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数学思想与方法-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·萧山模拟）已知，则代数式的值为（　　）
A．-2 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】解：∵2x+1=-2，
∴2x2+x-1
=x（2x+1）-1
=-2x-1
=-（2x+1）
=2．
故答案为：C.
【分析】将代数式的前两项提取公因式并将2x+1=-2代入，得到-（2x+1）并再次将2x+1=-2代入求值即可．
2．（2024·邵东模拟）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形；归纳与类比
【解析】【解答】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，
设AC＝x，则BC＝x，AB＝，CD＝，
∴
故答案为：B.
【分析】延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则BC＝x，AB＝，CD＝，再利用正切的定义及计算方法求出即可.
3．（2025·临安模拟）如图，在平面直角坐标系中，正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点，，均在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；数形结合
4．（2025·象州模拟）如图，长方形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（　　）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型；分类讨论
【解析】【解答】解：∵AB=10，点M是AB的中点，
∴AM=AB=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠DPA=∠PAM，
由折叠可得，，，∠DPA=∠QPA，
∴∠QPA=∠PAM，
∴AM=PM=5，
在Rt△AQM中，，
①当点P在CD的中点左侧时，
∴DP=PQ=PM-QM=2；②当点P在CD的中点右侧时，如图，
∴DP=PQ=PM+QM=8，
综上，DP的长为2或8.
故答案为：B．
【分析】由中点定义得AM=5，由矩形性质得∠D=90°，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠DPA=∠PAM，由折叠可得DP=QP，AQ=AD=4，∠AQP=∠D=90°，∠DPA=∠QPA，则∠QPA=∠PAM，由等角对等边得AM=PM=5，在Rt△AQM中，利用勾股定理算出QM，然后分类讨论：①当点P在CD的中点左侧时，DP=PQ=PM-QM=2；②当点P在CD的中点右侧时，DP=PQ=PM+QM=8，综上即可得出答案.
5．（2024·平湖自主招生）代数式的最大值是（　　）
A．6 B． C． D．不存在
【答案】B
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；数形结合
【解析】【解答】解：，
即表示在x轴上取一点，到点A(0，1)和点B(4，7)的距离和最小，
作点B关于x轴的对称点B1，然后连接AB1，则即为最小值，
这时AC=4，B1C=7+1=8，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据 的几何意义得出在x轴上取一点，到点A(0，1)和点B(4，7)的距离和最小，然后作点B关于x轴的对称点B1，然后连接AB1，然后根据勾股定理解题即可.
6．（2024·津市市模拟）将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征；数学思想
【解析】【解答】解：令y=0，得，解得
抛物线与x轴的交点为（-1，0），（3，0），
将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，
新图象中当时，解析式为，如图，
当直线经过（3，0）时，此时直线与新函数的图象有3个交点，
把（3，0）代入直线，解得m=-3，
直线再向下平移时，有4个交点，
当与直线有一个交点时，此时直线与新函数有3个交点，联立方程组得
整理得，
解得
综上所述：新图象与直线有4个交点时，m的取值范围是
故答案为：C.
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到新的图象的解析式为（），画出图象，结合图象即可求解m的取值范围.
二、填空题
7．（2024七下·宁波期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则　 　．
【答案】3
【知识点】三元一次方程组及其解法；幻方、幻圆数学问题；整体思想
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
①+②得：，
，
故答案为：3．
【分析】先根据题意，得到关于a，b的二元一次方程组，再利用整体思想求解．
8．（2025·安州模拟）如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 　 　．
【答案】6
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；偶次方的非负性；圆与三角形的综合；数形结合
【解析】【解答】解：以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，
设D的坐标是，P的坐标是，
∵，
∴由圆的对称性得到C的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值6，
故答案为：6．
【分析】以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，设D，P，由圆的对称性得到C的坐标是，由点的坐标及平行线间的距离相等得，由勾股定理表示出PC2、PD2，，从而得到，进而结合偶数次幂的非负性即可求出的最小值．
9．（2025·镇海区模拟）在矩形中， ， ， 点F在线段上， 且， 则点 P到矩形对角线所在直线的距离是　 　．
【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解： 如图1，过点作于点，
四边形是矩形，
，，，，
∵，，，
由勾股定理得，，
，
，，
，
，
，
；
如图2，过点作于点，
，，
，，
，
，
；
综上，点到矩形对角线所在直线的距离是或．
故答案为：或．
【分析】由题意可分两种情况：如图1，过点作于点，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；如图2，过点作于点，同理可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式可求解．
10．（2025·山东模拟）我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=-1（即方程x2=-1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=-1，i3=i2 i=（-1） i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n i=（i4）n i=i，同理可得i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2015+i2016+i2017的值为 　 　
【答案】i
【知识点】观察与实验
11．（2025·碧江模拟）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为　 　．
【答案】或
【知识点】正方形的性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，
当时，点在线段上，在上，
∵正方形的边长为，为的中点，
∴，
∵，，
∴；，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
如图所示，
当时，点在线段上，在上，
∵，
∴，
∵，即
∴
，
解得：或（舍去）.
综上所述，或.
故答案为：或．
【分析】分“”、“”两种情况，分别根据分别列出方程求解．
12．（2024·平湖自主招生）在菱形ABCD中，边上的高为4，则对角线AC的值是　 　.
【答案】或
【知识点】勾股定理；菱形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：如图， 若AH在菱形ABCD内部， 连接AC
∵四边形ABCD是菱形
在 中，
如图， 若AH在菱形ABCD外部， 连接AC，
∵四边形ABCD是菱形
在 中，
故答案为： 或 .
【分析】分AH在菱形ABCD内部，若AH在菱形ABCD外部两种情况讨论，由勾股定理可求AC的长.
三、解答题
13．（2025·莲都模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差；
（3）已知点在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为对称轴为直线，
所以设，
因为图象经过点，所以，解得，
所以二次函数的表达式为．
（2）解：因为点到轴的距离不大于2，所以，
因为该函数二次项系数为1大于0，
所以当时，有最小值1；当时，取得最大值为10，
因为，所以的最大值与最小值之差为9．
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，
①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以．
②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以，
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】 （1）将A（2，2）代入解析式，并利用对称轴解析式解答即可；
（2）由题意得-2≤m≤2，由于开口向上，那么当m=1时，n有最小值1；由于横坐标为-2的点到对称轴的距离1-（-2）=3大于点A到对称轴的距离1，则当m=-2时，n取得最大值，即可求解；
（3）①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，则， 由于y1＞y2恒成立，所以 ，再分别解不等式和不等式组；②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，则 ，由于y1＞y2恒成立，则 ，再分别解不等式和不等式组即可.
14．（2024·广西模拟）问题呈现： 如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD 的值．
方法归纳： 利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE．
问题解决：
（1）图1中tan∠BPD的值为________；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值；
思维拓展：
（3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD．
【答案】解：（1）2；
（2）过点A作AE//CD，连接BE，由图2可知E点在格点上，且∠AEB＝90°，
由勾股定理可得：
∴cos∠BPD＝cos∠BAE＝；
（3）如图3构造网格，过点A作AN//PC，连接DN，由图可知N点在格点上，且∠AND＝90°，
由勾股定理可得：
∴sin∠CPD＝sin∠NAD＝
【知识点】平行线的性质；勾股定理；归纳与类比
【解析】【解答】解：（1） 由勾股定理可得：，
∵CD//BE，
∴tan∠BPD＝tan∠ABE＝；
故答案为：2.
【分析】（1）先利用勾股定理求出AE和BE的长，再利用正切的定义及计算方法分析求解即可；
（2）过点A作AE//CD，连接BE，先利用勾股定理求出AE和AB的长，再利用余弦的定义及计算方法分析求解即可；
（3）过点A作AN//PC，连接DN，先利用勾股定理求出DN和AD的长，再利用正弦的定义及计算方法分析求解即可.
15．（2020·呼和浩特）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程 ，就可以利用该思维方式，设 ，将原方程转化为： 这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足 ，求 的值．
【答案】解：令 ，则原方程组可化为：
，整理得： ，
②-①得： ，
解得： ，代入②可得：b=4，
∴方程组的解为： 或 ，
，
当a=5时， =6，
当a=-5时， =26，
因此 的值为6或26.
【知识点】解二元一次方程组；定义新运算；数学思想
【解析】【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有 和 ，因此可以令 ，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出 的值.
16．（2024·长沙模拟） 定义：在平面直角坐标系中，若在函数图象W上存在一点M，绕原点顺时针旋转后的对应点N（点N与M不重合）仍在此函数图象W上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点M称为这个函数的“凡尔赛点”
（1）函数①，②，③，其中是“凡尔赛函数”的是　 　；（填序号）
（2）若一次函数是“凡尔赛函数”，点（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求k的值；
（3）若点是二次函数（其中a，b，c为常数，）的“凡尔赛点”，点B为A的“后凡尔赛点”，由点A、B、C、D四点构成的四边形面积记为S，求S的取值范围．
【答案】（1）③
（2）解：∵点是一次函数的“凡尔赛点”，的“后凡尔赛点”为，
∴，
得；
当时，；
当时，
∵关于k的一元二次方程有实数根，
，
解得，
又m为整数，
∴或，
当时，，解得或；
当时，解得（舍去），．
综上：k的值为或1或或．
（3）解：∵点是二次函数（其中a，b，c为常数，
∴“后凡尔赛点”B的坐标为，
∴，
解得，
∴，令得，
∵
．
令，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
．
∴．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；数学思想
【解析】【解答】解：解：（1）①设点在函数的图像上，点绕原点顺时针旋转后的对应点为，则，
即，
解得：，
，
点与点是同一个点，
故不是凡尔赛函数，
②设点在函数的图像上，点绕原点顺时针旋转后的对应点为，则，
即，
解得：，
时，函数无意义，
故不是凡尔赛函数，
③设点在函数的图像上，点绕原点顺时针旋转后的对应点为，则，
即，
解得：或，
当时，点为，点为，时同一个点，不符合，
当时，点为，点为，
绕原点顺时针旋转后的对应点为，在函数上，
是凡尔赛函数，
故答案为：③；
【分析】（1）根据“凡尔赛函数”的定义进行逐一判断即可求解；
（2）根据点是 是一次函数的“凡尔赛点”，的“后凡尔赛点”为， 进行解答即可求解；
（3）根据 点是二次函数（其中a，b，c为常数，）的“凡尔赛点”，解得a，b的值，再代入，令得关于x的方程，结合 即可求解.
四、实践探究题
17．（2024七下·临平期中）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线上（如图1，，，，）．保持三角板EDC不动，老师将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题．
深入探究：
①老师提出，如图2，当转到与的角平分线重合时，，当在内部的其他位置时，结论是否依然成立？请说明理由．
②勤学小组提出：若旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由．
拓展提升：
③智慧小组提出：若旋转到与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，直线与直线是否存在平行的位置关系？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：①∵，，，，
∴，
当旋转至的内部时，如图，与的数量关系是：；
理由是：由旋转得：，
，，
；
②当A、B分别在外部时，如图示：
∵，
∴；
当点A在外部，点B在内部，如图示：
∵，
∴，
∴，
综上：不存在；或．
③当点A在直线上方时，如图示：
∵，
∴，
∴；
当点A在直线下方时，如图示：
∵，
∴，
∴旋转了
∴，
综上：存在，或．
【知识点】旋转的性质；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【分析】①先根据三角形的内角得到，然后由旋转得到∠DCA和∠ECB的度数，然后根据角的和差解题；
②分为A、B分别在外部或A在外部，点B在内部两种情况，根据角的和差解题即可．
③分为点A在直线上方，点A在直线下方两种情况，根据平行线的性质得到旋转角的大小，再利用旋转速度求出时间t即可．
18．（2025九下·浙江模拟）
（1）【公式探索】
计算　 　；　 　；　 　
（2）【公式建构】
根据上面的计算结果，请用含（为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明．
（3）【迁移应用】
如图，已知在四边形中，，若，，，求外接圆的半径．
【答案】（1）；；
（2）解：，
，
，依次类推得：.
证明：
=
=.
（3）解：∵∠C=90°，AC=9cm，BC=10cm，
∴AB2=AC2+BC2=92+102，
∵∠ABD=90°， BD=90cm
∴AD2=AB2+ BD2=92+102+902=(90+1)2=912，
∴AD=91或AD=-91（舍去），
∵△ABD是以AD为斜边的直角三角形，
∴△ABD外接圆的半径为AD=45.5cm.
【知识点】三角形的外接圆与外心；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律；数形结合
【解析】【解答】解：(1)；
；
；
故答案为：9，49，169.
【分析】（1）先计算乘方，再计算加法即可得；
（2）根据（1）中的三个等式可得等号左边的第二项比第一项大1，第三项等于第一项与第二项的乘积，等号右边比等号左边的第三项大1，由此即可得；再利用完全平方公式即可得证；
（3）利用勾股定理可得计算AB2，AD2的式子，再利用（2）中的规律即可得AD2的值，从而可得AD的值，再根据直角三角形的外接圆的半径等于其斜边的一半即可得.
1 / 1数学思想与方法-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2025·萧山模拟）已知，则代数式的值为（　　）
A．-2 B．0 C．2 D．4
2．（2024·邵东模拟）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）
A． B．﹣1 C． D．
3．（2025·临安模拟）如图，在平面直角坐标系中，正与正是以原点为位似中心的位似图形，且面积比为，点，，均在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·象州模拟）如图，长方形中，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为（　　）
A． B．或 C． D．或
5．（2024·平湖自主招生）代数式的最大值是（　　）
A．6 B． C． D．不存在
6．（2024·津市市模拟）将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．（2024七下·宁波期末）我国南宋数学家杨辉在其所著《续古摘奇算法》中的攒九图一节中提出了“幻圆”的概念．如图是一个二阶幻圆模型，其内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则　 　．
8．（2025·安州模拟）如图，已知的半径为，是平行于直径的一条弦，P为上的动点，则的最小值为 　 　．
9．（2025·镇海区模拟）在矩形中， ， ， 点F在线段上， 且， 则点 P到矩形对角线所在直线的距离是　 　．
10．（2025·山东模拟）我们知道，一元二次方程x2=-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=-1（即方程x2=-1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=-1，i3=i2 i=（-1） i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n i=（i4）n i=i，同理可得i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2015+i2016+i2017的值为 　 　
11．（2025·碧江模拟）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为　 　．
12．（2024·平湖自主招生）在菱形ABCD中，边上的高为4，则对角线AC的值是　 　.
三、解答题
13．（2025·莲都模拟）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若此函数图象上有一点到轴的距离不大于2，求的最大值与最小值之差；
（3）已知点在该二次函数的图象上且位于轴的两侧，若恒成立，求的取值范围．
14．（2024·广西模拟）问题呈现： 如图1，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD 的值．
方法归纳： 利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD 就变换成Rt△ABE 中的∠ABE．
问题解决：
（1）图1中tan∠BPD的值为________；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B 和 C，D，AB与CD交于点P，求cos ∠BPD的值；
思维拓展：
（3）如图3，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD．
15．（2020·呼和浩特）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程 ，就可以利用该思维方式，设 ，将原方程转化为： 这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足 ，求 的值．
16．（2024·长沙模拟） 定义：在平面直角坐标系中，若在函数图象W上存在一点M，绕原点顺时针旋转后的对应点N（点N与M不重合）仍在此函数图象W上，则称这个函数为“凡尔赛函数”，其中点M称为这个函数的“凡尔赛点”
（1）函数①，②，③，其中是“凡尔赛函数”的是　 　；（填序号）
（2）若一次函数是“凡尔赛函数”，点（m为整数）是这个函数的“凡尔赛点”，求k的值；
（3）若点是二次函数（其中a，b，c为常数，）的“凡尔赛点”，点B为A的“后凡尔赛点”，由点A、B、C、D四点构成的四边形面积记为S，求S的取值范围．
四、实践探究题
17．（2024七下·临平期中）综合与实践
问题情境：“综合与实践”课上，老师将一副直角三角板摆放在直线上（如图1，，，，）．保持三角板EDC不动，老师将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．各小组解决老师给出的问题，又提出新的数学问题，请你解决这些问题．
深入探究：
①老师提出，如图2，当转到与的角平分线重合时，，当在内部的其他位置时，结论是否依然成立？请说明理由．
②勤学小组提出：若旋转至的外部，与是否还存在如上数量关系？若存在，请说明理由；若不存在，请写出与的数量关系，并说明理由．
拓展提升：
③智慧小组提出：若旋转到与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，直线与直线是否存在平行的位置关系？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
18．（2025九下·浙江模拟）
（1）【公式探索】
计算　 　；　 　；　 　
（2）【公式建构】
根据上面的计算结果，请用含（为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明．
（3）【迁移应用】
如图，已知在四边形中，，若，，，求外接圆的半径．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】解：∵2x+1=-2，
∴2x2+x-1
=x（2x+1）-1
=-2x-1
=-（2x+1）
=2．
故答案为：C.
【分析】将代数式的前两项提取公因式并将2x+1=-2代入，得到-（2x+1）并再次将2x+1=-2代入求值即可．
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形；归纳与类比
【解析】【解答】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，
设AC＝x，则BC＝x，AB＝，CD＝，
∴
故答案为：B.
【分析】延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则BC＝x，AB＝，CD＝，再利用正切的定义及计算方法求出即可.
3．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；数形结合
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型；分类讨论
【解析】【解答】解：∵AB=10，点M是AB的中点，
∴AM=AB=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，AB∥CD，
∴∠DPA=∠PAM，
由折叠可得，，，∠DPA=∠QPA，
∴∠QPA=∠PAM，
∴AM=PM=5，
在Rt△AQM中，，
①当点P在CD的中点左侧时，
∴DP=PQ=PM-QM=2；②当点P在CD的中点右侧时，如图，
∴DP=PQ=PM+QM=8，
综上，DP的长为2或8.
故答案为：B．
【分析】由中点定义得AM=5，由矩形性质得∠D=90°，AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠DPA=∠PAM，由折叠可得DP=QP，AQ=AD=4，∠AQP=∠D=90°，∠DPA=∠QPA，则∠QPA=∠PAM，由等角对等边得AM=PM=5，在Rt△AQM中，利用勾股定理算出QM，然后分类讨论：①当点P在CD的中点左侧时，DP=PQ=PM-QM=2；②当点P在CD的中点右侧时，DP=PQ=PM+QM=8，综上即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；数形结合
【解析】【解答】解：，
即表示在x轴上取一点，到点A(0，1)和点B(4，7)的距离和最小，
作点B关于x轴的对称点B1，然后连接AB1，则即为最小值，
这时AC=4，B1C=7+1=8，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据 的几何意义得出在x轴上取一点，到点A(0，1)和点B(4，7)的距离和最小，然后作点B关于x轴的对称点B1，然后连接AB1，然后根据勾股定理解题即可.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象上点的坐标特征；数学思想
【解析】【解答】解：令y=0，得，解得
抛物线与x轴的交点为（-1，0），（3，0），
将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，
新图象中当时，解析式为，如图，
当直线经过（3，0）时，此时直线与新函数的图象有3个交点，
把（3，0）代入直线，解得m=-3，
直线再向下平移时，有4个交点，
当与直线有一个交点时，此时直线与新函数有3个交点，联立方程组得
整理得，
解得
综上所述：新图象与直线有4个交点时，m的取值范围是
故答案为：C.
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标，再根据抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到新的图象的解析式为（），画出图象，结合图象即可求解m的取值范围.
7．【答案】3
【知识点】三元一次方程组及其解法；幻方、幻圆数学问题；整体思想
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
①+②得：，
，
故答案为：3．
【分析】先根据题意，得到关于a，b的二元一次方程组，再利用整体思想求解．
8．【答案】6
【知识点】平行线之间的距离；勾股定理；偶次方的非负性；圆与三角形的综合；数形结合
【解析】【解答】解：以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，
设D的坐标是，P的坐标是，
∵，
∴由圆的对称性得到C的坐标是，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最小值6，
故答案为：6．
【分析】以圆的圆心O为原点建立平面直角坐标系，过D作于M，过C作于N，设D，P，由圆的对称性得到C的坐标是，由点的坐标及平行线间的距离相等得，由勾股定理表示出PC2、PD2，，从而得到，进而结合偶数次幂的非负性即可求出的最小值．
9．【答案】或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解： 如图1，过点作于点，
四边形是矩形，
，，，，
∵，，，
由勾股定理得，，
，
，，
，
，
，
；
如图2，过点作于点，
，，
，，
，
，
；
综上，点到矩形对角线所在直线的距离是或．
故答案为：或．
【分析】由题意可分两种情况：如图1，过点作于点，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；如图2，过点作于点，同理可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式可求解．
10．【答案】i
【知识点】观察与实验
11．【答案】或
【知识点】正方形的性质；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，
当时，点在线段上，在上，
∵正方形的边长为，为的中点，
∴，
∵，，
∴；，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
如图所示，
当时，点在线段上，在上，
∵，
∴，
∵，即
∴
，
解得：或（舍去）.
综上所述，或.
故答案为：或．
【分析】分“”、“”两种情况，分别根据分别列出方程求解．
12．【答案】或
【知识点】勾股定理；菱形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：如图， 若AH在菱形ABCD内部， 连接AC
∵四边形ABCD是菱形
在 中，
如图， 若AH在菱形ABCD外部， 连接AC，
∵四边形ABCD是菱形
在 中，
故答案为： 或 .
【分析】分AH在菱形ABCD内部，若AH在菱形ABCD外部两种情况讨论，由勾股定理可求AC的长.
13．【答案】（1）解：因为对称轴为直线，
所以设，
因为图象经过点，所以，解得，
所以二次函数的表达式为．
（2）解：因为点到轴的距离不大于2，所以，
因为该函数二次项系数为1大于0，
所以当时，有最小值1；当时，取得最大值为10，
因为，所以的最大值与最小值之差为9．
（3）解：二次函数图象的对称轴为直线，
①若点在轴的左侧，点在轴的右侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以．
②若点在轴的右侧，点在轴的左侧，
所以，解得：，
因为恒成立，所以，解得，
所以，
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【分析】 （1）将A（2，2）代入解析式，并利用对称轴解析式解答即可；
（2）由题意得-2≤m≤2，由于开口向上，那么当m=1时，n有最小值1；由于横坐标为-2的点到对称轴的距离1-（-2）=3大于点A到对称轴的距离1，则当m=-2时，n取得最大值，即可求解；
（3）①若点P在y轴的左侧，点Q在y轴的右侧，则， 由于y1＞y2恒成立，所以 ，再分别解不等式和不等式组；②若点P在y轴的右侧，点Q在y轴的左侧，则 ，由于y1＞y2恒成立，则 ，再分别解不等式和不等式组即可.
14．【答案】解：（1）2；
（2）过点A作AE//CD，连接BE，由图2可知E点在格点上，且∠AEB＝90°，
由勾股定理可得：
∴cos∠BPD＝cos∠BAE＝；
（3）如图3构造网格，过点A作AN//PC，连接DN，由图可知N点在格点上，且∠AND＝90°，
由勾股定理可得：
∴sin∠CPD＝sin∠NAD＝
【知识点】平行线的性质；勾股定理；归纳与类比
【解析】【解答】解：（1） 由勾股定理可得：，
∵CD//BE，
∴tan∠BPD＝tan∠ABE＝；
故答案为：2.
【分析】（1）先利用勾股定理求出AE和BE的长，再利用正切的定义及计算方法分析求解即可；
（2）过点A作AE//CD，连接BE，先利用勾股定理求出AE和AB的长，再利用余弦的定义及计算方法分析求解即可；
（3）过点A作AN//PC，连接DN，先利用勾股定理求出DN和AD的长，再利用正弦的定义及计算方法分析求解即可.
15．【答案】解：令 ，则原方程组可化为：
，整理得： ，
②-①得： ，
解得： ，代入②可得：b=4，
∴方程组的解为： 或 ，
，
当a=5时， =6，
当a=-5时， =26，
因此 的值为6或26.
【知识点】解二元一次方程组；定义新运算；数学思想
【解析】【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有 和 ，因此可以令 ，列出方程组，从而求出a，b的值，再求出 的值.
16．【答案】（1）③
（2）解：∵点是一次函数的“凡尔赛点”，的“后凡尔赛点”为，
∴，
得；
当时，；
当时，
∵关于k的一元二次方程有实数根，
，
解得，
又m为整数，
∴或，
当时，，解得或；
当时，解得（舍去），．
综上：k的值为或1或或．
（3）解：∵点是二次函数（其中a，b，c为常数，
∴“后凡尔赛点”B的坐标为，
∴，
解得，
∴，令得，
∵
．
令，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
．
∴．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；数学思想
【解析】【解答】解：解：（1）①设点在函数的图像上，点绕原点顺时针旋转后的对应点为，则，
即，
解得：，
，
点与点是同一个点，
故不是凡尔赛函数，
②设点在函数的图像上，点绕原点顺时针旋转后的对应点为，则，
即，
解得：，
时，函数无意义，
故不是凡尔赛函数，
③设点在函数的图像上，点绕原点顺时针旋转后的对应点为，则，
即，
解得：或，
当时，点为，点为，时同一个点，不符合，
当时，点为，点为，
绕原点顺时针旋转后的对应点为，在函数上，
是凡尔赛函数，
故答案为：③；
【分析】（1）根据“凡尔赛函数”的定义进行逐一判断即可求解；
（2）根据点是 是一次函数的“凡尔赛点”，的“后凡尔赛点”为， 进行解答即可求解；
（3）根据 点是二次函数（其中a，b，c为常数，）的“凡尔赛点”，解得a，b的值，再代入，令得关于x的方程，结合 即可求解.
17．【答案】解：①∵，，，，
∴，
当旋转至的内部时，如图，与的数量关系是：；
理由是：由旋转得：，
，，
；
②当A、B分别在外部时，如图示：
∵，
∴；
当点A在外部，点B在内部，如图示：
∵，
∴，
∴，
综上：不存在；或．
③当点A在直线上方时，如图示：
∵，
∴，
∴；
当点A在直线下方时，如图示：
∵，
∴，
∴旋转了
∴，
综上：存在，或．
【知识点】旋转的性质；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【分析】①先根据三角形的内角得到，然后由旋转得到∠DCA和∠ECB的度数，然后根据角的和差解题；
②分为A、B分别在外部或A在外部，点B在内部两种情况，根据角的和差解题即可．
③分为点A在直线上方，点A在直线下方两种情况，根据平行线的性质得到旋转角的大小，再利用旋转速度求出时间t即可．
18．【答案】（1）；；
（2）解：，
，
，依次类推得：.
证明：
=
=.
（3）解：∵∠C=90°，AC=9cm，BC=10cm，
∴AB2=AC2+BC2=92+102，
∵∠ABD=90°， BD=90cm
∴AD2=AB2+ BD2=92+102+902=(90+1)2=912，
∴AD=91或AD=-91（舍去），
∵△ABD是以AD为斜边的直角三角形，
∴△ABD外接圆的半径为AD=45.5cm.
【知识点】三角形的外接圆与外心；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律；数形结合
【解析】【解答】解：(1)；
；
；
故答案为：9，49，169.
【分析】（1）先计算乘方，再计算加法即可得；
（2）根据（1）中的三个等式可得等号左边的第二项比第一项大1，第三项等于第一项与第二项的乘积，等号右边比等号左边的第三项大1，由此即可得；再利用完全平方公式即可得证；
（3）利用勾股定理可得计算AB2，AD2的式子，再利用（2）中的规律即可得AD2的值，从而可得AD的值，再根据直角三角形的外接圆的半径等于其斜边的一半即可得.
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