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小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
这个黑客终于被逮住了.
是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但……
这个黑客是个小偷.
是个喜欢穿黑衣服的贼.
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着.
小明的百米成绩有进步，已达到9秒9.
好！继续努力，争取超过10秒.
不要再抢啦！每人发一个球！
有一位田径教练向领导汇报训练成绩：
相传，阎锡山在观看士兵篮球赛时，双方争抢非常激烈，于是命令：
2. 如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那 么它就不是命题.
如：画线段 AB = CD.
1. 只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.
如：相等的角是对顶角.
注意：
像这样，对某一件事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题.
一、命题的概念
命题的定义与结构
例1 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由：
（1）对顶角相等吗？
（2）画一条线段 AB = 2cm；
（3）两条直线平行，同位角相等；
（4）相等的两个角，一定是对顶角.
典例精析
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.
理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.
2）两条直线相交，有且只有一个交点（ ）
5）取线段 AB 的中点 C （ ）
1）长度相等的两条线段是相等的线段吗？( )
6）画两条相等的线段（ ）
练一练：判断下列语句是不是命题？是用“√”，
不是用“× 表示.
3）不相等的两个角不是对顶角（ ）
4）相等的两个角是对顶角（ ）
×
√
×
×
√
√
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特
征？与同伴交流.
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
（3）如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3.
都是“如果……那么……”的形式
二、命题的结构
命题一般都可以写成“如果 p，那么 q”的形式.
1. 其中 p 是这个命题的条件(题设)，
2. q 是这个命题的结论(题断).
如命题：熊猫没有翅膀.改写为：
如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.
命题
条件
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
两直线平行 同位角相等
题设（条件）
结论
命题的组成：
总结归纳
例2 指出下列命题的条件与结论.
(1) 两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行；
(2) 如果∠A =∠B，那么∠A 的补角与∠B 的补角相等.
解 ： (1)“两条直线都平行于同一条直线”是条件，“两条直线平行”是结论.
(2)“∠A =∠B”是条件，“∠A 的补角与∠B 的补角相等”是结论.
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的条件和结论.
1. 对顶角相等； 2. 内错角相等；
3. 两直线被第三条直线所截，同位角相等；
4. 同平行于一直线的两直线平行； 5. 等角的补角相等.
练一练
解：(1) 如果有两个角是对顶角，那么这两个角相等.
条件：有两个角是对顶角，结论：这两个角相等.
(2) 如果有两个角是内错角，那么这两个角相等.
条件：有两个角是内错角，结论：这两个角相等.
(3) 如果有两直线被第三条直线所截形成三线八角，
那么其同位角相等；
条件：有两直线被第三条直线所截形成三线八角，
结论：其同位角相等.
(4) 如果有两直线平行于同一直线，那么这两直线平行.
条件：有两直线平行于同一直线，
结论：这这两直线平行.
(5) 如果有两个角是相等，那么这两角的补角也相等.
条件：有两个角是相等，结论：这两角的补角也相等.
特别规定：
正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.
命题1：“如果一个数能被 4 整除，那么它也能被 2 整除”
观察下列命题，你能发现这些命题有什么不同的特点吗？
命题 1 是一个正确的命题；命题 2 是一个错误的命题.
命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”
真命题与假命题
（1）同旁内角互补（ ）
（4）两点可以确定一条直线（ ）
（2）一个角的补角大于这个角（ ）
判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“×”表示.
（5）两点之间线段最短（ ）
（3）相等的两个角是对顶角（ ）
×
（6）同角的余角相等（ ）
×
√
√
√
×
练一练
做一做：指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果 p，那么 q”的形式：
命题 条件(如果 p) 结论(那么 q)
①能被 2 整除的数是偶数
②有公共顶点的两个角是对顶角
这个数是偶数
一个数能被 2 整除
这两个角是对顶角
两个角有公共顶点
逆命题
命题 条件(如果 p) 结论(那么 q)
③两直线平行，同位角相等
④同位角相等，两直线平行
直线所截的同位角相等
两条平行线被第三条直线所截
这两条直线平行
如果两条直线被第三条直线所截的同位角相等
上述命题 ③ 与 ④ 的条件与结论之间有什么联系？
③两直线平行，同位角相等.
④同位角相等，两直线平行.
命题③与④的条件与结论互换了位置.
将命题“如果 p，那么 q”中的结论和条件互换，便得到一个新命题“如果 p，那么 q”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
例如，上述命题 ③ 与 ④ 就是互逆命题.
从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.
你还能举出其它的例子吗？
写出下列命题的逆命题：
（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；
（2）如果 m 是整数，那么它也是有理数；
（3）两直线平行，内错角相等；
（4）两边相等的三角形是等腰三角形.
绝对值相等的两个数相等.
如果 m 是有理数，那么它也是整数.
内错角相等，两直线平行.
等腰三角形的两边相等.
练一练
写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假.
（1）如果 a = b，则 a2 = b2；
（2）等角的余角相等；
（3）同位角相等，两直线平行.
（1）如果 a2 = b2 ，则 a = b，假命题.
（2）如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等， 真命题.
（3）两直线平行，同位角相等，真命题.
思考：原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题吗？
解：
反例
“因为早上我发现老张从玉米地那边过来，把一袋东西背回家，还发现我地里的玉米被人捌了，我知道老张家没有种玉米.所以我家玉米肯定是老张捌的.”
片段1：一天早上，李老汉来到衙门里告状说：老张刚刚在他地里偷捌（同扒）了一袋子玉米.吕县令立即派衙役将老张拘捕到县衙审讯:
吕县令问李老汉：“你怎知是老张偷了你的玉米 ”
这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法.
故事分析
根据李老汉的证明，你能断定玉米是老张偷的吗？你觉得有疑点吗？
李老汉想证明什么？
他是怎么证明的？
片段2：县官一时拿不定主意，就问旁边
的县丞道：“师爷，你怎么看？”
县丞说“这事要证明是老张干的，还
得弄清那袋子里装的是不是刚捌的玉米，
还要看看地里的脚印是不是老张的才行.
如果袋子里装的是刚捌的玉米，且地里的脚印是老张的，那就一定是他偷的.”
从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析.
在分析的过程中，如果发现所需要的条件都已具备，或可从已知条件中推得，那么判断就很容易了.
讨论：我们如何判断一个命题的真假？
要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.
例如：相等的两个角是对顶角.
1
2
反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
例3 写出下列命题的逆命题，并判断所得的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例.
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)如果 a = 0，那么 ab = 0.
解 ： (1)逆命题：两直线平行，内错角相等，是真命题.
(2)逆命题：如果 ab = 0，那么 a = 0，是假命题.
反例：当 a = 1，b = 0 时，ab = 0.
分析：要证明 AB，CD 平行，可以找同位角相等的条件，图中∠1 与∠3 就是同位角.
我们只要找出能说明它俩相等的条件就行了.
从图中，我们可以发现∠2 与∠3 是对顶角，所以∠3 = ∠2. 又已知∠1 = ∠2，这样我们就找到了∠1 =∠3 的确切条件了.
例4 如图，∠1 =∠2，试说明直线 AB，CD 平行.
证明：因为∠2 与∠3 是对顶角，
所以∠2 = ∠3.
又因为∠1 = ∠2，
所以∠1 = ∠3，
且∠1 与∠3 是同位角.
所以 AB 与 CD 平行.
证明：
∵∠2 与∠3 是对顶角，
∴∠3 =∠2.
又∵∠1 =∠2，
∴∠1 =∠3.
∴ AB∥CD.
例5 如图，∠1 =∠2，试说明直线 AB，CD 平行.
1.下列语句中，不是命题的是(　　)
A. 两点之间线段最短 B. 对顶角相等
C. 不是对顶角不相等
D. 过直线 AB 外一点 P 作直线 AB 的垂线
D
2.下列命题中，是真命题的是(　　)
A. 若 a · b＞0，则 a＞0，b＞0
B. 若 a · b＜0，则 a＜0，b＜0
C. 若 a · b＝0，则 a＝0 且 b＝0
D. 若 a · b＝0，则 a＝0 或 b＝0
D
3. 下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
1) 猪有四只脚；
2) 内错角相等；
3) 画一条直线；
4) 四边形是正方形；
是
真命题
否
是
假命题
是
假命题
5) 你的作业做完了吗？
6) 内错角相等，两直线平行；
7) 同垂直于一直线的两直线平行；
8) 过点 P 画线段 MN 的垂线；
9) x＞2.
否
是
真命题
是
假命题
否
否
4. 举反例说明下列命题是假命题．
(1) 若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2) 若 ab＝0，则 a＋b＝0.
解：(1) 两条直线平行形成的内错角，这两个角不
是对顶角，但是它们相等.
(2) 当 a＝5，b＝0 时，ab＝0，但 a＋b ≠ 0.
真命题
假命题
公理
定理
（只需举一个反例）
（不需证明）
（由推理证实）
1.命题的定义：
2.命题的组成：
3.命题的分类：
判断一件事情的句子
题设和结论

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