资源简介

2024-2025 学年第二学期第二次联合测试
八年级数学试题
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
命题：仇湖初级中学 审核：吉庆中学
一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目
要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1．下列式子一定是二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
2．下列函数不是一次函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝x－3 C．y＝－x＋1 D．
3．关于 x 的方程(a－1)x2＋x＋1＝0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是(　　)
A．a≠1 B．a＞－1 且 a≠1 C．a≥－1 且 a≠1 D．a 为任意实数
4．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是(　　)
A．∠A＋∠B＝∠C B．a＝1，b＝ ，c＝2 C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．a：b：c＝ ： ：
5．若样本 x1＋1，x2＋1，…，xn＋1 的平均数是 5，方差是 2，则样本 2x1＋2，2x2＋2，…，2xn＋2 的平均
数、方差分别是(　　)
A．5，2 B．10，2 C．10，4 D．10，8
6．我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发
布的数据，2024 年 10 月新能源汽车销量约为 119.8 万辆，2024 年 12 月新能源汽车销量约为 130.2 万辆，
设新能源汽车销量的月平均增长率为 x，则可列出的方程是(　　)
A．119.8(1＋2x)＝130.2 B．119.8(1＋2x)2＝130.2 C．119.8(1＋x)2＝130.2 D．119.8(1＋x2)＝130.2
7．如图，在四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 的中点，G，H 分别是 BD，AC 的中点，AB＝CD，
∠ABD＝30°，∠BDC＝70°，则∠GEF 的大小是(　　)
8．A．25° B．30° C．20° D．35°
第 7 题 第 8 题 第 9 题 第 14 题
8．如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象与 x 轴交于点(2，0)，与 y＝x＋1 的图象交于点 P(1，2)，则下列说法
正确的是(　　)
A．关于 x，y 的方程组 的解是 B．方程 kx＋b＝0 的解是 x＝－2
C．方程 kx＋b＝x＋1 的解是 x＝2 D．不等式 kx＋b＜x＋1 的解集是 x＜1
9．如图，已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A(10，0)，点 B(0，6)，点 P
为 BC 边上的动点，将△OBP 沿 OP 折叠得到△OPD，连接 CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45
°时，四边形 OBPD 为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD 的面积为 15；③当 P 在运动过程中，CD
的最小值为 34 - 6 ；④当 OD⊥AD 时，BP＝1．其中结论正确的有(　　)
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10 2．已知关于 x 的一元二次方程 ax - 2 a - 2 x + a - 4 = 0 a > 0 ，设方程的两个实数根分别为x1， x2 (其中
x1 > x2 )，若 y 是关于 a的函数，且 y = x1 - ax2，若 y > 0，则( )
A． 0 < a < 3 B．0 < a < 5 C． a > 3 D． a > 5
二、填空题(本大题共 8 小题，第 11～12 题每题 3 分，第 13～18 题每题 4 分，共 30 分。不需写出解答过
程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
11．一组数据：3，4，4，x,5，5，9 其平均数是 5，则众数是 ．
12．已知方程 x2＋2x－1＝0 的两根分别为 a 和 b，则 4a2＋8ab＋4b2的值为 　 　 ．
13．若一次函数 y＝(k＋1)x＋2k－4 的图象不经过第二象限，则 k 的取值范围是 　 　 ．
14．最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角(图
1)．图 2 是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中 AB＝BC＝20cm，∠ABC＝120°．机器狗正常状态下
的高度可以看成 A，C 两点间的距离，则机器狗在正常状态下的高度为　 　 cm．
15．如图，一个弹簧不挂重物时长 10cm，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成
正比，弹簧总长 y(单位：cm)关于所挂物体质量 x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中 a 的值
是 　 　 ．
第 15 题 第 16 题 第 17 题 第 18 题
16．如图，菱形 ABCD 的周长为 32，面积为 36，P 是对角线 BD 上一点，分别作 P 点到直线 AB、AD 的
垂线段 PE、PF，则 PE＋PF 等于　 　 ．
17．如图，将函数 y＝2x－1 的图象位于 x 轴下方的部分，沿 x 轴翻折至其上方，所得的折线是函数 y＝|2x
－ 1|的图象，与直线 y＝ x＋ b 的图象交点的横坐标 x 均满足－ 1＜ x＜ 2，则 b 的取值范围
为 。
18．如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 的中点，将 BC 沿着过点 C 的直线 l 翻折，使点 B 的对应点 E 落
在正方形的内部，连接 AE，BE，CE，OE，若 AE＝ 2 2 ，BE＝4． OE 的长为 ．
三、解答题(本大题共 8 小题，共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程
或演算步骤)
1 1
19．(共 16 分)计算：（1） ( 50 + 27) - (2 - 3 ) （2） (3 - 2 2)( 2 +1)2 + (1- 2)( 2 +1)
2 3
（3）解方程： 3x2－2x－4＝0． （4）解方程：x(x－2)＋x－2＝0；
20．(共 10 分)作图：在 ABCD 内作菱形．
要求：（1）用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
（2）用两种不同的方法完成作图．
（3）选择一种方法写出已知求证及证明过程。
选择方法 。
已知：
求证：
21．(共 8 分)为加强学生劳动教育实践，某校开展“劳动技能大比拼”知识竞赛活动，现从九年级和八年级
参赛学生中各随机抽取 20 名同学的成绩进行整理分析(成绩用 x 表示，分
四组：A．x≤70，B．70＜x≤80，C．80＜x≤90，D．x＞90)．相关数据如
下：
八年级 C 组学生成绩为：82，85，86，88，87，89，84．
九年级学生成绩为：72，75，78，82，84，85，85，86，
86，86，87，88，89，90，91，92，93，94，97，98．
八、九年级学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 方差
九年级 86.9 86.5 b 43.1
八年级 84.8 a 79 48.6
根据以上信息解答：
（1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ；
（2）结合统计量说明哪个年级劳动知识掌握更好？请结合两种统计量说明理由；
（3）该校八、九年级各有 600 名学生参赛，估计这两个年级成绩优秀(x≥85)的学生总数．
22．(共 8 分)如图，AD、BE、CF 分别是△ABC 三边中线，交于点 O，FM∥BE，EM∥BA．
求证：（1）AF＝ME
（2）四边形 ADCM 是平行四边形．
23．(共 10 分)如图，一次函数 y1＝kx＋b(k≠0)的图象交 x 轴于 A 点，交 y 轴于 C 点，且 OA＝5，并于一次
函数 的图象交于点 B，已知点 B 的横坐标为－4．
（1）求一次函数 y1＝kx＋b 的解析式；
（2）求△AOC 的面积；
（3）请直接写出当 时，自变量 x 的取值范围．
24．(共 12 分)第九届亚洲冬季运动会于 2025 年 2 月在中国举办，亚冬会吉祥物一经开售，就深受大家的
喜爱，某商店以每件 45 元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件 68 元的价格出售．经统计，2024 年
11 月份的销售量为 256 件，若 2024 年 12 月份和 2025 年 1 月份每月的销售量以相同的增长率增长，2025
年 1 月份的销售量为 400 件．从 2025 年 1 月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，
发现该款吉祥物每降价 1 元，月销售量就会增加 20 件，设降价降了 x 元，请完成下列问题：
（1）降价 x 元后的月销售量为 　 　 件；(用含 x 的式子表示)
（2）试求 2024 年 12 月份和 2025 年 1 月份每月销售量的增长率。
（3）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润达 8400 元？
25．(共 13 分)如图 1，已知直线 l1：y＝－x＋5 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，直线 l2 与 y 轴交于点
C(0，－1)，与直线 l1交于点 D(2，t)．
（1）求直线 l2的解析式；
（2）如图 2，若点 P 在直线 l1 上，过点 P 作 PQ∥y 轴交 l2 于点 Q，交 x 轴于点 G，使 S△PCG＝2S△
QCG，求此时 P 点的坐标；
（3）如图 3，点 P 是直线 l1上一动点，点 Q 是直线 l2上一动点，点 E 是坐标平面内一点，若以点 C、
P、Q、E 为顶点的四边形为正方形，且 CQ 是正方形的边，若存在，请直接写出点 Q 的坐标．
26．(共 13 分)综合与实践：某数学兴趣组开展“矩形纸片的裁剪”专题探究活动，他们计划利用矩形纸片
ABCD 裁剪出一个三角形，使其面积等于矩形面积的一半．
【思路分享】
（1）兴趣组的三位同学分别给出了裁剪思路：
①小明：沿对角线 AC 所在的直线裁剪，得到△ABC；
②小华：在 CD 上取一点 E，分别沿 AE，BE 所在的直线裁剪，得到△ABE；
③小红：在 BC 上取一点 E，分别沿 AE，DE 所在的直线裁剪，得到△ADE．
上述裁剪思路中，能得到符合要求的三角形的是 　 　 (只要填序号)；
【深度探究】
（2）小强发现三位同学给出的思路中，所得三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，他给出“所得三
角形只有一个顶点与矩形顶点重合时”的思路：如图 1，在 BC，CD 上分别取一点 E，F，分别沿 AE，
AF，EF 所在的直线裁剪，得到△AEF．通过推证，小强发现 S△AEF ．
小强的证明过程
如图 1，过点 F 作 FG⊥AB，垂足为点 G，FG 交 AE 于点 H，连接 GE，
则四边形 AGFD，BGFC 均为矩形，S△AHF＜S△AFG，S△EHF＜S△EFG．
所以，S△AHF＋S△EHF＜S△AFG＋S△EFG．
即 S△AHF＋S△EHF ．
所以，S△AEF ．
请进一步探究：如图 2，在矩形 ABCD 的三边上分别取不与矩形的顶点重合的点 E，F，G，连接 EF，
FG，GE．求证：S△EFG ；
【拓展运用】
（3）请解决该兴趣组提出的新问题：若 AB＝8cm，BC＝6cm，能否用矩形纸片 ABCD 裁剪出等腰三
角形，使其面积等于矩形面积的一半？若能，请求出等腰三角形的腰长；若不能，请说明理由．
2024~2025 学年江苏省南通市海安市十三校联盟八年级（下）第三次月考数学试卷参考答案
一．选择题（共 10 小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A D D C C A B B
二、填空题（共 8 小题）
11. 5 12． 16. 13. 1＜k≤2． 14. . 15. 22.
16 ． 17. ≤b＜1 ． 18. 2．
三、解答题：
19．(共 16 分，每小题 4 分)
(1) （1）原式
；
(2) (3 - 2 2)( 2 +1)2 + (1- 2)( 2 +1)
原式
＝9 8+1 2
＝0．
（3）Δ＝b2 4ac＝（ 2）2 4×3×（ 4）＝52＞0，
∴ ，
∴ ， ．
（4）（x 2）（x+1）＝0，
∴x1＝2，x2＝ 1；
20．(共 10 分，3+3+4)解：如图，四边形 ABEF 和四边形 BHDG 即为所作．
方法一：
已知：在 ABCD 中，AB=AF=BE，
求证：四边形 ABEF 为菱形。
证明：∵ ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC
又∵AF=BE
∴ABEF 为平行四边形，
∵AB=AF
∴四边形 ABEF 为菱形
方法二：
已知：在 ABCD 中，HG 是 BD 的垂直平分线，且 HG 与 AD、BC 分别相交于点 H、G，
求证：四边形 BGDH 为菱形。
证明：∵ ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠ADB=∠CBD
∵HG 是 BD 的垂直平分线
∴HB=HD,BG=DG
∴∠HBD=∠ADB，∠GDB=∠CBD
∴∠HBD=∠GDB，
∴BH∥DG
∴四边形 BGDH 为平行四边形
∴ABEF 为平行四边形，
∴四边形 BGDH 为菱形。
21．(共 8 分，4+2+2)解：（1）由题意可知，八年级 A 组有：20×15%＝3（人），B 组有：20×25%＝5
（人），
竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为 84，85，故中位数 a 84.5，
在被抽取的九年级 20 名学生的数学竞赛成绩中，86 分出现的次数最多，故众数 b＝86；
故答案为：84.5，86；
（2）九年级成绩较好，理由：因为九年级学生成绩的平均数比八年级的高，九年级学生成绩的方差比
八年级的方差小，成绩更稳定，所以九年级成绩较好；
（3）样本中八年级有 10 人成绩优秀，九年级有 15 人成绩优秀，
600 600 750（人），
答：估计这两个年级成绩优秀（x≥85）的学生总数为 750 人．
22．(共 8 分，每小题 4+4 分)（1）证明：连接 EF，，
∵FM∥BE，EM∥BA，
∴FB∥ME，
∴四边形 FBEM 是平行四边形，
∴FB＝ME，
∵F 是 AB 中点，
∴AF＝FB
∴AF=ME，
（2）∵AF=ME，AF∥ME，
∴四边形 AFEM 是平行四边形，
∴AM＝EF，AM∥EF，
∵AD、BE、CF 分别是△ABC 三边中线，
∴BC∥EF， ， ，
∴AM＝CD，AM∥CD，
∴四边形 ADCM 是平行四边形．
23．(共 10 分，4+4+2)解：（1）∵OA＝5，
∴A（ 5，0），
∵点 B 的横坐标为 4，且在一次函数 的图象上，
∴ ，
∴B（ 4，2），
将 A（ 5，0），B（ 4，2）代入 y1＝kx+b 得 ，
解得 ，
∴一次函数解析式 y1＝2x+10；
（2）由（1）可知 OA＝5，y1＝2x+10，
当 x＝0 时，y1＝10，
∴OC＝10，
∴ ；
（3）自变量 x 的取值范围为 x＜ 4．
24．(共 12 分，2+5+5)解：（1）根据题意得：降价 x 元后的月销售量为（400+20x）件．
故答案为：（400+20x）；
（2）设 2024 年 12 月份和 2025 年 1 月份每月销售量的增长率为 m，根据题意，得
256×（1+m）2=400
解之，得 m1=0.25=25%，m2= 2.25（不合题意，舍去）
答：2024 年 12 月份和 2025 年 1 月份每月销售量的增长率为 25%。
（3）根据题意得：（68 x 45）（400+20x）=8400，
整理得：x2 3x 40=0，
解得：x1= 5，x2=8．
答：当该款吉祥物降价 8 元时，月销售利润达 8400 元．
25． (共 13 分，3+4+6)（1）解：①如图①：沿对角线 AC 所在的直线裁剪，得到△ABC，
∴△ABC 面积等于矩形面积的一半；
②如图②：在 CD 上取一点 E，分别沿 AE，BE 所在的直线裁剪，得到△ABE，
∴△ABE 面积等于矩形面积的一半；
③如图③：在 BC 上取一点 E，分别沿 AE，DE 所在的直线裁剪，得到△ADE，
∴△ADE 面积等于矩形面积的一半；
故答案为：①②③；
（2）证明：如图 2，过点 F 作 FH⊥AB，垂足为点 H，FH 交 GE 于点 M，连接 GH，EH，
则四边形 AHFD，BCFH 均为矩形，
∵S△FGM＜S△FGH，S△FEM＜S△FEH，
∴S△FGM+S△FEM＜S△FGH+S△FEH，
∴S△FGM+S△FEM S 矩形 AHFD S 矩形 BHFC，
∴S△EFG ；
（3）解：能用矩形纸片 ABCD 裁剪出等腰三角形，理由如下：
由（1），（2）可知：当面积等于矩形面积的一半时，三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，当三个顶
点与矩形顶点重合时，三角形不是等腰三角形，不符合题意；
当两个顶点与矩形顶点重合时，分两种情况：
①矩形的一边为等腰三角形的底边，
（Ⅰ）当 AB 为底边时，如图 3，作 AB 边的垂直平分线交 CD 于 E，交 AB 于 F，
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝6cm，
∴DE CD＝4cm，
在 Rt△AED 中，由勾股定理得：AE 2 （cm），
（Ⅱ）当 AD 为底边时，如图 4，作 AD 边的垂直平分线交 BC 于 E，交 AD 于 F，
∴BE BC＝3cm，
在 Rt△AEB 中，由勾股定理得：
AE （cm），
②矩形的一边为等腰三角形的腰，如图 5，以 A 为圆心、AB 为半径作圆弧交 CD 于点 E，
则 AB＝AE＝8（cm），
综上所述，等腰三角形的腰长是 2 cm 或 cm 或 8cm．
26．(共 13 分，3+6+4)解：（1）∵直线 l1：y＝ x+5 经过点 D（2，t），
∴t＝ 2+5＝3，
∴D（2，3），
设直线 l2的解析式为 y＝kx+b，把 C（0， 1），D（2，3）代入，
得： ，
解得： ，
∴直线 l2的解析式为 y＝2x 1；
（2）设 P（t， t+5），则 Q（t，2t 1），G（t，0），
∴PG＝| t+5|，GQ＝|2t 1|，
∵S△PCG＝2S△QCG，
∴ | t+5|×|t|＝2 |2t 1|×|t|，
解得：t＝ 1 或 t ，
∴P 点的坐标为（ 1，6）或（ ， ）；
（3）点 Q 的坐标为（3，5）或（ 6， 13）或（6，11）或（ ，2）．

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