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(共20张PPT)
问题1 判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学习了哪些方法？
(1)“SAS”：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
(2)“ASA”：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；
(3)“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等；
(4)“AAS”：两角及其一角对边对应相等的两个三角形全等；
(5)“HL”：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等.
问题2 全等三角形有什么性质？
(1) 全等三角形对应角相等、对应边相等；
(2) 全等三角形的面积、周长相等.
思考：结合全等三角形的性质及全等三角形的判定，你能说说如何证明两条线段(或角)相等？
例1 如图，已知 BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为_____________________________ (答案不唯一)．
或∠A＝∠D
AC＝DC或∠B＝∠E
灵活选用合适的方法证明三角形全等
解析：根据已知可知两个三角形已经具备有一角与一边对应相等，所以根据全等三角形的判定方法，可以添加一边或一角都可以得到这两个三角形全等．
若根据“SAS”判定时，则可以添加 AC＝DC；
若根据“ASA”判定时，则可以添加∠B＝∠E；
若根据“AAS”判定时，则可以添加∠A＝∠D.
(1)已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用 AAS 或 ASA 判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用 SAS 判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合 SSA 的情形，不一定能判定三角形全等；
(2) 添加条件时，应结合判定图形和五种方法：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意除直角三角形外不能是 SSA.
方法归纳
例2 已知：如图，AB = CD ，BC = DA，E，F 是 AC 上的两点，且 AE = CF. 求证：BF = DE.
D
C
A
B
E
F
1
2
证明：在△ABC 和△CDA 中，
AB = CD (已知)，
BC = DA (已知)，
CA = AC (公共边)，
∴△ABC≌△CDA (SSS).
∴∠1 = ∠2 (全等三角形的对应角相等).
多次运用三角形全等的判定
BC = DA (已知)，∠1 =∠2 (已知)，
CF = AE (已知)，
∴ △BCF≌△DAE (SAS).
∴ BF = DE(全等三角形的对应角相等).
在△BCF 和△DAE 中
D
C
A
B
E
F
1
2
例3 证明：全等三角形对应边上的高相等.
已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′ 的高.求证：AD＝ A′D′ .
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
证：∵△ABC≌△A′B′C′ ，
∴ AB = A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD =∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
∵ AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，
∴∠ADB =∠A'D'B'.
在△ABD 和△A'B'D' 中，
∠ADB =∠A'D'B'（已证），
∠ABD =∠A'B'D'（已证），
AB = AB（已证），
∴△ABD≌△A'B'D'(AAS). ∴ AD = A'D'.
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
解：相等．理由如下：在△ABC 和△ADC 中，AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE.
在△ADE 和△ABE 中，
AD＝AB，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS). ∴DE＝BE.
例4 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，E 为 AC 上的一动点(不与 A 重合)，在点 E 移动的过程中 BE 和 DE 是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．
本题考查了全等三角形的判定和性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题要特别注意“SSA”不能作为全等三角形一种证明方法使用．
方法总结
C
M
N
A
B
D
例5 如图，已知 CA = CB，AD = BD，M，N 分别是 CA，CB 的中点，求证：DM = DN.
在△ABD 与△CBD 中
CA = CB (已知)
AD = BD (已知)
CD = CD (公共边)
∴△ACD≌△BCD(SSS).
证明：连接 CD，如图所示.
∴∠A = ∠B.
又∵ M，N 分别是 CA，CB 的中点，
∴ AM = BN.
在△AMD 与△BND 中，
AM = BN (已证)，
∠A =∠B (已证)，
AD = BD (已知)，
∴△AMD≌△BND (SAS).
∴ DM = DN.
C
M
N
A
B
D
1.如图，已知 AC = DB，∠ACB =∠DBC，则有△ABC≌△ ，理由是 ，
且有∠ABC =∠ ，AB = ；
A
B
C
D
DCB
SAS
DCB
DC
2.已知：如图，AB = AC，AD 是△ABC 的角平分线，
求证：BD = CD.
证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴ ∠BAD =∠CAD.
在△ABD 和△ACD 中，
AB = AC
∠BAD =∠CAD
AD = AD
∴△ABD≌△ACD (SAS).
(已知)，
(已证)，
(已证)，
∴ BD = CD.
B
C
A
D
已知：如图，AB = AC，BD = CD，
求证： ∠BAD = ∠CAD.
证明：
∴∠BAD =∠CAD.
在△ABD 和△ACD 中，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
AB = AC
BD = CD
AD = AD
(已知)，
(公共边)，
(已知)，
B
C
A
D
变式1
已知：如图，AB = AC，BD = CD，E 为 AD 上一点，
求证： BE = CE.
B
C
A
D
∴ ∠BAD =∠CAD.
在△ABD 和△ACD 中，
AB = AC
BD = CD
AD = AD
(已知)，
(公共边)，
(已知)，
∴ BE = CE.
在△ABE 和△ACE 中，
AB = AC
∠BAD =∠CAD
AE = AE
(已知），
(公共边)，
(已证)，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴△ABE≌△ACE(SAS).
变式2
E
3. 如图，CD⊥AB 于 D 点，BE⊥AC 于 E 点，BE，CD交于 O 点，且 AO 平分∠BAC.求证：OB＝OC.
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.
∵AO 平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
在△AOD 和△AOE 中，
∴△AOD≌△AOE(AAS).
∴ OD＝OE.
∠ADC＝∠AEB，
∠1＝∠2，
OA＝OA，
∠BDC＝∠CEB，
∠BOD＝∠COE，
OD＝OE，
在△BOD 和△COE 中，
∴△BOD≌△COE(ASA).
∴ OB＝OC.
判定三角形全等的思路
已知两边
已知一边一角
已知两角
找夹角(SAS)
找另一边(SSS)
找任一角(AAS)
边为角的对边
边为角的一边
找夹角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS)
找夹角的另一角(ASA)
找夹边(ASA)
找除夹边外的任意一边(AAS)

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