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2024-2025 学年山东省烟台市牟平第一中学高一下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列几何元素可以确定唯一平面的是( )
A.三个点 B.圆心和圆上两点 C.梯形的两条边 D.一个点和一条直线
2.设 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列说法中正确的是( )
A.若 ， ，则 ， 为异面直线
B.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
C.若 // ， // ，则 //
D.若 ⊥ ， ， ，则 ⊥
3.在 中， 为直角， = 3， = 4，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为( )
A. 3 72 B.
3 14
8 C.
3 2
2 D.
3 21
8
4.已知四面体 中， ， 分别是 ， 的中点，若 = 2， = 4， 与 所成角的度数为 30°，
则 与 所成角的度数为
A. 90° B. 45° C. 60° D. 30°
5.一化学器皿为圆台形状，其上、下底面半径分别为 1 和 5 ，高为 10 (器皿厚度忽略不计).现将该器
皿水平放置后(上底位于上方)注入盐酸溶液，若溶液高度恰为 5 ，则溶液体积为( )
A. 245πcm3 B. 245π3 cm
3 C. 490πcm3 D. 490π3 cm
3
6.已知 为等腰直角三角形， 为斜边， 为等边三角形，若二面角 为 150°，则直线
与平面 所成角的正切值为( )
A. 15 B.
2 3
5 C. 5 D.
2
5
7.在长方体 1 1 1 1中，已知 1 与平面 和平面 1 1 所成的角均为 30 ，则( )
A. = 2 B. 与平面 1 1 所成的角为 30
C. = 1 D. 1 与平面 1 1 所成的角为 45
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8.设三棱柱 1 1 1的侧棱垂直于底面， = = 2, ∠ = 120 , 1 = 3 3，且三棱柱的所有顶
点都在同一球面上，则该球的表面积是( )
A. 46 B. 35 C. 43 D. 39
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列命题正确的有( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则
B.若 ， ⊥ ，则 ⊥
C.若 ， ， ∩ = ，则
D.若 ， 是异面直线， ， ， ， ，则
10.已知圆锥的底面半径为 1，高为 2 2， 为顶点， ， 为底面圆周上两个动点，则( )
A.圆锥的体积为 2 2
B. 2圆锥的侧面展开图的圆心角大小为3
C.圆锥截面 的面积的最大值为 2 2
D.从点 出发绕圆锥侧面一周回到点 的无弹性细绳的最短长度为 3 3
11.如图正方体 1 1 1 1的棱长为 1，则下列四个命题中正确的是( )
A.正方体被面 1 分割成两部分的体积比为 1: 5
B. 2点 到平面 1 1的距离为 2 ．
C.四面体 1
3
1的外接球体积为 2 π
D.二面角 1 的大小为 60°
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.国家二级文化保护遗址玉皇阁的台基可近似看作上，下底面边长分别为 2m，4m，侧棱长为 3m 的正四
棱台，则该台基的体积为 ．
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13.已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为 3，上、下底面边长分别为 3和 2 3，其顶点都在同一球
面上，则该球的表面积为 ．
14.在矩形 中， = 3, = 4, ⊥平面 , = 3，则平面 与平面 的夹角的正切值
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥.已知圆柱与圆锥的底面
大小相同，圆柱的底面半径为 6 cm，高为 20 cm，圆锥母线为 10 cm．
(1)计算该模型的体积. (结果精确到 1 cm3)
(2)现需使用油漆对 400 个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方米 30 元，总费用是多少？(结果精确到 1
元)
16.(本小题 15 分)
如图所示，在四棱锥 1中，底面 为梯形， // ， = 2 ，面 ∩面 = ． 是
的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证： // ；
(3)若 是线段 上一动点，则线段 上是否存在点 ，使 //平面 ？说明理由．
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17.(本小题 15 分)
如图，在四面体 中， 是边长为 2 的正三角形，且 = = 2．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若 是 的中点，且二面角 π的大小为2，求 与平面 所成角的大小．
18.(本小题 17 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， = = = 1， 是 的中点．
(1)求证： 1 //平面 1 ;
(2)求证：平面 1 ⊥平面 1 1;
(3)求直线 与平面 1 所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
如图，三棱柱 1 1 1中， = ， = ，∠ 1 1 = 60 ， = = 2， 1 = 6．
(1)证明： ⊥ 1 ．
(2)求三棱柱 1 1 1的体积．
(3)求二面角 1 的平面角余弦值大小．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.28 73 cm
3
13.20π
14.5 3 512 或12 3
15.解：(1)设圆锥的高为 1，
由题意得圆锥母线为 10cm，圆锥的底面半径为 6，
则 = 1021 62 = 8cm，
设圆柱的底面半径为 ，高为 ，由已知可得 = 6cm， = 20cm，
所以圆柱的体积 2 21 = π = π × 6 × 20 = 720π cm3 ，
圆锥的体积 = 1π 2 1 2 32 3 1 = 3 × π × 6 × 8 = 96π cm
= 720π 96π = 624π ≈ 1960cm3；
(2)圆柱的侧面积为 1 = 2π 20 = 240π，圆柱的上底面的面积为 2 = 36π，
圆锥侧面积为 3 = π × 6 × 10 = 60π．
一个模型的表面积 = 240π + 36π + 60π = 336πcm2，
336π×400×30
所以总费用为 104 = 403.2π ≈ 1267(元)．
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16.证明：(1)在四棱锥 中，取 中点 ，连 、 ，
∵ 1平行且等于2 ，
1
平行且等于2 ，
∴ 平行且等于 ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ // ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ;
(2) ∵梯形 中 // ，
又 面 ， 面 ，
∴ //面 ，
∵ 面 ，面 ∩面 = ，
∴ // .
∵ // ，∴ // ．
(3)取 中点 ，连接 ， ，
∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
又由(1)可得 //平面 ， ∩ = ， 、 平面 ，
∴平面 //平面 ，
∵ 是 上的动点， 平面 ，
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∴ //平面 ，
∴当 为 的中点时， //平面 ．
17.解：(1)取 中点 ，连接 、 ，
由已知条件 是边长为 2 的正三角形， = 得 ⊥ , ⊥ ．
∩ = , , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)
π
二面角 的大小为2，即平面 ⊥平面 ．
由平面 ∩平面 = ，且由(1)知 ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，从而∠ 即为 与平面 所成角
在 Rt 中， = 2, = 1，从而 = 1，
1
在 中， = 2 = 1，
因为 ⊥平面 ，且 平面 ，所以 ⊥ ，
所以在 Rt 中， ⊥ ，且 = = 1，
易求得∠ = π π4，即 与平面 所成角的大小为4．
18.解：(1)在三棱柱 1 1 1中，连接 1 交 1于 ，连接 ，
则 是 1 的中点，又 是 的中点， // 1 ，
而 1 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 1 //平面 1 ．
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(2)由 = = ， 是 的中点，得 ⊥ ，
由 1 ⊥平面 ，得 1 ⊥平面 ，又 平面 ，则 1 ⊥ ，
又 1 是平面 1 1内的两条相交直线，因此 ⊥平面 1 1，而 平面 1 ，
所以平面 1 ⊥平面 1 1
(3)在平面 1 1内过 作 ⊥ 1 于 ，连 ，
由(2)知，平面 1 ⊥平面 1 1，平面 1 ∩平面 1 1 = 1 ，
则 ⊥平面 1 ，∠ 是 与平面 1 所成的角，
在直角 1 中，令 =
1
2 = , 1 = 2 ，则 1 = 5 ， =
1 2
= ，1 5
2
5
在直角 中，sin∠ = = 5 2 = 5 ，
5
所以直线 与平面 1 所成角的正弦值为 5 ．
19.解：(1)取 中点 ，连结 ， 1 ， 1 ，
∵ = 1，∠ 1 = 60 ，
∴ 1是正三角形，∴ 1 ⊥ ．
∵ = ， ，
∵ ∩ 1 = ， , 1 平面 1，
∴ ⊥平面 1．
又∵ 1 平面 1，∴ ⊥ 1 ；
(2)由题设知 与 1 都是边长为 2 的等边三角形，
所以 = 1 = 3．
又 1 = 6，则 2 = 2 + 21 1，故 1 ⊥ ．
因为 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，即 1为三棱柱 1 1 1的高，
又 的面积 = 3，
故三棱柱 1 1 1的体积 = × 1 = 3．
(3)过 作 ⊥ 1于 点，连接 ，
因为 1 ⊥ ， ⊥ ， 1 ∩ = ， 1, 平面 1，
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所以 ⊥平面 1，
又 1 平面 1，
所以 ⊥ 1，
又 ⊥ 1， ∩ = ， , 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ，
因为 , 平面 ，
故 1 ⊥ ， 1 ⊥ ．
则∠ 即为二面角 1 的平面角．
在 3 3中： = 1 = 3， = sin60 = 2 = 2 ，
所以 = 2 + 2 = 3 + 3 154 = 2 ，
所以 cos∠ = = 5 5 ，
即二面角 51 的平面角余弦值大小为 5 ．
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