，均在直线上，点在点的左侧，，分情况讨论：①当点在边上时，过点A作于点，过点作于点，根据等边三角形性质可得，，，再根据30°角的直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得AG，再根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点在的延长线上时，过点作于点，过点作于点，由①知，，，根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得AG，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得∽，则，代值计算可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
17．【答案】（1）证明：如图1，，
，
，
（2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）方法一：如图3，连接AC交BD于点，
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于，过点作于，
Rt中，，
，
Rt中，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
（负值舍），
，
，
．
方法二（思路）：
分别延长EF、AD相交于点，易证四边形BDGE是平行四边形
易求
易证，
进而求解AE，
再求BE
（4）
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：（4）
如图，作和交于点，作于点，连接BG、CG，
，
，
，
，
，
－，
，
作的外接圆，记圆心为，连接OA、OD、OG，
则，
，
，
设圆与AB交于，则，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
三点共线，即是圆的直径，
，
圆的半径为1，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
作于点于点，则，
则，
，
，
四边形ONEM是矩形，
，
设，则，
，
在Rt中，，
，
令，则，
则，
整理得：，
，
整理得，
令，
则，
的解集为，
的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：.
【分析】 （1）证明△ACD∽△ABC即可得结论；
（2）证明△CEF∽△CFB即可解答；
（3）如图3，连接AC交BD于点O，根据菱形的性质和含30°的直角三角形的性质得：EF=4，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EN⊥AF于N，设AE=2b，则EN=b，证明∠AFE=∠AEB，根据三角函数列式即可解答.
1 / 1图形的探究-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2024·长沙模拟） “割圆术”孕育了微积分思想，领先世界近千年．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为
A． B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形；“割圆术”
【解析】【解答】解：如图所示， 正十二边形内接于 ，过点A作AC⊥OB于点C，
∠AOC=360°÷12=30°，
的半径为1，
OA=OB=1，
，
，
正十二边形的面积为，
圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为3.
故答案为：B.
【分析】如图所示， 正十二边形内接于 ，过点A作AC⊥OB于点C，求出∠AOC=30°，根据直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半得出AC=，进而可得正十二边形的面积为3，据此即可得的估计值.
2．（2024九上·南京期中）如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2018的坐标是（　　）
A．（﹣2018，0） B．（21009，0）
C．（21008，﹣21008） D．（0，21009）
【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-图形的递变加循环规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵A1（1，1），A2（2，0），A3（2，﹣2），A4（0，﹣4），A5（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），A9（16，16），A10（32，0），…，
∴A8n+2（24n+1，0）（n为自然数）．
∵2018＝252×8+2，
∴点A2018的坐标为（21009，0）．
故答案为：B．
【分析】先分别A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、…的坐标，再从中找出规律，然后利用规律求解．
3．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边上，三角形①的边在边上，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】七巧板与拼图制作；正方形的性质
【解析】【解答】解：设七巧板正方形的边长为，
，
，
，
，
．
故答案为：D
【分析】设七巧板正方形的边长为，进而根据七巧板的特点得到，化简得到，从而即可得到，再相比根据分式的约分化简即可求解。
4．（2022·荆州）如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形 ；第二次，顺次连接四边形 各边的中点，得到四边形 ；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形 的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；探索图形规律；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：如图，连接AC，BD， A1C1 ， B1D1 .
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ， ， .
∵ ， ， ， 分别是矩形四个边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴四边形A1B1C1D1是菱形，
∵ ， ，
∴四边形A1B1C1D1的面积为： .
同理，由中位线的性质可知，
， ，
， ，
∴四边形A2B2C2D2是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形A2B2C2D2是矩形，
∴四边形A2B2C2D2的面积为： .
∴每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，
∴四边形AnBnCnDn的面积是 .
故答案为：A.
【分析】连接AC，BD，A1C1 ， B1D1 ，易证四边形A1B1C1D1是菱形，可得四边形A1B1C1D1 的面积为矩形ABCD面积的一半，则四边形A1B1C1D1 的面积=ab，易证四边形A2B2C2D2是矩形，可得矩形A2B2C2D2的面积=，从而得出每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，据此即可求解.
5．（2024八上·镇海区期中）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为时，向右平移；当余数为时，向上平移；当余数为时，向左平移），每次平移个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则点的坐标为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵“和点“按上述规则连续平移16次后，到达点，
∴将点反向平移16次后，到达“和点“，
根据题意，可知”和点“ 的平移过程为：向右平移1个单位长度得到，向上平移1个单位长度得到，向左平移1个单位长度得到，向上平移1个单位长度得到，......，
∴平移规则为：先向右平移1个单位长度，再按照”向上、向左“平移1个单位长度的循环规律进行平移，
①当点先向右平移1个单位长度得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，
∴应该是向右平移个单位得到， 故矛盾，不成立；
②当点先向下平移1个单位长度得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个 单位得到，故符合题意，
∴先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，
∴最后一次若向右平移则为，若向左平移则为 ，
故答案为：D．
【分析】根据题意得将点反向平移16次后，到达“和点“，然后由”和点“P的平移过程找出平移的规则：先向右平移1个单位长度，再按照”向上、向左“平移1个单位长度的循环规律进行平移，接下来进行分类讨论：①先向右个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是向右平移个单位得到， 故矛盾，不成立；②先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意.读懂题意，熟练掌握平移与坐标关系，利用反向运动理解是解题的关键.
二、填空题
6．（2025·湖南模拟）如图，个边长为的相邻正方形的一边均在同一直线上，点，，，为边，，，，的中点，的面积为，的面积为，的面积为，则　 　．
【答案】
【知识点】探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
的面积为
则
故答案为：128.
【分析】利用相似三角形的性质求出. 再利用三角形的面积公式代入值计算即可.
7．（2025·内江模拟）如图，，正方形，正方形，正方形，正方形，…，的顶点，，在射线上，顶点，在射线上，连接交于点，连接交于点，连接交于点，…，连接交于点，连接交于点，…，按照这个规律进行下去，设四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，…，若，则等于　 　．（用含有正整数的式子表示）．
【答案】．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵正方形，正方形，且，
∴和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
同理，
∵正方形，正方形，正方形，边长分别为2，4， 8，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∵，
∴，
设△EDB1和△EB2D1的边DB1和B2D1上的高分别为h1和，
∴
∵
∴，
设的边的高分别为，
∴
∴；
同理求得：；
；
…
．
故答案为：．
【分析】先根据平行线分线段成比例得到CD=，，然后证明△△，即可求出边D上的高为，得到S1的值，依次类推得到S2，S3的值，总结规律解题即可.
8．（2024八下·江门期中）如图，在，，．在内作正方形，使点，分别在两直角边，上，点，在斜边上，用同样的方法，在内作正方形；在内作正方形……，若，则正方形边长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：∵在，，，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
同理可以求出正方形的边长为，
正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
故答案为：．
【分析】先求出正方形的边长为，正方形的边长为，可得规律正方形的边长为，再将n=2024代入计算即可.
9．（2024九下·齐齐哈尔模拟）如图，直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，以为边作正方形，点坐标为，过点作交于点，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，点的坐标为．过点作交于，交轴于点，过点作轴的垂线交于点，连接，以为边作正方形，，则长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：根据题意可知：直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，
点坐标为，点坐标为，
∴，
，
，
，
是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
四边形是以为边的正方形，且点坐标为，
，
，
=，
∴，
∴，
，
四边形是以为边的正方形，
是等腰直角三角形，
，
，
=，
点的坐标为，
正方形的边长为3，
同理可得：，
，
=，
∴，
∴，
，
四边形是以为边的正方形，
是等腰直角三角形，
，
，
=，
同理可得：正方形的边长是9，，，，，，
，
根据以上规律可以得出：，为整数），
，
的长为．
故答案为：．
【分析】先利用等腰直角三角形得性质、勾股定理和三角函数求出、的长，找出规律，为整数），再根据规律即可求得的长.
10．（2024·成都一诊）对于平面直角坐标系xOy中的图形M和图形N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N间的“捷径距离”，记为d（图形M，图形N）．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，2），将三角形ABC绕点D（a，a）逆时针旋转90°得到△A'B'C'，若△A'B'C'上任意点都在半径为4的⊙O内部或圆上，则△ABC与△A'B'C'的“捷径距离”d（△ABC，△A'B'C'）的最小值是 　 　，最大值是 　 　．
【答案】2；
【知识点】勾股定理；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】
（1）由题可知，点D(a，a)在直线y=x上移动，点C'在直线y=-1上运动，如图，当C'在点A的正下方时，C'A⊥直线y=-1，垂足为C'时，AC'距离最小，这时最小值为2
故答案为：2.
(2)当A'在⊙O上时，CC'最小，接OA'，过点A'作AE⊥x轴于点E，过点B作BE⊥x轴垂足为M，且交BC的延长线于点F，由题意可知：点A'在直线y=-2上运动，因此A'E=2，
又∵⊙O的半径是4，∴AO=4
在Rt△A'OE中，
又∵A'，B'之间的水平距离为1
∴EM=1，OM=
∵C（﹣1，2）， ∴CF=OM+1=+1=
∵C'F=1+2=3
在Rt△C'FC中，
故答案为：.
【分析】(1)当C'在点A 的下方时，C'A⊥直线y=-1，AC'距离最小，这时最小值为2
（2）当当A'在⊙O上时，CC'最小，作垂直构造直角三角形，利用勾股定理解题即可.
11．（2024·永州模拟）如图①②③④分别是的内接正三角形、正方形、正五边形、正n边形，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，连接交于点P．在图①②③中，的度数分别为、、，则在图④中　 　（用含n的代数式表示）．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】在图①中，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，
∴，即，
又∵，
∴，即 ，
∵是正三角形，
∴，
在图②中，
∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在上逆时针运动，
∴，即，
又∵，
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴．
同理可得：在图③中，；
和多边形边数的关系就是等于正多边形的一个内角，
即正多边形每个内角的度数为（，且n为整数），
．
故答案为：.
【分析】根据题意可知推出，然后利用三角形的外角性质可推出，通过正三角形和四边形得出规律和多边形边数的关系就是等于正多边形的一个内角，即可求得．
三、实践探究题
12．（2025·深圳模拟）[问题提出]
如图，在中，，，，为射线上的动点，以为一边作矩形，其中点E，F分别在射线和射线上，设长为，矩形面积为（均可以等于0）．
（1）[问题探究]
如图1，当点从点运动到点时，
①用含的代数式表示的长： ▲ ；
②求关于的函数解析式，写出自变量的取值范围，并通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象：
0 1 2 3 4
0 1.5 2
表中的值为 ▲ ，的值为 ▲ ；
（2）当点运动到线段的延长线上时，直接写出关于的函数解析式；
（3）[问题解决]
若从上至下存在三个不同位置的点，，，对应的矩形面积均相等，当时，求矩形的面积．
【答案】（1）①
②由题意得：，
的值为1.5
的值为0
通过列表、描点、连线，在图2中画出它的图象如下：

（2）当点运动到线段AC的延长线上时，
（3）若从上至下存在三个不同位置的点，对应的矩形CDEF面积均相等，
如图：由函数的对称性得：，
当时，即，
设，
则，
由题意得，和时，函数值相等，
故，
整理得：，
解得：，
则，
即矩形的面积
【知识点】四边形的综合；用代数式表示几何图形的数量关系；作图-二次函数图象
【解析】【分析】（1）利用△ADE∽△ACB，得到DE=，而DC=4-x，即可表示面积y；
（2）由y=DE CD，即可求解；
（3）由函数的对称性得：x1+x2=4，当AD3=2AD2-AD1时，即x1+x3=2x2，由题意得，x=x2和x=x3时，函数值相等，即可求解．
13．（2025·鹿城模拟）如图，在矩形ABCD中，过点作．连接BE交边AD于点，连接BF交边CD于点．
（1）［认识图形］求证：．
（2）［研究特例］若，直接写出与的值．
（3）［探索关系］若（是常数），设，求关于的函数表达式．
（4）［应用结论］若，求AB的长．
【答案】（1）解：矩形ABCD，
．
．
，
．
．
．
（2）
（3）解：作于点，作于点，
，
．
，
．
，
，
．
．
．
又，
．
．
．
．
（4）解：，
，
，
．
，
．
，
．
【知识点】矩形的性质；四边形的综合；8字型相似模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：(2)∵矩形ABCD，
∴∠A=90°，
∴，
过点E作EP⊥AD于P，过点F作FQ⊥CD于Q，
则∠EPD=∠EPA=90°=∠A，
又∵∠ABD=∠EDA，
∴△EPD~△DAB，
∴
∴
∵∠AGB=∠EGP，∠A=∠EPG，
∴△BAG~△EPG，
∴
同理可证△FQD~△DCB，
∴
∴，
∴∠C=∠FQH-90°，∠BHC=∠FHQ，
∴△BCH~△FQH
∴.

【分析】(1)利用矩形的性质与余角的性质可得出结论；
(2)过点E作EP⊥AD于P，过点F作FQ⊥CD于Q，证明△EPD~△DAB，进而可求出，再证明△BAG~△EPG，得出，可求解；同理可证△FQD~△DCB，求出，再证明△BCH~△FQH，得可求解；
(3)证明△BAG~△FPG，得，证明△BCH~△FQH，得，再证明△EPD △DQF(AAS)，得EP=DQ，DP=FQ，则，然后根据，，而∠ABD=∠EDP，得，代入即可得出结论；
(4)根据y=n2x求得，从而求得，不规则由勾股定理，得EP2+DP2=DE2，求得，根据，即，即可求解.
14．（2025·东莞模拟）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1．将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点，打开铺平，连接、、．
【探究提炼】
（1）如图1，点是上任意一点；线段和线段存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．
①求的度数；
②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值：若不存在，说明理由．
【答案】解：（1），理由如下：
由折叠的性质可知垂直平分，
；
（2）由（1）知，垂直平分，
，
，
由折叠的性质同理可得，
，，
在△QHP和△QHD中
，
，
，
恰好垂直于，
四边形为正方形，
平分，，
，
，
，
，
，
，
正方形边长为，
；
（3）①解：过点作于点，过点作于点，
，
，
，
草坪为菱形，为菱形的对角线，
，
在Rt△NRM和Rt△NSD中
，
，
；
②解：存在，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，
，
当最小时，面积最小，
即时，面积最小，
，
，
菱形草坪的边长为，
，
，
（）．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可知垂直平分，再结合垂直平分线性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解；
（2）结合折叠的性质，用边边边可证，由等腰三角形性质，以及全等三角形性质得到，结合正方形性质得到，再根据三角形内角和等于180°可得，然后根据等腰三角形性质可求解；
（3）①过点作于点，过点作于点，利用四边形内角和得到，结合菱形性质，用HL定理可证，由全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”并结合角的和差∠MND=∠SND+∠SNM可求解；
②过点作于点，结合直角三角形性质，等腰三角形性质，以及勾股定理得到，根据三角形的面积公式可将三角形MND用含MD2的代数式表示出来，根据垂线段最短可得：当最小时，面积最小，即时，面积最小，然后直角三角形性质和勾股定理求出即可求解．
15．（2024九上·余杭期中）根据以下素材，探索完成任务：
如何拼制“花朵”
素材1 如图1，矩形方框内是一副现代智力七巧板，它由两个半圆①和⑦，等腰直角三角形②，都含45°角的不规则图形③、直角梯形④、不规则图形⑤，圆⑥组成. 已知半圆①的直径是2，AJ=BK，AB=BC=2AI.
素材2 如图2，矩形POMN内，上面这个智力七巧板恰好能拼成“一朵花”自的形状.
问题解决
任务1 探究板块大小 根据素材1，求AB和KH的长.
任务2 拟定摆放方法 在图2这朵花中，请你分割出七块板的摆放方法（一种即可），并标上序号.
任务3 确定花朵大小 求矩形PQMN的周长
【答案】解：任务1．∵半圆①的直径是2，
∴．
∴．
过点K作AB的垂线ML，交AB于点M，交IH于点L，如图所示．
∵，
∴，
∴，
∴．
任务2．分割出七块板的摆放方法，标上序号如下图，
答案不唯一，分割出一种方法即可．
任务3．∵，，
∴矩形PQMN的周长为．
【知识点】七巧板与拼图制作；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】任务1：过点H作于点M，利用矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质解答即可；
任务2：利用花朵的特征与现代智力七巧板的特征分解答即可；
任务3：利用任务1的线段长度求出矩形的边长的长度，再利用矩形的周长公式解答即可.
16．（广东省深圳市坪山区部分学校2024-2025学年九年级中考适应性考试数学 试卷 ）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的下面是一个案例，请补充完整．
原题：如图，点，分别在正方形的边，上，，连接，则，试说明理由．
（1）思路梳理
，
把绕点A逆时针旋转至，可使与重合.
，点，，共线根据______ 从“，，，”中选择填写，易证 ______ ，得．
（2）类比引申
如图，四边形中，，，点，分别在边，上，若，都不是直角，则当与满足等量关系______ 时，仍有．
（3）联想拓展
如图，在中，，，点，均在边上，且猜想，，应满足的等量关系，并写出推理过程．
（4）思维深化
如图，在中，，，点，均在直线上，点在点的左边，且，当，时，直接写出的长．
【答案】（1） ，
（2）
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）的长为或
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
【分析】（1）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，点、、共线，再根据全等三角形判定定理可得，则，即：，即可求出答案.
（2）根据旋转性质可得，再根据角之间的关系可得，点、、共线，再根据全等三角形判定定理可得，则，即：，即可求出答案.
（3）把绕点A顺时针旋转得到，连接，根据旋转性质可得，则，，，，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，即，根据勾股定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，即可求出答案.
（4）点，均在直线上，点在点的左侧，，分情况讨论：①当点在边上时，过点A作于点，过点作于点，根据等边三角形性质可得，，，再根据30°角的直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得AG，再根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点在的延长线上时，过点作于点，过点作于点，由①知，，，根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据边之间的关系可得AG，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得∽，则，代值计算可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：，
把绕点逆时针旋转至，可使与重合．
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：，；
（2）解：时，，理由如下：
，
如图：把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，
，
，，
，
，
，
，点、、共线，
在和中，
，
，
，即：．
故答案为：；
（3）解：猜想：．理由如下：
如图：把绕点A顺时针旋转得到，连接，
，
，，，，
在中，，
，
，即，
，
又，
，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（4）解：点，均在直线上，点在点的左侧，，
分两种情况：点在边上或点在的延长线上，
①当点在边上时，如图，过点A作于点，过点作于点，
，，
，，，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当点在的延长线上时，如图，过点作于点，过点作于点，
由①知，，，
，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的长为或．
17．（2025·深圳模拟）某校数学兴趣学习小组的同学学习了图形的相似后，对三角形相似进行了深入研究．
（1）【合作探究】
如图1，在中，点为上一点，，求证：．
（2）【内化迁移】
如图2，在中，点为边上一点，点为延长线上一点，．若，，求的长．
（3）学以致用】
如图3，在菱形中，，，点是延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作交延长线于点，若，求的长．
（4）【综合拓展】
如图4，在四边形中，，点在射线上，，且，过点作于点．当时，请直接写出的最大值 ▲ ．
【答案】（1）证明：如图1，，
，
，
（2）如图2，四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）方法一：如图3，连接AC交BD于点，
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
过点作于，过点作于，
Rt中，，
，
Rt中，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
（负值舍），
，
，
．
方法二（思路）：
分别延长EF、AD相交于点，易证四边形BDGE是平行四边形
易求
易证，
进而求解AE，
再求BE
（4）
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形
【解析】【解答】解：（4）
如图，作和交于点，作于点，连接BG、CG，
，
，
，
，
，
－，
，
作的外接圆，记圆心为，连接OA、OD、OG，
则，
，
，
设圆与AB交于，则，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
三点共线，即是圆的直径，
，
圆的半径为1，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
作于点于点，则，
则，
，
，
四边形ONEM是矩形，
，
设，则，
，
在Rt中，，
，
令，则，
则，
整理得：，
，
整理得，
令，
则，
的解集为，
的最大值为，
即的最大值为，
故答案为：.
【分析】 （1）证明△ACD∽△ABC即可得结论；
（2）证明△CEF∽△CFB即可解答；
（3）如图3，连接AC交BD于点O，根据菱形的性质和含30°的直角三角形的性质得：EF=4，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EN⊥AF于N，设AE=2b，则EN=b，证明∠AFE=∠AEB，根据三角函数列式即可解答.
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