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2024-2025学年重庆市渝西中学高一下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
2.若复数，则( )
A. B. C. D.
3.在中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面平面，，是平面，外两条不同的直线，则下列结论错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.底面边长为的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为的正四棱锥，所得棱台的体积为( )
A. B. C. D.
6.在中，若，则是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.已知正三棱台上、下底面的面积分别为和，高为，所有顶点都在球的表面上，则球的表面积是( )
A. B. C. D.
8.已知在中，，设，记的最大值为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，已知，则以下正确的是( )
A. B. 夹角的余弦值为
C. ，，，共面 D. 点到直线的距离是
10.函数的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是( )
A. 直线是函数的图象的一条对称轴
B. 函数在上单调递减
C. 函数的图象向右平移个单位可得到的图象
D. 函数在上的最大值为
11.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，是正方形内的动点，则下列结论正确的是( )
A. 若平面，则点的轨迹长度为
B. 若，则点的轨迹长度为
C. 二面角的正切值为
D. 若是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是关于的方程其中、为实数的一个根，则的值为 ．
13.已知，若，则 ．
14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体如图，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是如图，已知是以为直径的圆上的两点，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为 ，体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，平行六面体中，．
用向量表示向量，并求；
求直线与直线所成角的余弦值．
16.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱的中点．求证：
平面；
平面；
求三棱锥的体积．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别是，，，以，，为边长的三个等边三角形的面积依次为，，已知，．
求角：
若的面积为，求．
18.本小题分
如图，平面，点分别为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离．
19.本小题分
已知等腰中，，，是线段上一点，现将沿折起至的位置．设折叠后平面和平面所成的二面角为
若为中点，求证：．
若，
求平面和平面所成角的正弦值；
设为的中点，过作平面截三棱锥的外接球，求截面面积的最小值．
参考答案
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14.
15.解：，
则
，
所以．
由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以，
，
则．
则与所成的角的余弦值为．
16.解：证明：，分别为，的中点，，，
且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，不在平面，
平面；
证明：四边形为正方形，
，
，
，
平面，平面，
，
，，又，，平面，
平面；
到平面距离为三棱锥的高，
，
故三棱锥的体积．
17.解：因为，所以
由余弦定理，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，且，所以．
由可得，，，
从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以．
18.解：连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形．
由点和分别为和的中点，可得且，
因为为的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面．
因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系．
依题意可得，．
，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
，所以，平面与平面夹角的余弦值为．
设，即，则从而．
由知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以．
则到平面的距离为．

19.解：证明：如图所示，在等腰中，
因为，且为中点，可得，即，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以．
解：在等腰中，，，可得，
因为，可得，即，
在中，由余弦定理得，所以，
所以为等腰三角形，所以，
所以，即，
又因为平面和平面所成的二面角为，即平面平面，
因为平面，且平面平面，所以平面，
又因为平面，所以，
如图所示，过点作，因为，且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以为平面和平面所成角的平面角，
在直角中，可得，
在直角中，可得，所以，
所以平面和平面所成角的正弦值为
以为原点，以分别为轴，轴，以在平面内，过点垂直的所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
设三棱锥的外接球的球心为，
则球心在底面上的投影为的外心，其坐标为，
球心在上的投影点为直角的外心，即的中点，坐标为，
所以球心的坐标为，半径为，
又由为的中点，可得，则，
当与过点的截面垂直时，此时截得的小圆的半径最小，其面积最小，
设所截小圆的半径为，则，
所以过作平面截三棱锥的外接球，截面面积的最小值．

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