资源简介

闽侯县第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题
一、单选题
1．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．设随机变量，若，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知是函数的导函数，且，则（ ）
A． B． C．2 D．3
4．为研究某种植物的生长高度y（单位：cm）与光照时间x（单位：小时）之间的关系，研究人员随机测量了12株该种植物的光照时间和生长高度，得到的回归方程为，则样本的残差的绝对值为（ ）
A．1.05 B．1.15 C．1.25 D．1.35
5．已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．，，，…，中最大的是 D．
10．已知数列的前n项和为，首项且满足，则（ ）.
A．. B．数列为等比数列.
C．. D．.
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的极小值为 B．若存在，使得，则
C．当时，无解 D．若在上不存在极值，则
三、填空题
12．今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有 种
13．如图所示，已知一质点从原点O出发，因外力作用每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过6次移动后，该质点位于X的位置，则 .
14．在某抽奖活动中，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球2个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球3个，黄球1个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个．要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束．若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品．若甲为参与者，在其第一次抽取的不是红球的条件下，获得奖品的概率为 ．
四、解答题
15．等差数列的前n项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和.
16．某科技公司为了提升其产品的市场竞争力，每年都会投入一定的资金用于研发和市场推广.
(1)该公司从管理层到基层员工中随机抽取了120名进行调研，现将120名员工的学历划分为“高学历”和“低学历”，对投入一定的资金用于研发和市场推广划分为“支持”和“不支持”，整理得到如下数据：
支持 不支持 合计
高学历 30
低学历 40
合计 60 120
请将列联表补充完整并回答：是否有的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关？
(2)通过对该公司2015年至2024年每年的研发投入（单位：百万元）与年利润增量y（单位：百万元）的数据进行分析得到回归模型为：，且有.
请求出该模型中关于的回归方程并预测投资金额为6百万元时的年利润增量．参考公式及参考数据，其中，临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
.
17．已知函数在处取得极值.
(1)求实数的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
(3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围.
18．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复．
(1)求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为；
①求；
②当时，恒成立，求的取值范围．
19．已知函数及其导函数的定义域均为D.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点得到的数列为函数关于的“N数列”.
(1)若是函数关于的“N数列”，求的值；
(2)若是函数关于的“N数列”，记.
（i）证明数列是等比数列；
（ii）证明：.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A B B D B ABC BC
题号 11
答案 ABD
12．243
13．
14．
15．（1）设数列的公差为，
由题意，解得，
所以.
（2）由（1）知，
所以的前项和
所以
①－②得，
故.
16．（1）由题完成列联表得：
支持 不支持 合计
高学历 30 20 50
低学历 30 40 70
合计 60 60 120
由表中的数据可得，
所以没有的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关．
（2）由，
所以，，
所以，
则，
所以关于的回归方程，当时，，
所以当投资金额为6百万元时年利润增量的预测值为（百万元）.
17．（1），则，
因函数在处取得极值，
则，得，
此时，，
得或，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，故.
（2）由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，而，
则在区间上的最大值为和最小值.
（3）令，则，
则与单调性相同，
因方程有三个不同的实数根，
则，得，
则实数的取值范围为.
18．（1）设为“第4天中午选择米饭套餐”，
根据每天与前一天选择不一样的套餐，且第一天选择米饭套餐，接下来的三天中每天都只有两种选择，
因此样本空间包含个样本点，
若第一天选择米饭套餐，第4天选择米饭套餐，则第二天有两种选择，第三天的和前后两天都不能相同，仅有一种选择，
即事件中包含个样本点，
所以，
所以第4天中午选择米饭套餐的概率
（2）①设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择面食套餐”，为“第天选择西餐套餐”
根据题意，，，，
由全概率公式得：
，
∴，
因为
∴
因此，因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以
②由①可得，
当为大于1的奇数时，
当为正偶数时，
因此，当时，，所以．
19．（1），曲线在点处的切线斜率为，又，
则在处的切线方程为，
令，则，所以.
（2）（i）由题可知，则在处的切线方程为，
令，则，所以.
在处的切线方程为
令，则，所以.
所以
即
又，则，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
（ⅱ）由（ⅰ）可知，则，
要证，即证：.
因为，即证：，
即证：
构造函数，则
故在单调递增，对任意，
即，取，则有，
故只需证：，
即需证：，
构造函数，则，
故在单调递减，则，
即对任意，取，
即有，
综上，.

展开更多......

收起↑