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对称与旋转压轴（费马点、将军饮马和婆罗摩笈多模型）-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2024·惠州模拟）若锐角三角形内的点满足，则称点为的费马点．如图，在中，，则的费马点到，三点的距离之和为（　　）
A．4 B．2 C． D．
2．（2023·容县模拟）如图，已知点D、E分别是等边△ABC中BC、AB边上的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．3
3．（2024七下·浙江竞赛）已知点在内，且，延长AP，BP，CP，分别交边BC，CA，AB于点D，E，F，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（“一点两线”模型—中考数学几何模型专题复习） 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，点E，F分别是边 BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF.当△AEF 的周长最小时，∠AEF+∠AFE 的度数是 (　　)
A．100° B．120° C．140° D．160°
5．（2025·南山模拟）如图，直线表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　）
方案一： ①将点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点即桥的位置． 方案二： ①连接AB交于点；②过点作，交于点即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F|分别是AB，BC，AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值为（　　）
A．2.5 B．3. 5 C．4.8 D．6
二、填空题
7．（2023八下·高州月考）如图，在中，，，点P是边上一动点，点D在边上，且，则的最小值为　 　 ．
8．（2024·成都）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为　 　.
9． 的 最 小 值为　 　.
10．如图，点A 是四边形 BCDE 内的一点，连接AB，AC，AD，AE，已知AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC 的中点，则 　 　
11．如图，△ABC和△ADE为共顶点的等腰直角三角形， ，点H是CD的中点，连接AH 交 BE 于点 G，AH=3，则 BE的长为　 　.
12． 如图，在△ABC中，∠BCA=15°，AC=2，BC= ，在△ABC 的内部有一点 P，连接 PA，PB，PC，则 的最小值为　 　.
三、解答题
13．（2024·贵州模拟）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，直线与直线相交于点．
（1）求直线和的表达式；
（2）求的面积；
（3）点M为y轴上的动点，连接．当的值最小时，求点M的坐标．
14．已 知 △AOB 和 均为等腰直角三角形，∠AOB = 如图①，连接AD，BC，点H为BC的中点，连接OH交AD 于点 F.
（1）证明： 且OH⊥AD；
（2）将 绕点 O 旋转到图②、图③所示位置时，线段 OH 与 AD 又有怎样的关系 选择一个图形并证明你的结论.
四、实践探究题
15．【问题提出】
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是　 　．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
（3）【问题解决】如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
16．
（1）【问题提出】如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角三角形．理由如下：
∵点P关于边、的对称点分别为，，
∴，，，，
∴即周长的最小值为
∵，∴∴是等腰直角三角形．
学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，，顺次连接O，，，则的形状是　 　三角形．
（2）【问题探究】如图2，在中，，，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
17．问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有．
故．因此，当共线时，有最小值是．
学以致用：
（1）如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是　 　．
（2）如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值．
18．（专题01-2 将军饮马系列模型（几何最值模型）—中考数学重难点突破.）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
（1）直接写出点的坐标；
（2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
（3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
（4）【问题情境】如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的　 　倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
（5）【操作实践】如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
（6）【探究应用】如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（7）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；费马点模型；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，作∠DBP=∠DCP=30°
则∠APB=∠APC=∠BPC=120°，此时点P是△ABC的费马点
可知PB=PC，且费马点P在线段AD上
∵
∴
∴
∴
∴PB=2PD=1
∴
∴PA+PB+PC=4
故答案为：A
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，作∠DBP=∠DCP=30°，则∠APB=∠APC=∠BPC=120°，此时点P是△ABC的费马点，可知PB=PC，且费马点P在线段AD上，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值可得，则PB=2PD=1，根据勾股定理可得PB，再根据边之间的关系即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接交于点，连接，
是等边三角形，
，，
，
此时的值最小，最小值为，
，
的最小值为，
故答案为：D．
【分析】根据“将军饮马”线段和最值问题，作轴对称求最短距离．结合等边三角形性质，连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为．
3．【答案】B
【知识点】费马点模型
【解析】【解答】解：由题可知点P是△ABC的费马点，
根据费马点的性质可得，
故答案为：B.
【分析】先根据费马点的定义结合题意得到点P是△ABC的费马点，然后根据费马点的性质解题即可.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
5．【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；平移的性质；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：
方案一中将点A向上平移d单位得到A'，连接A'B与l1的交点M，再作MN⊥l1得到桥的位置；由于l1∥l2，MN的长度固定为d，此时路径A-M-N-B的总长度等于A'M + MN + NB；通过平移将问题转化为直线距离最短，因此方案一的路径确实最短。
方案二直接连接AB与l1的交点M，作MN⊥l1作为桥；此时路径为A-M-N-B，但AB并非平移后的直线路径，当河岸间距固定时，仅以直线连接AB可能无法保证过桥后的路径最短；例如，当AB与河岸不垂直时，该路径可能非最优.
故答案为：A.
【分析】 分析方案一通过平移将问题转化为点到点的直线距离，确保路径最短；而方案二未考虑河岸间距的平移效应，可能导致路径非最优；因此，只有方案一可行，即可解答.
6．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：如图1，分别作点E关于AB、AC的对称点E'、E''，连接DE'、FE''，
由轴对称的性质可得，
如图2，当点E、F与点C重合时，DE+EF+FD有最小值，
此时DE+EF+FD=CE'，
，
，
点C、E'关于AB对称，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查''将军饮马''模型求线段和最值问题的应用，先分别作点E关于AB、AC的对称点E'、E''，可知DE+EF+FD=DE'+EF+FE''，当点E'、D、F、E''四点共线时，DE+EF+FD有最小值，而点E、D、F都是动点，故当E、F与点C重合时，DE+EF+FD的长度值最小，即DE+EF+FD=CE'，再通过等面积法求得直角三角形斜边上的高线CD的长度，接着利用轴对称的性质计算得DE+EF+FD的最小值.
7．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，作点A关于直线BC的对称点，连接，当点、P、D三点共线时，即为的最小值；
∵，
∴
∵，，，
∴
∵点A关于直线BC的对称点为
∴，
过D作于E，则，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
根据将军饮马模型，作点A关于直线BC的对称点，连接，当点、P、D三点共线时，的最小值为，利用已知数据求得AD，的值；作于E，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得DE，，的长度，即可得到最小值．
8．【答案】5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点A关于直线l的对称点A'点，连接OA'交l于点P'，再连接P'A，
∴P'A=P'A'，
∴P'O+P'A=P'O+P'A'=OA'，即当点P运动到P'点位置时，OP+PA的值最小为OA'
根据两点之间线段最短可得OP+PA的最小值为OA'，
∵过点B(0，2)作y轴的垂线l，点A(3，0)与点A'关于直线l对称，
∴A'(3，4)，
∴OA'=，即PO+PA的最小值为5.
故答案为：5.
【分析】作点A关于直线l的对称点A'点，连接OA'交l于点P'，再连接P'A，由轴对称的性质可得P'O+P'A=P'O+P'A'=OA'，即当点P运动到P'点位置时，OP+PA的值最小，根据轴对称点的坐标特点找出点A'的坐标，进而根据平面直角坐标系中任意两点间的距离公式计算出OA'即可.
9．【答案】5
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：由两点间距离公式可将 看作点(x，0)和点(1，1)两点间的距离，将 看作点(x，0)和点(5，2)两点间的距离，
建立如解图坐标系，设点A(1，1)，B(5，2)，作点A关于x轴的对称点A'，
则 的最小值即为A'B的长(同侧两点求线段和最小值)，
过A'作 A'D 平行x轴，过 B 作 BD 平行y轴，两直线相交于点 D，
∴D(5，-1)，
∵A'B= 的最小值为5.故答案为：5.
【分析】根据两点间距离公式可得点(x，0)与点(1，1)、(5，2)的距离和，然后建立坐标系，过A'作 A'D 平行x轴，过 B 作 BD 平行y轴，两直线相交于点 D，根据勾股定理解题即可.
10．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；婆罗摩笈多模型
【解析】【解答】解：延长AM至N，使 连接BN，
∵点M为BC的中点，
在 和 中，
∴AD=BN，
∵AB⊥AE， AD⊥AC，
∴∠EAB=∠DAC=90°，
∴∠EAD+∠BAC=180°，
∴∠ABN =∠ABC+∠NBM =∠ABC+∠C=180°-∠BAC =∠EAD，
在△EAD和△ABN中，
∴△EAD≌△ABN(SAS)，
∴DE=AN =2AM .
∴，
故答案为：.
【分析】延长AM至N， 使 连接BN，证 明 ，推出 求出 再证明 根据全等三角形的性质求解即可.
11．【答案】6
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；婆罗摩笈多模型
【解析】【解答】解：∵ △ABC 和△ADE 为共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴ AB =AC，AD=AE.
如图，过点 C 作 CP∥AD，交 AH的延长线于点 P，M为 PC 延长线上一点.
∵CP∥AD，
∴ ∠HAD=∠HPC.
又∵H 为 DC 的中点，
∴ DH = CH.
∵ ∠DHA = ∠CHP，
∴△ADH≌△PCH(AAS)，
∴AH=PH=3，
∴AP=6，CP=AD.
又∵AD=AE，
∴AE=CP.
∵CP∥AD，
∴ ∠ACM = ∠DAC.
∵ ∠BAE = ∠BAC+∠DAE-∠DAC=180°-∠DAC，∠ACP=180°-∠ACM，
∴ ∠BAE = ∠ACP.∵ AB =AC，
∴△ABE≌△CAP(SAS)，
∴BE=AP=6.
故答案为：6.
【分析】过点 C 作 CP∥AD，交 AH的延长线于点 P，M为 PC 延长线上一点.得到△ADH≌△PCH，即可得到AH=PH=3，然后再根据SAS证明△ABE≌△CAP解题即可.
12．【答案】
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；费马点模型
【解析】【解答】解：如解图，将△PAC绕点 C 逆时针旋转 120°得到△P'A'C，连接 PP'和A'B，则△PCP'是顶角为 120°的等腰三角形，
∴
∴当B，P，P'，A'四点共线时，取得最小值，即为A'B的长(“费马点”模型)，
过点A'作 A'D⊥BC 交 BC 延长线于点 D，
∵∠BCA'=120°+15°=135°，
∴ ∠DCA'=180°-135°=45°.
∵A'C=AC=2，在 Rt△CDA'中， 在 Rt△BDA'中，
的最小值为
故答案为：
【分析】将△PAC绕点 C 逆时针旋转 120°得到△P'A'C，连接 PP'和A'B，则△PCP'是顶角为 120°的等腰三角形，即可得到 当B，P，P'，A'四点共线时，取得最小值，即为A'B的长，然后利用勾股定理求出A'B即可.
13．【答案】（1）解：将代入，得，
解得：，
∴直线的表达式为，
∵直线与直线相交于点 ，
∴当时，有，
∴，代入 ，得，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴的面积为；
（3）解：如图，作点关于y轴的对称点，连接交轴于点，
∴，
∴当点与点重合时，的值最小，
设直线的表达式为，
把，代入表达式，得，
解得：，
∴直线的表达式为，
当时，，
∴当的值最小时，点的坐标是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线的表达式，从而求出点的坐标，进而求出的表达式；
（2）结合点B，C的坐标，直接利用三角形面积公式进行计算即可；
（3）作点关于y轴的对称点，连接交轴于点，根据轴对称的性质得，可知当点与点重合时，的值最小，然后利用待定系数法求出的解析式，进一步求出点的坐标．
14．【答案】（1）证明：∵ △AOB 与△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OA=OB，OC=OD.
在Rt△AOD与 Rt△BOC中，
∴Rt△AOD≌Rt△BOC(SAS)，
∴∠OAD=∠OBC，AD=BC.
∵点H为BC的中点，
∴∠HOB=∠OBH=∠OAD.
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠ADO+∠HOB=90°，∴∠OFD=90°，
∴OH⊥AD；
（2）解：
选择题图②，证明如下：如解图①，延长 OH到点E，使得 HE=OH，连接 BE.
∵点H 是BC的中点，
∴BH=CH，
易证△BEH≌△COH(SAS)，
∴BE=CO，∠EBC=∠BCO，
∴∠OBE=∠EBC+∠OBC=∠BCO+∠OBC=180°-∠BOC.
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC=180°-∠BOC=∠OBE.
又∵OB=OA，BE=OC=OD，
∴△BEO≌△ODA(SAS)，
由△BEO≌△ODA 知∠EOB=∠DAO，
∴ ∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，
∴OH⊥AD.
选择题图③，证明如下：
如解图②，延长OH到点 E，使得HE=OH，连接 BE，延长EO交AD于点 G.
∵点H是BC的中点，∴BH=CH，易证△BEH≌△COH(SAS)，
∴BE=CO，∠EBC=∠BCO，
∴∠OBE=∠EBC+∠OBC=∠BCO+∠OBC=180°-∠BOC.
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOD=180°-∠BOC=∠OBE.
又∵OB=OA，BE=OC=OD，
∴△BEO≌△ODA(SAS)，∴OE=AD，
由△BEO≌△ODA知∠EOB=∠DAO，
∴ ∠DAO+∠AOG=∠EOB+∠AOG=90°，
∴∠AGO=90°，∴OH⊥AD.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；婆罗摩笈多模型
【解析】【分析】（1）先根据SAS证明Rt△AOD≌Rt△BOC，即可得到∠OAD=∠OBC，AD=BC.然后根据等边对等角得到∠HOB=∠OBH=∠OAD.即可得到∠OFD=90°，解题即可；
（2）选择题图②，延长 OH到点E，使得 HE=OH，连接 BE.可得△BEH≌△COH(SAS)，即可得到BE=CO，∠EBC=∠BCO，然后证明△BEO≌△ODA，△BEO≌△ODA解题即可；选择题图③，延长OH到点 E，使得HE=OH，连接 BE，延长EO交AD于点 G.证明△BEH≌△COH，即可得到BE=CO，∠EBC=∠BCO，然后证明△BEO≌△ODA(SAS)，△BEO≌△ODA解答即可.
15．【答案】（1）等边三角形
（2）解：设AB=a，
∵AB+AC=10，
∴AC=10-AB=10-a，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
BC2=AB2+AC2=a2+(10-a)2
=2a2-20a+100
=2(a-5)2+50，
∵(a-5)2≥0，
∴2(a-5)2+50≥50，即BC2≥50，
∴，
即BC 的最小值为.
（3）解：如图3，
将△ABE绕点B逆时针旋转60°到△A'BE'，
∴△ABE≌△A'BE'，
∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，
∴△EBE'为等边三角形，
∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，
∴AE+BE+CE=A'E+EE'+CE，
要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，
过点A'作A'F⊥CB，交CB的长线于F，
在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°
设BF=x，则A'B=2x，
根据勾股定理行，，
∵AB=A'B.
∴AB=2x，
∵AB+BC=6，
∴BC=6-AB=6-2x，
∴CF=BF+BC=6-x
在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，
，
∴当，即AB=2x=3时，A'C最小，
此时，BC=6-3=3，，
∴平行四边形公园ABCD的面积为(平方千米)
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；费马点模型
【解析】【解答】解：(1)△BMN的形状是等边三角形，理由如下：
由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°，
∴△BMN为等边三角形
故答案为：等边三角形.
【分析】】(1)由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可；
(2)设AB=a，则 AC=10-a，进而根据勾股定理得出BC2=2(a-5)2+50即可得出结论；
(3)先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可.
16．【答案】（1）等边
（2）解：(2)∵AB=AC，∠BAC=30°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=15°，BD=CD，
作AB的垂直平分线，交AD于点E，连接BE，
则：EB=EA，∠ABE=∠BAD=15°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=30°，
∴BE=2BD，，
∴AE=BE=2BD，
∴，
∴，
∴.
(3)存在；理由如下：
如图，以点B为圆心，BP为半径画圆，分别作点P关于AB，BC的对称点G，H，则点G，H在⊙B上，连接GH，分别交AB，BC于点M，N，此时△PMN的周长最小.
∴BP=BG=BH=10，∠GBM=∠PBM，∠HBN=∠PBN，
∵∠PBM+∠PBN=60°，
∴∠GBH=120°，且BG=BH，
∴∠BGH=∠BHG=30°，
过点B作BO⊥GH于O，
∴BO=5，，
∴，
∴，
∵S四边形BMPN=S△BGM+S△BNH=S△BGH-S△BMN，
S△BGH为定值，
∴S△BMN最小时，S四边形BMPN的值最大，此时△PMN的面积最大，
过点P作PO⊥MN于点Q，则，
∴当MN⊥BP时，即O点与点Q重合时，S四边形BMPN的值最大，
∴，
∴∠PBG=∠PBH，
∴∠GBP=∠HBP=60°，
∴∠GBM=∠PBM=30°，∠PBN=∠HBN=30°，
∴∠PBM=∠PBN=30°，
∴△BMO≌△BNO(ASA)
∴BM=BN，
此时△BMN是等边三角形，
∴BM=MN=BN，
∵∠BGM=∠GBM=∠BHG=∠HBN=30°，
∴GM=BM，BN=HN，
∴，
∴△PMN的最大值
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：(1)∵点P关于边OA、OB的对称点分别为P1，P2，
∴OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，
∵∠AOP+∠BOP=∠AOB=30°，
∴∠AOP1+∠BOP2=∠AOB=30°，
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴OP1=OP2，
∴△OP1P2为等边三角形；
故答案为：等边.
【分析】】(1)根据对称性，得到OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，进而得到答案；
(2)作AB的垂直平分线，交AD于点E，连接BE，根据中垂线的性质，得到EB=EA，∠ABE=∠BAD=15°，推出△BDE是含30°的直角三角形，用BD分别表示出BE，DE，再利AD=AE+DE，求出BD，进而求出△ABC的面积；
(3)如图，作点P关于AB的对称点G，作点P关于BC的对称点H，连接GH，交AB，BC于点M，N，此时△PMN的周长最小，可以求出，由S四边形BMPN=S△BGM+S△BNH=S△BGH-S△BMN推出S△BMN最小时，S四边形BMPN的值最大，此时△PMN的面积最大，进行求解即可.
17．【答案】（1）5
（2）解：将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，
∴AF=AP，∠FAP=∠BAE=90°，
∴△AFP是等腰直角三角形，
∴∠EAB=135°
作EH⊥BA交BA的延长线于H，
在Rt△EAH中，
∵∠H=90°，∠EAH=45°，，
∴EH=AH=2，
在Rt△EHC中，，
∵，
∴，
的最小值为

【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；费马点模型
【解析】【解答】解：(1)如图3中，
将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，
∴AP=AF，∠BAF=∠CAE=60°
∴△AFP是等边三角形，∠EAB=90°，
在Rt△EAB中，，
∵PA+PB+PC=EF+FP+PB≥BE
∴PA+PB+PC≥5
∴PA+PB+PC的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】(1)将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，易知△AFP是等边三角形，∠EAB=90°，转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)；
(2)将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形∠EAB=135°，作EH⊥BA交BA的延长线于H，转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直).
18．【答案】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
（2）解：当时，，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
（3）解：过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，
∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
11．
（4）2
（5）解：如图，∵，
∴，，
，，
∴，
如图，
结合图形变换可得：；
（6）解：如图，∵将绕点逆时针旋转，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵为圆外一个定点，
∴当与相切时，最大，
∴，
∴，
由（2）可得：，
∵，，
∴
，
∴；
（7）解：如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，
∴，，
再将沿方向平移，使与重合，如图，得，
由（2）可得：，
∴当三点共线时，最短，
∵，，
∴，，
∴；
∴的最小值为；
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
1 / 1对称与旋转压轴（费马点、将军饮马和婆罗摩笈多模型）-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题
一、选择题
1．（2024·惠州模拟）若锐角三角形内的点满足，则称点为的费马点．如图，在中，，则的费马点到，三点的距离之和为（　　）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；费马点模型；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，作∠DBP=∠DCP=30°
则∠APB=∠APC=∠BPC=120°，此时点P是△ABC的费马点
可知PB=PC，且费马点P在线段AD上
∵
∴
∴
∴
∴PB=2PD=1
∴
∴PA+PB+PC=4
故答案为：A
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，作∠DBP=∠DCP=30°，则∠APB=∠APC=∠BPC=120°，此时点P是△ABC的费马点，可知PB=PC，且费马点P在线段AD上，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值可得，则PB=2PD=1，根据勾股定理可得PB，再根据边之间的关系即可求出答案.
2．（2023·容县模拟）如图，已知点D、E分别是等边△ABC中BC、AB边上的中点，AD＝6，点F是线段AD上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．3
【答案】D
【知识点】将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：连接交于点，连接，
是等边三角形，
，，
，
此时的值最小，最小值为，
，
的最小值为，
故答案为：D．
【分析】根据“将军饮马”线段和最值问题，作轴对称求最短距离．结合等边三角形性质，连接交于点，连接，此时的值最小，最小值为．
3．（2024七下·浙江竞赛）已知点在内，且，延长AP，BP，CP，分别交边BC，CA，AB于点D，E，F，那么的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】费马点模型
【解析】【解答】解：由题可知点P是△ABC的费马点，
根据费马点的性质可得，
故答案为：B.
【分析】先根据费马点的定义结合题意得到点P是△ABC的费马点，然后根据费马点的性质解题即可.
4．（“一点两线”模型—中考数学几何模型专题复习） 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=110°，∠B=∠D=90°，点E，F分别是边 BC，CD上的动点，连接AE，AF，EF.当△AEF 的周长最小时，∠AEF+∠AFE 的度数是 (　　)
A．100° B．120° C．140° D．160°
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
5．（2025·南山模拟）如图，直线表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥，使得村庄经桥过河到村庄的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　）
方案一： ①将点向上平移得到；②连接交于点；③过点作，交于点即桥的位置． 方案二： ①连接AB交于点；②过点作，交于点即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
【答案】A
【知识点】两点之间线段最短；平移的性质；将军饮马模型-两线两点（两动两定）
【解析】【解答】解：
方案一中将点A向上平移d单位得到A'，连接A'B与l1的交点M，再作MN⊥l1得到桥的位置；由于l1∥l2，MN的长度固定为d，此时路径A-M-N-B的总长度等于A'M + MN + NB；通过平移将问题转化为直线距离最短，因此方案一的路径确实最短。
方案二直接连接AB与l1的交点M，作MN⊥l1作为桥；此时路径为A-M-N-B，但AB并非平移后的直线路径，当河岸间距固定时，仅以直线连接AB可能无法保证过桥后的路径最短；例如，当AB与河岸不垂直时，该路径可能非最优.
故答案为：A.
【分析】 分析方案一通过平移将问题转化为点到点的直线距离，确保路径最短；而方案二未考虑河岸间距的平移效应，可能导致路径非最优；因此，只有方案一可行，即可解答.
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F|分别是AB，BC，AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值为（　　）
A．2.5 B．3. 5 C．4.8 D．6
【答案】C
【知识点】直角三角形的性质；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：如图1，分别作点E关于AB、AC的对称点E'、E''，连接DE'、FE''，
由轴对称的性质可得，
如图2，当点E、F与点C重合时，DE+EF+FD有最小值，
此时DE+EF+FD=CE'，
，
，
点C、E'关于AB对称，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查''将军饮马''模型求线段和最值问题的应用，先分别作点E关于AB、AC的对称点E'、E''，可知DE+EF+FD=DE'+EF+FE''，当点E'、D、F、E''四点共线时，DE+EF+FD有最小值，而点E、D、F都是动点，故当E、F与点C重合时，DE+EF+FD的长度值最小，即DE+EF+FD=CE'，再通过等面积法求得直角三角形斜边上的高线CD的长度，接着利用轴对称的性质计算得DE+EF+FD的最小值.
二、填空题
7．（2023八下·高州月考）如图，在中，，，点P是边上一动点，点D在边上，且，则的最小值为　 　 ．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；勾股定理；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，作点A关于直线BC的对称点，连接，当点、P、D三点共线时，即为的最小值；
∵，
∴
∵，，，
∴
∵点A关于直线BC的对称点为
∴，
过D作于E，则，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
根据将军饮马模型，作点A关于直线BC的对称点，连接，当点、P、D三点共线时，的最小值为，利用已知数据求得AD，的值；作于E，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得DE，，的长度，即可得到最小值．
8．（2024·成都）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为　 　.
【答案】5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点A关于直线l的对称点A'点，连接OA'交l于点P'，再连接P'A，
∴P'A=P'A'，
∴P'O+P'A=P'O+P'A'=OA'，即当点P运动到P'点位置时，OP+PA的值最小为OA'
根据两点之间线段最短可得OP+PA的最小值为OA'，
∵过点B(0，2)作y轴的垂线l，点A(3，0)与点A'关于直线l对称，
∴A'(3，4)，
∴OA'=，即PO+PA的最小值为5.
故答案为：5.
【分析】作点A关于直线l的对称点A'点，连接OA'交l于点P'，再连接P'A，由轴对称的性质可得P'O+P'A=P'O+P'A'=OA'，即当点P运动到P'点位置时，OP+PA的值最小，根据轴对称点的坐标特点找出点A'的坐标，进而根据平面直角坐标系中任意两点间的距离公式计算出OA'即可.
9． 的 最 小 值为　 　.
【答案】5
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：由两点间距离公式可将 看作点(x，0)和点(1，1)两点间的距离，将 看作点(x，0)和点(5，2)两点间的距离，
建立如解图坐标系，设点A(1，1)，B(5，2)，作点A关于x轴的对称点A'，
则 的最小值即为A'B的长(同侧两点求线段和最小值)，
过A'作 A'D 平行x轴，过 B 作 BD 平行y轴，两直线相交于点 D，
∴D(5，-1)，
∵A'B= 的最小值为5.故答案为：5.
【分析】根据两点间距离公式可得点(x，0)与点(1，1)、(5，2)的距离和，然后建立坐标系，过A'作 A'D 平行x轴，过 B 作 BD 平行y轴，两直线相交于点 D，根据勾股定理解题即可.
10．如图，点A 是四边形 BCDE 内的一点，连接AB，AC，AD，AE，已知AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，点M为BC 的中点，则 　 　
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；婆罗摩笈多模型
【解析】【解答】解：延长AM至N，使 连接BN，
∵点M为BC的中点，
在 和 中，
∴AD=BN，
∵AB⊥AE， AD⊥AC，
∴∠EAB=∠DAC=90°，
∴∠EAD+∠BAC=180°，
∴∠ABN =∠ABC+∠NBM =∠ABC+∠C=180°-∠BAC =∠EAD，
在△EAD和△ABN中，
∴△EAD≌△ABN(SAS)，
∴DE=AN =2AM .
∴，
故答案为：.
【分析】延长AM至N， 使 连接BN，证 明 ，推出 求出 再证明 根据全等三角形的性质求解即可.
11．如图，△ABC和△ADE为共顶点的等腰直角三角形， ，点H是CD的中点，连接AH 交 BE 于点 G，AH=3，则 BE的长为　 　.
【答案】6
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；婆罗摩笈多模型
【解析】【解答】解：∵ △ABC 和△ADE 为共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴ AB =AC，AD=AE.
如图，过点 C 作 CP∥AD，交 AH的延长线于点 P，M为 PC 延长线上一点.
∵CP∥AD，
∴ ∠HAD=∠HPC.
又∵H 为 DC 的中点，
∴ DH = CH.
∵ ∠DHA = ∠CHP，
∴△ADH≌△PCH(AAS)，
∴AH=PH=3，
∴AP=6，CP=AD.
又∵AD=AE，
∴AE=CP.
∵CP∥AD，
∴ ∠ACM = ∠DAC.
∵ ∠BAE = ∠BAC+∠DAE-∠DAC=180°-∠DAC，∠ACP=180°-∠ACM，
∴ ∠BAE = ∠ACP.∵ AB =AC，
∴△ABE≌△CAP(SAS)，
∴BE=AP=6.
故答案为：6.
【分析】过点 C 作 CP∥AD，交 AH的延长线于点 P，M为 PC 延长线上一点.得到△ADH≌△PCH，即可得到AH=PH=3，然后再根据SAS证明△ABE≌△CAP解题即可.
12． 如图，在△ABC中，∠BCA=15°，AC=2，BC= ，在△ABC 的内部有一点 P，连接 PA，PB，PC，则 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；费马点模型
【解析】【解答】解：如解图，将△PAC绕点 C 逆时针旋转 120°得到△P'A'C，连接 PP'和A'B，则△PCP'是顶角为 120°的等腰三角形，
∴
∴当B，P，P'，A'四点共线时，取得最小值，即为A'B的长(“费马点”模型)，
过点A'作 A'D⊥BC 交 BC 延长线于点 D，
∵∠BCA'=120°+15°=135°，
∴ ∠DCA'=180°-135°=45°.
∵A'C=AC=2，在 Rt△CDA'中， 在 Rt△BDA'中，
的最小值为
故答案为：
【分析】将△PAC绕点 C 逆时针旋转 120°得到△P'A'C，连接 PP'和A'B，则△PCP'是顶角为 120°的等腰三角形，即可得到 当B，P，P'，A'四点共线时，取得最小值，即为A'B的长，然后利用勾股定理求出A'B即可.
三、解答题
13．（2024·贵州模拟）如图，直线与x轴、y轴分别交于点，直线与直线相交于点．
（1）求直线和的表达式；
（2）求的面积；
（3）点M为y轴上的动点，连接．当的值最小时，求点M的坐标．
【答案】（1）解：将代入，得，
解得：，
∴直线的表达式为，
∵直线与直线相交于点 ，
∴当时，有，
∴，代入 ，得，
解得：，
∴直线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴的面积为；
（3）解：如图，作点关于y轴的对称点，连接交轴于点，
∴，
∴当点与点重合时，的值最小，
设直线的表达式为，
把，代入表达式，得，
解得：，
∴直线的表达式为，
当时，，
∴当的值最小时，点的坐标是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线的表达式，从而求出点的坐标，进而求出的表达式；
（2）结合点B，C的坐标，直接利用三角形面积公式进行计算即可；
（3）作点关于y轴的对称点，连接交轴于点，根据轴对称的性质得，可知当点与点重合时，的值最小，然后利用待定系数法求出的解析式，进一步求出点的坐标．
14．已 知 △AOB 和 均为等腰直角三角形，∠AOB = 如图①，连接AD，BC，点H为BC的中点，连接OH交AD 于点 F.
（1）证明： 且OH⊥AD；
（2）将 绕点 O 旋转到图②、图③所示位置时，线段 OH 与 AD 又有怎样的关系 选择一个图形并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵ △AOB 与△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，
∴OA=OB，OC=OD.
在Rt△AOD与 Rt△BOC中，
∴Rt△AOD≌Rt△BOC(SAS)，
∴∠OAD=∠OBC，AD=BC.
∵点H为BC的中点，
∴∠HOB=∠OBH=∠OAD.
又∵∠OAD+∠ADO=90°，
∴∠ADO+∠HOB=90°，∴∠OFD=90°，
∴OH⊥AD；
（2）解：
选择题图②，证明如下：如解图①，延长 OH到点E，使得 HE=OH，连接 BE.
∵点H 是BC的中点，
∴BH=CH，
易证△BEH≌△COH(SAS)，
∴BE=CO，∠EBC=∠BCO，
∴∠OBE=∠EBC+∠OBC=∠BCO+∠OBC=180°-∠BOC.
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC=180°-∠BOC=∠OBE.
又∵OB=OA，BE=OC=OD，
∴△BEO≌△ODA(SAS)，
由△BEO≌△ODA 知∠EOB=∠DAO，
∴ ∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，
∴OH⊥AD.
选择题图③，证明如下：
如解图②，延长OH到点 E，使得HE=OH，连接 BE，延长EO交AD于点 G.
∵点H是BC的中点，∴BH=CH，易证△BEH≌△COH(SAS)，
∴BE=CO，∠EBC=∠BCO，
∴∠OBE=∠EBC+∠OBC=∠BCO+∠OBC=180°-∠BOC.
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOD=180°-∠BOC=∠OBE.
又∵OB=OA，BE=OC=OD，
∴△BEO≌△ODA(SAS)，∴OE=AD，
由△BEO≌△ODA知∠EOB=∠DAO，
∴ ∠DAO+∠AOG=∠EOB+∠AOG=90°，
∴∠AGO=90°，∴OH⊥AD.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；婆罗摩笈多模型
【解析】【分析】（1）先根据SAS证明Rt△AOD≌Rt△BOC，即可得到∠OAD=∠OBC，AD=BC.然后根据等边对等角得到∠HOB=∠OBH=∠OAD.即可得到∠OFD=90°，解题即可；
（2）选择题图②，延长 OH到点E，使得 HE=OH，连接 BE.可得△BEH≌△COH(SAS)，即可得到BE=CO，∠EBC=∠BCO，然后证明△BEO≌△ODA，△BEO≌△ODA解题即可；选择题图③，延长OH到点 E，使得HE=OH，连接 BE，延长EO交AD于点 G.证明△BEH≌△COH，即可得到BE=CO，∠EBC=∠BCO，然后证明△BEO≌△ODA(SAS)，△BEO≌△ODA解答即可.
四、实践探究题
15．【问题提出】
（1）如图1，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，．若连接，则的形状是　 　．
（2）如图2，在中，，，求的最小值．
（3）【问题解决】如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园，千米，，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A、B、C向游乐场E修三条，求三条路的长度和（即）最小时，平行四边形公园的面积．
【答案】（1）等边三角形
（2）解：设AB=a，
∵AB+AC=10，
∴AC=10-AB=10-a，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
BC2=AB2+AC2=a2+(10-a)2
=2a2-20a+100
=2(a-5)2+50，
∵(a-5)2≥0，
∴2(a-5)2+50≥50，即BC2≥50，
∴，
即BC 的最小值为.
（3）解：如图3，
将△ABE绕点B逆时针旋转60°到△A'BE'，
∴△ABE≌△A'BE'，
∴∠A'E'B=∠AEB，AB=A'B，A'E'=AE，BE'=BE，∠EBE'=60°，
∴△EBE'为等边三角形，
∴∠BE'E=∠BEE'=60°，EE'=BE，
∴AE+BE+CE=A'E+EE'+CE，
要AE+BE+CE最小，即点A'，E'，E，C在同一条线上，即最小值为A'C，
过点A'作A'F⊥CB，交CB的长线于F，
在Rt△A'FB中，∠A'BF=180°-∠ABA'-∠ABC=60°
设BF=x，则A'B=2x，
根据勾股定理行，，
∵AB=A'B.
∴AB=2x，
∵AB+BC=6，
∴BC=6-AB=6-2x，
∴CF=BF+BC=6-x
在Rt△A'FC中，根据勾股定理得，
，
∴当，即AB=2x=3时，A'C最小，
此时，BC=6-3=3，，
∴平行四边形公园ABCD的面积为(平方千米)
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；费马点模型
【解析】【解答】解：(1)△BMN的形状是等边三角形，理由如下：
由旋转知，BN=BM，∠MBN=60°，
∴△BMN为等边三角形
故答案为：等边三角形.
【分析】】(1)由旋转得BN=BM，∠MBN=60°，可判断出△BMN是等边三角形即可；
(2)设AB=a，则 AC=10-a，进而根据勾股定理得出BC2=2(a-5)2+50即可得出结论；
(3)先判断出点A'，E'，E，C在同一条线上，设BF=x，进而依次得出AB=2x，BC=6-2x，CF=6-x，再利用勾股定理得出，得出是A'C最小，进而求出A'F，BC，利用平行四边形面积公式计算即可.
16．
（1）【问题提出】如图1，，在内部有一点P，M、N分别是、上的动点，分别作点P关于边、的对称点，，连接，与、相交于M、N，则此时的周长最小，且顺次连接O，，后的形状是等腰直角三角形．理由如下：
∵点P关于边、的对称点分别为，，
∴，，，，
∴即周长的最小值为
∵，∴∴是等腰直角三角形．
学以致用：若，在内部有一点P，分别作点P关于边、的对称点，，顺次连接O，，，则的形状是　 　三角形．
（2）【问题探究】如图2，在中，，，点D是的中点，若，请用含有h的代数式表示的面积．(3)【问题解决】如图3，在四边形内有一点P，点P到顶点B的距离为10，，点M、N分别是、边上的动点，顺次连接P、M、N，使在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在使在周长最小的条件下，面积最大这种情况？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）等边
（2）解：(2)∵AB=AC，∠BAC=30°，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=15°，BD=CD，
作AB的垂直平分线，交AD于点E，连接BE，
则：EB=EA，∠ABE=∠BAD=15°，
∴∠BED=∠ABE+∠BAE=30°，
∴BE=2BD，，
∴AE=BE=2BD，
∴，
∴，
∴.
(3)存在；理由如下：
如图，以点B为圆心，BP为半径画圆，分别作点P关于AB，BC的对称点G，H，则点G，H在⊙B上，连接GH，分别交AB，BC于点M，N，此时△PMN的周长最小.
∴BP=BG=BH=10，∠GBM=∠PBM，∠HBN=∠PBN，
∵∠PBM+∠PBN=60°，
∴∠GBH=120°，且BG=BH，
∴∠BGH=∠BHG=30°，
过点B作BO⊥GH于O，
∴BO=5，，
∴，
∴，
∵S四边形BMPN=S△BGM+S△BNH=S△BGH-S△BMN，
S△BGH为定值，
∴S△BMN最小时，S四边形BMPN的值最大，此时△PMN的面积最大，
过点P作PO⊥MN于点Q，则，
∴当MN⊥BP时，即O点与点Q重合时，S四边形BMPN的值最大，
∴，
∴∠PBG=∠PBH，
∴∠GBP=∠HBP=60°，
∴∠GBM=∠PBM=30°，∠PBN=∠HBN=30°，
∴∠PBM=∠PBN=30°，
∴△BMO≌△BNO(ASA)
∴BM=BN，
此时△BMN是等边三角形，
∴BM=MN=BN，
∵∠BGM=∠GBM=∠BHG=∠HBN=30°，
∴GM=BM，BN=HN，
∴，
∴△PMN的最大值
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：(1)∵点P关于边OA、OB的对称点分别为P1，P2，
∴OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，
∵∠AOP+∠BOP=∠AOB=30°，
∴∠AOP1+∠BOP2=∠AOB=30°，
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴OP1=OP2，
∴△OP1P2为等边三角形；
故答案为：等边.
【分析】】(1)根据对称性，得到OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，进而得到答案；
(2)作AB的垂直平分线，交AD于点E，连接BE，根据中垂线的性质，得到EB=EA，∠ABE=∠BAD=15°，推出△BDE是含30°的直角三角形，用BD分别表示出BE，DE，再利AD=AE+DE，求出BD，进而求出△ABC的面积；
(3)如图，作点P关于AB的对称点G，作点P关于BC的对称点H，连接GH，交AB，BC于点M，N，此时△PMN的周长最小，可以求出，由S四边形BMPN=S△BGM+S△BNH=S△BGH-S△BMN推出S△BMN最小时，S四边形BMPN的值最大，此时△PMN的面积最大，进行求解即可.
17．问题探究
将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现．题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1，是边长为1的等边三角形，P为内部一点，连接、、，求的最小值．
方法分析：通过转化，把由三角形内一点发出的三条线段（星型线）转化为两定点之间的折线（化星为折），再利用“两点之间线段最短”求最小值（化折为直）．
问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接，记与交于点，易知．由，可知为正三角形，有．
故．因此，当共线时，有最小值是．
学以致用：
（1）如图3，在中，为内部一点，连接，则的最小值是　 　．
（2）如图4，在中，为内部一点，连接，求的最小值．
【答案】（1）5
（2）解：将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，
∴AF=AP，∠FAP=∠BAE=90°，
∴△AFP是等腰直角三角形，
∴∠EAB=135°
作EH⊥BA交BA的延长线于H，
在Rt△EAH中，
∵∠H=90°，∠EAH=45°，，
∴EH=AH=2，
在Rt△EHC中，，
∵，
∴，
的最小值为

【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的性质；费马点模型
【解析】【解答】解：(1)如图3中，
将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，
∴AP=AF，∠BAF=∠CAE=60°
∴△AFP是等边三角形，∠EAB=90°，
在Rt△EAB中，，
∵PA+PB+PC=EF+FP+PB≥BE
∴PA+PB+PC≥5
∴PA+PB+PC的最小值为5，
故答案为：5.
【分析】(1)将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AFE，易知△AFP是等边三角形，∠EAB=90°，转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直)；
(2)将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AFE，易知△AFP是等腰直角三角形∠EAB=135°，作EH⊥BA交BA的延长线于H，转化为两定点之间的折线(化星为折)，再利用“两点之间线段最短”求最小值(化折为直).
18．（专题01-2 将军饮马系列模型（几何最值模型）—中考数学重难点突破.）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．
（1）直接写出点的坐标；
（2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值；
（3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标．
（4）【问题情境】如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的　 　倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
（5）【操作实践】如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
（6）【探究应用】如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（7）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
【答案】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线，
∴点为；
（2）解：当时，，
∴，
连接，
∵，
∴，
∵点关于对称轴的对称点为点，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，为的长，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴；
∴点，的最小值为；
（3）解：过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，
∵，
设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
由（2）知：直线：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，此时．
11．
（4）2
（5）解：如图，∵，
∴，，
，，
∴，
如图，
结合图形变换可得：；
（6）解：如图，∵将绕点逆时针旋转，
∴在以为圆心，为半径的圆上运动，
∵为圆外一个定点，
∴当与相切时，最大，
∴，
∴，
由（2）可得：，
∵，，
∴
，
∴；
（7）解：如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接，
∴，，
再将沿方向平移，使与重合，如图，得，
由（2）可得：，
∴当三点共线时，最短，
∵，，
∴，，
∴；
∴的最小值为；
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数的对称性及应用；二次函数-线段周长问题
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