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江苏省泰州市姜堰区2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、单选题
1．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．在的展开式中，的系数为（ ）
A． B． C． D．
3．从5名大学毕业生中挑选3个人，分别担任三个班的实习班主任，甲、乙至少有1人入选，则不同的安排方法有（ ）种
A．9 B．36 C．54 D．72
4．若随机事件A，B满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量X的分布列为
0 1
若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
7．各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数转换为十进制数的算法为.若将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是（ ）
A． B． C． D．
8．已知3名医生和3名护士排成一排拍合照，若医生甲不站两端，3名护士中至多有2名相邻，则不同的排法共有（ ）种.
A．72 B．144 C．288 D．408
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，共有种不同方法
B．平面内有个点，以其中个点为端点的线段共有条
C．从、、、、五个数中任取两个相减可以得到个不相等的差
D．个不同的小球放入编号为、、、的个盒子中，恰有一个空盒的放法有种
10．在长方体中，，，E、F分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．点到平面的距离为 D．直线到平面的距离为
11．如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（ ）

A．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120
B．在“杨辉三角”第行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则为12
C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则
D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
三、填空题
12．计算 .（用数字作答）
13．某工厂3个车间生产同一件计算机配件，3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，这3个车间的次品率依次为6%，5%，5%.任取一个配件是次品的概率为 .
14．空间四面体中，，，且，，则直线与直线所成角的余弦值为
四、解答题
15．从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问：
(1)能组成多少个没有重复数字的三位数
(2)能组成多少个没有重复数字的三位偶数
16．已知的展开式中，各项的二项式系数的和为.
(1)求展开式中所有项的系数之和；
(2)求展开式中系数最大的有理项.
17．已知三棱锥中，，，，，点为的中点，点满足，点满足.
(1)求的长；
(2)求的值.
18．现有A、B两个不透明的袋子，A袋中装有2个红球、2个白球，B袋中装有1个红球、2个白球.玩家甲和玩家乙分别参与摸球游戏，每人各参与一次且互不影响，得分高者获胜游戏规则是：玩家先从袋子A中随机摸出2个球，
情况1：摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入袋子B中，然后从袋子B中随机摸出2个球；若摸出2个球同色，则玩家获得8分，若摸出2个球不同色，则玩家获得4分；
情况2：摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回袋子A中，然后从袋子A中再随机摸出2个球；若摸出2个球同色，则玩家获得6分，若摸出2个球不同色，则玩家获得4分.
(1)求玩家甲在游戏中得8分的概率；
(2)求玩家乙在游戏中获胜的概率；
(3)设玩家甲和玩家乙在游戏中得分的总和为X，求X的分布列和数学期望.
19．如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得.

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)设，若二面角的正弦值为，求实数的值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A C A D C D D ABD ABD
题号 11
答案 AD
1．A
根据给定条件，利用空间向量共线的坐标表示列式求解.
【详解】向量，，由，得，
所以.
故选：A
2．A
利用二项展开式的通项公式计算即可.
【详解】展开式的通项为，取，
，系数为.
故选：A.
3．C
分甲、乙两人中有1人入选和甲、乙两人都入选两种情况讨论求解即可.
【详解】当甲、乙两人中有1人入选，先选出2人中的1人，再从剩下的3个人中选出2个，
最后将其分配到3个班级，故有种；
当甲、乙两人都入选，则先从剩下的3人中选出1人，再将其分配到3个班级，故有种；
所以，共有种不同的选派方法.
故选：C
4．A
根据条件概率公式先求出，再根据求出.
【详解】已知，，根据条件概率公式，可得.
将，代入上式，可得.
已知，，根据条件概率公式，可得.
故选：A.
5．D
由均值与方差的计算概念，可得答案.
【详解】由题意可得，
则，解得．
故选：D.
6．C
由共面向量的基本定理得出，利用空间向量的减法可得出，设，利用空间向量的线性运算得出，进而可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的值.
【详解】如下图所示：
因为、、、四点共面，且、不共线，
则存在、，使得，
即，
所以，
因为四边形为平行四边形，所以，即，
所以，
设，则，
因为、、不共面，所以，解得，所以，
又因为，故，
故选：C.
7．D
利用等比数列求和公式将将六进制数转换为十进制数，再利用二项展开式可得出这个数被除所得的余数.
【详解】，
因为
，
因为能被整除，
所以，将六进制数转换为十进制数，则转换后的数被除所得的余数是.
故选：D.
8．D
先考虑甲不站两端的所有情况，再去掉甲不站两端且3名护士相邻的情况，再利用排列知识和计数原理解决即可.
【详解】先考虑甲不站两端的情况，甲在中间4个位置中任选一个位置，其余5人全排列，共有种；
再考虑甲不站两端且3名护士相邻的情况，将3名护士看作一个整体，则共有4个位置可供选择，
甲先在中间2个位置中任选一个位置，其余3人全排列，以及3名护士全排列，共有种，
则满足题意的排法共有种.
故选：D
9．ABD
利用排列计数原理可判断A选项；利用组合计数原理可判断B选项；利用枚举法可判断C选项；利用分组分配法可判断D选项.
【详解】对于A选项，从件不同的礼物中选出件分别送给名同学，共有种不同的方法，A对；
对于B选项，平面内有个点，以其中个点为端点的线段共有条，B对；
对于C选项，从、、、、五个数中任取两个相减，可得到得差的集合为
，
所以，从、、、、五个数中任取两个相减可以得到个不相等的差，C错；
对于D选项，个不同的小球放入编号为、、、的个盒子中，恰有一个空盒，
先将个小球分为三组，每组小球的数量分别为、、，不同的分组方法种数为种，
然后从个盒子中取出个盒子，将组小球放入这三个盒子，
因此，恰有个空盒的放法种数为，D对.
故选：ABD.
10．ABD
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量关系证明线面平行判定A，证明线面垂直判断B，利用点面距离和线面距离求解判断CD.
【详解】，以直线DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，在中，如图：
则，
，所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
因为，又平面，
所以平面，故A正确；
所以直线到平面的距离为点到平面的距离，又，
所以点到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为，故D正确；
设平面的一个法向量为，又，
则，令，得，
又，所以，所以平面，故B正确；
设平面的一个法向量为，又，
则，令，得，
则点到平面的距离为，故C错误.
故选：ABD
11．AD
根据给定条件，利用组合数性质求解判断A；确定总个数判断B；根据第行的第个数为，结合二项式定理判定C；利用的展开式的系数的关系判定D.
【详解】对于A，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，A正确；
对于B，由从左到右只有第6个数是该行的最大值，得共有11个数，因此，B错误；
对于C，第行的第个数为，
，C错误；
对于D，，
则是展开式中项的系数，
而，展开式中项的系数为，
因此，D正确.
故选：AD
12．
利用排列数和组合数的定义计算可得结果.
【详解】.
故答案为：.
13．
根据三个车间的产量占比和次品率，即可求出任取一个配件是次品的概率.
【详解】由题意，
3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，次品率依次为6%，5%，5%，
∴任取一个配件是次品的概率为：，
故答案为：.
14．
将四面体补成长方体，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值.
【详解】在空间四面体中，，，
将四面体补成长方体，
则，解得，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
因为为的中点，则，由，可得，
所以，，
所以.
因此，直线与直线所成角的余弦值为.
故答案为：.
15．(1)180
(2)105
（1）根据给定条件，任取3个数的排列数，去年百位数字是0的个数即可.
（2）按个位数字是0和2，4，6之一分类求出三位偶数的个数即可.
【详解】（1）从给定的7个数字中任取3个进行排列，有种方法，其中百位数字是0的有个，
所以没有重复数字的三位数个数是.
（2）个位数字是0的三位数有个，个位数字是之一的三位数有个，
所以没有重复数字的三位偶数个数是.
16．(1)
(2)
（1）利用展开式二项式系数和为可求出的值，然后在二项式中令，可得出展开式中所有项的系数和；
（2）写出展开式通项，令的指数为整数，求出参数的值，代入通项后即可得解.
【详解】（1）的展开式中，各项的二项式系数的和为，解得，
所以，展开式中所有项的系数和为.
（2）的展开式通项为，
令，可得，
时，；时，；时，.
所以，展开式中系数最大的有理项为.
17．(1)
(2)
（1）利用空间的基底表示向量，再利用数量积的运算律求解.
（2）由（1）中信息，利用数量积的运算律求解.
【详解】（1）在三棱锥中，点为的中点，，
，而，，
，
所以
.

（2）由，得，
所以
.
18．(1)；
(2)；
(3)分布列见解析；.
（1）由题意明确玩家甲在游戏中得8分包括的情况，再用古典概型结合互斥事件的概率加法公式即可直接计算得解；
（2）先依次求出玩家在游戏中得4、6、8分的概率，接着由题意明确玩家乙在游戏中获胜的情况，并依次求出每种情况的概率，再用互斥事件的概率加法公式即可直接计算得解；
（3）由题意求出随机变量的取值，再依次求出各变量取值的概率即可求出分布列，再由期望公式直接计算即可求解.
【详解】（1）玩家甲在游戏中得8分,则包括以下两种情况：
甲从袋子A中随机摸出2个红球，再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个球同色；
甲从袋子A中随机摸出2个白球，再将这2个球放入袋子B中后从袋子B中随机摸出2个白球.
所以玩家甲在游戏中得8分的概率为.
（2）由（1）玩家在游戏中得8分的概率为，
玩家在游戏中得6分的概率为，
玩家在游戏中得4分的概率为，
玩家乙在游戏中获胜的情况有以下三种情况：
甲获得4分，玩家乙在游戏中得6分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得4分，玩家乙在游戏中得8分获胜，此情况发生的概率为；
甲获得6分，玩家乙在游戏中得8分获胜，此情况发生的概率为；
所以玩家乙在游戏中获胜的概率为；
（3）由题意可得，
所以，，
，，
，
所以X的分布列为
X 8 10 12 14 16
P
所以.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)或
【详解】（1）在图1中，连接，交于点，，.
因为，，，，且，
所以，，.
因为，所以.

所以图2中，，，平面，所以平面.
平面.所以.
（2）又因为，由，即，所以.
所以两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系.
则，，，，，.
因为为中点，所以.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，
取.
设直线与平面所成的角为，
则.
（3）因为，所以
所以，即.
则，，，.
设平面的法向量为，
则，
取.
设平面的法向量为，
则,
取.
设二面角为，由得：.
即，
整理得：，
解得：或.

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