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山东省潍坊市2025届高三下学期5月高考模拟考试数学试题
一、单选题
1．集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则（ ）
A．6 B．2 C． D．
3．已知，则（ ）
A．1 B． C． D．2
4．已知，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线与圆交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则（ ）
A． B．2 C． D．4
6．已知圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆O的半径为2，点分别在上、下底面圆周上，且，则与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．某拱培店制作了6种面包、5种蛋糕，现从中选取两种面包和一种蛋糕搭配成套餐售卖，若必须搭配在一起，不能搭配在一起，则不同的搭配方案共有（ ）
A．16种 B．24种 C．32种 D．48种
8．已知数列中，，则（ ）
A． B． C． D．无法判断大小
二、多选题
9．已知一组数据如下：2，3，4，4，7，则下列说法中正确的是（ ）
A．这组数据的极差为5 B．这组数据的方差为2.5
C．这组数据的众数等于平均数 D．这组数据的第40百分位数为3.5
10．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点（M在第四象限），l为C的准线，则（ ）
A．l的方程为 B． C．以为直径的圆与l相交 D．为钝角三角形
11．在棱长为2的正方体中，点E为正方形内的动点（包含边界），点F为的中点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．若，则动点E的轨迹长度为
C．若点E在线段上（不包含端点），则四棱锥存在外接球
D．若点E为的中点，则过三点的平面与该正方体的截面周长为
三、填空题
12．已知是等差数列的前项和，若，则 ．
13．已知函数是奇函数，则函数的零点个数为 ．
14．一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b．若事件“”发生的概率为，则事件“”发生的概率为 ．
四、解答题
15．如图，直四棱柱中，．
（1）若，证明：平面；
（2）若，且，求平面与平面的夹角的余弦值．
16．记的内角A，B，C的对边分别为．点D在上，且，
（1）判断的形状；
（2）若四边形满足，求四边形面积的最大值．
17．已知函数．
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）若在区间上有零点，求实数a的取值范围．
18．已知双曲线左、右顶点分别为，过点的直线l交C于P，Q两点．
（1）若C的一条渐近线方程为，求C的方程；
（2）连接并延长交C于点R．
①设点P在第一象限，若，求点P的坐标；
②若，求b的取值范围，
19．对于有限正整数数列Q：，若存在连续子列和符号序列，使得，其中，则称数列Q存在平衡连续子列．
（1）写出数列2，1，2，3的一个平衡连续子列；
（2）设对任意正整数i，定义函数为满足的非负整数v，其中u为奇数，令．证明：数列不存在平衡连续子列；
（3）设数列Q的每一项均为不大于的正整数，证明：当时，Q存在平衡连续子列．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由，
则.
故选B.
2．【答案】C
【详解】由，则，解得.
故选C.
3．【答案】B
【详解】由可得：，
所以，
故选B.
4．【答案】D
【详解】因为，所以，
所以.所以.
对函数求导得，.
要求函数的单调递增区间，令，因为，
所以.
所以函数的单调递增区间为.
故选D.
5．【答案】C
【详解】由题可知，圆心到直线的距离，圆的半径，
所以，
设过垂直于的直线分别为，过点作，垂足为，则，
因为直线的倾斜角为，所以为等腰直角三角形，
所以，
故选C．

6．【答案】A
【详解】如图，不妨设位置如图，
以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，
在底面圆中，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
所以，
设异面直线与成的角为，
则.
故选A
7．【答案】C
【详解】 情况一：被选中.
此时面包的选择已经确定，只需从5种蛋糕中选择1种.
此种情况下搭配方案有种.
情况二：不被选中.
因为要选两种面包，且不选，所以只能从除外的4种面包中选2种，
又因为与不能搭配在一起，当选择的面包中有时（此时另一种面包从中选1种，有种选法 ），蛋糕不能选，那么蛋糕有4种选法；
当选择的面包中没有时（即从中选2种，有种选法 ），蛋糕有5种选法.
这种情况下的搭配方案数为种.
将两种情况的方案数相加，总的搭配方案数为种.
故选C.
8．【答案】B
【详解】由，得，
，所以，
所以，
所以.
故选B
9．【答案】ACD
【详解】对于A，这组数据的极差为，故A正确；
对于B，这组数据的平均数为，这组数据的方差为，故B错误；
对于C，这组数据的平均数为，这组数据中出现次数最多的数是4，所以这组数据的众数为4，故C正确；
对于D，因为，所以这组数据的第40百分位数是第2个数和第3个数的平均数：3.5，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】ABD
【详解】对于选项A：由直线，可得当时，，
所以抛物线的焦点为，准线方程，故A正确；
对于选项B：由,可得，
解得或，所以，故选项B正确；
对于选项C：由上述分析可知，
所以的中点，其到准线的距离为,
所以以为直径的圆与相切，故选项C错误；
对于选项D：，，
而，，
所以，所以是钝角三角形.，故选项D正确；
故选ABD．
11．【答案】ABD
【详解】对于A，因为点E为正方形内的动点（包含边界），
所以点E到平面的距离为，
所以为定值，故A正确；
对于B，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
所以，
设，，
则，
因为，所以，则，
又，所以点E的轨迹为线段，
则动点E的轨迹长度为，故B正确；
对于C，假设四棱锥存在外接球，
则在平面内存在一点，使得外接球的球心在过点垂直于平面的直线上，
且点到四点的距离相等，
由于，所以点为的中点，
要使点到四点的距离相等，
则，此时位于点的位置，
而点E在线段上（不包含端点），故C错误；
对于D，延长直线交于点，交于点，
连接交于点，连接交于点，连接，
则五边形为过三点的平面与正方体的截面，
因为，所以，则，
又，所以，则，，
又，，所以，，
同理可得，，又，
所以五边形的周长为，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】由等差数列片段和的性质知：成等差数列，
所以，
则.
13．【答案】2
【详解】设，则，有，
因为是奇函数，所以，
可得，
当时，，解得(舍),
当时，，解得,
综上有两个零点.
14．【答案】
【详解】设掷出点数为1，2，3，4，5，6点的概率依次为，则，
又事件“”为所得点数是，
其发生的概率为，
即，代入得，
事件“”即为所得点数是，
其概率为，
所以.
15．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）因为，
所以，即，
又，则，，，
又在直四棱柱中，平面，
且平面，
所以，
又平面，
所以平面.
（2）由题知，若，且，
所以，
以为原点，所在直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
则，，
解得，，
取，
则，
令平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
16．【答案】（1）等腰直角三角形
（2）3
【详解】（1）
，解得，
又，所以，在和中，
，，两式相除得，
又，所以，
即，，所以为等腰直角三角形.
（2）
由（1）知为等腰直角三角形，，，
又，所以，
又，所以是以AC为斜边的直角三角形，
（当时取等），
，又，
所以四边形面积的最大值为3.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1），，
，，
所以在点处的切线方程为．
（2）在区间上有零点，则在上有解，
设，则，
因为，所以，所以在单调递减，
当时，，
当时，，当时，
所以，所以．
18．【答案】（1）
（2）①；②
【详解】（1）解：由双曲线，可得，
因为双曲线的一条渐近线方程为，可得，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）解：①当时，双曲线的方程为，
根据双曲线的对称，可得，
所以，所以，所以，
设，则，
又由方程组，解得，
所以，可得，
②由双曲线，可得，
当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，
设直线的方程为，
设点，由的延长线交双曲线与点，
根据双曲线的对称性，可得，
联立方程组，整理得，
显然二次项系数，其中，
所以，
则，
所以，
因为在直线上，则，
即，
即，
将代入，
即，可得，
所以，代入，可得，所以，
且，解得，
又因为，则，所以，
所以实数的取值范围为.
19．【答案】（1）1，2，3或2，1，2，3，
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【详解】（1）因为，
，
所以数列2，1，2，3的平衡连续子列为1，2，3或2，1，2，3，
（2）因为1，3，5，7是奇数，故，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以数列Q:4，2，4，1，4，2，4.
因为，，
所以与奇偶性相同，
当或时，因为中，为奇数，其余各项均为偶数，
所以为奇数，所以，
当取时，
当时，，
因为是奇数，故是奇数，所以．
当时，，
因为是奇数，故是奇数，所以，
当时，，
因为是奇数，故是奇数，所以，
当时，，
因为是奇数，故是奇数，所以，
当时，，
因为是奇数，故是奇数，所以，
当时，，
因为是奇数，故是奇数，所以，
综上，数列不存在平衡连续子列，
（3）设，，
则是整数数列．
下面证明对任意，均有，
显然满足．
假设结论不成立，则存在，使得或，
且当时都有．
（i）若，
当时，，
因为，所以，矛盾，
当时，，
因为，所以，矛盾，
（ii）若，
当时，，
因为，所以，矛盾，
当时，，
因为，所以，
又是整数，所以，矛盾；
综上，对任意，均有，
若存在，使得，
则存在且，使得，
此时数列Q存在平衡连续子列，
若任意，，
因为中共个非零整数，
当时，数列中存在且，使得，
从而存在，使得，
此时数列Q存在平衡连续子列，
综上，当时，Q存在平衡连续子列

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