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安徽省合肥市第一中学2025届高三最后一卷数学试题
一、单选题
1．设复数满足为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．某数学学习兴趣小组8名同学，在一次数学素质拓展测试中的得分如下：.这8名同学成绩得分的第60百分位数是（ ）
A．131 B．132 C．133 D．134
3．设是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．椭圆和双曲线，双曲线的渐近线斜率小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，在上的投影向量为，则向量与夹角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上 下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，在平面直角坐标系中，的终边与正方形交于点，我们定义的类余弦值，类正弦值.则下面叙述正确的是（ ）
A．对任意的
B．对任意的
C．在区间上单调递增
D．对任意的
二、多选题
9．对于函数和，下列正确的有（ ）
A．与有相同零点
B．与有相同最大值
C．与有相同的最小正周期
D．与的图象有相同的对称轴
10．设函数有三个不同的零点，从小到大依次为，则（ ）
A．
B．函数的对称中心为
C．过引曲线的切线，有且仅有1条
D．若成等差数列，则
11．定义集合且，集合中元素的个数为.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．存在，使得成立
D．记表示不超过的最大整数，且，则.
三、填空题
12．已知展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数为 .
13．已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 .
14．在中，，则边的长为 .
四、解答题
15．已知数列满足：，设
（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
16．已知函数.
（1）设是的极值点，求在点处的切线方程；
（2）若，求实数的取值范围.
17．如图，在等腰梯形中，，点为的中点，现将该梯形中的沿线段折起，形成四棱锥，且直线与平面所成角的正弦值为.
（1）在四棱锥中，求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）求二面角的大小.
18．在直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）已知梯形的四个顶点都在曲线上，其中在第一象限（在的上方），在第二象限，且，线段交于点，记中点分别为.
（i）求证：；
（ii）若线段长度为3，梯形的面积为9，求线段与长度的比值.
19．合肥一中2025年元旦联欢会上一个抽奖游戏，主持人从编号为的个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人当然希望选中有奖品的箱子!假定你是抽奖人，不妨设你选择了号箱.在打开号箱之前，主持人先打开了另外个箱子中的一个空箱子.按游戏规定，主持人打开你的选择之外的空箱子，当你的选择之外有多个空箱子时，主持人随机选择其中一个打开.
（1）若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还是改选2号箱？试说明理由；
（2）若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选2号箱，还是改选其他号码的箱？试说明理由；
（3）切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一，其形式如下：设随机变量的期望和方差存在，则对任意的，有.若，设主持人打开箱的号码为随机变量，求的期望和方差，并验证随机变量满足切比雪夫不等式.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为；
则的共轭复数在复平面内对应的点坐标为，位于第四象限.
故选D.
2．【答案】C
【详解】因，则这8名同学成绩得分的第60百分位数是从小到大第5个数，即133.
故选C.
3．【答案】A
【详解】若，则或与互为异面直线，故A错误；
若，由面面平行的性质定理，可得，故B正确；
若，由线面垂直的性质，可得，故C正确；
若，则，
又因为是两个不同的平面，是两条不重合的直线，则，D选项正确；
故选A
4．【答案】B
【详解】因为双曲线的渐近线斜率小于，
所以，即，
设椭圆的焦距为，离心率为，
则，
可得.
故选B.
5．【答案】A
【详解】设向量与夹角为，因为在上的投影向量为，
即，解得，则，
设向量与夹角为，
则.
故选A.
6．【答案】C
【详解】直线可化为：，
令，得，所以直线过定点，
圆的圆心为，半径，
当时，有最小值，如图所示：
即圆心到直线的距离，
所以的最小值为.
故选C
7．【答案】A
【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、，
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、，
所以，，，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选A.
8．【答案】D
【详解】对于AB，当时，，，AB错误；
对于C，，C错误；
对于D，正方形关于直线对称，和的终边也关于直线对称，
则和的终边和正方形的交点也关于直线对称，所以，D正确.
故选D
9．【答案】BCD
【详解】令，解得：；令，解得：；
所以与零点不相同，故A错误；
与有相同最大值1，故B正确；
与与的最小正周期都是，
所以函数和最小正周期都为，故C正确；
与有相同的对称轴为，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】ABD
【详解】由，令，解得：或，
在上单调递增，在上单调递减.
对于A，若有3个零点，则，解得：，故A正确；
对于B，令，则，令，
令，得，又所以对称中心为，故B正确；
对于C，结合图象，过引曲线的切线有2条，故C错误；
对于D，
，
（*）
若成等差数列，则，则，
代入（*）得：，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】ABD
【详解】对于，
在不大于16的所有正整数中，即不能被3整除又不能被4整除的数有，
，故A正确；
因为在不大于的所有正整数中，
能被3整除的有个，被2整除的有个，被6整除的有个，
所以，故B正确
若，则，即，
，，
等式左边为奇数，右边为偶数，矛盾，
故不存在，使得成立；故C错误；
当时，
当时，，
所以当时，，
所以当时，，则，故D正确.
故选ABD
12．【答案】
【详解】展开式中二项式系数之和为，解得，
展开式的通项为，，
当时，，所以的系数为.
13．【答案】
【详解】是椭圆的两个焦点，点在上，，
所以，
当且仅当时，取等号，
所以的最小值为.
14．【答案】
【详解】由正弦定理可知：，所以，又，
所以，
又，所以，
故，
由余弦定理可得：，则（负值舍）.
15．【答案】（1）证明见解析，
（2）
【详解】（1）
即
所以数列为等差数列，首项为1，公差为2.
∴，
∴，
（2）
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
由是的极值点，得，解得，
，函数在上单调递增，
当时，；当时，，则是的极小值点，，
，
所以在点处的切线方程：.
（2）不等式，
设，求导得，设，函数在上单调递减，且，
则当时，，即；当时，，即，
函数在上单调递增，在上单调递减，，因此，
所以实数的取值范围是.
17．【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【详解】（1）在等腰梯形中，连，则四边形为菱形，
连交于，则，
在四棱锥中，且都在平面内，
平面，，则平面，
由平面，故；
（2）设直线与平面所成角的大小为，点到平面的距离为，
则，且，所以，
由平面平面，则平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离，距离为；
（3）由（1）知平面且平面，所以平面平面，
平面平面，过在平面内作垂直于，垂足为，
平面，所以，
在中，，所以为中点，易知，
所以，而，
所以二面角的平面角为，大小为.
18．【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）2
【详解】（1）因为点到点的距离等于点到直线的距离，
根据抛物线的定义可知，动点的轨迹为抛物线，其中为焦点，直线为准线，
所以点的轨迹为曲线的方程为
（2）
（i）证明：由可知，，又因为在的上方
则，所以，
由中点为，可得
同理，又
所以：
（ii）设直线的方程为：
联立，消去得：
所以
同理，，所以，则直线轴
则直线得方程为，代入抛物线可得：
由（i）可知，，
又
所以
解得：
即线段与长度的比值2
19．【答案】（1）改选2号箱，理由见解析
（2）改选2号 3号以外的箱，理由见解析
（3），，验证见解析
【详解】（1）用分别表示1，2，3号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开号箱子.
如上所述，你初次选择了1号箱.因为你在做选择时不知道奖品在哪个箱子里，
你的选择不影响奖品在三个箱子中的概率分配，所以事件的概率仍为，此为先验概率.
主持人打开1号箱之外的一个空箱子，有以下几种可能情况：
奖品在1号箱里，主持人可打开2，3号箱，故；
奖品在2号箱里，主持人只能打开3号箱，故；
奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱，故.
利用全概率公式，主持人打开3号箱的概率为
.
再根据贝叶斯公式，在3号箱打开的条件下，1号箱和2号箱里有奖品的条件概率分别为
所以改选2号箱，因为这样会增加中奖的概率；
（2）用分别表示i号箱子里有奖品，则，
用分别表示主持人打开i号箱子，
则，
则.
所以
所以改选2号 3号以外的箱，因为这样会增加中奖的概率；
（3）用分别表示i号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开i号箱子，
则，
，
，则当时，
，
所以，
对任意的，，
记分别为大于的最小整数和小于的最大整数，
则，
所以，
所以，
令，
则当时，单调递增；
当时，单调递减，所以.
所以，
下面证明，
即证明，
因为，
所以，
即当时，，即.
当时，.
此时，当时，；
当时，.
当时，.
此时，当时，；
当时，.
综上所述，成立.

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