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(共27张PPT)
SSS
SAS
ASA
AAS
旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法
如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，直角边是_____、_____，斜边是______.
C
B
A
AC
BC
AB
思考：
前面学过的四种判定三角形全等的方法，对直角三角形是否适用？
1. 两个直角三角形中，斜边和一个锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
A
B
C
A′
B′
C′
2. 两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3. 两个直角三角形中，两直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
口答：
动脑想一想
如图，已知 AC = DF，BC = EF，
∠B = ∠E，△ABC≌△DEF 吗？
我们知道，证明一般的三角形全等不存在 SSA 定理.
A
B
C
D
E
F
问题：
如果这两个三角形都是直角三
角形，即∠B =∠E = 90°，
且 AC = DF，BC = EF，现在能
判定 △ABC≌△DEF 吗？
A
B
C
D
E
F
直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
任意画出一个 Rt△ABC，使∠C = 90°. 再画一个 Rt△A′B′C′ ，使∠C′ = 90°，B′C′ = BC，A′B′ = AB，把画好的 Rt△A′B′C′ 剪下来，放到 Rt△ABC 上，它们能重合吗？
A
B
C
作图探究
画图思路
（1）先画∠M C′ N = 90°
A
B
C
M
C′
N
（2）在射线 C′M 上截取 B′C′ = BC
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
画图思路
（3）以点 B′ 为圆心，AB 为半径画弧，交射线 C′N 于 A′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
画图思路
（4）连接 A′B′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
画图思路
知识要点
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
(简记为“斜边、直角边”或“HL”).
几何语言：
A
B
C
A′
B′
C′
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
AB = A′B′，
BC = B′C′，
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
(1) 一个锐角和这个角的对边分别相等； ( )
(2) 一个锐角和这个角的邻边分别相等； ( )
(3) 一个锐角和斜边分别相等； ( )
(4) 两直角边分别相等； ( )
(5) 一条直角边和斜边分别相等． ( )
HL
AAS 或 ASA
SAS
AAS
AAS
判一判
典例精析
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC = BD，求证：BC = AD.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C 与∠D 都是直角.
AB = BA，
AC = BD .
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC = AD.
A
B
D
C
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中
这是应用“HL”判定方法的书写格式
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路
变式1 如图，∠ACB ＝ ∠ADB ＝ 90°，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
(4) ( )
A
B
D
C
AD ＝ BC
∠DAB ＝∠CBA
BD ＝ AC
∠DBA ＝∠CAB
HL
HL
AAS
AAS
如图，AC、BD 交于点 P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为 C、D，AD = BC.
求证：AC = BD.
变式2
HL
AC ＝ BD
Rt△ABD ≌ Rt△BAC
如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB = CD，判断 AD 和 BC 的位置关系.
变式3
HL
∠ADB ＝ ∠CBD
Rt△ABD ≌ Rt△CDB
AD∥BC
证明：∵ AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，
∴∠D＝∠F＝90°.
在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中，
AC＝AE，
AD＝AF，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴ CD＝EF.
在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中，
例2 如图，已知 AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE，求证：BC ＝ BE.
AB＝AB，
AD＝AF，
∴ Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴ BD＝BF.
∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 和∠F 的大小有什么关系？
解：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
BC = EF，
AC = DF，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B =∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵∠DEF +∠F = 90°，
∴∠B +∠F = 90°.
1. 判定两个直角三角形全等的方法不正确的有 ( )
A. 两条直角边分别相等
B. 斜边和一锐角分别相等
C. 斜边和一条直角边分别相等
D. 两个锐角分别相等
D
2. 如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，CE
⊥AB 于点 E，AD、CE 交于点 H，已知 EH
＝EB＝3，AE＝4，则 CH 的长为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
4. 如图，在△ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB，
BD = CE. 求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC = ∠BDC = 90°.
在 Rt△EBC 和 Rt△DCB 中，
CE = BD，
BC = CB，
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
3. 如图，△ABC 中，AB = AC，AD 是高，则△ADB 与△ADC (填“全等”或“不全等”)，根据是 (用简写法).
全等
HL
┑
A
F
C
E
D
B
5. 如图，AB = CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF.
求证：BF = DE.
证明：∵ BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BFA =∠DEC = 90°.
∵ AE = CF，∴ AE + EF = CF + EF，
即 AF = CE.
在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中，
AB = CD，
AF = CE，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
∴ BF = DE.
AB＝CD，
AF＝CE，
Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)
BF＝DE
Rt△GBF≌Rt△GDE (AAS)
∠BFG＝∠DEG
∠BGF＝∠DGE
FG＝EG
BD 平分 EF
如图，AB = CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF. 求证：BD 平分 EF.
A
F
C
E
D
B
G
变式训练1
如图，AB = CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF. 想一想：BD 平分 EF 吗
变式训练2
A
F
C
E
D
B
G
AB＝CD，
AF＝CE，
Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)
BF＝DE
Rt△GBF≌Rt△GDE (AAS)
∠BFG＝∠DEG
∠BGF＝∠DGE
FG＝EG
BD 平分 EF
6. 如图，有一直角三角形 ABC，∠C ＝ 90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AQ 上运动，问 P 点运动到 AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？
解：①当 P 运动到 AP＝BC 时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
PQ＝AB，
AP＝BC，
∴ Rt△ABC≌Rt△QPA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm.
能力拓展
②当 P 运动到与 C 点重合时，AP＝AC.
在 Rt△ABC 与 Rt△PQA 中，
AB＝PQ，
AC＝PA，
∴ Rt△ABC≌Rt△PQA (HL).
∴ AP＝AC＝10 cm.
∴ 当 AP＝5 cm 或 10 cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等.
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可(两个条件中至少有一个是一对边相等)

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