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1. 常量与变量
叫变量，
叫常量.
数值发生变化的量
数值始终不变的量
一般地，设在一个变化过程中有两个变量 x ， y，如果对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
一、函数
2.函数定义：
3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
列表法
解析法
图象法
5.函数的三种表示方法：
4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线
一次函数 一般地，如果y ＝ kx＋b (k、b 是常数，k ≠ 0)，那么 y 叫做 x 的一次函数.
正比例函数 特别地，当 b＝____时，一次函数
y ＝ kx＋b变为 y＝ _____(k为常数，k ≠ 0)，这时 y 叫做 x 的正比例函数.
0
kx
二、一次函数
1.一次函数与正比例函数的概念
2.分段函数
当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数.
函数 字母系数取值
(k＞0 ) 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx + b
(k ≠ 0) b＞0 y 随 x 增大而
增大
b=0
b＜0
第一、三象限
第一、二、三象限
第一、三、四象限
3.一次函数的图象与性质
函数 字母系数取值
(k＜0 ) 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx+b
(k ≠ 0)
b＞0 y 随 x增大而
减小
b＝0
b＜0
第一、二、
四象限
第二、四象限
第二、三、
四象限
求一次函数解析式的一般步骤：
（1）先设出函数解析式；
（2）根据条件列关于待定系数的方程（组）；
（3）解方程（组）求出解析式中未知的系数；
（4）把求出的系数代入设的解析式，从而具体写出这个解析式.这种求解析式的方法叫待定系数法.
4.用待定系数法求一次函数的解析式
求 ax + b = 0 (a，b 是
常数，a ≠ 0)的解．
x 为何值时，函数
y = ax + b 的值为 0？
从“数”的角度看
求 ax + b = 0 (a，b 是
　 常数，a ≠ 0) 的解．
　求直线 y = ax + b 与
x 轴交点的横坐标．
从“形”的角度看
(1)一次函数与一元一次方程
5.一次函数与方程、不等式
解不等式 ax+b＞0
(a，b是常数，a ≠ 0) ．
　x 为何值时，函数
　y = ax + b 的值大于 0？
解不等式 ax + b＞0
(a，b 是常数，a ≠ 0) ．
求直线 y = ax + b 在
x 轴上方的部分
(射线)所对应的横坐
标的取值范围．
从“数”的角度看
从“形”的角度看
(2)一次函数与一元一次不等式
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y = kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
(3)一次函数与二元一次方程组
方程组的解 对应两条直线交点的坐标.
利用图象法解二元一次方程组的一般步骤：
①两个方程分别转化为一次函数
②在同一坐标系中画出两个函数图象
③找出图象交点坐标
④写出方程组的解
考点一 函数的有关概念及图象
例1 王大爷饭后出去散步，从家中走 20 分钟到离家 900 米的公园，与朋友聊天 10 分钟后，用 15 分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家时间 x（分钟）与离家距离 y（米）之间的关系是（ ）
A
B
C
D
【分析】对四个图依次进行分析，符合题意者即为所求．
【答案】D
D
O
O
O
O
利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数问题的相应解决．
方法总结
针对训练
1.下列变量间的关系不是函数关系的是（ ）
A. 长方形的宽一定，其长与面积
B. 正方形的周长与面积
C. 等腰三角形的底边长与面积
D. 圆的周长与半径
C
2.函数 中，自变量 x 的取值范围是（ ）
A. x＞3 B. x＜3 C. x≤3 D. x≥-3
B
3.星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程 y（千米）和所用的时间 x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（ ）
A.小强从家到公共汽车站步行了 2 千米
B.小强在公共汽车站等小明用了 10 分钟
C.公交车的平均速度是 34 千米/时
D.小强乘公交车用了 30 分钟
C
x(分)
y(千米)
考点二 一次函数的图象与性质
例2 已知函数 y = (2m+1) x + m﹣3；
(1)若该函数是正比例函数，求 m 的值；
(2)若函数的图象平行直线 y = 3x﹣3，求 m 的值；
(3)若这个函数是一次函数，且 y 随着 x 的增大而减小，求 m 的取值范围；
(4)若这个函数图象过点（1，4），求这个函数的解析式.
【分析】(1)由函数是正比例函数得 m-3=0且2m+1≠0；(2)由两直线平行得 2m+1=3；(3)一次函数中 y 随着 x 的增大而减小，即 2m+1＜0；(4)代入该点坐标即可求解.
解：(1)∵函数是正比例函数，∴m﹣3 = 0，且 2m + 1 ≠ 0，
解得 m = 3.
(2)∵函数的图象平行于直线 y = 3x﹣3，∴2m + 1 = 3，
解得 m = 1.
(3)∵y 随着 x 的增大而减小，∴2m + 1＜0，解得 m＜ ．
(4)∵该函数图象过点(1，4)，代入得 2m + 1 + m - 3 = 4， 解得 m = 2，∴该函数的解析式为 y = 5x - 1.
一次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标就是 y = kx + b 中 b 的值；两条直线平行，其函数解析式中的自变量系数 k 相等；当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小.
方法总结
针对训练
4.一次函数 y = -5x + 2 的图象不经过第______象限.
5.点（-1，y1），（2，y2）是直线 y = 2x + 1上两点，则 y1____y2.
三
＜
6.填空题：
有下列函数：①　　　　 ，②　　 ，③ ，④ . 其中函数图象过原点的是_____；函数 y
随 x 的增大而增大的是________；函数 y 随 x 的增大而减小的是_____；图象在第一、二、三象限的是______.
②
③
①②③
④
x
y
2
=
考点三 一次函数与方程、不等式
例3 如图，一次函数 y1 = x + b 与一次函数 y2 = kx + 4 的图象交于点 P（1，3），则关于 x 的不等式 x + b＞kx + 4 的解集是（ ）
y
x
O
y1=x+b
y2=kx+4
P
A．x＞﹣2 B．x＞0
C．x＞1 D．x＜1
1
3
C
【分析】观察图象，两图象交点为
P(1，3)，当 x＞1 时，y1 在 y2 上方，
据此解题即可.【答案】C．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看，就是寻求一次函数 y = ax + b 的值大于(或小于) 0 的自变量 x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 y = kx + b 在 x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标的取值范围.
方法总结
针对训练
7.方程 x + 2 = 0 的解就是函数 y = x + 2 的图象与（ ）
A. x 轴交点的横坐标 B. y 轴交点的横坐标
C. y 轴交点的纵坐标 D. 以上都不对
8.两个一次函数 y = -x + 5 和 y = -2x + 8 的图象的交点坐标是 _________.
A
(3，2)
(1)问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；(2)若搭配一个 A 种造型的成本是 800 元，搭配一个 B 种造型的成本是 960 元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
例4 为美化某市景，园林部门决定利用现有的 3490 盆甲种花卉和 2950 盆乙种花卉搭配 A、B 两种园艺造型共 50 个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个 A 种造型需甲种花卉 80 盆，乙种花卉 40 盆，搭配一个 B 种造型需甲种花卉 50 盆，乙种花卉 90 盆．
考点四 一次函数的应用
解：设搭配 A 种造型 x 个，则 B 种造型为 (50－x)个，
依题意，得
∴31≤x≤33.
∵x 是整数，x 可取 31，32，33，
∴可设计三种搭配方案：
①A 种园艺造型 31 个，B 种园艺造型 19 个；
②A 种园艺造型 32 个，B 种园艺造型 18 个；
③A 种园艺造型 33 个，B 种园艺造型 17 个．
解得
方案①需成本：31×800＋19×960＝43040(元)；
方案②需成本：32×800＋18×960＝42880(元)；
方案③需成本：33×800＋17×960＝42720(元)．
（2）方法一：
方法二：成本为
y＝800x＋960(50－x)＝－160x＋48000(31≤x≤33)．
根据一次函数的性质，-160＜0，y 随 x 的增大而减小，
故当 x ＝ 33 时，y 取得最小值，为
33×800＋17×960＝42720(元)．
即最低成本是 42720 元．
用一次函数解决实际问题，先理解清楚题意，把文字语言转化为数学语言，列出相应的不等式(方程)，若是方案选择问题，则要求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系，结合实际需求，选择最佳方案.
方法总结
9.李老师开车从甲地到相距 240 千米的乙地，如果油箱剩余油量 y (升)与行驶里程 x (千米)之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是多少升？
针对训练
解：设一次函数的解析式为 y＝kx＋35，
将(160，25)代入，得160k＋35＝25，
解得 k＝ ，
所以一次函数的解析式为 y＝ x＋35.
再将 x＝240 代入 y＝ x＋35，
得 y＝ ×240＋35＝20.
即到达乙地时油箱剩余油量是 20 升．
10.小星以 2 米/秒的速度起跑后，先匀速跑 5 秒，然后突然把速度提高 4 米/秒，又匀速跑 5 秒.试写出这段时间里他的跑步路程 s（单位：米）随跑步时间 x（单位：秒）变化的函数关系式，并画出函数图象.
解:依题意得
s={
2x
(0≤x≤5)
10 + 6(x-5)
(5＜x≤10)
10
0
s(米)
5
0
x(秒)
①
40
10
s(米)
10
5
x(秒)
②
x(秒）
s(米)
O
·
·
·
·
5
10
10
40
·
·
·
s =2x (0≤x≤5)
s= 10 + 6(x -5)
(5＜x≤10)
变
量
解析法
一次函数 y = kx + b (k，b 为常数，
且 k ≠ 0)，特例 y = kx (k 为常
数，且 k ≠ 0).
函
数
列表法
图象法
一次函数与一元一次
方程、一元一次不等式
一次函数与二
元一次方程
用待定系数法求一次函数的解析式
2. 根据已知条件列出关于k、b的方程组；
1. 设所求的一次函数解析式为y = kx+b；
3. 解方程，求出k、b；
4. 把求出的k，b代回解析式即可.
利用一次函数进行方案决策
②列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系
③结合实际需求，选择最佳方案
①从数学的角度分析问题，建立函数模型

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