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浙江省宁波市慈溪市慈溪实验中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷
1．（2025八下·慈溪期中） 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形由多个弧线组成， 既是轴对称图形又是中心对称图形 ，符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形 ，不符合题意；
C、此选项中的图形虽然是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．（2025八下·慈溪期中）用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角，应先假设（　　）
A．等腰三角形的顶角为锐角 B．等腰三角形的底角不为锐角
C．等腰三角形的底角为钝角 D．等腰三角形的顶角不为锐角
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角，应先假设等腰三角形的底角不为锐角.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明一个命题，首先否定原命题的结论，即假设原命题结论的反面成立，然后给予反设进行逻辑推理，结合已知条件、公理或定理，逐步推出矛盾，最后通过矛盾证明假设不成立，从而间接验证原结论正确，据此求解即可.
3．（2025八下·慈溪期中）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：原数据的平均数为，
新数据的平均数为，
原数据的方差为，
新数据的方差为，
∴平均数变大，方差变小．
故答案为：C．
【分析】由题意，分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，再进行比较大小即可判断求解．
4．（2025八下·慈溪期中） 反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，当时，y随x的增大而增大，
∴m+3＜0
解得m＜-3.
故答案为：C.
【分析】对于反比例函数“(k为常数，且k≠0)”中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此列出不等式，求解即可.
5．（2025八下·慈溪期中） 对于二次函数y=（x-1）2+2的图象；下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是x=-1
C．顶点坐标是（-1，2） D．当x<1时，y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：解：∵二次函数y=（x-1）2+2，a=1>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，故A、B、C三个选项都错误，不符合题意；D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】对于抛物线“y=a(x-h)2+k”对称轴直线为x=h，顶点坐标为(h，k)，当a＞0时，图象开口向上，x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；当a＜0时，图象开口向下，x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，据此结合题意，逐一判断得出答案.
6．（2025八下·慈溪期中） 能使等式 成立的 x 的取值范围是（　　）
A． B． 且
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x＞2.
故答案为：D.
【分析】根据“”列出不等式组，求解即可.
7．（2025八下·慈溪期中）下列说法中不正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．正方形的四条边都相等
【答案】A
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、由于等腰梯形的对角线就相等，所以 对角线相等的四边形不一定是矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，故此选项不正确，符合题意；
B、菱形是轴对称图形，对称轴是它的两条对角线所在的直线；菱形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，故此选项正确，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意；
D、 正方形的四条边都相等，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用举特例的方法可判断A选项；根据菱形的性质可判断B选项；根据菱形的判定定理可判断C选项；根据正方形的性质可判断D选项.
8．（2025八下·慈溪期中） 已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实根 D．不确定
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ 方程，
∴△=（a+b)2-4c×=（a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c)，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，
∴△＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
故答案为：C.
【分析】先计算原一元二次方程根的判别式的值为△=(a+b+c)(a+b-c)，结合三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”判断出a+b+c＞0，a+b-c＞0，从而根据有理数乘法法则得出△＞0，最后根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，可直接得出结论.
9．（2025八下·慈溪期中） 如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E， F为边AD，CD上的动点，且AE=CF，连接BF，CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE 的最小值为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图， 作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于H，连接BG、BE、EG
则CG⊥AD，CH=GH，CE=CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠A=∠BCD，AB=BC，
∴CG⊥BC，
∵S菱形ABCD=AD×CH，
∴8CH=60，
∴CH=，
∴CG=2CH=15，
∴，
在△ABE与△CBF中，∵AB=BC，∠A=∠BCD，AE=CF，
∴△ABE≌△CBF，
∴BE=BF，
∴BF+CE=BE+CE=BE+EG≥BG，
∴当点E在线段BG上时，BE+CE值最小为17，即BF+CE的最小值为17.
故答案为：C.
【分析】 作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于H，连接BG、BE、EG ，由轴对称的性质得CG⊥AD，CH=GH，CE=CG，由菱形的性质得AD∥BC，∠A=∠BCD，AB=BC，由平行线的性质推出CG⊥BC，根据菱形的面积计算公式建立方程求出CH的长，从而得到CG的长，再根据勾股定理算出BG的长；然后利用SAS判断出△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等得BE=BF，从而可得BF+CE=BE+EG≥BG，进而根据两点之间线段最短即可得出当点E在线段BG上时，BE+CE值最小为BG，即可得出答案.
10．（2025八下·慈溪期中） 如图，裁剪出一正方形纸片ABCD，若，且E为BC的中点，将沿着AE所在直线折叠，使点B落在正方形内点F处，连接CF，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接BF交AE于点G，
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AB=BC=4，∠ABC=90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=BC=2，
∴；
由折叠可得BE=EF，AE⊥EF，BG=GF=BF，
∵S△ABE=AB×BE=AE×BG，
∴4×2=×BG
∴BG=，
∴BF=2BG=，
∵BE=EF=EC，
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF，
∵∠EBF+∠EFB+∠EFC+∠ECF=180°，
∴2（∠EFB+∠EFC）=180°，
∴∠EFB+∠EFC=∠BFC=90°，
∴△BFC是直角三角形，
∴，
∴S△BCF=，
∵点E是BC的中点，
∴S△CEF=S△BCF=.
故答案为：C.
【分析】连接BF交AE于点G，由正方形性质得AB=BC=4，∠ABC=90°，从而可利用勾股定理算出AE的长，由折叠性质可得BE=EF，AE⊥EF，BG=GF=BF，由等面积法求出BG的长，从而可得BF的长，由等边对等角及三角形内角和定理可得∠BFC=90°，从而利用勾股定理算出CF的长，由三角形面积计算公式算出△BCF的面积，最后根据等底同高三角形面积相等求出△CEF的面积.
11．（2025八下·慈溪期中）当 时，二次根式 的值是　 　.
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】把x=3代入二次根式，可得 .
故答案为：2
【分析】把x=3代入到二次根式中然后求出算术平方根即可.
12．（2025八下·慈溪期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
13．（2025八下·慈溪期中） 如图，点A是反比例函数图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B. 的面积为8，若点P（a，7）也在此函数的图象上，则a=　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：由题意可得S△OAB==8，
∴|k|=16，
又∵反比例函数图象经过第一象限，
∴k＞0，
∴k=16，
∴反比例函数的解析式为，
把P(a，7)代入得，
∴.
故答案为：.
【分析】根据反比例函数“k”得几何意义可得S△OAB==8，然后结合反比例函数图象经过第一象限得出k=16，从而得到反比例函数的解析式，然后将点P的坐标代入所求的反比例函数的解析式即可算出a的值.
14．（2025八下·慈溪期中）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠ACB的度数为　 　.
【答案】31.5°
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴∠CAB=360°-∠CAD-∠BAD=117°
又∵AB=AC=AD，
∴∠ACB=∠ABC=
故答案为：31.5°.
【分析】正n边形的内角和为(n-2)×180°，每一个内角的度数为，据此算出∠CAD与∠BAD的度数，进而根据周角定义求出∠CAB的度数，然后根据三角形的内角和定理及等边对等角可求出∠ACB的度数.
15．（2025八下·慈溪期中）如图，抛物线与平行于x轴的直线l交于A，B两点，若AB=3，则点B的纵坐标为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为，
设直线l为y=a（），
则，
解得，
∴，，
∵AB=3，
∴，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】由抛物线的解析式得出其顶点坐标，从而设l为y=a（），联立直线l与抛物线的解析式求解可得点A、B的坐标，然后根据平面内两点间的距离公式并结合AB=3建立方程可求出a的值.
16．（2025八下·慈溪期中）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60° 点G、E、F分别是 BD、AB、AD上的点，若 GE+GF=3，则AE+AF的值是　 　.
【答案】
【知识点】平行线之间的距离；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过点A作AM⊥BC于M，在BC上截取BK = BE，连接GK，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，BC=BA，BC∥AD，
∵BG=BG，
∴△BGK≌△BGE(SAS)，
∴GK=GE，∠BEG=∠BKG
∵GF+GE=3，
∴GF+GK=3，
∵∠ABC=60°，BC=BA，
∴△ABC是等边三角形，
∵AM⊥BC，
∴BM=，
∴，
∴GF+GK=AM，
∴F、G、K三点共线，且FK⊥BC，
∴∠BEG=∠BKG=90°，
∵AD∥BC，
∴∠GFD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠GBE=∠GDF=∠ABC=30°，AB=AD=，
∴BE=，DF=，
∴BE+DF=，
∴AE+AF=BA+AD-(BE+DF)=
故答案为：.
【分析】连接AC，过点A作AM⊥BC于M，在BC上截取BK = BE，连接GK，由菱形的性质得∠ABD=∠CBD，BC=BA，BC∥AD，从而可用SAS判断出△BGK≌△BGE，得GK=GE，∠BEG=∠BKG；由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，由等腰三角形的三线合一得BM=，由勾股定理算出AM=3，从而可得GF+GK=AM，根据平行线间的距离相等得F、G、K三点共线，且FK⊥BC，由菱形的每条对角线平分一组对角得∠GBE=∠GDF=∠ABC=30°，由含30°角直角三角形的性质得BE=，DF=，推出BE+DF=，最后根据线段和差即可算出答案.
17．（2025八下·慈溪期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）将各个二次根式分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据完全平方公式、平方差公式及二次根式的性质分别展开括号，再计算加减法运算即可.
18．（2025八下·慈溪期中）解下列方程：
（1）x2-7x+8=0：
（2）（x-4）2=2x-8.
【答案】（1）解：∵ x2-7x+8=0，中a=1，b=-7，c=8，
∴△=b2-4ac=(-7)2-4×1×8=17＞0，
∴，
∴，；
（2）解：∵(x-4)2=2x-8，
∴(x-4)2=2(x-4)，
∴(x-4)2-2(x-4)=0，
∴(x-4)(x-4-2)=0，
∴x-4=0或x-6=0，即(x-4)(x-6)=0，
解得x1=4，x2=6.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根即可；
（2）把“x-4”看成一个整体，将方程右边利用提取公因式分解后整体移到方程的左边，再将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
19．（2025八下·慈溪期中）近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕，为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI“信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90分以上（含90分）为优秀.
【信息整理】
信息1：
等级 A B C D
成绩 95≤x≤100 90≤x＜95 85≤x<90 x＜85
信息2：
信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94， 92，92，92，92，89，88，86，85；
八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，88，87，86.
【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 88 a 95 m%
八年级 88 89 b 35%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： a=　 　； b=　 　；m=　 　.
（2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人，
【答案】（1）87；89；40
（2）解：七年级学生对航天知识的了解情况更好，由表格可知，七年级学生对航天知识的了解的优秀率高于八年级学生对航天知识的了解的优秀率，所以七年级学生对航天知识的了解情况更好；
（3）解：由题意可得， 420×40%+580×35%=168+203=371(人)，
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有371人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） 七年级抽取20名学生， 中位数为第10和第11个数的平均值；成绩按等级分组，其中A组3人，B则5人，C组4人，而C组4为同学的成绩分别为 89，88，86，85 ，∴a=(86+88)÷2=87，
八年级C组成绩为89（出现4次）、88（2次）、87、86各一次，其他组数据未明确，故b=89；
m=(3+5)÷20×100%=40% ，
故答案为：87，89，40；
【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此根据统计图表提供的信息，可求出a、b的值；进而利用优秀的人数除以调查的总人数即可求出优秀率；
（2）根据统计表提供的数据，可以从众数、优秀率等方面来说明；
（3）分别用该校七年级与八年级的学生总人数乘以样本中七年级、八年级学生竞赛成绩的优秀率得出该校七年级与八年级竞赛成绩优秀的学生数，再求和即可.
20．（2025八下·慈溪期中）二次函数y=ax2-2ax -3（a≠0）的图象经过点A.
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当点A坐标为（-1， 0）时，
①求出此时二次函数的表达式；
②求出此时函数图象与直线y=x+1的交点坐标。
【答案】（1）解：∵ 二次函数y=ax2-2ax -3（a≠0） 中，二次项系数为a，一次项系数为-2a，
∴该函数的对称轴直线为：；
（2）解：①∵ 二次函数y=ax2-2ax -3（a≠0）的图象经过点A ，
∴将点A（-1，0）代入二次函数y=ax2-2ax -3得a+2a-3=0，解得a=1，
∴二次函数的解析式为y=x2-2x -3；
②解，
得，，
∴二次函数与直线的交点坐标为（4，5）和（-1，0）.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴直线公式“”直接计算即可；
（2）①将点A（-1，0）代入二次函数y=ax2-2ax -3可求出a的值，从而即可得到二次函数的解析式；
②联立二次函数与直线的解析式，求解即可得出两函数交点的坐标.
21．（2025八下·慈溪期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=10，BD=6，AB=4.
（1）求证：AB⊥BD；
（2）E，F分别是AD和BC的中点，连接BE，DF，求证：四边形BEDF是菱形.
【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=10，BD=6，
∴AO=CO=5，BO=DO=3.
∵AB=4，
∴32+42=52，即BO2+AB2=AO2，
∴△ABO为直角三角形，∠ABD=90°，
∴AB⊥BD.
（2）解：由（1）知△ABO为直角三角形.
∵E，F分别是AD和BC的中点，
∴BE=DE=AE，BF=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵BE=DE，
∴平行四边形BEDF是菱形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得AO=CO=5，BO=DO=3，然后根据勾股定理的逆定理判断出△ABO=90°，且∠ABD=90°，从而即可得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BE=DE=AD，由中点定义得BF=CF=BC，由平行四边形的对边平行且相等得BC=AD，BC∥AD，则BF=DE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形BEDF是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论.
22．（2025八下·慈溪期中）某市开展青少年机器人竞赛活动，某商家为本次比赛供应器材，因供过于求，还余20套器材需要进行零售，为了尽快减少库存，商家决定采取降价措施，原来每套器材的售价为100元，经过两次降价后每套器材的售价为81元，并且每次降价的百分率相同.
（1）求每次降价的百分率；
（2）若每套器材的进价为76元，通过以上两次降价的方式，将剩余的20套器材全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少套器材后方可进行第二次降价
【答案】（1）解： 设每次降价的百分率为x，由题意，
得100(1 x)2=81，
解得x1=0.1或x2=1.9（舍），
答： 每次降价的百分率为10％；
（2）解：第一次降价后售价为：100×(1 10%)=90元
利润为：90 76=14元/套
第二次降价后售价为81元，利润为：81 76=5元/套
设第一次降价至少售出m套，
由题意，得14m+5(20 m)≥200
解得，
∵m为整数，
∴m的最小值为12，
∴第一次降价至少售出12套器材后方可进行第二次降价.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可；
（2）根据原售价×（1-降价率）=新售价算出第一次降价后的售价，再根据售价-进价=利润分别求出第一次与第二次降价后每套器材的利润，然后根据每套器材的利润×销售数量=总利润及销售m套器材的利润+销售(20-m)套器材的利润不少于200元 建立不等式，求出其最小整数解即可.
23．（2025八下·慈溪期中）如图所示，一次函数y=-x+1与反比例函数y＝（×<0）的图象交于点A（-1，m），与y轴交于点B.
（1）求反比例函数的解析式：
（2）若点P是x轴上的一个动点，连接AP，BP，当AP+BP最小时，求点P的坐标。
【答案】（1）解：点A(-1，m)在一次函数y= x+1上，
∴m= ( 1)+1=2
∴点A坐标为(-1，2)，
∵点A(-1，2)在反比例函数 y＝上的图象上
∴，
解得k=-2，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：令y=-x+1中的x=0，得y=1，
∴B（0，1），
作点B关于x轴的对称点B'，则B'（0，-1），连接AB'交x轴于点P，该点就是使AP+BP的值最小的点，
设直线AB'为y=ax+b，
将点A(-1，2)与B'(0，-1)分别代入，得，
解得
∴直线AB'的解析式为y=-3x-1，
令y=-3x-1中的y=0，得x=，
∴P(，0).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特点，将点A(-1，m)代入一次函数y= x+1可得m=2，则A(-1，2)，再把A(-1，2)代入反比例函数 y＝算出k的值，即可得到反比例函数的解析式；
（2）令y=-x+1中的x=0，算出对应的函数值y=1，可得点B（0，1），作点B关于x轴的对称点B'，则B'（0，-1），连接AB'交x轴于点P，该点就是使AP+BP的值最小的点，利用那个待定系数法求出直线AB'的解析式，再令该解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，即可得到点P的坐标.
24．（2025八下·慈溪期中）已知，在正方形ABCD中，△ADE是一个等边三角形，点P在射线DE上运动且与直线AB上的两动点M，N（点M在N点左侧）构成等边三角形PMN.
（1）如图1， 当点M与A点重合时，求证： AE平分∠PAB：
（2）当点P 与点E重合时，若AD=2，求PN+AN；
（3）当点 P在直线 AB 下方时：
①如图2，试说明：PN+AN为定值；
②如图3， 若AM的中点为F点，连接EF，EN. 试探究S△BFN与S△ADE的数量关系.
【答案】（1）证明，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵△ADE与△PMN都是等边三角形，
∴∠DAE=∠PAN=60°，
∴∠BAE=∠DAP=∠BAD-∠DAE=30°，
∴∠PAE=∠BAD-∠BAE-∠DAP=30°，
∴∠BAE=∠PAE，
∴AE平分∠PAB；
（2）解：如图，
∵△ADE与△PMN都是等边三角形，
∴AE=AD=2，∠PAD=∠N=60°，
又∵ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠PAN=30°，
∴∠APN=180°-30°-60°=90°，
设PN=x，则AN=2x，
在Rt△APN中，，即，
解得x=
∴PN，AN=，
∴ PN+AN =；
（3）解：设射线DE与直线AB的交点为Q点，
①由题可得： ∠BAD =90°， ∠ADE=60°，∠MNP=60°，
∴∠AQD=30°，
∴QD=2AD，
是定值，
∵∠MNP=∠AQD+∠NPQ =60°，
∴∠NPQ=30°；
∴∠NPQ =∠Q；
∴PN=QN；
∵AQ=QN+AN；
∴PN+AN = AQ是定值.
理由： 由(2)①得： QN = PN在等边 中，
∵点F为AM中点，
Q，
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到∠BAD =90°，根据等边三角形的性质得到∠DAE=∠NAP =60°， 得到∠BAE=30°， 求得∠PAE=60°-30°=30°，根据角平分线的定义得到AE平分∠PAB；
（2）根据等边三角形的性质得到∠APN=90°，AE=AD=2，然后根据解直角三角形求出PN和AN的长计算解题.
（3）假设射线DE与直线AB的交点为Q点，①根据题意得到∠BAD=90°， ∠ADE=60°，∠MNP =60°， 求得∠AQD =30°， 得到PN+AN = AQ；
②由(2)①得：QN =PN根据等边三角形的性质得到MN= PN， 求得 由点F为AM中点，求得 得到 ，根据三角形的面积公式得到 ， 推出 于是得到结论.
1 / 1浙江省宁波市慈溪市慈溪实验中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷
1．（2025八下·慈溪期中） 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·慈溪期中）用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角，应先假设（　　）
A．等腰三角形的顶角为锐角 B．等腰三角形的底角不为锐角
C．等腰三角形的底角为钝角 D．等腰三角形的顶角不为锐角
3．（2025八下·慈溪期中）某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
4．（2025八下·慈溪期中） 反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·慈溪期中） 对于二次函数y=（x-1）2+2的图象；下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．对称轴是x=-1
C．顶点坐标是（-1，2） D．当x<1时，y随x的增大而减小
6．（2025八下·慈溪期中） 能使等式 成立的 x 的取值范围是（　　）
A． B． 且
C． D．
7．（2025八下·慈溪期中）下列说法中不正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．正方形的四条边都相等
8．（2025八下·慈溪期中） 已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（　　）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实根 D．不确定
9．（2025八下·慈溪期中） 如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E， F为边AD，CD上的动点，且AE=CF，连接BF，CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE 的最小值为（　　）
A．15 B．16 C．17 D．18
10．（2025八下·慈溪期中） 如图，裁剪出一正方形纸片ABCD，若，且E为BC的中点，将沿着AE所在直线折叠，使点B落在正方形内点F处，连接CF，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025八下·慈溪期中）当 时，二次根式 的值是　 　.
12．（2025八下·慈溪期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值为　 　．
13．（2025八下·慈溪期中） 如图，点A是反比例函数图象上的一点，AB垂直于x轴，垂足为B. 的面积为8，若点P（a，7）也在此函数的图象上，则a=　 　.
14．（2025八下·慈溪期中）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠ACB的度数为　 　.
15．（2025八下·慈溪期中）如图，抛物线与平行于x轴的直线l交于A，B两点，若AB=3，则点B的纵坐标为　 　.
16．（2025八下·慈溪期中）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60° 点G、E、F分别是 BD、AB、AD上的点，若 GE+GF=3，则AE+AF的值是　 　.
17．（2025八下·慈溪期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·慈溪期中）解下列方程：
（1）x2-7x+8=0：
（2）（x-4）2=2x-8.
19．（2025八下·慈溪期中）近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕，为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI“信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90分以上（含90分）为优秀.
【信息整理】
信息1：
等级 A B C D
成绩 95≤x≤100 90≤x＜95 85≤x<90 x＜85
信息2：
信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94， 92，92，92，92，89，88，86，85；
八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，88，87，86.
【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下：
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 88 a 95 m%
八年级 88 89 b 35%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： a=　 　； b=　 　；m=　 　.
（2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少人，
20．（2025八下·慈溪期中）二次函数y=ax2-2ax -3（a≠0）的图象经过点A.
（1）求二次函数的对称轴；
（2）当点A坐标为（-1， 0）时，
①求出此时二次函数的表达式；
②求出此时函数图象与直线y=x+1的交点坐标。
21．（2025八下·慈溪期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=10，BD=6，AB=4.
（1）求证：AB⊥BD；
（2）E，F分别是AD和BC的中点，连接BE，DF，求证：四边形BEDF是菱形.
22．（2025八下·慈溪期中）某市开展青少年机器人竞赛活动，某商家为本次比赛供应器材，因供过于求，还余20套器材需要进行零售，为了尽快减少库存，商家决定采取降价措施，原来每套器材的售价为100元，经过两次降价后每套器材的售价为81元，并且每次降价的百分率相同.
（1）求每次降价的百分率；
（2）若每套器材的进价为76元，通过以上两次降价的方式，将剩余的20套器材全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少套器材后方可进行第二次降价
23．（2025八下·慈溪期中）如图所示，一次函数y=-x+1与反比例函数y＝（×<0）的图象交于点A（-1，m），与y轴交于点B.
（1）求反比例函数的解析式：
（2）若点P是x轴上的一个动点，连接AP，BP，当AP+BP最小时，求点P的坐标。
24．（2025八下·慈溪期中）已知，在正方形ABCD中，△ADE是一个等边三角形，点P在射线DE上运动且与直线AB上的两动点M，N（点M在N点左侧）构成等边三角形PMN.
（1）如图1， 当点M与A点重合时，求证： AE平分∠PAB：
（2）当点P 与点E重合时，若AD=2，求PN+AN；
（3）当点 P在直线 AB 下方时：
①如图2，试说明：PN+AN为定值；
②如图3， 若AM的中点为F点，连接EF，EN. 试探究S△BFN与S△ADE的数量关系.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形由多个弧线组成， 既是轴对称图形又是中心对称图形 ，符合题意；
B、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形 ，不符合题意；
C、此选项中的图形虽然是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角，应先假设等腰三角形的底角不为锐角.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明一个命题，首先否定原命题的结论，即假设原命题结论的反面成立，然后给予反设进行逻辑推理，结合已知条件、公理或定理，逐步推出矛盾，最后通过矛盾证明假设不成立，从而间接验证原结论正确，据此求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：原数据的平均数为，
新数据的平均数为，
原数据的方差为，
新数据的方差为，
∴平均数变大，方差变小．
故答案为：C．
【分析】由题意，分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，再进行比较大小即可判断求解．
4．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，当时，y随x的增大而增大，
∴m+3＜0
解得m＜-3.
故答案为：C.
【分析】对于反比例函数“(k为常数，且k≠0)”中，当k＞0时，图象的两支分布在第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大，据此列出不等式，求解即可.
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：解：∵二次函数y=（x-1）2+2，a=1>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，故A、B、C三个选项都错误，不符合题意；D选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】对于抛物线“y=a(x-h)2+k”对称轴直线为x=h，顶点坐标为(h，k)，当a＞0时，图象开口向上，x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；当a＜0时，图象开口向下，x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，据此结合题意，逐一判断得出答案.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：由题意得，
解得x＞2.
故答案为：D.
【分析】根据“”列出不等式组，求解即可.
7．【答案】A
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、由于等腰梯形的对角线就相等，所以 对角线相等的四边形不一定是矩形，只有对角线相等的平行四边形才是矩形，故此选项不正确，符合题意；
B、菱形是轴对称图形，对称轴是它的两条对角线所在的直线；菱形也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，故此选项正确，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项正确，不符合题意；
D、 正方形的四条边都相等，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】利用举特例的方法可判断A选项；根据菱形的性质可判断B选项；根据菱形的判定定理可判断C选项；根据正方形的性质可判断D选项.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ 方程，
∴△=（a+b)2-4c×=（a+b)2-c2=(a+b+c)(a+b-c)，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，
∴△＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
故答案为：C.
【分析】先计算原一元二次方程根的判别式的值为△=(a+b+c)(a+b-c)，结合三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”判断出a+b+c＞0，a+b-c＞0，从而根据有理数乘法法则得出△＞0，最后根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，可直接得出结论.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图， 作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于H，连接BG、BE、EG
则CG⊥AD，CH=GH，CE=CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠A=∠BCD，AB=BC，
∴CG⊥BC，
∵S菱形ABCD=AD×CH，
∴8CH=60，
∴CH=，
∴CG=2CH=15，
∴，
在△ABE与△CBF中，∵AB=BC，∠A=∠BCD，AE=CF，
∴△ABE≌△CBF，
∴BE=BF，
∴BF+CE=BE+CE=BE+EG≥BG，
∴当点E在线段BG上时，BE+CE值最小为17，即BF+CE的最小值为17.
故答案为：C.
【分析】 作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于H，连接BG、BE、EG ，由轴对称的性质得CG⊥AD，CH=GH，CE=CG，由菱形的性质得AD∥BC，∠A=∠BCD，AB=BC，由平行线的性质推出CG⊥BC，根据菱形的面积计算公式建立方程求出CH的长，从而得到CG的长，再根据勾股定理算出BG的长；然后利用SAS判断出△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等得BE=BF，从而可得BF+CE=BE+EG≥BG，进而根据两点之间线段最短即可得出当点E在线段BG上时，BE+CE值最小为BG，即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接BF交AE于点G，
∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴AB=BC=4，∠ABC=90°，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=BC=2，
∴；
由折叠可得BE=EF，AE⊥EF，BG=GF=BF，
∵S△ABE=AB×BE=AE×BG，
∴4×2=×BG
∴BG=，
∴BF=2BG=，
∵BE=EF=EC，
∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF，
∵∠EBF+∠EFB+∠EFC+∠ECF=180°，
∴2（∠EFB+∠EFC）=180°，
∴∠EFB+∠EFC=∠BFC=90°，
∴△BFC是直角三角形，
∴，
∴S△BCF=，
∵点E是BC的中点，
∴S△CEF=S△BCF=.
故答案为：C.
【分析】连接BF交AE于点G，由正方形性质得AB=BC=4，∠ABC=90°，从而可利用勾股定理算出AE的长，由折叠性质可得BE=EF，AE⊥EF，BG=GF=BF，由等面积法求出BG的长，从而可得BF的长，由等边对等角及三角形内角和定理可得∠BFC=90°，从而利用勾股定理算出CF的长，由三角形面积计算公式算出△BCF的面积，最后根据等底同高三角形面积相等求出△CEF的面积.
11．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】把x=3代入二次根式，可得 .
故答案为：2
【分析】把x=3代入到二次根式中然后求出算术平方根即可.
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：由题意可得S△OAB==8，
∴|k|=16，
又∵反比例函数图象经过第一象限，
∴k＞0，
∴k=16，
∴反比例函数的解析式为，
把P(a，7)代入得，
∴.
故答案为：.
【分析】根据反比例函数“k”得几何意义可得S△OAB==8，然后结合反比例函数图象经过第一象限得出k=16，从而得到反比例函数的解析式，然后将点P的坐标代入所求的反比例函数的解析式即可算出a的值.
14．【答案】31.5°
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，
∵
∴∠CAB=360°-∠CAD-∠BAD=117°
又∵AB=AC=AD，
∴∠ACB=∠ABC=
故答案为：31.5°.
【分析】正n边形的内角和为(n-2)×180°，每一个内角的度数为，据此算出∠CAD与∠BAD的度数，进而根据周角定义求出∠CAB的度数，然后根据三角形的内角和定理及等边对等角可求出∠ACB的度数.
15．【答案】
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为，
设直线l为y=a（），
则，
解得，
∴，，
∵AB=3，
∴，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】由抛物线的解析式得出其顶点坐标，从而设l为y=a（），联立直线l与抛物线的解析式求解可得点A、B的坐标，然后根据平面内两点间的距离公式并结合AB=3建立方程可求出a的值.
16．【答案】
【知识点】平行线之间的距离；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接AC，过点A作AM⊥BC于M，在BC上截取BK = BE，连接GK，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠CBD，BC=BA，BC∥AD，
∵BG=BG，
∴△BGK≌△BGE(SAS)，
∴GK=GE，∠BEG=∠BKG
∵GF+GE=3，
∴GF+GK=3，
∵∠ABC=60°，BC=BA，
∴△ABC是等边三角形，
∵AM⊥BC，
∴BM=，
∴，
∴GF+GK=AM，
∴F、G、K三点共线，且FK⊥BC，
∴∠BEG=∠BKG=90°，
∵AD∥BC，
∴∠GFD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠GBE=∠GDF=∠ABC=30°，AB=AD=，
∴BE=，DF=，
∴BE+DF=，
∴AE+AF=BA+AD-(BE+DF)=
故答案为：.
【分析】连接AC，过点A作AM⊥BC于M，在BC上截取BK = BE，连接GK，由菱形的性质得∠ABD=∠CBD，BC=BA，BC∥AD，从而可用SAS判断出△BGK≌△BGE，得GK=GE，∠BEG=∠BKG；由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ABC是等边三角形，由等腰三角形的三线合一得BM=，由勾股定理算出AM=3，从而可得GF+GK=AM，根据平行线间的距离相等得F、G、K三点共线，且FK⊥BC，由菱形的每条对角线平分一组对角得∠GBE=∠GDF=∠ABC=30°，由含30°角直角三角形的性质得BE=，DF=，推出BE+DF=，最后根据线段和差即可算出答案.
17．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）将各个二次根式分别化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）根据完全平方公式、平方差公式及二次根式的性质分别展开括号，再计算加减法运算即可.
18．【答案】（1）解：∵ x2-7x+8=0，中a=1，b=-7，c=8，
∴△=b2-4ac=(-7)2-4×1×8=17＞0，
∴，
∴，；
（2）解：∵(x-4)2=2x-8，
∴(x-4)2=2(x-4)，
∴(x-4)2-2(x-4)=0，
∴(x-4)(x-4-2)=0，
∴x-4=0或x-6=0，即(x-4)(x-6)=0，
解得x1=4，x2=6.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数a、一次项系数b及常数项c的值，然后算出根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“”求出方程的根即可；
（2）把“x-4”看成一个整体，将方程右边利用提取公因式分解后整体移到方程的左边，再将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
19．【答案】（1）87；89；40
（2）解：七年级学生对航天知识的了解情况更好，由表格可知，七年级学生对航天知识的了解的优秀率高于八年级学生对航天知识的了解的优秀率，所以七年级学生对航天知识的了解情况更好；
（3）解：由题意可得， 420×40%+580×35%=168+203=371(人)，
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有371人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） 七年级抽取20名学生， 中位数为第10和第11个数的平均值；成绩按等级分组，其中A组3人，B则5人，C组4人，而C组4为同学的成绩分别为 89，88，86，85 ，∴a=(86+88)÷2=87，
八年级C组成绩为89（出现4次）、88（2次）、87、86各一次，其他组数据未明确，故b=89；
m=(3+5)÷20×100%=40% ，
故答案为：87，89，40；
【分析】（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此根据统计图表提供的信息，可求出a、b的值；进而利用优秀的人数除以调查的总人数即可求出优秀率；
（2）根据统计表提供的数据，可以从众数、优秀率等方面来说明；
（3）分别用该校七年级与八年级的学生总人数乘以样本中七年级、八年级学生竞赛成绩的优秀率得出该校七年级与八年级竞赛成绩优秀的学生数，再求和即可.
20．【答案】（1）解：∵ 二次函数y=ax2-2ax -3（a≠0） 中，二次项系数为a，一次项系数为-2a，
∴该函数的对称轴直线为：；
（2）解：①∵ 二次函数y=ax2-2ax -3（a≠0）的图象经过点A ，
∴将点A（-1，0）代入二次函数y=ax2-2ax -3得a+2a-3=0，解得a=1，
∴二次函数的解析式为y=x2-2x -3；
②解，
得，，
∴二次函数与直线的交点坐标为（4，5）和（-1，0）.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴直线公式“”直接计算即可；
（2）①将点A（-1，0）代入二次函数y=ax2-2ax -3可求出a的值，从而即可得到二次函数的解析式；
②联立二次函数与直线的解析式，求解即可得出两函数交点的坐标.
21．【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=10，BD=6，
∴AO=CO=5，BO=DO=3.
∵AB=4，
∴32+42=52，即BO2+AB2=AO2，
∴△ABO为直角三角形，∠ABD=90°，
∴AB⊥BD.
（2）解：由（1）知△ABO为直角三角形.
∵E，F分别是AD和BC的中点，
∴BE=DE=AE，BF=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴BF=DE，
∴四边形BEDF是平行四边形.
又∵BE=DE，
∴平行四边形BEDF是菱形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角线互相平分得AO=CO=5，BO=DO=3，然后根据勾股定理的逆定理判断出△ABO=90°，且∠ABD=90°，从而即可得出结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得BE=DE=AD，由中点定义得BF=CF=BC，由平行四边形的对边平行且相等得BC=AD，BC∥AD，则BF=DE，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形BEDF是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得出结论.
22．【答案】（1）解： 设每次降价的百分率为x，由题意，
得100(1 x)2=81，
解得x1=0.1或x2=1.9（舍），
答： 每次降价的百分率为10％；
（2）解：第一次降价后售价为：100×(1 10%)=90元
利润为：90 76=14元/套
第二次降价后售价为81元，利润为：81 76=5元/套
设第一次降价至少售出m套，
由题意，得14m+5(20 m)≥200
解得，
∵m为整数，
∴m的最小值为12，
∴第一次降价至少售出12套器材后方可进行第二次降价.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可；
（2）根据原售价×（1-降价率）=新售价算出第一次降价后的售价，再根据售价-进价=利润分别求出第一次与第二次降价后每套器材的利润，然后根据每套器材的利润×销售数量=总利润及销售m套器材的利润+销售(20-m)套器材的利润不少于200元 建立不等式，求出其最小整数解即可.
23．【答案】（1）解：点A(-1，m)在一次函数y= x+1上，
∴m= ( 1)+1=2
∴点A坐标为(-1，2)，
∵点A(-1，2)在反比例函数 y＝上的图象上
∴，
解得k=-2，
∴反比例函数表达式为；
（2）解：令y=-x+1中的x=0，得y=1，
∴B（0，1），
作点B关于x轴的对称点B'，则B'（0，-1），连接AB'交x轴于点P，该点就是使AP+BP的值最小的点，
设直线AB'为y=ax+b，
将点A(-1，2)与B'(0，-1)分别代入，得，
解得
∴直线AB'的解析式为y=-3x-1，
令y=-3x-1中的y=0，得x=，
∴P(，0).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特点，将点A(-1，m)代入一次函数y= x+1可得m=2，则A(-1，2)，再把A(-1，2)代入反比例函数 y＝算出k的值，即可得到反比例函数的解析式；
（2）令y=-x+1中的x=0，算出对应的函数值y=1，可得点B（0，1），作点B关于x轴的对称点B'，则B'（0，-1），连接AB'交x轴于点P，该点就是使AP+BP的值最小的点，利用那个待定系数法求出直线AB'的解析式，再令该解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，即可得到点P的坐标.
24．【答案】（1）证明，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵△ADE与△PMN都是等边三角形，
∴∠DAE=∠PAN=60°，
∴∠BAE=∠DAP=∠BAD-∠DAE=30°，
∴∠PAE=∠BAD-∠BAE-∠DAP=30°，
∴∠BAE=∠PAE，
∴AE平分∠PAB；
（2）解：如图，
∵△ADE与△PMN都是等边三角形，
∴AE=AD=2，∠PAD=∠N=60°，
又∵ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，
∴∠PAN=30°，
∴∠APN=180°-30°-60°=90°，
设PN=x，则AN=2x，
在Rt△APN中，，即，
解得x=
∴PN，AN=，
∴ PN+AN =；
（3）解：设射线DE与直线AB的交点为Q点，
①由题可得： ∠BAD =90°， ∠ADE=60°，∠MNP=60°，
∴∠AQD=30°，
∴QD=2AD，
是定值，
∵∠MNP=∠AQD+∠NPQ =60°，
∴∠NPQ=30°；
∴∠NPQ =∠Q；
∴PN=QN；
∵AQ=QN+AN；
∴PN+AN = AQ是定值.
理由： 由(2)①得： QN = PN在等边 中，
∵点F为AM中点，
Q，
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到∠BAD =90°，根据等边三角形的性质得到∠DAE=∠NAP =60°， 得到∠BAE=30°， 求得∠PAE=60°-30°=30°，根据角平分线的定义得到AE平分∠PAB；
（2）根据等边三角形的性质得到∠APN=90°，AE=AD=2，然后根据解直角三角形求出PN和AN的长计算解题.
（3）假设射线DE与直线AB的交点为Q点，①根据题意得到∠BAD=90°， ∠ADE=60°，∠MNP =60°， 求得∠AQD =30°， 得到PN+AN = AQ；
②由(2)①得：QN =PN根据等边三角形的性质得到MN= PN， 求得 由点F为AM中点，求得 得到 ，根据三角形的面积公式得到 ， 推出 于是得到结论.
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