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2024-2025 学年湖南省岳阳市岳阳县第一中学高二下学期 5 月期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.若复数 = 1+ ，则| 2 | =( )
A. 2 B. 2 C. 10 D. 10
2.若复数 满足 i = 1 i，则复数 的虚部为( )
A. i B. i C. 1 D. 1
3 log , > 0,.函数 ( ) = 2 2 + , ≤ 0有且只有一个零点的充要条件是( )
A. < 0 B. 0 < < 12 C.
1
2 < < 1 D. ≤ 0 或 > 1
4.若随机变量 2, 2 ，且 ( < ) = ( > )( > 0, > 0) 1 1，则 + 的最小值为( )
A. 1 B. 14 2 C. 1 D. 2
2 2
5 .已知椭圆 ： 4 + 3 = 1，点 ( 1,0)，若直线 + 1 = 0( ∈ )与椭圆 交于 ， 两点，则
的周长为( )
A. 2 3 B. 4 C. 4 3 D. 8
6.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 5，则圆锥的体积为( )
A. 5 3π B. 5 5π C. 10 3π D. 15 5π
7.已知正三棱锥 的外接球为球 , = 6, = 3 3，点 为 的中点，过点 作球 的截面，则所
得截面图形面积的取值范围为( )
A. 214 , 12 B.
27
4 , 12 C. 21 , 48 D. 27 , 48
8.学校要举办足球比赛，现在要从高一年级各班体育委员中挑选 4 名不同的裁判员(一名主裁判，一名助理
裁判 1，一名助理裁判 2，一名第四裁判)，其中高一共 13 个班，每个班各一名体育委员，共 4 个女生，9
个男生，要求四名裁判中既要有男生，也要有女生，那么在女裁判员担任主裁判的条件下，第四裁判员是
男生的概率为( )
A. 55 B. 55 C. 330 D. 373 74 439 4
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中，正确的有( )
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A.数据 4，1，6，2，9，5，8 的第 70 百分位数为 5
B.若随机变量 ～ 1, 2 , ( ≤ 2) = 0.21，则 ( ≤ 4) = 0.79
C.若 0 < ( ) < 1,0 < ( ) < 1，且 ( ) = 1 ( | )，则 ， 相互独立
D.根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 2 = 9.632，依据小概率值 = 0.001 的 2独立性检验
( 0.001 = 10.828)，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.001
10.已知 , 为正实数， + + 2 = 14，则下列说法正确的是( )
A. + < 21 B. 6 +1的最小值为 1
C. + 4 1 1 1的最小值为 12 D. +2+ +1的最小值为2
11.如图所示，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱 ， 的中点，则以下四个结论
正确的是( )
A.棱 1 1上存在一点 ，使得 //平面 1
B.点 21到平面 1 的距离为3
C.过 1
9
1且与面 1 平行的平面截正方体所得截面面积为8
D.过 3π的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 8
12 1.已知抛物线 ： = 4
2的焦点为 ，准线为 ， 与 轴的交点为 ，过 的直线与 分别交于 ， 两点，则
以下选项正确的是( )
A. 坐标为(1,0)
B.当 ⊥ 时，| | = 4
C.若| |·| | = 16，则 = 8 2
D.过点 作与 垂直的直线与 交于 、 两点，则四边形 面积的最小值为 32
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知 > 0, > 0，且 + = 2 2 1，则 + 2 的最小值是 ．
14.在数 1 和 100 之间插入 个实数，使得这 + 2 个数构成递增的等比数列，将这 + 2 个数的乘积记作 ，
再令 = lg , ≥ 1.则数列 的通项公式为 ．
15.已知等差数列 的项数为奇数，其中所有奇数项和为 290，所有偶数项和为 261，则该数列的项数
为 ．
16.甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放
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入另一口袋，重复 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 ，恰有 2 个黑球的概率为 ，恰有 1 个黑球的
概率为 ，则 2 = ， 的数学期望 = . (用 表示)
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 10 分)
设数列 的前
3
项和为 ，已知 1 = 1，数列 是以2为公差的等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2) = 3设 2 ，数列 的前 项和为 ，证明： <
3
．
+7 4
18.(本小题 12 分)
已知数列 的首项为 1 = 4，且满足 +1 + = 6 × 5 ∈ ．
(1)求证： 5 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
19.(本小题 12 分)
在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动，假设每次掷游戏币出现正
面的概率为 1 2，且 ∈ [ 3 , 3 ]，每次掷游戏币的结果相互独立．
(1) 1当 = 2时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率;
(2)若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷 6 次．
①甲在一轮游戏中恰好投掷了 5 次游戏结束的概率为 ( )，求 ( )的表达式;
②设甲在一轮游戏中投掷次数为 ，求 ( )的最大值．
20.(本小题 12 分)
如图，在四棱锥 中， // ， = = 1， = 3，点 在 上，且 ⊥ ， = = 2．
(1)若 为线段 中点，求证： //平面 ．
(2)若 ⊥平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
21.(本小题 12 分)
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为了测试一种新药对某种疾病的治疗效果，研究人员对一地区某种动物种群(数．量．较．大．)进行试验，从该试验
种群中随机抽查了 80 只，得到如下的样本数据(单位：只)：
发病没发病合计
使用药物 10 30 40
没使用药物25 15 40
合计 35 45 80
(1)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为该药物与预防该疾病有关？
(2)从该地区此动物群中任取一只，记 表示此动物发病， 表示此动物没发病， 表示此动物使用药物，定
= ( )

义事件 的优势 1 1 ( )，在事件 发生的条件下 的优势 2 = ，证明：
2
= ，并利用表1 1

中数据求出 2 值．1
(3)若把表中的频．率．视作概．率．，现从该地区没发病的动物中抽取 3 只动物，记抽取的 3 只动物中使用药物的
只数为 ，求随机变量 的分布列，数学期望．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
2 0.0500.0100.001
≥ 0
0 3.8416.63510.828
22.(本小题 12 分)

已知函数 ( ) = sin ， ( ) = e +1e 1．
(1)求函数 ( ) = 2[ ( )]2 3 | | + 1 的值域；
(2)设函数 ( ) = ( ) + ln ，证明： = ( ) e+1有且只有一个零点 0，且 0 > e 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.94
14. = + 2， ∈
15.19

16. 7 127 ； 3 + 1
17.(1) 因为 11 = 1，则 1 = 1，
3
因为数列 是以2为公差的等差数列．
3
所以 = 1 + ( 1) × 2 =
3 12 2，可得 =
3
2
2 12 ，
当 ≥ 2 时， = =
3 2
1 2
1
2
3
2 ( 1)
2 12 ( 1) = 3 2，
又因为 1 = 1 适合上式，因此 = 3 2．
(2) (1) 3 1 1 1 1 1由 可得： = 2 +7 = 2+2 = ( +2) = 2 +2 ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1故 = 2 1 3 + 2 4+ 3 5 + + 1 +1+ +2
1 1 1 1 3 1 1 1 3
= 2 1 + 2 + 1 + 2 = 4 2 + 1 + + 2 < 4
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18.(1)证明：
∵数列 满足 +1 + = 6 × 5 ，即 +1 = + 6 × 5 ，
∴ 5 +1 +1 = 5 ，

即 +1
5 +1
5
= 1，
又∵ 1 = 4，
∴ 1 51 = 1，
∴数列 5 表示首项为 1，公比为 1 的等比数列．
(2)由(1)知 5 = 1 × ( 1) 1 = ( 1) ，
∴ = ( 1) + 5 ，
∴ 1 2 = 5 + 5 + + 5 + ( 1) + 1 + + ( 1) ，

当 为偶数时，可得 = 5 1 5 1 +1 5 1 5 + 0 = 4 × 5 4；
= 5 1 5
1 9
当 为奇数时，可得 +1 1 5 1 = 4 × 5 4；
1 × 5 +1 54 4 , 为偶数,综上可得， = 1 × 5 +1 94 4 , 为奇数.
19.解：设事件 表示第 次正面向上，其中 = 1，2，3，4，5，6，且 ( ) = ， ( ) = 1 ，
(1)设事件 :“至少出现一次正面向上”，
( ) = 1 ( 1 2) = 1 (
1
2 )
2 = 34；
(2) ①设事件 :“恰好投掷了 5 次游戏结束”，
则 = 1 2 3 4 5 + 1 2 3 4 5，
故 ( ) = ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) + ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
= (1 ) 4 + (1 )2 3 = (1 ) 3，
所以 ( ) = (1 ) 3；
② 的可能取值为 3，4，5，6，
则 = 3 = 3， = 4 = 1 3， = 5 = 1 3，
= 6 = 1 3 1 3 1 3 = 2 4 3 3 + 1，
则 = 3 3 + 4 1 3 + 5 1 3 + 6 2 4 3 3 + 1 = 3 4 6 3 + 6，
令 = 3 4 6 3 + 6，
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则 ′ = 12 3 18 2 = 12 2 32 ，
1
当 ∈ [ 3 ,
2 1 2
3 ]， ′ < 0，则 ( )在[ 3 , 3 ]上单调递减，
4 3
当 = 1 1 1 1573时， ( )的最大值为 3 × 3 6 × 3 + 6 = 27．
20. 1解：(1)取 的中点为 ，接 , ，则 // , = 2 = 1，
而 // , = 2 ，故 // , = ，故四边形 为平行四边形，
故 // ，而 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)
因为 = 2，故 = 1，故 // , = ，
故四边形 为平行四边形，故 // ，所以 ⊥平面 ，
而 , 平面 ，故 ⊥ , ⊥ ，而 ⊥ ，
故建立如图所示的空间直角坐标系，
则 0, 1,0 , 1, 1,0 , 1,0,0 , 0,2,0 , 0,0,2 ，
则 = 0, 1, 2 , = 1, 1, 2 , = 1,0, 2 , = 0,2, 2 ,
设平面 的法向量为 = , , ，
则由 = 0
2 = 0
可得
= 0 2 = 0
，取 = 0, 2,1 ，
设平面 的法向量为 = , , ，
= 0 2 = 0则由 可得
= 0 2 2 = 0
，取 = 2,1,1 ，
故 cos , = 1 305× 6 = 30 ，
30
故平面 与平面 夹角的余弦值为 30 ．
21.(1)提出零假设 0:该药物与预防该疾病无关，
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2 = 80×(10×15 25×30)
2 240
根据表格得出， 35×45×40×40 = 21 ≈ 11.429 > 10.828，
由此推断 0不成立，
则能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为该药物与预防该疾病有关．
(2)由条件可得，
( )
2 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( )
= ( ) =1 1 1 ( )
( ) = ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) 1 ( ) 1 ( )
= ( ) = = =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
10 30 10 45 3
由表中数据可知， = 235， = 45，则 =1 35
× 30 = 7．
(3)样本中没发病的动物有 45 只，其中使用药物的有 30 只，
30 2
则使用药物且没发病的频率为45 = 3，
2
将频率视作概率，则 3, 3 ，
3 0 2 1
则 ( = 0) = C0 1 2 13 3 3 = 27， ( = 1) = C
1 1 2 2
3 3 3 = 9，
1 2 0 3
( = 2) = C2 1 2 43 3 3 = 9， ( = 3) = C
3 1 2 8
3 3 3 = 27，
则 的分布列为：
0 1 2 3
1 2 4 8
27 9 9 27
期望 ( ) = 3 × 23 = 2．
22.(1)因为 ( ) = sin ，
所以 ( ) = 2[ ( )]2 3 | | + 1 = 2sin2 3sin| | + 1，
则 ( ) = 2sin2( ) 3sin| | + 1 = 2sin2 3sin| | + 1 = ( )，
所以 ( )为偶函数，
当 ≥ 0 时 ( ) = 2sin2 3sin + 1，
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令 = sin ，则 ∈ [ 1,1]，令 ( ) = 2 2 3 + 1， ∈ [ 1,1]，
2
( ) = 2 2 3 + 1 = 2 3 14 8，又 (1) = 0， ( 1) = 6，
所以 ( ) ∈ 18 , 6 ，
1
即当 ≥ 0 时 ( ) ∈ 8 , 6
1
，根据偶函数关于 轴对称，所以当 ≤ 0 时 ( ) ∈ 8 , 6 ，
综上可得 ( ) ∈ 18 , 6 ．
(2)因为 ( ) = ( ) + ln = sin + ln ，
∈ 0, π π当 2 时，函数 = ln 与函数 = sin 均在 0, 2 上单调递增，
π
故 = ( )在 0, 2 上单调递增，
1又 e = 1+ sin
1
e < 0， (1) = 0 + sin1 = sin1 > 0，
故 = ( ) 1存在唯一零点 0 ∈ e , 1 ，
当 ∈ π2 , π 时， = ln > 0， = sin ≥ 0，故 ( ) > 0，
当 ∈ π, + ∞ 时， = ln > lnπ > 1， = sin ≥ 1，故 ( ) > 0，
故当 ∈ π2 , + ∞ 时， = ( )无零点，
1
综上所述， = ( )有且只有一个零点，且该零点 0 ∈ e , 1 ；
1
由上可知 0 ∈ e , 1 ，且有 0 = ln 0 + sin 0 = 0，
则 sin 0 = ln 0，
1
ln 0 +1
= sin = ln = e +1 = 0 = 1+ 0 = 1 + 2即 0 0 0 e ln ，0 1 1
1 1
0 1 0
0
由函数 = 1 + 2 11 在区间 e , 1 上单调递增，
故 0 = sin 0 = 1 +
2
1 > 1+
2 = e+1．
0 1 1 e 1e
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