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陕西省部分学校2024-2025学年高二下学期5月月考
数学试题及答案解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某书架的第一层放有5本不同的历史类图书，第二层放有6本不同的文学类图书.从这些书中任取1本历史类图书和1本文学类图书，不同的取法有（ ）
A.11种 B.30种 C.种 D.种
2.展开式中的系数为（ ）
A.1 B.7 C.21 D.42
3.已知随机变量服从二项分布，且，则（ ）
A.5 B.10 C.20 D.40
4.已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C.
D.
5.某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中6道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2道才算合格，则他能合格的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知变量和的统计数据如下表：
若和线性相关，根据最小二乘法得到关于的经验回归方程为，则（ ）
A.1.24 B.1.48 C.1.62 D.1.66
7.某旅游团3名导游和30名游客站成两排拍照留念，要求第一排站15人，第二排站18人，则3名导游站在一起且站在第一排的排法总数为（ ）
A. B. C. D.
8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1该种液体材料，制造商可获利4分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为9cm，则每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（ ）
A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分.
9.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则（ ）
A.这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高
B.这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低
C.这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高
D.这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低
10.记为数列的前项和.若，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某校高三有1000人参加考试，统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩优秀（不低于130分）的人数为160，则估计此次考试数学成绩在90分至110分之间的人数为 .
13.已知盒中有2个白球和2个黑球，一次性不放回地任取2个球，记是取到黑球的个数，则 ，若变量，则 .
14.已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，若该家庭有女孩，则三个男孩中恰好有一个女孩的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15.（13分）在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16.（15分）体育运动是强身健体的重要途径，《中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）》明确提出：青少年学生每天在校内需参与不少于60分钟的中高强度身体活动.随着此方案的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到显著改善.某中学为了了解体育运动对学生成绩的影响情况，从校内随机抽取100名学生，调查他们平均每天的运动情况及成绩情况，得到如下数据：
成绩优秀 成绩一般
每天运动不少于60分钟 20 40
每天运动不足60分钟 5 35
（1）是否有95%的把握认为学生的成绩与每天运动的时间有关？
（2）用频率近似概率，为了更进一步了解体育运动是否对学生成绩有影响，现从该校每天运动不少于60分钟的学生中随机抽取3人，记这3人中成绩优秀的人数为，求随机变量的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.（15分）已知的展开式中所有二项式系数之和为1024.
（1）求的展开式所有项的系数和；
（2）求的展开式所有偶数项的系数和；（用算式表达）
（3）判断的展开式第几项的系数绝对值最大.
18.某商家搞会员积分活动，活动规定：参与活动的顾客一次性投掷2个质地均匀的骰子，记这2个骰子的点数之和为.若，则积10分；若，则积20分；若，则积30分.按照该规则，记参与该活动一次获得的积分为.
（1）求的分布列与期望；
（2）为了让顾客获得更多积分，商家决定，当时，商家再额外赠送积分；当时，不额外赠送积分.记参加该活动一次最终获得的积分为，若，求的取值范围.
19.（17分）已知函数.
（1）若，求的图象在点处的切线方程；
（2）试讨论的单调性；
（3）证明：只有一个零点.
答案解析
一、选择题
1.B 解析：从第一层中任取1本历史类图书，有5种取法；从第二层中任取1本文学类图书，有6中取法.由分布乘法计数原理可知，共有5×6=30种不同的取法.
2.C 解析：展开式中的系数为.
3.A 解析：20×0.5×（1-0.5）=5.
4.A 解析：根据导数的几何意义，结合图象可得.
5.A 解析：他能合格的概率为.
6.D 解析：由题意得：，.
∵经验回归方程过点，∴，解得1.66.
7.D 解析：先从30名游客中选12名和导游站第一排，由捆绑法可得3名导游站在一起且站在第一排的排法总数为.
8.B 解析：由题意可知，每瓶液体材料的利润，，∴，令，得.∴当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，故每瓶液体材料的利润最大时，.
二、选择题
9.BC 解析：∵，∴这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低.
10.ACD 解析：当时，，解得，A正确；
当时，，∴，即，则是以为首项，2为公比的等比数列，∴，当时，也满足上式，C 正确；
由上知，B错误；
，D正确.
11.BCD 解析：令，则，故A错误；展开式中的系数为，∴，解得，B正确；二项展开式的通项公式为，∴，C正确；令，得，令，得，两式相减，得，D正确.
三、填空题
12.340 解析：∵，∴此次考试数学成绩在90分至110分之间的人数为.
13.；1 解析：,服从超几何分布，则，∴.
14. 解析：用表示女孩，表示男孩，则样本空间
.
分别设“所选的家庭中有女孩”和“所选家庭的三个小孩中恰好有一个女孩”为事件A和事件B，则，，.
四、解答题
15.解：（1）设数列的首项为，公差为，∴，
解得，，故的通项公式为.
（2）∵，
∴，
16.解：（1）由题意可得.
又∵，而且查表可得，由于，∴有95%的把握认为学生的成绩与每天运动的时间有关.
（2）从该校每天运动不少于60分钟的学生中随机抽取1人，此人成绩优秀的概率为，
∴.∴；； ；.
的分布列为
∴.
17.解：（1）∵所有二项式系数之和是1024，∴，∴.
令，得，∴的展开式所有项的系数和为1.
（2）令的展开式所有项的系数依次为.
由（1）知.
令，得，∴.
（3）由（2）可知的展开式的通项.
由，得.
∵为整数，∴，∴的展开式第7项的系数绝对值最大.
18.解：（1）,,
,
∴的分布列为：
∴.
（2）.
当时，.
当，.
当时，.
令，解得，即时，.
当时，.
综上，的取值范围为，且.
19.解：（1）若，则，，，，故的图象在点处的切线方程为.
（2）∵，∴的定义域为..
令.令，得.
若，即，则，，∴在上单调递增.
若，即，则方程的解为，，且.
当时，，；
当时，，.
故在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（3）证明：当时，在上单调递增，
∵，∴只有一个零点；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
∵，，∴在上有一个零点.
.
∵，∴，即，
∴，
令，则.
当时，；当时，.
故在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴，
∴在上没有零点，即在上只有一个零点.
综上：只有一个零点.

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