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复习回顾
定义 图示
垂线
线段中点
角平分线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？
情境引入
问题1 如图，若 OC 是∠AOB 的平分线，你能得到什么结论？
A
C
B
O
∠AOC = ∠BOC
问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗？
A
B
C
D
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗
相同点是： ∠ BAD = ∠ CAD；
不同点是：前者是线段，后者是射线.
三角形的角平分线
B
A
C
用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕 AD 即为三角形的∠A 的平分线.
A
B
C
A
D
问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线，你发现了什么？
三角形的三条角平分线交于一点．
A
B
C
D
E
F
问题3：一个三角形有几条角平分线？
3
思考：观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？
三角形的三条角平分线交于一点．
称之为三角形的内心．（后面学到）
例1 如图，DC 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数.
解：∵DC平分∠ACB，
又DE∥BC，
典例精析
∴∠AED =∠ACB = 80°.
∴∠ECD = 40°.
∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB.
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线.
如图，AE 是 BC 边上的中线.
三角形的“中线”
B
A
C
A
BE = EC
E
三角形的中线
(1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.
你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的
位置关系？
三条中线
交于一点
议一议
(2) 钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？
折一折，画一画，并与同伴交流.
三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.
要点归纳
典例精析
例2 在△ABC 中，AC＝5cm，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，则 BA＝____cm.
提示：将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差.
7
三角形的高的定义
从三角形的一个顶点，
向它的对边
A
B
C
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫做三角形的高线，
简称三角形的高.
如右图，线段 AD 是 BC 边上的高.
和垂足的字母.
注意
!
标明垂直的记号
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
三角形的高
思考：你还能画出一条高来吗？
一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
(1) 你能画出三角形的三条高吗？
(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？
O
(3) 锐角三角形的三条高是在三角
形的内部还是外部？
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高
如图所示.
直角边 BC 边上的高是 ；
直角边 AB 边上的高是 ；
(2) AC 边上的高是 ；
直角三角形的三条高
A
B
C
(1) 画出直角三角形的三条高，
AB
BC
它们有怎样的位置关系？
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
钝角三角形的三条高
(1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？
A
B
C
D
E
F
(2) AC 边上的高呢？
AB 边上呢？
BC 边上呢？
BF
CE
AD
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高
交于一点吗？
(4)它们所在的直线交于
一点吗？
O
E
钝角三角形的三条高
不相交于一点.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
例3 作△ABC 的边 AB 上的高，下列作法中，正确的是(　　)
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
D
例4 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为____．
方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)
求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．
例5 如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB 的度数．
解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝60°，
所以∠DAC＝∠BAD＝30°.
因为 CE 是△ABC 的高，∠BCE＝40°，
所以∠B＝50°.
所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－30°－50°＝100°.
例6 如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm，且△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，求 AB 与 AC 的长.
A
C
D
B
解: ∵AD 是△ABC 的中线，
∴CD = BD.
∵△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11cm，
∴AC + AB = 35 - 11 = 24（cm）.
又∵△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，∴AB - AC = 3 cm，
∴AB = 13.5 cm，AC = 10.5 cm.
有关三角形的高、角平分线、中线的计算
A
C
D
B
解：因为 AD 是△ABC 的中线，
所以 CD = BD.
因为△ABC 的周长为 35 cm，
BC = 11cm，
所以 AC + AB = 35 - 11 = 24 (cm).
又因为△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，
所以 AB - AC = 3 cm，
所以 AB = 13.5 cm，AC = 10.5 cm.
例7 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，S△ABC＝12，求 S△ADF－S△BEF 的值.
因为 S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
所以 S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
解：因为点 D 是 AC 的中点，所以AD＝ AC.
因为 S△ABC＝12，所以S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6.
因为EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝4.
三角形的
重要线段 概念 图形 表示法
三角形的
角平分线
三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC，
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段
三角形
的高线 从三角形的一个顶点到它对边所在的直线的垂线段
知识归纳
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
观察下列语句：
1. 无限不循环小数叫做无理数；
2. 两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
3. 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义．
请你举出你所熟知的一些定义例子.
定义
例如：
1.“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义；
2. “两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义；
3.“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程” 是“一元一次方程”的定义.
1．下列说法正确的是（　　）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
B
2．在△ABC 中，AD 为中线，BE 为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD =∠CAD；②∠ABE =∠CBE；③BD = DC；④AE = EC．其中正确的是（　　）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
D
A
B
C
D
E
3.如图，△ABC 中∠C = 90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC 的高的有 ( )
A．2 条 B．3 条
C．4 条 D．5 条
4.下列各组图形中，哪一组图形中 AD 是△ABC 的 BC 边上的高 ( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A.
B.
C.
D.
B
D
5.填空：
(1) 如图①，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则
AB = 2＿＿，BD = ＿＿，AE = ＿＿ .
(2) 如图②，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，
则∠1 =_______， ∠3 =_______，∠ABC = 2_____.
图①
图②
AF
DC
∠CAD
∠2
∠BCF
A
B
C
D
E
F
AC
解：因为 CD 是△ABC 的中线，
所以 BD = AD.
因为 BC - AC = 5cm，
所以△DBC 与△ADC 的周长差是 5 cm.
又因为△DBC 的周长为 25 cm，
所以△ADC 的周长为 25 - 5 = 20 (cm).
6. 如图，在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC - AC = 5 cm， △DBC 的周长为 25 cm，求△ADC 的周长.
A
D
B
C
7. 如图，AE 是△ABC 的角平分线.已知∠B = 45°， ∠C = 60°，求∠BAE 和∠AEB 的度数.
A
B
C
E
解：因为 AE 是△ABC 的角平分线，
因为 ∠BAC +∠B +∠C = 180°，
所以∠BAC = 180°－∠B－∠C = 180°－45°－60° = 75°.所以∠CAE = ∠BAE = 37.5°.
因为 ∠AEC = 180°－∠CAE －∠C = 82.5°，
所以∠AEB = 180°－∠AEC = 180°－82.5° = 97.5°.
所以 ∠CAE = ∠BAE = ∠BAC.
8.如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，已知∠BAC = 82°，∠C = 40°，求∠DAE 的大小.
解： 因为 AD 是△ABC 的高，
所以 ∠ADC＝90°.
因为 ∠ADC +∠C +∠DAC = 180°，
所以 ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C )
=180°－90°－40°=50°.
因为 AE 是△ABC 的角平分线，∠BAC = 82°，
所以∠CAE = 41°.
所以∠DAE =∠DAC－∠CAE = 50°－41° = 9°.
B
A
C
D
E
三角形重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
定义

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