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辽宁省实验中学 2025 届高三第五次数学模拟试卷
一 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
ì x -1
1．已知集合 A = íx 0
ü
，B = x x = 2sinq ,q R ，则 R A B =（x 4 ） -
A． -2,2 B． 2,4 C． 2,4 D． 1,4
2．已知命题 p : $x > 0， x3 > x ，则命题 p 的否定为（ ）
A．$x > 0 ， x3 x B．$x 0， x3 > x
C．"x > 0， x3 x D．"x > 0， x3 > x
3 1- i
2
．已知复数 z = ，则 z = （ ）
1+ i
A．1 B．2 C． 3 D． 2
4．在VABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a cos B + bcos A = 4sin C ，则VABC 的外接圆的半径
为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．5 个班分 4 个入团名额，每个班至多分两个名额，名额必须分完，那么不同的分法有（ ）种．
A．15 B．35 C．45 D．60
f x = 5sin x π+ +12sin x π- 2π 6．设 ÷ ÷，若 f x f x0 恒成立，则 tan x0 - ÷ =（ ）
è 3 è 6 è 3
12 5 5 12
A．- B．- C． D．
5 12 12 5
r v r r r r r r r 1 r r r r7．已知平面向量 a，b ，且 a = b = 2，a ×b = 2 c
v
，向量 满足 c - a - b = a - b ，则 c - lb l R 的最小值
2
为（ ）
A． 2 -1 B． 3 -1 C． 3 D． 2
ax28．已知 f x = 2x - lnx + x 的最小值为 0，则 a的值为（ ）e
2 1 -e 1A． -e B．- C． D．-
2e e
二 多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对
的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．已知函数 f x = cos x sin x，下列说法中正确的有（ ）
é π ù
A． f x 的最大值为 1 B． f x 在 ê0, 上单调递增 4 ú
f x x 3π f x πC． 的图象关于直线 = 对称 D． 的最小正周期为
4 2
10 C : x
2
．已知椭圆 + y2 =1的左、右焦点分别为F1，F2，直线 l交椭圆于P,Q 两点，则（ ）4
A．VPQF2的周长为 8
B．若直线 l经过点F1，则 PQ 的最小值是 1
C．若线段 PQ中点坐标为 1,1 ，则直线 l的方程为 x + 4y - 5 = 0
D．若点 M 是椭圆C 2上的任意一点，点 N 是圆D : x2 + y - 2 =1上的任意一点，则 MN 的最大值为
2 21
+1
3
11．如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1棱长为 1，点 M 是侧面 ADD1A1上的一个动点（含边界），P，Q 分别为
棱CC1， B1C1 的中点，过点 A，P，Q 的平面记为a ，则（ ）
A．若 M 在线段 A1D
2
上，则C1M // 平面 AB1C B．若C1M //a ，则点 M 的运动路径的长度为 2
25
C．存在点M ，使得 AC1 ^平面PQM D．a 分正方体两部分的体积为V1，V2（V1 < V2），则V1 = 72
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12 2 3．离心率为 ，一个焦点坐标为 (2,0)的双曲线的标准方程为 .
3
y + 3 1
13．已知 x > 0， y > 0，且 x + y =1，则 +x y 的最小值是 .
ì 1
log2 - a,-1< x < a14．已知函数 f x = í x +1 有三个零点，则实数 a的取值范围为 ．
x
2 - 4x + 3a, x a
四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后
保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为 2017 年—2024 年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，
7，8）该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计.
年份代码 i 1 2 3 4 5 6 7 8
科研经费 xi （单位：百亿元） 2 3 6 10 13 15 18 21
市场规模 yi （单位：百万辆） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6
8 8 8
参考数据： xi yi = 347， x2 2i = 1308， yi = 93， 1785 42.25 .
i=1 i=1 i=1
n
xi - x yi - y
i=1
参考公式：相关系数 r = n n .
2 2xi - x yi - y
i=1 i=1
(1)根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数，推断它们的线性相关程度（结果精
确到 0.01，当 r 越接近 1 时，成对样本数据的线性相关程度越强；当 r 越接近 0 时，成对样本数据的线性
相关程度越弱）；
(2)已知在国内，新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为 p（ p 0,1 ），从国内新能源
车主中随机抽取 5 人，记这 5 人中选择购买该品牌的人数为随机变量 X，若P X = 5 = P X = 4 ，求随机
变量 X 的数学期望和方差.
16.（本小题满分 15分）
已知数列 an n的首项 a1 =1， an + an+1 = 3 2 ．
n
（1）求证： an - 2 是等比数列；
（2）求数列 an 的前 n 项和 Sn ；
n2
（3）令bn = a - (-1)n
，求数列 bn 的最大项．
n
17.（本小题满分 15分）
在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 到点 F 1,0 的距离比它到 y 轴的距离多 1，记点 M 的轨迹为C ，过点
P -2,1 且斜率为 k 的直线 l与轨迹C 从左到右的三个公共点分别为 A, M , N ．
（1）求轨迹C 的方程
（2）求 k 的取值范围；
uuur uuur
（3）点 A, B 关于原点对称，若 AB × AP = 30，求VBMN 的面积．
18.（本小题满分 17分）
如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB ^ AC,G 为VABC 的重心， A1G ^平面 ABC, BC = 6 ，记二面角
A - BC - A1与 A - BC - C1的大小分别为a , b .
（1）当 AA1 = 4时， AB = AC 时.
（i）证明： A1B = A1C ；
（ii）求 cos b -a ；
（2）若 b = 2a ，求 AA1 的取值范围.
19.(本小题满分 17 分）
定义：若函数 f (x) 图象上恰好存在相异的两点P,Q ，满足曲线 y = f (x) 在 P 和Q处的切线重合，则称P,Q
为曲线 y = f (x) 的“双重切点”，直线 PQ为曲线 y = f (x) 的“双重切线”.已知函数 f (x) = axsinx + bcosx .
(1)当 a =1,b = 0时
（i）判断 f (x) f (x)
é π , π- ù的奇偶性，并求 在 ê ú的极值； 2 2
π
（ii）设 f (x) 在 (0, + )内的全部极值点按从小到大的顺序排列 a1,a2 ,× × ×,an ，求证： < an+1 - an < π；2
(2)当 a = 0,b =1时，直线 PQ为曲线 y = f x 的“双重切线”，记直线 PQ的斜率所有可能的取值为 k1, k2 ,L,kn ，
k 15若 k1 > k2 > ki i = 3,4,5,L, n 1，证明： 辽宁省实验中学 2025届高三第五次数学模拟试卷
一、单项选择题
1-8 CCDA 5-8 CBBA
二、多项选择题
9、BC 10、BCD 11、ABD
三、填空题
x2 2 8 1,
4
12、 y 1 13、 14、
3 3
四、解答题
8
x 1 x 2 3 6 10 13 15 18 21 8815、（1） i 11；8 i 1 8 8
y 1
8
y 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 24
8 8
i 3 . 然后计算 (xi x )(yi y) xi yi nxy，8 i 1 8 8 i 1 i 1
8 8
将 xi yi 347， n 8， x 11， y 3代入可得： (xi x)(yi y) 347 8 11 3 347 264 83 .
i 1 i 1
8 8 8
2 2 2 2
接着计算 (xi x ) xi nx ，将 xi 1308， n 8， x 11代入可得：
i 1 i 1 i 1
8
(x x) 2 1308 8 112i 1308 968 340 .
i 1
8 8 8
再计算 (yi y)2 y2 2 2i ny ，将 yi 93， n 8， y 3代入可得：
i 1 i 1 i 1
8
(yi y) 2 93 8 32 93 72 21 .最后计算相关系数 r：
i 1
8
(xi x )(yi y) 8
r i 1根据公式 8 8 ，将 (xi x)(yi y) 83，
(x 2 2 i 1i x ) (yi y)
i 1 i 1
8 8
(x 2i x) 340 ， (yi y) 2 21代入可得：
i 1 i 1
r 83 83 83，因为
340 21 7140 7140 4 1785 2 42.25 84.5
，所以 r 0.98 .
84.5
由于 | r | 0.98接近1，所以两个变量线性相关且线性相关程度很强.----------------------------------------7 分
（2）已知随机变量 X ~ B(5, p)（因为从国内新能源车主中随机抽取5人，
每个人购买该品牌汽车的概率为 p，符合二项分布的定义），
k k n k
根据二项分布的概率公式 P(X k) Cn p (1 p) ，由 P(X 5) P(X 4)可得：
C5 5 0 4 4 15 p (1 p) C5 p (1 p) ，即 p5 5p4 (1 p)，因为 p (0,1)，得 p 5(1 p)，
解方程 p 5 5p p
5
，得 .
6
再根据二项分布的数学期望公式 E(X ) np和方差公式D(X ) np(1 p)，
5
将 n 5， p 代入可得： E(X ) 5
5 25 5 5 5 1 25
；D(X ) 5 (1 ) 5 .------------------------13分
6 6 6 6 6 6 6 36
a a 3 2n a 2n 1 a 2n16、（1）因为 n n 1 ，所以 n 1 n ，又 a1 1，所以 a1 2 1，
所以 a nn 2 是以 1为首项， 1为公比的等比数列；----------------------------------4 分
（2）由（1）可得 an 2
n 1 n，所以 an 2n 1
n
，
所以 Sn 2
1 1 1 22 1 2 2n 1 n
n
1 1 1
n n
21 22 2n 1 1 1 2 1 n 2 1 2 n 1 1 1 2 2 .-----10分1 2 1 1 2
n2 n2
（3）由（2）可得bn ，an ( 1)
n 2n
n 1 2 n2 n 1b b
2 2n 2 22n 1 n2 n 1 2
则 ，
n 1 n 2n 1

2n

2n 1

2n 1

2 n 1
所以当1≤ n≤ 2时bn 1 bn 0，当 n 3时bn - b < 0+ 1 n ，
9
即b1 b2 b3 b4 b5 ，所以数列 bn 的最大项为b3 ；----------------------------------15 分8
17、（1）设M x, y ，依题意得： MF x 1 x 1 2，即 y2 x 1，
2
化简得， y 2 x 2x，
2 4x, x 0
所以点 M的轨迹 C的方程为 y ，-----------------------------------------------3 分
0, x 0
y 1 k x 2
（2）设直线 l的方程为 y 1 k x 2 ．由方程组 2 ，
y 4x
2
可得 ky 4y 4 2k 1 0．要使得有三个交点，则 k 0，
2
方程 ky 4y 4 2k 1 0 2的判别式为Δ 16 2k k 1 ，
2k + 1
设直线 l与 x轴的交点为 x0 ,0 ，则由 y 1 k x 2 ，取 y 0得 x0 = - ．k
Δ 16 2k 2 k 1 0

当 2k 1 ，解得 1
1
k 0 k 1或 ，
x0 0 2 2 k
k 1, 1 1故当



0, 时，直线 l与轨迹 C恰有三个公共点．---------------------------8 分
2 2
2 2
（3）设M
y1 y2 4
,y1 ,N ,y2 ，由（1）知 y1 y2 , y y 4
1
4 4 k 1 2
2
k
，

所以 y1y2 8 y1 y2 ，
1 y y y y
由直线 l的方程可知 A x0 ,0 , x0 2 1 2 B
1 2
，故
k 4
,0 ，
4

所以 AB
y1y2 y y x
1 2
0 ,0 ,0 ， AP
y y 2 1 2 ,1
4 2
，
4

AB y y y AP 1 2 1y2 则 2 30，整理得 y y2 4 1 2 y1y2 8 240，解得 y1y2 20，
从而 y1 y2 12，故 y1 2, y2 10，
则M 1,2 ,N 25,10 2 2，B 5,0 ，即直线MN为 x 3y 5 0， MN 1 25 2 10 8 10，
5 5
点 B到直线MN 的距离为 10 ，
12 32
1 1
所以 S BMN MN 10 8 10 10 40．---------------------------------------15 分2 2
18（1）延长 AG交CB于O，则O是 BC的中点； AB AC ， OA BC，
A1G 平面 ABC， BC 平面 ABC， A1G BC， A1G OA G， A1G,OA 平面OAA1，
BC 平面OAA1，OA1 平面OAA1， BC OA1， A1B A1C .----------------------------------------4 分
（2） AB AC,G为V ABC的重心， BC 6，所以 AO 3,AG 2，
由 A1G 平面 ABC得 A1G⊥OA，故 A1G AA
2
1 AG
2 16 4 2 3，
如图，过O作Oz / /A1G，以OA,OB,Oz分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系O xyz，
因为二面角 A BC A1与 A BC C1的大小分别为 , ，知 即二面角 A1 BC C1，

O 0,0 ,B 0,3,0 , A1 1,0,2 3 , A1 1,0,2 3 ，故OB 0,3,0 ,OA1 1,0,2 3 ，
设平面 A1BC
r
的一个法向量 n x, y, z ，

x 2 3 OB n
OB

n 0 3y 0
则 ，取 y 0
OA

1 n OA1 n 0 x 2 3z 0
z 1

平面 A1BC的一个法向量 n 2 3,0,1 ，
BCC r

设平面 1的一个法向量m x1, y1, z1 ，CC1 AA1 2,0, 2 3 ，
3y 0 x1 3 OB m OB m 0
则
1
，取 y
2x 2 3z 0 1
0 ，
AA1 m AA1 m 0 1 1
z1 1
所以平面 BCC

1的一个法向量m 3,0,1 ，
m n
cos cosm n 5 13 .---------------------------------------------------------------------------10分m n 26
（3）如图，过O作Oz / /A1G，过O作Ox BC，以Ox,OB,Oz分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系O xyz，
因为 AO 3，设 A 3cost,3sint,0 ,cost 0, A1G h，则 A1 cost,sint,h ，

故OB 0,3,0 ,OA1 cost ,sint ,h ，设平面 A1BC的一个法向量 t x2 , y2 , z2 ，
x h
OB t OB t 0 3y 0
2
则
2
，取 y2 0 ，平面 A1BC的一个法向量为
OA t OA t 0 costx2 sinty2 hz2 01 1 z2 cost
n h,0, cost ，

平面 ABC的一个法向量为 s 0,0,1 ，

设平面 BCC1的一个法向量 q x3, y3, z3 ，CC1 AA1 2cost , 2sint ,h ，

x h OB q
OB q 0 3y 0
3
则
3
，取 y3 0 ，所以平面 BCC 2costx 2sinty hz 0 1
的一个法向量为
AA1 q AA1 q 0 3 3 3 z3 2cost

t h,0,2cost ，
由 2 得二面角 A BC A1与C1 BC A1相等，
n s n t n s

n t cost h2 2cos2t
，即 ，n s n t s t 1 h2 (2cost)2
整理得 h2 5cos2t，所以cost 0,1 ， h 0, 5 ，
所以 AA1 4cos
2t 4sin2t h2 4 h2 2,3 .------------------------------------------------------------------17分
18、（1）【详解】（1）（i）当 a 1,b 0时， f (x) xsinx，
因为 f ( x) x sin( x) x sin x f (x)，故 f (x)是偶函数，由 f (x) sin x x cos x， x
π π , ， 2 2
x π当 ,0

时， f x ＜0， f (x)单调递减，
2

当 x 0,
π
时， f x 0， f (x)单调递增，
2
f (x) π π 故 在 , 的极小值为 f (0) 0，无极大值.----------------------------------------------------------------4 分 2 2
（ii）由（i）得 f (x) sin x x cos x，令 f (x) 0，则 sin x xcos x 0，
对满足方程的 x有cos x 0，所以 x tan x，设 x0是 f (x) 0的任意正实根，则 x0 tan x0 ，
π
则存在一个非负整数 k，使 x0 kπ, π kπ ，即 x0为第二或第四象限角，
2
因为 f (x) sin x xcos x cos x tan x x ，
所以在第二或第四象限 x变化时， f (x)变化如下，
x π kπ, x0 x0 x0 , π kπ
2
f (x)（ k为奇数） 0 +
f (x)（ k为偶数） + 0
所以满足 f (x) 0的正根 x0都为函数 f (x)的极值点，由题可知 a1,a2 , ,an, 为方程 x tan x的全部正实根，
且满足 a1 a2 an ， (n 1, 2, )，
所以 an 1 an tan an 1 tan an 1 tan an 1 tan an tan an 1 an ，
π
因为 n 1 π a πn π n 1 π， nπ an 1 π nπ， (n 1, 2, )，2 2
π
则 an 1 a
3π
n ，由 tan an 1 tan an 0，可得 tan an 1 an 0，2 2
π
故 an 1 an π得证.---------------------------------------------------------------------------------------------------10分2
（2）由题意得 f (x) axsinx bcosx，当 a 0,b 1时， f (x) cosx，
设 k1对应的切点为 (x1, cos x1), (x 1 , cos x 1 )， x1 x ， k1 2对应的切点为 (x2 , cos x2 ), (x 2 .cos x 2 )， x2 x2 ，
由于 (cos x) sin x，所以 k1 sin x1 sin x 1 ， k2 sin x2 sin x
'
2，
π
由余弦函数的周期性，只要考虑 π x2 x1 的情形，2
又结合余弦函数的图象，只需考虑 x 1 x1 π， x2 x 2 3π情形，
k cos x

1 cos x1 cos( π x1 ) cosx1 2cosx cos x 则 1 ， k 2
cos x2 cos(3 π x2 ) cosx2 2cosx
1 2
2 ，
x x (π x ) x π 2x (3π x ) x 3π 2x1 1 1 1 1 x2 x2 2 2 2
3π
π k1 cos x
x
1 2 2 k 2cos x1 sinx k 2cos x其中 π x2 x ，得到 ，又 1
2 sin x
1 2 k π2 cos x2 x π 2x
1 ， 2 2 ，
1 3π 2x2
2 1
即 cos x
π
1 ( x
3π
1) sin x1， cos x2 ( x2 ) sin x2 ，当 π x
π
时， sin x 0， cos x 0，
2 2 2
F (x) cos x x π π令 （ π x ），
sin x 2 2
2 2 2
则 F(x1) 0
sin x cos x
， F (x) 2 1
1 1 cos x
sin x sin 2 x sin 2
0 ，
x
F(x) 5π在 ( π, π)
5π
上单调递减，又 F ( ) 3
5π π
0，所以 π x1 ，2 6 6 2 6
π x x 5π
cos x
所以 2 1 ，此时 1 cos x2 cos x1 0 0
1
，则 1
6 cos x
，
2
3π x 3π 3πk cos x 2 x2 ( π)1 1 2 2 2 15故 π π π 5π 得证.-------------------------------------------------------------17分k2 cos x2 x1 x1 ( )
8
2 2 2 6

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