资源简介 2024-2025 学年山东省淄博市实验中学、齐盛高级中学高二下学期期中数学试卷一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1. 为等差数列{ }的前 项和,已知 5 + 6 + 7 = 15,则 11为( )A. 25 B. 30 C. 35 D. 552.已知 是等比数列,若 3 8 = 2 5, 9 = 16,则 的公比 =( )A. 4 B. 2 C. 1 D. 12 4 +13.曲线 = e +2在 = 0 处的切线方程为( )A. = e4 B. =3e4 C. =e4 +e 3e e2 D. = 4 + 24.自然对数 也称为欧拉数,它是数学上最重要的常数之一, 的近似值约为 2.7182818…,若用欧拉数的前5 位数字 2、1、7、8、2 设置一个 5 位数的密码,则不同的密码有( )个.A. 120 B. 240 C. 180 D. 605.已知( + )2 , ( + )2 +1的二项式系数的最大值分别为 , ,9 = 5 ,则正整数 =( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 76.现有两位游客来淄博旅游,他们分别从淄博海岱楼、淄博市博物馆、鲁山森林公园、红叶柿岩景区、蒲松龄故居、周村古商城、这 6 个景点中随机选择 1 个景点游玩.记事件 =“两位游客中至少有一人选择淄博海岱楼”,事件 =“两位游客选择的景点不同”,则 ( | ) =( )A. 67 B.8 911 C. 11 D.10117.若函数 ( ) = ln + 2 2 1在区间 2 , 2 内存在单调递增区间,则实数 的取值范围是( )A. 1 , + ∞ B. 18 8 , + ∞ C. [ 2, + ∞) D. ( 2, + ∞)8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二(除以 3 余 2),五五数之剩三(除以5 余3),七七数之剩二(除以7 余2),问物几何?现有这样一个相关的问题:已知正整数 ( > 1)满足二二数之剩一,三三数之剩一,将符合条件的所有正整数 按照从小到大的顺序排成一列,构成数列 ,2 + +23记数列 的前 项和为 ,则 的最小值为( )A. 26 B. 36 C. 38 D. 46二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是( )第 1页,共 7页A.若二项式( + ) 的展开式中,第 4 项的二项式系数最大,则 = 5B.若(1 2 )8 = 2 80 + 1 + 2 + + 8 ,则 1 + 2 + + 8 = 0C. 5555被 8 除的余数为 1D. C0(1 + )9 + C19 9(1 + )8 + C29(1 + )7 + + C89(1 + ) + C99(1 + )0的展开式中含 3项的数为 537610 2+ 1.已知函数 ( ) = e ,则下列结论正确的是( )A.函数 ( )与 轴有三个不同的交点B.函数 ( )存在最小值但没有最大值C.若当 ∈ [ , + ∞)时, ( )min = e,则 的最大值为 1D.若方程 ( ) = 有 1 个实根,则 ∈ 5e2 , + ∞11 1 1 7.数列的各项均为正数, 1 = 1, 2 = 3,函数 = 3 3在点 , 3 33 处的切线过点 +2 2 +1, 3 ,则下列正确的是( )A. 3 + 4 = 18 B.数列 + +1 是等比数列C.数列 1 +1 3 是等比数列 D. = 3三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。12.甲、乙等 5 位老师到某地 3 所学校进行送教服务,要求每人只去一所学校,每所学校不能少于 1 人,且甲、乙在不同一所学校,则不同的安排方法有种 .13.同一种产品由甲 乙 丙三个厂商供应.由长期的经验知,三家产品的正品率分别为 0.95 0.90 0.80,甲 乙 丙三家产品数占比例为 2: 3: 5,将三家产品混合在一起.从中任取一件,求此产品为正品的概率 .14.已知函数 ( ) = e ( + ln + 1),若 ( ) ≥ 0 恒成立,则正数 的取值范围是 .四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题 13 分)已知数列 的前 项和为 ,且满足 = 2 1.(1)求数列 的通项公式;(2)已知 2 = + log2 ,求数列 的前 项和为 .16.(本小题 15 分)已知数列{ }为等差数列, 2 = 3, 14 = 3 5,数列{ }的前 项和为 ,且满足 2 = 3 1.(1)求{ }和{ }的通项公式;(2)若 = + 1 ,数列{ }的前 项和为 ,且 3 < ( 1) 对 ∈ N 恒成立,求实数 的取值范围.第 2页,共 7页17.(本小题 15 分)2 2+ 1已知函数 ( ) = ,若曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程为 2 + 1 = 0.(1)求 ( )的解析式;(2)求 ( )在区间[ 1,3]上的最值.18.(本小题 17 分)已知函数 ( ) = e .(1)求 ( )在 1, e 处的切线方程;(2)若 ∈ (0, + ∞), ( ) ≥ e 1 ,求 的取值范围;(3)若 1、 2∈ (0,1),讨论 1 2 与 1 2 的大小关系,并说明理由.19.(本小题 17 分)已知函数 ( ) = ( 2)e + ln .(1)判断函数 = ( )在区间(1, + ∞)上的单调性,并说明理由;(2)若函数 ( ) 1在 4 , 1 上的最大值在区间( , + 1)内,求整数 的值.第 3页,共 7页参考答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.11413.0.8614.(0,1]15.解:(1) = 2 1①,当 = 1 时, 1 = 2 1 1,解得 1 = 1,当 ≥ 2 时, 1 = 2 1 1②,式子① ②得 = 2 2 1,故 = 2 1,因为 1 = 1 ≠ 0,所以 ≠ 0,所以 = 2, 1所以 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,所以 = 2 1 ;(2) 2 1 = + log2 = 4 + 1,1 × 1 4 ( 1) = 40 + 41 + 42 + + 4 1 + 0 + 1 + 2 + + 1 = 1 4 + 2= 4 13 + ( 1)2 .16.解:(1)解:等差数列{ }中,设公差为 , 2 = 3则 = 3 1 + = 314 5 1 + 13 = 3 1 + 12 1 + = 3 1 = 12 1 = = 2 = 2 1 ∈ N+第 4页,共 7页数列{ }中的前 项和为 ,且 2 = 3 1①当 = 1 时, 1 = 1当 ≥ 2 时,2 1 = 3 1 1②② ①得: = 3 1( ≥ 2)故数列{ }是以 1 为首项,3 为公比的等比数列,所以 1 = 3 ∈ N+ .(2)解:数列{ }中, = + 1 = 2 3 1 .则 = 2 × 30 + 4 × 31 + + (2 2) 3 2 + 2 3 1所以 3 1 2 = 2 × 3 + 4 × 3 + + (2 2) 3 1 + 2 3 故 2 = 2 + 2 31 + 32 + . . . + 3 1 2 3 = (1 2 ) 3 1 所以 =(2 1) 3 +12 ∵ ( 1) > 3 =1 3 2 2对 ∈ 恒成立.1 3 3 1 1当 为奇数时,( 1) = > 2 2 < 2 2 <32 1 3 12 =min 2 2 = 1, 2当 为偶数时,( 1)2 = > 1 3 1 3 1 32 2 > 2 2 = = 4max 2 2综上:实数 的取值范围为( 4,1).17.解:(1)依题意, (0) = 1,故切点为(0, 1),由切点在切线 2 + 1 = 0 上,得 = 1.2∵ ( ) = 2 +(4 ) + +1′ ,又 = 1,切线方程为 2 1 = 0,其斜率为 2,即 ′(0) = 2,∴ + 1 = 2,∴ = 1.2所以, ( )的解析式为 ( ) = 2 + 1 2(2) (1) ( ) = 2 +3 +2 = (2 +1)( 2)由 知 ′ ,1由 ′( ) = 0,得 = 2,或 = 2,1 9 20因为 ( 1) = 0, ( 2 ) = , (2) = 2, (3) = 3,易知 9 ≈ 24 > 20,第 5页,共 7页9 > 20所以 2 3,9因此,函数 ( )最小值为 ,最大值为 2.18.解:(1)因为 ( ) = e ,则 ′( ) = ( + 1)e ,所以 ′(1) = 2e,又 (1) = e所以 ( )在 1, e 处的切线方程为 e = 2e( 1),即 2e e = 0.(2)令 ( ) = ( ) e 1 = ( )e + ,其中 > 0,则 ′( ) = ( + 1)e ,由 ′( ) = 0,可得 = 1.当 1 ≤ 0 时,即当 ≤ 1 时,对任意的 > 0, ′( ) > 0,此时,函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增,则 ( ) > (0) = 0,合乎题意;当 1 > 0 时,即当 > 1 时,由 ′( ) < 0 可得 0 < < 1,由 ′( ) > 0 可得 > 1,所以,函数 ( )在区间(0, 1)上单调递减,故 ( 1) < (0) = 0,不合乎题意.综上所述,实数 的取值范围是( ∞,1].(3)不妨设 1 > ′2,且当 ∈ (0,1)时, ( ) = ( + 1)e > 0,故函数 ( )在(0,1)上单调递增,先比较 1 2 与 1 2 的大小,即比较 1 2 与 1 2的大小关系,令 ( ) = ( ) = e ,其中 0 < < 1,所以 ′( ) = ( + 1)e 1 > 0,故函数 ( )在(0,1)上单调递增,因为 0 < 2 < 1 < 1,所以 1 > 2 ,即 1 1 > 2 2,即 1 2 > 1 2 > 0,故 1 2 > 1 2 ,19.解:(1) ∈ (1, + ∞), ′( ) = e + ( 2)e 1 + 1 = ( 1) e 1 ,当 > 1 时, 1 > 0 1 1,e > e, < 1,e > ,∴ ′( ) > 0, ( )在(1, + ∞)单调递增.(2) ′( ) = ( 1)e 1 + 1 = ( 1) e 1 ,1 1 1令 ( ) = e ,则 ′( ) = e + 2 > 0,所以 ( )在 4 , 1 上单调递增,1 1因为 2 = e2 2 < 0, (1) = e 1 > 0,第 6页,共 7页 ∈ 1 0 1所以存在 0 2 , 1 ,使得 0 = 0,即e = ,即 ln 0 = 0,01故当 ∈ 4 , 0 时, ( ) < 0,当 ∈ 0, 1 时, ( ) > 0,1又当 ∈ 4 , 1 时, 1 ≤ 0(等号仅在 = 1 时成立),1所以当 ∈ 4 , 0 时, ′( ) > 0,当 ∈ 0, 1 时, ′( ) ≤ 0(等号仅在 = 1 时成立),所以 ( ) 1在 4 , 0 上单调递增,在 0, 1 上单调递减,则 ( )max = 0 = 0 2 e 0 0 + ln 0 = 0 2 1 0 0 = 1 20 2 0,02令 ( ) = 1 2 2 , ∈12 , 1 ,则 ′( ) = 2 2 = 2 1 1 2 2 > 0, ∈ 2 , 1 ,1 1所以 ( )在 2 , 1 上单调递增,则 ( ) > 2 = 4, ( ) < (1) = 3,所以 4 < ( )max < 3,所以 = 4.第 7页,共 7页 展开更多...... 收起↑ 资源预览