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(共24张PPT)
能够完全重合的两个图形叫全等形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，
重合的角叫做对应角.
重合的边叫做对应边，
一、全等三角形的性质
B
C
E
F
如图，若△ABC≌△DEF，则其中
点 A 和 ，点 B 和 ，点 C 和 是对应顶点；
AB 和 ，BC 和 ，AC 和 是对应边；
∠A 和 ，∠B 和 ，∠C 和 是对应角.
A
D
点 D
点 E
点 F
DE
EF
DF
∠D
∠E
∠F
A
B
C
D
E
F
性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
如图，∵△ABC≌△DEF，
∴ AB = DE，BC = EF，AC = DF
( )，
∠A =∠D，∠B =∠E，∠C =∠F
( ).
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
应用格式：
用符号语言表示为：
在△ABC 与△DEF 中，
∴△ABC≌△DEF (SAS).
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
简记为“边角边”或“SAS”.
F
E
D
C
B
A
AC = DF，
∠C =∠F，
BC = EF，
二、三角形全等的判定方法
∠A =∠D ，
AB = DE，
∠B =∠E，
在△ABC 和△DEF 中，
∴△ABC≌△DEF (ASA).
2. 有两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
简记为“角边角”或“ASA”.
用符号语言表示为：
F
E
D
C
B
A
3. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 简记为“角角边”或“AAS”.
4. 三边分别相等的两个三角形全等.
简记为“边边边”或“SSS”.
A
B
C
在△ABC 和△ DEF 中，
∴△ABC≌△DEF (SSS).
AB = DE，
BC = EF，
CA = FD，
用符号语言表示为：
D
E
F
5. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
简记为“斜边、直角边”或“HL”.
A
B
C
D
E
F
注意：①分别相等；
②“HL”仅适用于直角三角形；
③书写格式应为：
在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
AB = DE，
AC = DF，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
考点一 全等三角形的性质
例1 如图，已知△ABC≌△DEF，请指出图中对应边和对应角.
A
B
C
F
D
E
DF
DE
EF
∠D
∠E
∠F
角
角
角
边
边
边
AC =
AB =
BC =
∠A =
∠B =
∠C =
【分析】根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”解题.
两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角；有对顶角的，两个对顶角一般是一对对应角；有公共边的，公共边一般是对应边；有公共角的，公共角一般是对应角.
方法总结
A
B
C
E
D
1. 如图，已知△ABC≌△AED，若 AB＝6，AC＝2，∠B＝25°，你还能说出△ADE 中其他角的大小和边的长度吗？
解：∵△ABC≌△AED，
　　 ∴∠E = ∠B = 25°
（全等三角形对应角相等），
AC = AD = 2，AB = AE = 6
（全等三角形对应边相等）.
针对训练
例2 已知∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC.
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB (已知)，
BC＝CB (公共边)，
∠ACB＝∠DBC (已知)，
证明：在△ABC 和△DCB 中，
∴△ABC≌△DCB (ASA).
B
C
A
D
分析：运用“两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等”进行判定．
考点二 全等三角形的判定
2. 已知△ABC 和△DEF，下列条件中，不能保证△ABC 和△DEF 全等的是 ( )
A. AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF
B. ∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF
C. AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D
D. AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F
D
针对训练
3. 如图，AB 与 CD 相交于点 O，OA = OB， 添加条件： ，可得△AOC≌△BOD，理由是 (添加一种合适的情况即可).
A
O
D
C
B
∠C =∠D
AAS
答案不唯一
考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用
例3 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，CE⊥AD 于点 G，交 AB 于点 E，EF∥BC 交 AC 于点 F.
求证：∠DEC =∠FEC.
A
B
C
D
F
E
G
分析：
欲证∠DEC =∠FEC
由平行线的性质转化为证明∠DEC =∠DCE
只需要证明△DEG≌△DCG
证明：∵ CE⊥AD，∴∠AGE =∠AGC = 90°.
在△AGE 和△AGC 中，
∠AGE =∠AGC，
AG = AG，
∠EAG =∠CAG，
∴△AGE≌△AGC (ASA).
∴ GE = GC.
∵ AD 平分∠BAC，∴∠EAG =∠CAG.
A
B
C
D
F
E
G
在△DGE 和△DGC 中，
EG = CG，
∠EGD =∠CGD，
DG = DG，
∴△DGE≌△DGC (SAS).
∴∠DEG = ∠DCG.
∵ EF∥BC，
∴∠FEC = ∠DCG.
∴∠DEC = ∠FEC.
A
B
C
D
F
E
G
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时需添加辅助线.
方法总结
4. 如图，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足为 B，C，OB = OC，那么∠BAO =∠CAO 吗？为什么？
O
C
B
A
解：∠BAO =∠CAO. 理由如下：
∵ OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠B =∠C = 90°.
在 Rt△ABO 和 Rt△ACO 中，
AO = AO，
OB = OC，
∴ Rt△ABO≌Rt△ACO (HL).
∴∠BAO =∠CAO.
针对训练
考点四 利用全等三角形解决实际问题
例4 如图，两根长均为 12 米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？
A
B
C
D
分析：将本题中的实际问题转化为数学问题就是证明 BD = CD. 由已知条件可知 AB = AC，AD⊥BC.
A
B
C
D
解：相等. 理由如下：
∵ AD⊥BC，
∴∠ADB =∠ADC = 90°.
在 Rt△ADB 和 Rt△ADC 中，
AD = AD，
AB = AC，
∴ Rt△ADB≌Rt△ADC (HL).
∴ BD = CD.
利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：
（1）先明确实际问题；
（2）根据实际抽象出几何图形；
（3）经过分析，找出证明途径；
（4）书写证明过程.
方法总结
针对训练
5. 如图，有一湖的湖岸在 A、B 之间呈一段圆弧状，A、B 间的距离不能直接测得．你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出 A、B 间的距离吗？
解：要测量 A、B 间的距离，可用如下方法：过点 B 作 AB 的垂线 BF，在 BF 上取两点 C、D，使 CD = BC，再作出 BD 的垂线 DE，使 A、C、E 在一条直线上.
在△ABC 和△EDC 中，
∠ACB =∠ECD，
CB = CD，
∠ABC =∠EDC，
∴△ABC≌△EDC（ASA）．
∴ BA = DE．
故测出 DE 的长就等于 A、B 间的距离．
C
D
E
F
全等
三角形
性质
基本性质和其他重要性质
判定
判定方法基本思路
作用
是证明两条线段相等和角相等的常用方法
寻找现有条件(包括图中隐含条件)
选定判定方法，证明准备条件

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