资源简介 几何压轴(胡不归与阿氏圆等模型)-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题一、选择题1.(专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型(几何最值模型)—中考数学重难点突破)如图,在菱形中,,,点P是边上一个动点,在延长线上找一点Q,使得点P和点Q关于点C对称,连接交于点M.当点P从B点运动到C点时,点M的运动路径长为( )A. B. C. D.2.如图,菱形的边长为5,对角线的长为,为上一动点,则的最小值为( )A.4 B.5 C. D.3.(专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型(几何最值模型)—中考数学重难点突破)如图,长方形中,,,E为上一点.且,F为边上的一个动点.连接,将绕着点E顺时针旋转到的位置,其中点B、点F的对应点分别为点H、点G,连接和,则的最小值为( ).A. B.3 C. D.4.(2024·宜宾)如图,抛物线的图象交x轴于点、,交y轴于点C.以下结论:①;②;③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时,;④当时,在内有一动点P,若,则的最小值为.其中正确结论有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.(2023·南宁模拟)如图,正方形的边长为5,以为圆心,2为半径作,点为上的动点,连接,并将绕点逆时针旋转得到,连接,在点运动的过程中,长度的最大值是( )A. B. C. D.二、填空题6. 如图,在矩形ABCD中, 延长BA 至点 E,使 以AE为边向上作正方形AEFG,O为正方形AEFG的中心.若过点O的一条直线平分该组合图形的面积,并分别交 BC,EF于点 H,I,则线段HI的长为 .7. 如图,在矩形ABCD 中,AB=11,BC=6,E为AB上一点,且AE=2,F 为AD 边上的一个动点,连接EF,若以EF 为边向右侧作等腰Rt△EFG,EF=EG,连接 CG,则 CG 的最小值为 .8.如图,在平面直角坐标系中,一次函数 分别与x轴,y轴交于A,B两点,若C为y轴上一动点,则2AC+BC的最小值为 .9.如图,正方形ABCD的边长为4,内切圆记为⊙O,P为⊙O上一动点,则 PB的最小值为 .10.如图,在矩形ABCD中, 18, 点P是矩形内部一点,且 15,连接 PC,PD,则 的最小值为 .三、解答题11.(1)如图①,点E为矩形ABCD 内一点,请过点E作一条直线,将矩形ABCD 的面积分为相等的两部分,并说明理由;(2)如图②,在矩形ABCD中, P为对角线AC上一点,且 请问在边CD上是否存在一点 E,使得直线 PE将矩形ABCD 的面积分为2:3两部分 若存在,求出DE的长;若不存在,请说明理由.四、实践探究题12.(专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型(几何最值模型)—中考数学重难点突破)预备知识:(1)在一节数学课上,老师提出了这样一个问题:随着变量t的变化,动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么?一番深思熟虑后,聪明的小明说:“是一条直线”,老师问:“你能求出这条直线的函数表达式吗?”小明的思路如下:设这条直线的函数表达式为,将点代入得:,整理得∵t为任意实数,等式恒成立,∴,∴,∴这条直线的函数表达式为请仿照小明的做法,完成问题:随着变量t的变化,动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l,求直线l的函数表达式.(2)问题探究:如图1,在平面直角坐标系中,已知,,且,,则点C的坐标为 .(3)结论应用:如图2,在平面直角坐标系中,已知点,Q是直线上的一个动点,连接,过点P作,且,连接,求线段的最小值.13.(1)初步研究:如图1,在△PAB中,已知PA=2,AB=4,Q为AB上一点且AQ=1,证明:PB=2PQ;(2)结论运用:如图2,已知正方形ABCD的边长为4,⊙A的半径为2,点P是⊙A上的一个动点,求2PC+PB的最小值;(3)拓展推广:如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠A=60°,⊙A的半径为2,点P是⊙A上的一个动点,求2PC PB的最大值.14.问题提出:如图1,在等边△ABC中,AB=12,⊙C半径为6,P为圆上一动点,连结AP,BP,求AP+BP的最小值.(1)尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=3,则有==,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP,∴=,∴PD=BP,∴AP+BP=AP+PD.请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP的最小值为 .(2)自主探索:如图1,矩形ABCD中,BC=7,AB=9,P为矩形内部一点,且PB=3,AP+PC的最小值为 .(3)拓展延伸:如图2,扇形COD中,O为圆心,∠COD=120°,OC=4,OA=2,OB=3,点P是上一点,求2PA+PB的最小值,画出示意图并写出求解过程.15.问题提出:如图1,在Rt中,,半径为2,P为圆上一动点,连接AP,~BP,求的最小值.(1)尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图2,连接CP,在CB上取点,使,则有,又,.请你完成余下的思考,并直接写出答案:的最小值为 (2)自主探索:在"问题提出"的条件不变的情况下,的最小值为 .(3)拓展延伸:已知扇形COD中,,点是上一点,求的最小值.答案解析部分1.【答案】B【知识点】等边三角形的判定与性质;菱形的性质;解直角三角形—边角关系;瓜豆原理模型-点在直线上【解析】【解答】解:过点C作交于点H,连接,∵,四边形是菱形,,∴,,∴是等边三角形,∴垂直平分,∵,∴,∵点P和点Q关于点C对称,∴,即垂直平分,∵交于点M.∴点M在上运动,当点P与点B重合时,点M位于点,此时,∵,四边形是菱形,,∴,∴.故点M的运动路径长为.故答案为:B.【分析】过点C作交于点H,连接,先得到是等边三角形 ,又因为P、Q关于点C对称,连接AC,所以点M一定在CG上运动,再把B点对称点找到,则M运动路径就是CH这一段,再进行求解即可.2.【答案】A【知识点】菱形的性质;解直角三角形—边角关系;胡不归模型【解析】【解答】解:连接AC交OB于点M,过M点作MH⊥OC于点H,过点A作AG垂直OC于点G,交OB于点P∵四边形是菱形∴AM⊥OB,,,∵∴,∵MH⊥OC,AM⊥OB∴∴∴∵∴∴∴当A、P、G三点共线且AG⊥OC时有的最小值AG,如下图所示∵菱形的面积∴∴的最小值为4,故答案为:A .【分析】连接AC交OB于点M,过M点作MH⊥OC于点H,过点A作AG垂直OC于点G,交OB于点P,利用菱形的性质可证得AM⊥OB,,,,利用勾股定理求出AM、MC的长,利用三角形的面积公式可求出MH的长,利用锐角三角函数的定义可求出,由此可证得,当A、P、G三点共线且AG⊥OC时有的最小值AG,利用菱形的面积公式可求出AG的长,即可得到的最小值.3.【答案】C【知识点】垂线段最短及其应用;矩形的性质;三角形全等的判定-SAS;解直角三角形—边角关系;瓜豆原理模型-点在直线上【解析】【解答】解:如图,将线段绕点E顺时针旋转得到线段,连接交于J.∵四边形是矩形,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴点G的在射线上运动,∴当时,的值最小,∵,∴,∴,∴,∴四边形是矩形,∴,∴,∴,∴,∴,∴的最小值为.故答案为:C.【分析】如图,将线段BE绕点E顺时针旋转 得到线段EH,连接DE交CG于J.首先证明 推出点G的在射线TG上运动,推出当 时, CG的值最小,然后证明四边形是矩形,根据解直角三角形解答即可4.【答案】C【知识点】阿氏圆模型;二次函数-特殊三角形存在性问题【解析】【解答】解:由图象可得a<0,c>0,∴b<0.∵ 抛物线的图象交x轴于点、,∴x=1时,y=0,即a+b+c=0;故选项①正确;对称轴为,即,∴b=2a,∴a+b+c=a+2a+c=0,∴c=﹣3a,∴,故选项②正确;当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时,∵对称轴为x=﹣1, AB=1-(-3)=4,∴AC=AB=4或AB=CB=4.点C(0,c),∴,,当AC=AB时,,解得:(负数舍去);当CB=AB时,,解得:(负数舍去);综上,当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时,或,故选项③错误;当c=3时,C(0,3),OC=3,在OA上取点P,使,则点,.∴,又∵∠HOP=∠POA,∴△HOP∽△POA.∴,∴.∴,当C,P,H三点共线,可以取得最小值.∴,故的最小值是 ,故选项④正确.综上,正确的选项是①②④故答案为:C.【分析】抛物线过点(1,0),求得求得a+b+c=0,即可判断①;求得对称轴为直线x=-1,即可求得b=2a,由a+b+c=0,求得c=﹣3a,则a+3b+2c=a<0,即可判断②;分AC=AB=4和AB=BC=4两种情况求得c的值即可判断③;在OA上取点P,使,连接PH,则,于是可证明△HOP∽△POA,即可得,即.则当C、P、H共线时, 的值最小,最小值为CH,利用勾股定理求得CH即可判断④;5.【答案】A【知识点】勾股定理;正方形的性质;圆的相关概念;旋转的性质;瓜豆原理模型-点在圆上【解析】【解答】解:如图,当在对角线延长线上时,最大,连接,由旋转得:,∴,∵四边形为正方形,∴,∴,∵四边形为正方形,∴,在和中,,∴,∴,∴在以点A为圆心,半径为2的圆上运动,在中:,∴,∴当三点共线时且穿过圆心时,长度最大;即长度的最大值为;故答案为:A.【分析】根据瓜豆原理:点的运动路线为以C为圆心,2为半径的圆;因而点的运动路线为以A为圆心,2为半径的圆,当三点共线时且穿过圆心时,最大;连接,利用SAS证明,则,再利用勾股定理求对角线的长,即可得出长度的最大值.6.【答案】6【知识点】勾股定理;矩形的性质;正方形的性质;等分面积模型【解析】【解答】解:如解图,连接AC,BD 交于点 J,过点O 作OK⊥EB于点 K,过点 J作 JL⊥EB于点L,过点O 作OM⊥JL 于点 M.∵点 J 和点O 分别为矩形ABCD 和正方形AEFG的中心,∴直线 IH 平分该组合图形的面积,∵ JL∥BC,且点 J 为AC 的中点,同理可得∵OK⊥AE,ML⊥AB,OM⊥JL,∴四边形OKLM 为矩形,∴ML=OK=3,∴ JM=JL-ML=6-3=3,在 Rt△OMJ中,故答案为:6.【分析】连接AC,BD 交于点 J,过点O 作OK⊥EB于点 K,过点 J作 JL⊥EB于点L,过点O 作OM⊥JL 于点 M.则 J 和点O 分别为矩形ABCD 和正方形AEFG的中心,然后证明OKLM 为矩形,得到JM长,再根据勾股定理解题即可.7.【答案】5【知识点】矩形的判定与性质;二次函数y=a(x-h)²+k的性质;三角形全等的判定-AAS;四边形-动点问题;瓜豆原理模型-点在直线上;全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解:如图所示,分别过点G作GH⊥AB 于点H、GK⊥BC 于点K.四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠B=90°四边形GHBK是矩形中,设,则、中:即CG2是关于的二次函数,且二次项系数大于0在对称轴的左侧,CG2随着的增大而减小当时,即点F与点D重合时,CG2有最小值,此时即CG的最小值为5.【分析】先分别过点G作GH⊥AB 于点H、GK⊥BC 于点K可得四边形GHBK是矩形,则有BK等于GH、GK等于HB;再由矩形的性质结合等腰直角三角形的性质可证,则由全等的性质可得GH总等于AE等于2,EH总等于AF,此时可设AF为,则GK可用含的代数式表示,CK可利用AB与BK的求得,则利用勾股定理可得CG2是关于的二次函数,再利用二次函数的增减性可求得CG2的最小值,则CG的最小值可求.8.【答案】6【知识点】等边三角形的判定与性质;一次函数图象与坐标轴交点问题;胡不归模型【解析】【解答】解:∵一次函数. 分别交x轴,y轴于A,B两点,∴A( ,0),B(0,3), 如解图,以点B 为顶点,在y轴左侧作∠CBD=30°,过点 C 作 CD⊥BD 于点 D,过点 A作AE⊥BD 于点 E,直线 BD 交 x 轴于点 F.∴∠ABD=60°,BF=2 ,∴△ABF 是等边三角形(顶角是60°的等腰三角形是等边三角形),∵=2(AC+CD),当A,C,D 三点共线时,AC+CD有最小值,为AE 的长(垂线段最短),∵AB=2 ,∴AE=3,即2AC+BC 的最小值为2AE,即为6.故答案为:6.【分析】求出直线与x轴、y轴的交点坐标,然后以点B 为顶点,在y轴左侧作∠CBD=30°,过点 C 作 CD⊥BD 于点 D,过点 A作AE⊥BD 于点 E,直线 BD 交 x 轴于点 F,即可得到△ABF 是等边三角形,则当A,C,D 三点共线时,AC+CD有最小值,为AE 的长,求出AE长即可解题.9.【答案】2【知识点】勾股定理;阿氏圆模型;相似三角形的判定-SAS;相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解:如解图,连接OP,OB,设⊙O的半径为r,则 2 ,取OB的中点I,连接PI,AI,∴OI=IB= OBP,∠O是公共角,∴△BOP∽△POI(两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似), AP+PI(“阿氏圆”模型),∴当A,P,I在一条直线上时, 最小,最小值为 AI的长,过点I作IE⊥AB 于点 E,∵∠ABO=45°,∴IE= 的最小值为 的最小值是【分析】连接OP,OB,设⊙O的半径为r,取OB的中点I,连接PI,AI,可以得到,当A,P,I在一条直线上时, 最小,最小值为 AI的长,过点I作IE⊥AB 于点 E,然后根据勾股定理解题即可.10.【答案】【知识点】勾股定理;阿氏圆模型;相似三角形的判定-SAS;相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解:以A为圆心,AP长为半径作弧,在AD上截取AE=,连接PE,∵四边形 ABCD 是矩形,∴=∠DAP,∴△PAE∽△DAP,连接CE交⊙A 于点 P',∴当点 P,P'重合时, 取得最小值,CE 即为 最小时的长(点圆最值),在 Rt△CDE 中,CD=18,DE=AD-AE=16,∴ CE= 182+162= 的最小值为 故答案为:.【分析】以A为圆心,AP长为半径作弧,在AD上截取AE=,连接PE,即可得到△PAE∽△DAP, 进而求出,连接CE交⊙A 于点 P',当点 P,P'重合时, 取得最小值CE长,然后根据勾股定理解题即可.11.【答案】(1)解:如解图①,连接AC,BD 交于点 O,过点 E,O 作直线,直线 EO 将矩形ABCD 的面积分为相等的两部分.图①理由:设直线 EO分别交 DC,AB 于点 M,N,∵四边形ABCD 是矩形,∴AB∥CD,OA=OC,∴ ∠MCO=∠NAO,在△MCO 和△NAO中,∴ △MCO≌△NAO(ASA),∴S△MCO=S△NAO,又∵(2)解:存在.如解图②,作 MN∥BC,使得 S矩形ABCD,连接AM,DN 交于点 O,作直线OP 交 CD 于点 E,交 AB 于点 H,此时图②形ABCD,∵AB∥CD,∴∠EMO=∠HAO,在△EOM 和△HOA 中,∴△EOM≌△HOA(ASA),∴AH=EM,设AH=EM=x,∴△AHP∽△CEP,解得 即【知识点】矩形的性质;三角形全等的判定-AAS;等分面积模型;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应面积【解析】【分析】(1)连接AC,BD 交于点 O,过点 E,O 作直线,直线 EO即为所作;然后根据矩形的性质,利用ASA得到 △MCO≌△NAO即可得到结论;(2)作 MN∥BC,使得 S矩形ABCD,连接AM,DN 交于点 O,作直线OP 交 CD 于点 E,交 AB 于点 H,证明△EOM≌△HOA,即可得到AH=EM,然后根据平行得到△AHP∽△CEP,根据对应边成比解题即可.12.【答案】(1)解:设这条直线的函数表达式为,将点代入得:,整理得,∵t为任意实数,等式恒成立,∴,,∴,,∴这条直线的函数表达式为,∴随着变量t的变化,动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l,直线l的函数表达式为;(2)C(-7,3)(3)解:过Q作QG⊥x轴于G,过Q'作Q'H⊥x轴于H,∵∠QPQ'=90°,∠QGP=∠Q'HP=90°,∴∠QPG+∠Q'PH=90°,∠Q'PH+∠HQ'P=90°,∴∠QPG=∠HQ'P,在△QPG和△PQ'H中,,∴△QPG≌△PQ'H(AAS),∴PG=Q'H,QG=PH,∵Q是直线上的一个动点,设Q(a,),当a≤1时,∴QG=PH=,PG= QH=1 - a,∴点Q'(,1 - a),∵OQ'=,∵时,OQ'随a的增大而减小,当a=1时最小OQ'=,当1≤a≤4,∴QG=PH=,PG= QH= a-1,∴点Q'(,1-a),∵OQ'=,∵,a=2时,OQ'最小=,当a≥4时,∴QG=PH=,PG= QH= a-1,∴点Q'(,1-a),∵OQ'=,∵,a>2时,OQ'随a的增大而增大,a=4时,OQ'最小=,∵>3>,∴OQ'最小值为.【知识点】坐标与图形性质;二次函数的最值;勾股定理;三角形全等的判定-AAS;瓜豆原理模型-点在直线上【解析】【解答】解:(2)解:设C点坐标为(m,n)过C作CE垂直x轴于E,过B作BF⊥x轴于F,∴∠ECA+∠CAE=90°,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠CAE+∠FAB=90°,∴∠ECA=∠FAB,在△CAE和△ABF中,,∴△CAE≌△ABF(AAS),∴CE=AF,EA=FB,∵点B(5,9)点A(2,0),∴点F(5,0)∴n=5-2=3;2-m=9,∴m=-7,∴点C(-7,3);【分析】(1)仿照预备知识解答即可;(2)设C点坐标为(m,n)过C作CE垂直x轴于E,过B作BF⊥x轴于F,证明△CAE≌△ABF,得出 CE=AF,EA=FB,即可得解;(3)作轴于G,轴于H,证明 得出,设 分三种情况:当 时, 时, 时,分别求出 的最小值, 比较即可得出答案.13.【答案】(1)证明:∵PA=2,AB=4,AQ=1,∴PA2=AO·AB=4,∴,又∵∠A=∠A,∴△PAQ∽△BAP,∴∴PB=2PQ.(2)解:如图,在AB上取一点Q,使得AQ=1,连接 AP,PQ,CQ.∴AP=2,AB=4,AQ=1.由(1)得PB=2PQ,∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ).∵PC+PQ≥QC,∴当点 C、P、Q三点共线时,PC+PQ的值最小.∵,∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10.∴2PC+PB的最小值为10.(3)解:如图,在AB上取一点Q,使得AQ=1,连接AP,PQ,CQ,延长CQ交⊙A于点P',过点C作CH垂直AB的延长线于点H,易得AP=2,AB=4,AO=1.由(1)得PB=2PQ,∴,∵PC-PQ≤QC,∴当点P在CQ交⊙A的点P'时,PC-PQ的值最大.∵∴,∴2PC-PB的最大值为.【知识点】两点之间线段最短;菱形的性质;正方形的性质;阿氏圆模型;相似三角形的判定-AA【解析】【分析】(1)证明△PAQ∽△BAP,根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ;(2)在AB上取一点Q,使得AQ=1,由(1)得PB=2PQ,推出当点C、P、Q三点共线时,PC+PQ的值最小,再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值;(3)作出如图的辅助线,同(2)法推出当点P在CQ交⊙A的点P时,PC-PQ的值最大,再利用勾股定理即可求得2PC-PB的最大值.14.【答案】(1)(2)(3)解:如图,延长OC,使CF=4,连接BF,OP,PF,过点F作FB⊥OD于点M,∵OC=4,FC=4,∴FO=8,且OP=4,OA=2,∴,且∠AOP=∠AOP,∴△AOP∽△POF∴,∴PF=2AP∴2PA+PB=PF+PB,∴当点F,点P,点B三点共线时,2AP+PB的值最小,∵∠COD=120°,∴∠FOM=60°,且FO=8,FM⊥OM∴OM=4,∴MB=OM+OB=4+3=7∴∴2PA+PB 的最小值为.【知识点】等边三角形的性质;勾股定理;阿氏圆模型;相似三角形的判定-SAS;相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解:(1)如图,连结 AD,过点A作AF⊥CB于点F,∵,要使最小,∴AP+AD最小,当点A,P,D在同一条直线时,AP+AD最小,即:最小值为AD,∵AC=12,AF⊥BC,∠ACB=60°,∴CF=6,∴DF=CF-CD=6-3=3∴∴的最小值为,(2)如图,在AB上截取BF=1,连接 PF,PC,∵AB=9,PB=3,BF=1∴,且∠ABP=∠ABP,∴△ABP∽△PBF,∴,∴,∴,∴当点F,点P,点C三点共线时,的值最小,∴,∴的值最小值为,【分析】(1)由等边三角形的性质可得CF=6,,由勾股定理可求AD的长;(2)在AB上截取BF=1,连接PF,PC,由,可证△ABP∽△PBF,可得,即,则当点F,点P,点C三点共线时,的值最小,由勾股定理可求的值最小值;(3)延长OC,使CF=4,连接BF,OP,PF,过点F作FB⊥OD于点M,由,可得△AOP∽△POF,可得PF=2AP,即2PA+PB=PF+PB,则当点F,点P,点B三点共线时,2AP+PB的值最小,由勾股定理求2PA+PB的最小值.15.【答案】(1)(2)(3)解:如图3,延长OA到点E,使CE= 6,∴OE=OC+CE=12连接PE、OP,当E、P,、B三点共线时,取得最小值为:【知识点】两点之间线段最短;勾股定理;相似三角形的判定;阿氏圆模型;相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解:(1)如图1,连接AD,,要使最小,最小,当点A,P,D在同一条直线时,最小,即:最小值为AD,在Rt中,,,的最小值为,故答案为:;(2)如图2,连接CP,在CA上取点,使,同(1)的方法得出的最小值为.故答案为:;【分析】(1)连接AD,要使最小,则最小,当点A,P,D在同一条直线时,最小,即:最小值为AD,根据勾股定理可得AD长,即可求出答案.(2)连接CP,在CA上取点,使,根据相似三角形判定定理可得,则,即,同(1)的方法得出的最小值为,即可求出答案.(3)延长OA到点E,使CE= 6,根据边之间的关系可得OE=OC+CE=12,连接PE、OP,再根据相似三角形判定定理可得,则,即,当E、P,、B三点共线时,取得最小值为:,即可求出答案.1 / 1几何压轴(胡不归与阿氏圆等模型)-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题一、选择题1.(专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型(几何最值模型)—中考数学重难点突破)如图,在菱形中,,,点P是边上一个动点,在延长线上找一点Q,使得点P和点Q关于点C对称,连接交于点M.当点P从B点运动到C点时,点M的运动路径长为( )A. B. C. D.【答案】B【知识点】等边三角形的判定与性质;菱形的性质;解直角三角形—边角关系;瓜豆原理模型-点在直线上【解析】【解答】解:过点C作交于点H,连接,∵,四边形是菱形,,∴,,∴是等边三角形,∴垂直平分,∵,∴,∵点P和点Q关于点C对称,∴,即垂直平分,∵交于点M.∴点M在上运动,当点P与点B重合时,点M位于点,此时,∵,四边形是菱形,,∴,∴.故点M的运动路径长为.故答案为:B.【分析】过点C作交于点H,连接,先得到是等边三角形 ,又因为P、Q关于点C对称,连接AC,所以点M一定在CG上运动,再把B点对称点找到,则M运动路径就是CH这一段,再进行求解即可.2.如图,菱形的边长为5,对角线的长为,为上一动点,则的最小值为( )A.4 B.5 C. D.【答案】A【知识点】菱形的性质;解直角三角形—边角关系;胡不归模型【解析】【解答】解:连接AC交OB于点M,过M点作MH⊥OC于点H,过点A作AG垂直OC于点G,交OB于点P∵四边形是菱形∴AM⊥OB,,,∵∴,∵MH⊥OC,AM⊥OB∴∴∴∵∴∴∴当A、P、G三点共线且AG⊥OC时有的最小值AG,如下图所示∵菱形的面积∴∴的最小值为4,故答案为:A .【分析】连接AC交OB于点M,过M点作MH⊥OC于点H,过点A作AG垂直OC于点G,交OB于点P,利用菱形的性质可证得AM⊥OB,,,,利用勾股定理求出AM、MC的长,利用三角形的面积公式可求出MH的长,利用锐角三角函数的定义可求出,由此可证得,当A、P、G三点共线且AG⊥OC时有的最小值AG,利用菱形的面积公式可求出AG的长,即可得到的最小值.3.(专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型(几何最值模型)—中考数学重难点突破)如图,长方形中,,,E为上一点.且,F为边上的一个动点.连接,将绕着点E顺时针旋转到的位置,其中点B、点F的对应点分别为点H、点G,连接和,则的最小值为( ).A. B.3 C. D.【答案】C【知识点】垂线段最短及其应用;矩形的性质;三角形全等的判定-SAS;解直角三角形—边角关系;瓜豆原理模型-点在直线上【解析】【解答】解:如图,将线段绕点E顺时针旋转得到线段,连接交于J.∵四边形是矩形,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴点G的在射线上运动,∴当时,的值最小,∵,∴,∴,∴,∴四边形是矩形,∴,∴,∴,∴,∴,∴的最小值为.故答案为:C.【分析】如图,将线段BE绕点E顺时针旋转 得到线段EH,连接DE交CG于J.首先证明 推出点G的在射线TG上运动,推出当 时, CG的值最小,然后证明四边形是矩形,根据解直角三角形解答即可4.(2024·宜宾)如图,抛物线的图象交x轴于点、,交y轴于点C.以下结论:①;②;③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时,;④当时,在内有一动点P,若,则的最小值为.其中正确结论有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【知识点】阿氏圆模型;二次函数-特殊三角形存在性问题【解析】【解答】解:由图象可得a<0,c>0,∴b<0.∵ 抛物线的图象交x轴于点、,∴x=1时,y=0,即a+b+c=0;故选项①正确;对称轴为,即,∴b=2a,∴a+b+c=a+2a+c=0,∴c=﹣3a,∴,故选项②正确;当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时,∵对称轴为x=﹣1, AB=1-(-3)=4,∴AC=AB=4或AB=CB=4.点C(0,c),∴,,当AC=AB时,,解得:(负数舍去);当CB=AB时,,解得:(负数舍去);综上,当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时,或,故选项③错误;当c=3时,C(0,3),OC=3,在OA上取点P,使,则点,.∴,又∵∠HOP=∠POA,∴△HOP∽△POA.∴,∴.∴,当C,P,H三点共线,可以取得最小值.∴,故的最小值是 ,故选项④正确.综上,正确的选项是①②④故答案为:C.【分析】抛物线过点(1,0),求得求得a+b+c=0,即可判断①;求得对称轴为直线x=-1,即可求得b=2a,由a+b+c=0,求得c=﹣3a,则a+3b+2c=a<0,即可判断②;分AC=AB=4和AB=BC=4两种情况求得c的值即可判断③;在OA上取点P,使,连接PH,则,于是可证明△HOP∽△POA,即可得,即.则当C、P、H共线时, 的值最小,最小值为CH,利用勾股定理求得CH即可判断④;5.(2023·南宁模拟)如图,正方形的边长为5,以为圆心,2为半径作,点为上的动点,连接,并将绕点逆时针旋转得到,连接,在点运动的过程中,长度的最大值是( )A. B. C. D.【答案】A【知识点】勾股定理;正方形的性质;圆的相关概念;旋转的性质;瓜豆原理模型-点在圆上【解析】【解答】解:如图,当在对角线延长线上时,最大,连接,由旋转得:,∴,∵四边形为正方形,∴,∴,∵四边形为正方形,∴,在和中,,∴,∴,∴在以点A为圆心,半径为2的圆上运动,在中:,∴,∴当三点共线时且穿过圆心时,长度最大;即长度的最大值为;故答案为:A.【分析】根据瓜豆原理:点的运动路线为以C为圆心,2为半径的圆;因而点的运动路线为以A为圆心,2为半径的圆,当三点共线时且穿过圆心时,最大;连接,利用SAS证明,则,再利用勾股定理求对角线的长,即可得出长度的最大值.二、填空题6. 如图,在矩形ABCD中, 延长BA 至点 E,使 以AE为边向上作正方形AEFG,O为正方形AEFG的中心.若过点O的一条直线平分该组合图形的面积,并分别交 BC,EF于点 H,I,则线段HI的长为 .【答案】6【知识点】勾股定理;矩形的性质;正方形的性质;等分面积模型【解析】【解答】解:如解图,连接AC,BD 交于点 J,过点O 作OK⊥EB于点 K,过点 J作 JL⊥EB于点L,过点O 作OM⊥JL 于点 M.∵点 J 和点O 分别为矩形ABCD 和正方形AEFG的中心,∴直线 IH 平分该组合图形的面积,∵ JL∥BC,且点 J 为AC 的中点,同理可得∵OK⊥AE,ML⊥AB,OM⊥JL,∴四边形OKLM 为矩形,∴ML=OK=3,∴ JM=JL-ML=6-3=3,在 Rt△OMJ中,故答案为:6.【分析】连接AC,BD 交于点 J,过点O 作OK⊥EB于点 K,过点 J作 JL⊥EB于点L,过点O 作OM⊥JL 于点 M.则 J 和点O 分别为矩形ABCD 和正方形AEFG的中心,然后证明OKLM 为矩形,得到JM长,再根据勾股定理解题即可.7. 如图,在矩形ABCD 中,AB=11,BC=6,E为AB上一点,且AE=2,F 为AD 边上的一个动点,连接EF,若以EF 为边向右侧作等腰Rt△EFG,EF=EG,连接 CG,则 CG 的最小值为 .【答案】5【知识点】矩形的判定与性质;二次函数y=a(x-h)²+k的性质;三角形全等的判定-AAS;四边形-动点问题;瓜豆原理模型-点在直线上;全等三角形中对应边的关系【解析】【解答】解:如图所示,分别过点G作GH⊥AB 于点H、GK⊥BC 于点K.四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠B=90°四边形GHBK是矩形中,设,则、中:即CG2是关于的二次函数,且二次项系数大于0在对称轴的左侧,CG2随着的增大而减小当时,即点F与点D重合时,CG2有最小值,此时即CG的最小值为5.【分析】先分别过点G作GH⊥AB 于点H、GK⊥BC 于点K可得四边形GHBK是矩形,则有BK等于GH、GK等于HB;再由矩形的性质结合等腰直角三角形的性质可证,则由全等的性质可得GH总等于AE等于2,EH总等于AF,此时可设AF为,则GK可用含的代数式表示,CK可利用AB与BK的求得,则利用勾股定理可得CG2是关于的二次函数,再利用二次函数的增减性可求得CG2的最小值,则CG的最小值可求.8.如图,在平面直角坐标系中,一次函数 分别与x轴,y轴交于A,B两点,若C为y轴上一动点,则2AC+BC的最小值为 .【答案】6【知识点】等边三角形的判定与性质;一次函数图象与坐标轴交点问题;胡不归模型【解析】【解答】解:∵一次函数. 分别交x轴,y轴于A,B两点,∴A( ,0),B(0,3), 如解图,以点B 为顶点,在y轴左侧作∠CBD=30°,过点 C 作 CD⊥BD 于点 D,过点 A作AE⊥BD 于点 E,直线 BD 交 x 轴于点 F.∴∠ABD=60°,BF=2 ,∴△ABF 是等边三角形(顶角是60°的等腰三角形是等边三角形),∵=2(AC+CD),当A,C,D 三点共线时,AC+CD有最小值,为AE 的长(垂线段最短),∵AB=2 ,∴AE=3,即2AC+BC 的最小值为2AE,即为6.故答案为:6.【分析】求出直线与x轴、y轴的交点坐标,然后以点B 为顶点,在y轴左侧作∠CBD=30°,过点 C 作 CD⊥BD 于点 D,过点 A作AE⊥BD 于点 E,直线 BD 交 x 轴于点 F,即可得到△ABF 是等边三角形,则当A,C,D 三点共线时,AC+CD有最小值,为AE 的长,求出AE长即可解题.9.如图,正方形ABCD的边长为4,内切圆记为⊙O,P为⊙O上一动点,则 PB的最小值为 .【答案】2【知识点】勾股定理;阿氏圆模型;相似三角形的判定-SAS;相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解:如解图,连接OP,OB,设⊙O的半径为r,则 2 ,取OB的中点I,连接PI,AI,∴OI=IB= OBP,∠O是公共角,∴△BOP∽△POI(两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似), AP+PI(“阿氏圆”模型),∴当A,P,I在一条直线上时, 最小,最小值为 AI的长,过点I作IE⊥AB 于点 E,∵∠ABO=45°,∴IE= 的最小值为 的最小值是【分析】连接OP,OB,设⊙O的半径为r,取OB的中点I,连接PI,AI,可以得到,当A,P,I在一条直线上时, 最小,最小值为 AI的长,过点I作IE⊥AB 于点 E,然后根据勾股定理解题即可.10.如图,在矩形ABCD中, 18, 点P是矩形内部一点,且 15,连接 PC,PD,则 的最小值为 .【答案】【知识点】勾股定理;阿氏圆模型;相似三角形的判定-SAS;相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解:以A为圆心,AP长为半径作弧,在AD上截取AE=,连接PE,∵四边形 ABCD 是矩形,∴=∠DAP,∴△PAE∽△DAP,连接CE交⊙A 于点 P',∴当点 P,P'重合时, 取得最小值,CE 即为 最小时的长(点圆最值),在 Rt△CDE 中,CD=18,DE=AD-AE=16,∴ CE= 182+162= 的最小值为 故答案为:.【分析】以A为圆心,AP长为半径作弧,在AD上截取AE=,连接PE,即可得到△PAE∽△DAP, 进而求出,连接CE交⊙A 于点 P',当点 P,P'重合时, 取得最小值CE长,然后根据勾股定理解题即可.三、解答题11.(1)如图①,点E为矩形ABCD 内一点,请过点E作一条直线,将矩形ABCD 的面积分为相等的两部分,并说明理由;(2)如图②,在矩形ABCD中, P为对角线AC上一点,且 请问在边CD上是否存在一点 E,使得直线 PE将矩形ABCD 的面积分为2:3两部分 若存在,求出DE的长;若不存在,请说明理由.【答案】(1)解:如解图①,连接AC,BD 交于点 O,过点 E,O 作直线,直线 EO 将矩形ABCD 的面积分为相等的两部分.图①理由:设直线 EO分别交 DC,AB 于点 M,N,∵四边形ABCD 是矩形,∴AB∥CD,OA=OC,∴ ∠MCO=∠NAO,在△MCO 和△NAO中,∴ △MCO≌△NAO(ASA),∴S△MCO=S△NAO,又∵(2)解:存在.如解图②,作 MN∥BC,使得 S矩形ABCD,连接AM,DN 交于点 O,作直线OP 交 CD 于点 E,交 AB 于点 H,此时图②形ABCD,∵AB∥CD,∴∠EMO=∠HAO,在△EOM 和△HOA 中,∴△EOM≌△HOA(ASA),∴AH=EM,设AH=EM=x,∴△AHP∽△CEP,解得 即【知识点】矩形的性质;三角形全等的判定-AAS;等分面积模型;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应面积【解析】【分析】(1)连接AC,BD 交于点 O,过点 E,O 作直线,直线 EO即为所作;然后根据矩形的性质,利用ASA得到 △MCO≌△NAO即可得到结论;(2)作 MN∥BC,使得 S矩形ABCD,连接AM,DN 交于点 O,作直线OP 交 CD 于点 E,交 AB 于点 H,证明△EOM≌△HOA,即可得到AH=EM,然后根据平行得到△AHP∽△CEP,根据对应边成比解题即可.四、实践探究题12.(专题05-2 瓜豆原理之直线轨迹型(几何最值模型)—中考数学重难点突破)预备知识:(1)在一节数学课上,老师提出了这样一个问题:随着变量t的变化,动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么?一番深思熟虑后,聪明的小明说:“是一条直线”,老师问:“你能求出这条直线的函数表达式吗?”小明的思路如下:设这条直线的函数表达式为,将点代入得:,整理得∵t为任意实数,等式恒成立,∴,∴,∴这条直线的函数表达式为请仿照小明的做法,完成问题:随着变量t的变化,动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l,求直线l的函数表达式.(2)问题探究:如图1,在平面直角坐标系中,已知,,且,,则点C的坐标为 .(3)结论应用:如图2,在平面直角坐标系中,已知点,Q是直线上的一个动点,连接,过点P作,且,连接,求线段的最小值.【答案】(1)解:设这条直线的函数表达式为,将点代入得:,整理得,∵t为任意实数,等式恒成立,∴,,∴,,∴这条直线的函数表达式为,∴随着变量t的变化,动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l,直线l的函数表达式为;(2)C(-7,3)(3)解:过Q作QG⊥x轴于G,过Q'作Q'H⊥x轴于H,∵∠QPQ'=90°,∠QGP=∠Q'HP=90°,∴∠QPG+∠Q'PH=90°,∠Q'PH+∠HQ'P=90°,∴∠QPG=∠HQ'P,在△QPG和△PQ'H中,,∴△QPG≌△PQ'H(AAS),∴PG=Q'H,QG=PH,∵Q是直线上的一个动点,设Q(a,),当a≤1时,∴QG=PH=,PG= QH=1 - a,∴点Q'(,1 - a),∵OQ'=,∵时,OQ'随a的增大而减小,当a=1时最小OQ'=,当1≤a≤4,∴QG=PH=,PG= QH= a-1,∴点Q'(,1-a),∵OQ'=,∵,a=2时,OQ'最小=,当a≥4时,∴QG=PH=,PG= QH= a-1,∴点Q'(,1-a),∵OQ'=,∵,a>2时,OQ'随a的增大而增大,a=4时,OQ'最小=,∵>3>,∴OQ'最小值为.【知识点】坐标与图形性质;二次函数的最值;勾股定理;三角形全等的判定-AAS;瓜豆原理模型-点在直线上【解析】【解答】解:(2)解:设C点坐标为(m,n)过C作CE垂直x轴于E,过B作BF⊥x轴于F,∴∠ECA+∠CAE=90°,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠CAE+∠FAB=90°,∴∠ECA=∠FAB,在△CAE和△ABF中,,∴△CAE≌△ABF(AAS),∴CE=AF,EA=FB,∵点B(5,9)点A(2,0),∴点F(5,0)∴n=5-2=3;2-m=9,∴m=-7,∴点C(-7,3);【分析】(1)仿照预备知识解答即可;(2)设C点坐标为(m,n)过C作CE垂直x轴于E,过B作BF⊥x轴于F,证明△CAE≌△ABF,得出 CE=AF,EA=FB,即可得解;(3)作轴于G,轴于H,证明 得出,设 分三种情况:当 时, 时, 时,分别求出 的最小值, 比较即可得出答案.13.(1)初步研究:如图1,在△PAB中,已知PA=2,AB=4,Q为AB上一点且AQ=1,证明:PB=2PQ;(2)结论运用:如图2,已知正方形ABCD的边长为4,⊙A的半径为2,点P是⊙A上的一个动点,求2PC+PB的最小值;(3)拓展推广:如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠A=60°,⊙A的半径为2,点P是⊙A上的一个动点,求2PC PB的最大值.【答案】(1)证明:∵PA=2,AB=4,AQ=1,∴PA2=AO·AB=4,∴,又∵∠A=∠A,∴△PAQ∽△BAP,∴∴PB=2PQ.(2)解:如图,在AB上取一点Q,使得AQ=1,连接 AP,PQ,CQ.∴AP=2,AB=4,AQ=1.由(1)得PB=2PQ,∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ).∵PC+PQ≥QC,∴当点 C、P、Q三点共线时,PC+PQ的值最小.∵,∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10.∴2PC+PB的最小值为10.(3)解:如图,在AB上取一点Q,使得AQ=1,连接AP,PQ,CQ,延长CQ交⊙A于点P',过点C作CH垂直AB的延长线于点H,易得AP=2,AB=4,AO=1.由(1)得PB=2PQ,∴,∵PC-PQ≤QC,∴当点P在CQ交⊙A的点P'时,PC-PQ的值最大.∵∴,∴2PC-PB的最大值为.【知识点】两点之间线段最短;菱形的性质;正方形的性质;阿氏圆模型;相似三角形的判定-AA【解析】【分析】(1)证明△PAQ∽△BAP,根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ;(2)在AB上取一点Q,使得AQ=1,由(1)得PB=2PQ,推出当点C、P、Q三点共线时,PC+PQ的值最小,再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值;(3)作出如图的辅助线,同(2)法推出当点P在CQ交⊙A的点P时,PC-PQ的值最大,再利用勾股定理即可求得2PC-PB的最大值.14.问题提出:如图1,在等边△ABC中,AB=12,⊙C半径为6,P为圆上一动点,连结AP,BP,求AP+BP的最小值.(1)尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=3,则有==,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP,∴=,∴PD=BP,∴AP+BP=AP+PD.请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP的最小值为 .(2)自主探索:如图1,矩形ABCD中,BC=7,AB=9,P为矩形内部一点,且PB=3,AP+PC的最小值为 .(3)拓展延伸:如图2,扇形COD中,O为圆心,∠COD=120°,OC=4,OA=2,OB=3,点P是上一点,求2PA+PB的最小值,画出示意图并写出求解过程.【答案】(1)(2)(3)解:如图,延长OC,使CF=4,连接BF,OP,PF,过点F作FB⊥OD于点M,∵OC=4,FC=4,∴FO=8,且OP=4,OA=2,∴,且∠AOP=∠AOP,∴△AOP∽△POF∴,∴PF=2AP∴2PA+PB=PF+PB,∴当点F,点P,点B三点共线时,2AP+PB的值最小,∵∠COD=120°,∴∠FOM=60°,且FO=8,FM⊥OM∴OM=4,∴MB=OM+OB=4+3=7∴∴2PA+PB 的最小值为.【知识点】等边三角形的性质;勾股定理;阿氏圆模型;相似三角形的判定-SAS;相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解:(1)如图,连结 AD,过点A作AF⊥CB于点F,∵,要使最小,∴AP+AD最小,当点A,P,D在同一条直线时,AP+AD最小,即:最小值为AD,∵AC=12,AF⊥BC,∠ACB=60°,∴CF=6,∴DF=CF-CD=6-3=3∴∴的最小值为,(2)如图,在AB上截取BF=1,连接 PF,PC,∵AB=9,PB=3,BF=1∴,且∠ABP=∠ABP,∴△ABP∽△PBF,∴,∴,∴,∴当点F,点P,点C三点共线时,的值最小,∴,∴的值最小值为,【分析】(1)由等边三角形的性质可得CF=6,,由勾股定理可求AD的长;(2)在AB上截取BF=1,连接PF,PC,由,可证△ABP∽△PBF,可得,即,则当点F,点P,点C三点共线时,的值最小,由勾股定理可求的值最小值;(3)延长OC,使CF=4,连接BF,OP,PF,过点F作FB⊥OD于点M,由,可得△AOP∽△POF,可得PF=2AP,即2PA+PB=PF+PB,则当点F,点P,点B三点共线时,2AP+PB的值最小,由勾股定理求2PA+PB的最小值.15.问题提出:如图1,在Rt中,,半径为2,P为圆上一动点,连接AP,~BP,求的最小值.(1)尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图2,连接CP,在CB上取点,使,则有,又,.请你完成余下的思考,并直接写出答案:的最小值为 (2)自主探索:在"问题提出"的条件不变的情况下,的最小值为 .(3)拓展延伸:已知扇形COD中,,点是上一点,求的最小值.【答案】(1)(2)(3)解:如图3,延长OA到点E,使CE= 6,∴OE=OC+CE=12连接PE、OP,当E、P,、B三点共线时,取得最小值为:【知识点】两点之间线段最短;勾股定理;相似三角形的判定;阿氏圆模型;相似三角形的性质-对应边【解析】【解答】解:(1)如图1,连接AD,,要使最小,最小,当点A,P,D在同一条直线时,最小,即:最小值为AD,在Rt中,,,的最小值为,故答案为:;(2)如图2,连接CP,在CA上取点,使,同(1)的方法得出的最小值为.故答案为:;【分析】(1)连接AD,要使最小,则最小,当点A,P,D在同一条直线时,最小,即:最小值为AD,根据勾股定理可得AD长,即可求出答案.(2)连接CP,在CA上取点,使,根据相似三角形判定定理可得,则,即,同(1)的方法得出的最小值为,即可求出答案.(3)延长OA到点E,使CE= 6,根据边之间的关系可得OE=OC+CE=12,连接PE、OP,再根据相似三角形判定定理可得,则,即,当E、P,、B三点共线时,取得最小值为:,即可求出答案.1 / 1 展开更多...... 收起↑ 资源列表 几何压轴(胡不归与阿氏圆等模型)-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题(学生版).docx 几何压轴(胡不归与阿氏圆等模型)-【考前20天】2025年中考数学终极冲刺专题(教师版).docx