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商河弘德中学2024-2025学年高一下学期第三次阶段性教学质量检测数学
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（ ）.
A． B．100m C． D．
4．在中，，且，则的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
5．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量满足，，，则（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
7．已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
8．在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（ ）
A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定
二、多选题
9．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下述正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，、则
10．某学校为了调查高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了100名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（ ）
A．
B．平均数的估计值为30
C．众数的估计值为35
D．这100名学生中有25名学生每天体育活动时间不低于40分钟
11．已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，则外接圆半径为10
C．若，则为等腰三角形
D．若，，，则
三、填空题
12．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的分位数为 分．
13．某学校高一男生、女生的人数之比为，现采用比例分配的分层随机抽样方法抽取90人，若样本中男生的平均身高为171，女生的平均身高为160.2，则该校高一学生平均身高的估计值为 （单位：）．
14．某学校体育部有5名学生干部，其中高一2名，高二3名．从这5名学生中随机选2名组织校体育活动，则这2名学生来自不同年级的概率为 ．
四、解答题
15．已知复数．
（Ⅰ）当实数m取什么值时，复数z是：
①实数；
②纯虚数；
（Ⅱ）当时，化简．
16．已知向量
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若与的夹角为锐角，求的取值范围
(4)求与的夹角的余弦值.
17．受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学，某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程，该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图.
（1）求图中a的值；
（2）求评分的中位数；
（3）以频率当作概率，若采用分层抽样的方法，从样本评分在和内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在内的概率.
18．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，
(1)求证：平面；
(2)求证：直线平面；
(3)求直线与平面所成角的正切值．
19．的内角的对边分别为，满足
(1)求；
(2)的角平分线与交于点，求的最小值.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C C A C C B BC ACD
题号 11
答案 ACD
1．C
依复数四则运算法则及复数模的意义即可得解.
【详解】,
,
故选: C.
2．A
设，，根据可求出的值，作出的图形，利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】设，过点作轴，垂足为点，设，如下图所示：
则，故，可得，
还原原的图形如下图所示，则，，
故.
故选：A.
3．C
先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解.
【详解】由题意，
而，由正弦定理可得，即，解得，
注意到，
从而.
故选：C.
4．C
首先由余弦定理得，再由题干条件结合正弦定理得，故是等边三角形.
【详解】由，得，所以；
又，由正弦定理得，所以是等边三角形.
故选：C.
5．A
根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可.
【详解】设与的夹角为，
则向量在方向上的投影向量为
.
故选：A.
6．C
根据模长与数量积的关系列出得的方程，解方程组即可.
【详解】因为，且，
所以，解得.
故选：
7．C
在底面中，利用余弦定理求出，得到，再由正弦定理得到的外接圆半径，利用勾股定理，得到三棱锥外接球的半径，得到其表面积.
【详解】∵底面中，，，
，
的外接圆半径，
面
三棱锥外接球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积．
故选C．
8．B
根据正弦定理，即可判断.
【详解】由正弦定理可知，，即，得，
因为，所以或，
所以此三角形的个数为2个.
故选：B
9．BC
根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可.
【详解】对于A，若，，则与相交、平行或异面，故A错误；
对于B，若，，则，故B正确；
对于C，若，，则,
若，则，故C正确；
对于D，若，则，可能相交，故D错误.
故选:BC.
10．ACD
根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，再根据平均数、众数及频率分布直方图一一判断即可.
【详解】依题意可得，解得，故A正确；
平均数的估计值为，故B错误；
由频率分布直方图可知的频率最大，因此众数的估计值为，故C正确；
随机选取这100名学生中体育活动时间不低于40分钟的人数为，故D正确；
故选：ACD
11．ACD
利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知B,C的正误，利用三角形面积公式可知D正确.
【详解】因为，所以，由正弦定理，可得，即，A正确；
由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确；
因为，所以，即，
整理可得，即，
因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；
因为，，，所以，D正确.
故选：ACD.
12．
利用给定的频率分布直方图，借助频率估计即可.
【详解】依题意，前四个小矩形的面积之和为，
前五个小矩形的面积之和为，
因此分位数位于内，，
所以估计这50名学生成绩的分位数为分．
故答案为：
13．165
利用平均数的求法即可得解.
【详解】依题意，设样本中高一男生人数为，则样本中高一女生的人数为，
故，解得，则样本中高一男生人数为，高一女生的人数为，
所以样本中高一学生平均身高为，
故而该校高一学生平均身高的估计值为.
故答案为：165.
14．/
列出所有的样本空间以及满足题意的情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案.
【详解】2名高一学生干部记为：a，b；3名高二学生干部记为：，，，
则样本空间
共含有10个样本点，
设事件表示“这2名学生来自不同年级”，
则包含，即，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故答案为：.
15．（Ⅰ）①m=1或m=2；②m=﹣（Ⅱ）
【详解】试题分析：（I）利用复数为实数、纯虚数的充要条件即可得出．（II）当m=0时，z=-2+2i，再利用复数的运算法则即可得出
试题解析：（Ⅰ）①当m2﹣3m+2=0时，即m=1或m=2时，复数z为实数．
②当时，解得，
即m=﹣时，复数z为纯虚数．
（Ⅱ）当m=0时，z=﹣2+2i，
∴．
考点：复数的代数表示法及其几何意义
16．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）根据向量模的运算求得正确答案.
（2）根据向量平行列方程，由此求得.
（3）根据向量夹角为锐角列不等式，由此求得.
（4）根据向量夹角公式求得正确答案.
【详解】（1）已知，，可得.
则.
可得.
（2），，
则.
因为，所以，
即，
，解得.
（3）已知，，
则，
即，解得.
由（2）可知，当与共线时，所以要排除.
综上，的取值范围是.
（4），，则.
，
，
.
所以.
17．（1）；（2）81.25；（3）.
（1）由频率分布直方图各组频率和为1列方程，即可得解；
（2）由频率分布直方图中中位数两侧的长方形面积和相等列方程，即可得解；
（3）利用列举法求出所有的基本情况数及满足要求的基本情况数，再由古典概型概率公式即可得解.
【详解】（1）由题意，
所以；
（2）由频率分布直方图可得评分的中位数在内，
设评分的中位数为x，
则，解得，
所以评分的中位数为81.25；
（3）由题知评分在和内的频率分别为0.1和0.15，
则抽取的5人中，评分在内的为2人，评分在的有3人，
记评分在内的3位学生为a，b，c，评分在内的2位学生为D，E，
则从5人中任选2人的所有可能结果为：
，，，，，，，，，，共10种；
其中，这2人中至少一人评分在内可能结果为：
，，，，，，，共7种；
所以这2人中至少一人评分在的概率.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）证明：因为四边形是菱形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）证明：因为四边形是菱形，所以．
又因为平面，平面，所以．
又因为，平面，
所以BD⊥平面．
（3）如图，过B作，连接，
因为平面，平面，所以．
又因为
平面，所以平面．
所以是直线与平面所成的角．
因为所以
在中，，，
所以．
所以直线与平面所成角的正切值是．
19．(1)
(2)
（1）由诱导公式正弦定理倍角公式化简已知等式，即可求解；
（2）由，得，利用基本不等式求的最小值.
【详解】（1）由得：，
由正弦定理得：，倍角公式得，
由，有，所以，
得，所以.
（2）由，得，
即，得，
，
当且仅当即 时等号成立
所以的最小值为.

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