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七下数学期末复习讲练01 选择题（23个考点共69题）
TOC \t "标题 2,1" \h \u 考点讲练01：同底数幂的乘法 2
考点讲练02：幂的乘方与积的乘方 2
考点讲练03：同底数幂的除法 3
考点讲练04：单项式乘单项式 3
考点讲练05：单项式乘多项式 4
考点讲练06：多项式乘多项式 5
考点讲练07：乘法公式 6
考点讲练08：平移的概念与性质 7
考点讲练09：轴对称的概念与性质 8
考点讲练10：旋转的概念与性质 8
考点讲练11：二元一次方程的概念 10
考点讲练12：二元一次方程组的概念 11
考点讲练13：解二元一次方程组 11
考点讲练14：三元一次方程组的概念和解法 12
考点讲练15：用二元一次方程组解决问题 13
考点讲练16：不等式的概念 13
考点讲练17：一元一次不等式的概念 14
考点讲练18：解一元一次不等式 14
考点讲练19：解一元一次不等式组 15
考点讲练20：用一元一次不等式解决实际问题 16
考点讲练21：命题 17
考点讲练22：证明 17
考点讲练23：定理 18
考点讲练01：同底数幂的乘法
【典例】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数），类似我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如，则，若，那么的结果是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25七年级下·福建三明·期中）若，是正整数，且满足，则正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点讲练02：幂的乘方与积的乘方
【典例】（24-25七年级下·广东深圳·期中）麒麟智慧学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道可以求的值．如果知道可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么，下列正确的有几个（ ）
；；
；．
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法：
①；
②当，，，时，在的所有因数中，能被4整除但不能被8整除的共有6个；
③若，是大于2000的整数，则满足条件的的最小值为11．
正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
考点讲练03：同底数幂的除法
【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点讲练04：单项式乘单项式
【典例】（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）下列运算一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、（，，）表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）．
对于任意的正整数m，n，下列说法：
①若，则k可以是奇数，也可以是偶数；②；③的最小值是36；其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式2】（21-22八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
考点讲练05：单项式乘多项式
【典例】（24-25七年级下·江苏常州·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①
②若，则
③若，则
④若，则
其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【变式1】（24-25八年级上·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（ ）个．
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级上·全国·期中）如图是L形钢材的截面，个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（　　）个
；
；
；
；
A． B． C． D．
考点讲练06：多项式乘多项式
【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）规定：对于依次排列的多项式，，，（、、、是常数），当它们满足（为常数），则称、、、是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．下面四个结论：
①对于多项式，，，，则3、2、5、4是一组平衡数；②已知1、2、5、6是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子；③已知、、、是一组平衡数，若，，则；④当、、、之间满足时，它们是一组平衡数．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式中x6项的系数为（　　）
A．80 B．60 C．40 D．20
考点讲练07：乘法公式
【典例】（24-25七年级下·浙江温州·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0~8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（ ）
A．0 B．6 C．7 D．8
【变式2】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
考点讲练08：平移的概念与性质
【典例】（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移得到交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2025·江苏无锡·一模）如图所示，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，可由平移得到的三角形有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
考点讲练09：轴对称的概念与性质
【典例】（24-25七年级下·山东泰安·期中）把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25七年级下·湖北·期中）如图，将四边形折叠，折痕为，连接并延长交延长线于点，若，，平分．则下列结论：①．②；③平分；④．其中错误的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式2】（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点讲练10：旋转的概念与性质
【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果把一个图形绕某一点旋转一定角度后，能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形．如图是一个旋转对称图形，以为旋转中心，下列旋转角度中，能使旋转后的图形与原图形重合的是（ ）．
A． B． C． D．
【变式1】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图1，在长方形中，是对角线．
(1)如图2，将长方形绕点逆时针旋转，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接．
①如果，则旋转角为___________；如果旋转角为，则___________；
②如果，则的面积为___________；
(2)如图3，在（1）旋转的基础上，再把长方形绕点顺时针旋转，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，若面积是面的2倍，请直接写出此时长方形的面积为___________．
【变式2】（23-24七年级上·上海松江·期末）如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（ ）

A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到
B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到
C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到
D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得
考点讲练11：二元一次方程的概念
【典例】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，．设．若且，则称，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．15
【变式2】（24-25九年级上·山东·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点讲练12：二元一次方程组的概念
【典例】（22-23七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（21-22七年级下·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤
考点讲练13：解二元一次方程组
【典例】（24-25七年级下·北京·期中）已知关于 x、y的方程组，给出下列说法：
①当时，x、y的值都相等； ②当时，x、y的值互为相反数；
③无论a为何值，y的值都不变； ④若，则．
其中说法正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）已知为整式，且，其中为正整数，为自然数，令．下列说法：
①若时，和满足，则；
②不存在和的值，使；
③若时，，，则满足条件的所有整式的和为．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于、的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②无论取何值，、的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解：④的都为自然数的解有4对．其中正确的为（　　）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④
考点讲练14：三元一次方程组的概念和解法
【典例】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24七年级下·重庆·期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237 B．350 C．425 D．901
考点讲练15：用二元一次方程组解决问题
【典例】（2025·天津·一模）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2025·河北·模拟预测）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（ ）
A．设有名客人，个盘子，根据题意可得
B．设有名客人，根据题意可得
C．有20名客人
D．有13个盘子
【变式2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．30种
考点讲练16：不等式的概念
【典例】（24-25七年级下·北京·期中）若，则下列不等式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
考点讲练17：一元一次不等式的概念
【典例】（22-23七年级下·吉林长春·期中）下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（21-22八年级下·陕西渭南·期中）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25七年级下·山西晋城·期中）语句“与的的差是非负数”表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点讲练18：解一元一次不等式
【典例】（2017·福建龙岩·一模）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是( )
A．或 B． 或
C．或 D． 或
【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ）
A． B． C． D．
考点讲练19：解一元一次不等式组
【典例】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2025·山西·模拟预测）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）对于点，，给出如下定义：在直线上，若存在点，使得，则称点是“点到点的倍分点”．例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点．
已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2．
下列说法正确的有（ ）
①点B是点A到点C的倍分点；②点C是点B到点A的倍分点；
③点B到点C的3倍分点表示的数是1；④点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，则x的取值范围为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点讲练20：用一元一次不等式解决实际问题
【典例】（24-25七年级下·全国·单元测试）小玲乘飞机旅游，已知她乘飞机产生的碳排放量为，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成乘公交车．依据图中的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或乘公交车的来回总距离都为，则与驾驶汽车相比，要使减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，她改乘公交车上下班的天数至少要达到（ ）．
交通工具每移动产生的碳排放量·自行车：·公交车：·摩托车：·汽车：·电动车：
A．310天 B．309天 C．308天 D．307天
【变式1】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）某地推出“筑梦学子，共享未来”共享单车租赁服务计划，具体资费规则如下：
租赁类型 基础费用（元） 免费时长（分钟） 超时每分钟收费（元）
标准租赁 1.5 15 0.2
学生会员租赁 1.5 30 0.1
包日畅骑 10 不限时长 /
以上资费有以下补充说明：
①学生会员需缴纳月费5元，租赁时出示有效学生证即可享受优惠．
②包日畅骑仅限当日有效，不限使用次数．
出发前有8人请假，现只有32人参加此次活动，班级计划部分同学打车（每车36元，每辆车坐满4人），其余同学骑行包日畅骑．恰逢节假日，包日畅骑基础费用打4折．若总交通预算为200元，最多允许几个人打车（ ）
A．8人 B．12人 C．16人 D．20人
【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有若干名学生星期天去公园游玩，公园售票窗口标明票价：每人10元，团体票25人以上（含25人）可享八折优惠．若选择购买单人票比选择购买团体票更划算，则学生最多有（ ）
A．23名 B．25名 C．19名 D．20名
考点讲练21：命题
【典例】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列命题中，属于真命题的是
A．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角是同位角，那么这两个角一定相等
D．如果，那么
【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列命题中，①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种；④不相交的两条直线是平行线；⑤有公共顶点且有一条公共边的两个角互为补角是假命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列语句中真命题的个数是（ ）
①两直线平行，同旁内角相等；
②三角形的三条高交于三角形内一点；
③若，，则；
④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤命题“对顶角相等”的逆命题是真命题；
⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点讲练22：证明
【典例】（23-24八年级下·福建漳州·期中）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设三角形的三个内角（，，）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（　　）
A． B． C． D．
【变式1】（22-23八年级上·浙江丽水·阶段练习）下列各数中可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（21-22七年级下·山东济宁·期末）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
考点讲练23：定理
【典例】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等 D．延长至D使
【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·开学考试）下列语句中，是定义的是（　　）
A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等
C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形
【变式2】（22-23八年级下·吉林松原·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理
C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题
答案与解析
考点讲练01：同底数幂的乘法
【典例】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数），类似我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如，则，若，那么的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】本题考查整式混合运算，同底数幂的乘法，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握乘方的意义．根据分别求出和，根据同底数幂的乘法法则计算即可．
【完整解答】解：，，
，
故选：C．
【变式1】（24-25七年级下·福建三明·期中）若，是正整数，且满足，则正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】本题主要考查有理数的乘方，由，知，即，据此可得答案．
【完整解答】解：∵，
∴，
∴，
则，
故选：D．
【变式2】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路引导】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据已知等式可得，则，由此即可得．
【完整解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
考点讲练02：幂的乘方与积的乘方
【典例】（24-25七年级下·广东深圳·期中）麒麟智慧学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道可以求的值．如果知道可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么，下列正确的有几个（ ）
；；
；．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，根据新定义及幂的运算法则逐一排除即可，熟记幂的运算法则是解题的关键．
【完整解答】解：∵，
∴，原选项正确，符合题意；
∵，，
∴，原选项正确，符合题意；
设，，，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴，原选项错误，不符合题意；
设，，，
∴，，，
∴，，
即，，
∴，
∴，
∴，
∴，原选项正确，符合题意；
∴正确，共个，
故选：．
【变式1】（24-25七年级下·河北张家口·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别计算出各项的结果，再进行判断即可．
【完整解答】解：A．，计算正确，符合题意；
B．，故原选项错误，不符合题意；
C．，故原选项错误，不符合题意；
D．，故原选项错误，不符合题意；
故选：A．
【变式2】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法：
①；
②当，，，时，在的所有因数中，能被4整除但不能被8整除的共有6个；
③若，是大于2000的整数，则满足条件的的最小值为11．
正确的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【思路引导】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘等知识，可求，，，以此类推得出，假设成立，则，可求，然后举反例说明等式不成立即可判断①，求出，然后列出被4整除但不能被8整除的因数有4、12、36，共3个，即可判断②；求出，然后根据，，即可求出最小n的值，即可判断③．
【完整解答】解：∵，，
∴，
∴，
，
以此类推，，
若，则，
∴，
∴，
当，时，左边，右边，
∴左边右边，
∴假设不成立，故①错误；
∵，，，，
∴，
∴，
∴能被4整除但不能被8整除的因数有，，，共3个，故②错误；
∵，，
∴，
又是大于2000的整数，
∴，
又，，
所以最小整数n的值为11，故③正确，
故选：B．
考点讲练03：同底数幂的除法
【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）若，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【思路引导】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方．分别计算、、的值：比较大小可得，即可求解．
【完整解答】解：，，．
，即．
故选：D．
【变式1】（24-25七年级下·江苏常州·期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路引导】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、积的乘方法则逐项判断即可得．
【完整解答】解：A、，则此选项计算正确，符合题意；
B、与不是同类项，不可合并，则此选项计算错误，不符合题意；
C、，则此选项计算错误，不符合题意；
D、，则此选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
【变式2】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方，先根据同底数幂的除法和幂的乘方将转化为，再代入计算即可．解题的关键是掌握：同底数幂的除法法则：同底数的幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【完整解答】解：∵，
∴
，
∴的值为．
故选：D．
考点讲练04：单项式乘单项式
【典例】（24-25七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）下列运算一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】本题考查的是单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方，根据单项式乘单项式、积的乘方与幂的乘方法则计算，判断即可．
【完整解答】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意，
B、，故本选项计算错误，不符合题意，
C、，计算正确，符合题意，
D、，故本选项计算错误，不符合题意，
故选：C．
【变式1】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、（，，）表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）．
对于任意的正整数m，n，下列说法：
①若，则k可以是奇数，也可以是偶数；②；③的最小值是36；其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【思路引导】本题考查同底数幂的乘法、单项式乘以单项式，数字类规律探究，理解题意是解答的关键．先根据前几个变化规律得到，再逐一分析各说法即可求解．
【完整解答】解：由题意，第一组数组为，
第二组数组为，
则第三组数组为，第四组数组为，
，
，
，
，
，
此次类推，n为正数，
，
为正整数，
为偶数，故①不符合题意；
，
，
，故②不符合题意；
，n为正整数，表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，
当，时最小，
的最小值为，故③符合题意，
故选：B．
【变式2】（21-22八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可．
【完整解答】解：∵，
，解得：，
∴．
故选：A．
考点讲练05：单项式乘多项式
【典例】（24-25七年级下·江苏常州·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①
②若，则
③若，则
④若，则
其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【思路引导】本题考查了有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、单项式乘以多项式等知识，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义可得，计算有理数的运算即可判断①正确；根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可判断②正确；先求出，，再根据新运算的定义代入计算，由此即可判断③正确；根据新运算的定义可得，则可得或，由此即可判断④错误．
【完整解答】解：由题意得：
，结论①正确；
由题意得：，
∵，
∴，
解得，结论②正确；
∵，
∴，，
∴
，结论③正确；
由题意得：，
∵，
∴，
∴或，
∴或，结论④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选：A．
【变式1】（24-25八年级上·浙江台州·期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（ ）个．
A． B． C． D．
【答案】B
【思路引导】本题考查了新定义运算、整式乘法的应用，熟练掌握运算法则，理解新定义是解题的关键．
根据题意列出算式， 求出的值，即可得出答案．
【完整解答】解：由题意得，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵均为整数，且，，，，
∴或 或 ，
当 时，，，此时幸运数为，
当时，，，此时幸运数为，
当 时，，，此时幸运数为，
则满足条件的“幸运数”有个，
故选：．
【变式2】（24-25八年级上·全国·期中）如图是L形钢材的截面，个同学分别列出它的截面面积的算式，你认为正确的有（　　）个
；
；
；
；
A． B． C． D．
【答案】B
【思路引导】此题考查了整式的运算，根据添加不同辅助线即可求解，熟练掌握整式运算法则，正确添加辅助线是解题的关键．
【完整解答】解：①如图，
的面积=左边竖着的矩形的面积下面横着的矩形的面积，故错误；
如图，
的面积上边竖着的矩形的面积下面横着的矩形的面积 ，故正确；
如图，
的面积两个长方形的面积小正方形面积， 故正确；
如图，
的面积竖着的大矩形的面积横着的大矩形的面积重叠部分的正方形的面积，故错误；
如图，
的面积大矩形的面积由辅助线构成的小矩形的面积，故正确，
综上可得：正确，共3个，
故选：B．
考点讲练06：多项式乘多项式
【典例】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路引导】本题考查了数字类规律变化问题，由数列可得展开式中所有项的系数和是，据此解答即可求解，掌握数字的变化规律是解题的关键．
【完整解答】解：当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
当时，展开式中所有项的系数和为，
,
∴展开式中所有项的系数和是，
∴展开式中所有项的系数和是，
故选：．
【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）规定：对于依次排列的多项式，，，（、、、是常数），当它们满足（为常数），则称、、、是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．下面四个结论：
①对于多项式，，，，则3、2、5、4是一组平衡数；②已知1、2、5、6是一组平衡数，则该组平衡数的平衡因子；③已知、、、是一组平衡数，若，，则；④当、、、之间满足时，它们是一组平衡数．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【思路引导】本题考查多项式乘多项式，解题的关键在于观察两个展开式中各项之间的关系，通过观察，我们会发现，．
①②直接根据定义计算的值；③根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为，代入，可得结论；④根据③可得，，，之间满足的数量关系式．
【完整解答】解：∵对于多项式，，，，
∴
，
∴3、2、5、4是一组平衡数，故①正确；
1，，5，6是一组平衡数，
故②错误；
，，，是一组平衡数，
，
，
，
，
，，
，
，故③错误；
由③得：，
当，即时，，，，是一组平衡数，
故④错误，
故选:A．
【变式2】（24-25七年级下·浙江金华·期中）如图，在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，介绍了展开式的系数规律，称为“杨辉三角”．如第5行的5个数是1，4，6，4，1，恰好对应着展开式中的各项系数．利用上述规律计算关于x的多项式中x6项的系数为（　　）
A．80 B．60 C．40 D．20
【答案】B
【思路引导】本题考查对“杨辉三角”规律的运用以及多项式乘法法则，解题关键是利用“杨辉三角”得出展开式，再通过分析多项式乘积中项的构成来确定其系数．
由已知规律得，再利用多项式乘多项式法则求出项的系数即可．
【完整解答】根据“杨辉三角”的规律得：
，
，
，，
项的系数为：．
故答案为：B．
考点讲练07：乘法公式
【典例】（24-25七年级下·浙江温州·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图所示的“小熊幻圆”中，使得每个大圆圈上的四个数字的和都等于，若每个大圆圈上的四个数字的平方和分别记，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，则，，所以，再结合，求出，然后对，即，最后代入求值即可，掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
【完整解答】解：∵每个大圆圈上的四个数字的和都等于，
∴，
∴，，
设上面大圆圈四个数字的平方和记为，下面大圆圈四个数字的平方和记为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0~8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（ ）
A．0 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【思路引导】本题考查有理数的乘方和加法运算，整式的运算，乘法公式，掌握有理数的乘方和加法运算法则，以及整式运算法则和乘法公式是解题的关键．
根据每个正方形四个顶点上的四个数字的和都等于16，则三个正方形上的数字之和为48，可得，由于，进而得，即可解决问题．
【完整解答】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，
∴三个正方形顶点上的数字之和为：，
则到这个数字之和为：，
∵、、都加了两次，
∴，
∴，
∴，
∵，
而，
∵三个正方形交点处的三个数字的平方都加了两次，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将代入得，
∴，
∴．
故选D．
【变式2】（24-25七年级下·安徽宣城·期中）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路引导】本题考查零指数幂，平方差公式，积的乘方，先分别计算a，b，c的值，再比较即可．
【完整解答】解：，
，
，
因为，所以，
故选：B．
考点讲练08：平移的概念与性质
【典例】（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图，将直角三角形沿方向平移得到交于点，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了平移的性质，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．
由平移的性质可知、，，进而得出，然后说明，最后根据面积公式得出答案．
【完整解答】解：∵将直角三角形沿方向平移得到交于点，
∴、，，
∴．
∴．
故选：C．
【变式1】（2025·江苏无锡·一模）如图所示，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【思路引导】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质，并灵活应用．
利用平移的性质逐项进行判断即可．
【完整解答】解：①四边形的面积加上的面积为的面积，
四边形的面积加上的面积为的面积，
而和面积相等，
所以，四边形的面积与四边形的面积相等，
故①正确，符合题意；
②由平移的性质可得，，但与不一定相等，
故②错误，不符合题意；
③根据平移的性质可得，
所以，向右平移了，
故③错误，不符合题意；
故选：B．
【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，可由平移得到的三角形有（ ）．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【思路引导】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
根据平移的性质解答即可．
【完整解答】解：平移不改变图形的形状、大小、方向，
可由平移得到的三角形有个，
故选：B．
考点讲练09：轴对称的概念与性质
【典例】（24-25七年级下·山东泰安·期中）把一张长方形的纸按照如图所示折叠，点落在处，点在边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路引导】本题考查平行线的性质，轴对称的性质．由折叠可得，再由平行线的性质即可解答．
【完整解答】解：∵，
∴，
由折叠可得，
∵在长方形纸片中，，
∴．
故选：B
【变式1】（24-25七年级下·湖北·期中）如图，将四边形折叠，折痕为，连接并延长交延长线于点，若，，平分．则下列结论：①．②；③平分；④．其中错误的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，翻折的性质等知识，利用平行线的性质可得，从而得出，即可得出①正确，由平行线的性质和翻折的性质可知②正确；根据平行线的性质可得，若平分，则可证明，根据现有条件无法说明，从而得不到平分，故③错误；设，则，再利用翻折和平行线的性质表示出的度数，从而判断④正确．
【完整解答】解：，
，
，
，
，故①正确；
，
四边形折叠，
，故②正确；
平分，
，
，
，
若平分，则，
∴，即，
根据现有条件无法说明，即不能说明，故得不到平分，故③错误；
设，
则，
，
，，
，故④正确，
综上所述，错误的有③，
故选：D．
【变式2】（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了翻折变换，掌握长方形纸条的性质和翻折不变性成为解题的关键．
根据长方形纸条的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出，继而求出的度数，再减掉即可得的度数．
【完整解答】解：如图：延长到H，由于纸条是长方形，
∴，
∴，
根据翻折不变性得，
∴，
又∵，
∴，．
在梯形中，，
根据翻折不变性，．
故选C．
考点讲练10：旋转的概念与性质
【典例】（24-25七年级下·全国·课后作业）如果把一个图形绕某一点旋转一定角度后，能与原来的图形重合，那么这个图形叫作旋转对称图形．如图是一个旋转对称图形，以为旋转中心，下列旋转角度中，能使旋转后的图形与原图形重合的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据旋转后与原图形重合，找出对应的旋转角即可解答．
【完整解答】解：由题意知，
旋转后与原图形重合，
故选：C．
【变式1】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图1，在长方形中，是对角线．
(1)如图2，将长方形绕点逆时针旋转，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接．
①如果，则旋转角为___________；如果旋转角为，则___________；
②如果，则的面积为___________；
(2)如图3，在（1）旋转的基础上，再把长方形绕点顺时针旋转，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，若面积是面的2倍，请直接写出此时长方形的面积为___________．
【答案】(1)①70；40；②
(2)
【思路引导】本题主要考查了旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键．
（1）①旋转角的大小即为的度数，据此求解即可；根据题意可得，再求出的度数即可得到答案；②根据旋转的性质得到，，再求出的长即可利用三角形面积计算公式求出答案；
（2）由旋转的性质可得，，则有，则可推出，再根据已知条件求出的长即可得到答案．
【完整解答】（1）解：①∵，
∴，
∴旋转角为；
∵旋转角为，
∴，
∴，
∴；
②由旋转的性质可得，，
∴，
∴；
（2）解：由旋转的性质可得，，
∵面积是面的2倍，，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴．
【变式2】（23-24七年级上·上海松江·期末）如图1是中国数学会的会徽，，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形． 将会徽抽象为图2，记，，． 对图2进行图形运动得到图3，下面的说法不正确的是（ ）

A．可以看作是绕点B顺时针旋转得到
B．可以看作是沿着方向平移距离a，再沿方向平移距离b得到
C．可以看作是绕点D逆时针旋转得到
D．图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，可得
【答案】B
【思路引导】本题考查了平移的性质与旋转的性质：根据平移的性质与旋转的性质，等积変化逐一判断即可；掌握平移的性质与旋转的性质是解题的关键．
【完整解答】解：A．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意；
B．可以看作是沿着方向平移距离b，再沿方向平移距离a得到，结论错误，故符合题意；
C．由旋转的定义可以判定结论正确，故不符合题意；
D．图形运动后并没有改变图形的面积，通过图和图的面积表示得，结论正确，故不符合题意；
故选：B．
考点讲练11：二元一次方程的概念
【典例】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键．
先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得．
【完整解答】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为，
A、将代入得：，则此项不符合题意；
B、将代入得：，则此项不符合题意；
C、将代入得：，则此项不符合题意；
D、将代入得：，则此项符合题意；
故选：D．
【变式1】（24-25九年级下·陕西西安·阶段练习）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，．设．若且，则称，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程，根据题意不管，，为原位大三和弦还是，，为原位小三和弦都可以推出，据此结合求出方程的正整数解个数即可得到答案．
【完整解答】解：当，，为原位大三和弦时，则且，
∴，
∴或或或或，
∴原位大三和弦的个数为5个；
当，，为原位小三和弦时，则且，
∴，
∴或或或或，
∴原位小三和弦的个数为5个；
∴用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为，
故选：C．
【变式2】（24-25九年级上·山东·期末）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2400元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2400元恰好用完，则该社团共有几种购买方案（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【思路引导】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系式．根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球，根据题意，列出方程，分类讨论即可．
【完整解答】解：根据题意，设购买了个篮球，购买了个足球，
，
整理得：且，为正整数，
当时，；
当时，；
当时，；
综上所述，该社团共有3种购买方案．
故选：C．
考点讲练12：二元一次方程组的概念
【典例】（22-23七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】直接把，代入各方程进行检验即可．
【完整解答】、把，代入：左边，故此项不符合题意；
、把，代入：左边，故此项不符合题意；
、把，代入：左边，故此项符合题意；
、把，代入：左边，故此项不符合题意；
故选：．
【考点点拨】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
【变式1】（21-22七年级下·福建福州·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可．
【完整解答】解：∵方程组的解是，
∴方程组的解满足关系式，
解得，，
故选：C
【考点点拨】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键．
【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①②③⑤
【答案】C
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“①只有两个未知数；②未知数的项最高次数都应是一次；③都是整式方程”．据此即可判断．
【完整解答】解：由二元一次方程组的概念：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的整式方程；可判断①②⑤是二元一次方程组．
故选：C．
考点讲练13：解二元一次方程组
【典例】（24-25七年级下·北京·期中）已知关于 x、y的方程组，给出下列说法：
①当时，x、y的值都相等； ②当时，x、y的值互为相反数；
③无论a为何值，y的值都不变； ④若，则．
其中说法正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，不等式的性质，将每个命题代入方程组中，对各选项进行判断，结合不等式的性质，求a的取值范围即可．
【完整解答】解：①当时，方程组为，
解得：，
x，y的值相等，故①正确；
②当时，方程组为，
解得：，
x，y的值互为相反数，故②正确；
③解方程组，得，
无论a为何值，y的值不变，故③正确；
④若，则，，即，故④正确，
综上所述，其中说法正确的有①②③④共4个．
故选：D．
【变式1】（24-25七年级下·重庆·期中）已知为整式，且，其中为正整数，为自然数，令．下列说法：
①若时，和满足，则；
②不存在和的值，使；
③若时，，，则满足条件的所有整式的和为．其中正确的个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【思路引导】本题考查新定义整式，涉及整式运算、解方程组等知识，读懂题意，理解题中新定义的整式运算法则，根据不同说法，代值验证即可得到答案．理解题中新定义整式是解决问题的关键．
【完整解答】解：当时，，
和满足，
解得，
，
故①正确；
若，则，
即，
，
当时，，
即存在和的值，使，
故②错误；
若时，满足条件的所有整式的和为，
由可知，只能取或，
当时，，则，
，解得，
为正整数，
或，
即或；
当时，，则，
，解得，
为正整数，
或，
当时，则，方程组无满足条件的解；
当时，则，即；
；
满足条件的所有整式的和为，
故③错误；
综上所述，正确的说法是①，共1个，
故选：C．
【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知关于、的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②无论取何值，、的值都不可能互为相反数；③当时，方程组的解也是方程的解：④的都为自然数的解有4对．其中正确的为（　　）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组是解法是解题的关键．求得二元一次方程组的解，再利用方程组解答意义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【完整解答】解：关于，的方程组的解为：．
若关于，的方程组的解为：，
即
解得不存在
①的结论不正确；
，
无论取何值，，的值都不可能互为相反数，
②的结论正确；
当时，，
当时，方程组为，解为，该解也是方程的解，
③的结论正确；
，的值都为自然数的解有，，，，共4对，
④的结论正确．
综上，正确的是：②③④．
故选：D．
考点讲练14：三元一次方程组的概念和解法
【典例】（24-25七年级下·浙江湖州·期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，理解题意和图形、正确列出方程是解题关键．
设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为，根据题意和图形建立方程组，解方程组，即可求解．
【完整解答】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为，
根据题意，得：，
，
，
将①代入，得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
大长方形的周长为．
故选：D．
【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元，求书包、文具盒、钢笔的单价，若设书包、文具盒、钢笔的单价分别为x元、y元、z元，则有方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路引导】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“购买2个书包和4支钢笔共40元；1个书包和2个文具盒共26元；1支钢笔和3个文具盒共29元”，即可得出关于x、y、z的二元一次方程组，此题得解．
【完整解答】解：依题意，得：．
故选：A．
【变式2】（23-24七年级下·重庆·期末）甲、乙、丙三家艺术中心为表彰进步学生，准备去文具店采购签字笔、笔记本、钢笔三种文具，签字笔、笔记本、钢笔单价分别为8元、10元、25元．乙艺术中心采购签字笔数量是甲的6倍，笔记本数量是甲的12倍，钢笔数量是甲的8倍，丙采购的签字笔数量是甲的3倍，笔记本数量是甲的9倍，钢笔数量和甲相同．三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，则甲艺术中心采购总费用为（ ）元
A．237 B．350 C．425 D．901
【答案】A
【思路引导】本题考查了三元一次方程组的应用，解本题的关键在找出数量关系，列出方程组．
设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，根据数量单价总价，分别表示出乙采购和并采购的费用，然后根据三家艺术中心采购总费用为2850元，丙艺术中心比甲艺术中心总费用多464元，列方程组，解方程组，再根据签字笔、笔记本、钢笔均为整数，求出答案即可．
【完整解答】解：设甲采购签字笔x个、笔记本y个、钢笔z个，则费用分别为元，元，元；
乙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元；
丙采购采购签字笔个、笔记本个、钢笔个，则费用分别为元，元，元；
根据题意得
整理，得
由②得：，
∵x、y都是正整数，
∴y可能为1、2、3、4、5，
把③代入①整理，得
，
，
∵z为正整数，y可能为1、2、3、4、5，
∴当时，（不符合题意），
当时，（符合题意），
当时，（不符合题意），
当时，（不符合题意），
当时，（不符合题意），
把代入②得：，
甲艺术中心采购总费用为元，
故选：A．
考点讲练15：用二元一次方程组解决问题
【典例】（2025·天津·一模）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，设竿长尺，绳索长尺，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【完整解答】解：设竿长尺，绳索长尺，
根据题意得，，
故选：．
【变式1】（2025·河北·模拟预测）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（ ）
A．设有名客人，个盘子，根据题意可得
B．设有名客人，根据题意可得
C．有20名客人
D．有13个盘子
【答案】D
【思路引导】本题主要考查一元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解即可．
【完整解答】解：设有x个客人，y个盘子．根据题意，得
，
解得，
即：有30个客人，13个盘子．
所以，选项A，C错误；选项D正确；
设有x个客人，根据题意得，，故选项B错误；
故选：D．
【变式2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）中国减贫方案和减贫成就是史无前例的人类奇迹，联合国秘书长古特雷斯表示，“精准扶贫”方略帮助贫困人口实现2030年可持续发展议程设定的宏伟目标的唯一途径，中国的经验可以为其他发展中国家提供有益借鉴，为了加大“精准扶贫”力度，某单位将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．30种
【答案】B
【思路引导】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，根据将19名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领50个农户脱贫，若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，列二元一次方程，求解即可．
【完整解答】设甲组有名干部，乙组有名干部，则丙组有名干部，由题意得
，
化简得，
∴，
∴当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
当时，，即甲组有名干部，乙组有名干部，则乙组有名干部，
综上，有5种方案，
故选：B．
【考点点拨】本题考查了二元一次方程的应用，准确理解题意，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．
考点讲练16：不等式的概念
【典例】（24-25七年级下·北京·期中）若，则下列不等式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【思路引导】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质对各选项进行判断即可．掌握不等式的性质是解题的关键．
【完整解答】解：A．若，则，故选项A错误；
B．若，则，，故选项B正确；
C．若，则，故选项C错误；
D．若，则，故选项D错误．
故选：B．
【变式1】（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【思路引导】本题考查等式的性质，不等式的性质，根据等式的变形代入计算，然后逐项判断解题即可．
【完整解答】解：A.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意；
B.等式两边同时减去得，结论正确，不符合题意；
C.由，，则可得到，结论正确，不符合题意；
D.由可得，则，当时，，即，原结论错误，符合题意；
故选：D．
【变式2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若实数x，y，z满足，，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键．
根据不等式的性质逐项判断即可．
【完整解答】解：A．∵，，
∴，即，
∴，故A选项错误，不符合题意；
B． ∵，，
∴，故B选项错误，不符合题意；
C．∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；
D．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，故D正确，符合题意．
故选D．
考点讲练17：一元一次不等式的概念
【典例】（22-23七年级下·吉林长春·期中）下列是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】根据一元一次不等式的定义对各小题进行逐一分析即可．
【完整解答】、为整式，不是一元一次不等式，此选项不符合题意；
、中未知数的次数是，不是一元一次不等式，此选项不符合题意；
、中含有个未知数，不是一元一次不等式，此选项不符合题意；
、中含有个未知数，未知数的次数是，是一元一次不等式，此选项符合题意；
故选：．
【考点点拨】此题考查了一元一次不等式，解题的关键是理解含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式．
【变式1】（21-22八年级下·陕西渭南·期中）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路引导】根据一元一次不等式的定义判断即可．
【完整解答】因为中，不含有未知数，
故A不符合题意；
因为是一元一次不等式，
故B符合题意；
因为中，未知数不是整式，
故C不符合题意；
因为中，含有两个未知数，
故D不符合题意；
故选B．
【考点点拨】本题考查了一元一次不等式即含有一个未知数且未知数的次数是1的不等式，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式2】（24-25七年级下·山西晋城·期中）语句“与的的差是非负数”表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路引导】此题主要考查了列一元一次不等式，解题关键是正确理解题意，抓住关键词，列出不等式．
首先表示出与的的差，再表示出非负数表示为：，列出一元一次不等式即可
【完整解答】解：由题意得：
故选：C．
考点讲练18：解一元一次不等式
【典例】（2017·福建龙岩·一模）定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是( )
A．或 B． 或
C．或 D． 或
【答案】C
【思路引导】本题考查新定义运算，解一元一次不等式，注意分情况讨论是解题的关键．分当，即时，当，即时，两种情况，根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可．
【完整解答】解：当，即时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当，即时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或，
故选C．
【变式1】（24-25七年级下·北京·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路引导】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式的解集，熟练掌握在数轴上表示一元一次不等式的解集是解题的关键；先解不等式，再将解集表示在数轴上即可求解．
【完整解答】解：，
；
故不等式的解集在数轴上表示如下：
；
故选：A．
【变式2】（2025八年级下·全国·专题练习）数轴是认识数形结合的重要工具．如图，完整的数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路引导】本题考查了数轴，解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
根据题意得到，解得，再逐项判断即可得到答案．
【完整解答】解：由数轴可知，
解得：，
在中只有
∴的值可以是，
故选：A．
考点讲练19：解一元一次不等式组
【典例】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】本题考查了解一元一次不等式组，首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得，即可求解；理解不等式组的解集是解题的关键.
【完整解答】解：不等式组化为，
解集是，
，
解得：，
故选：D．
【变式1】（2025·山西·模拟预测）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【思路引导】本题考查了解一元一次不等式组以及将解集表示在数轴上，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
先分别求出两个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集，再将不等式组的解集表示在数轴上即可．
【完整解答】解：解，得，
解，得，
该不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示如下：
故选：D．
【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）对于点，，给出如下定义：在直线上，若存在点，使得，则称点是“点到点的倍分点”．例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点．
已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2．
下列说法正确的有（ ）
①点B是点A到点C的倍分点；②点C是点B到点A的倍分点；
③点B到点C的3倍分点表示的数是1；④点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，则x的取值范围为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【思路引导】本题是新定义型题目，主要考查了有理数与数轴，数轴上的点与表示这个的点的数字的特征，解不等式组，理解新定义并熟练应用以及用数轴上的点对应的数字表示线段的长度，然后逐个分析即可．
【完整解答】点，，分别表示，，2，
，，
，
点是点到点的倍分点，故①正确；
，
点是点到点的倍分点．故②错误；
设点是点B到点C的3倍分点，对应的数字为，则，，，
∴
∴
∴或，
解得或，
∴点到点的3倍分点表示的数是1或4．故③错误；
设点是点B到点C的3倍分点，对应的数字为，则，，，
∴
∴
∴或，
解得或，
∴点到点的3倍分点表示的数是1或4．故③错误；
设点是点A到点D的4倍分点，对应的数字为，则，
∵点在线段上，
∴，
∴，，
∴
∴
当时，，
解得，
∴，解得，
当时，，
解得，
∴，解得，
综上所述，或，
∴，故④正确；
正确的有2个，
故选：B．
考点讲练20：用一元一次不等式解决实际问题
【典例】（24-25七年级下·全国·单元测试）小玲乘飞机旅游，已知她乘飞机产生的碳排放量为，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成乘公交车．依据图中的信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或乘公交车的来回总距离都为，则与驾驶汽车相比，要使减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，她改乘公交车上下班的天数至少要达到（ ）．
交通工具每移动产生的碳排放量·自行车：·公交车：·摩托车：·汽车：·电动车：
A．310天 B．309天 C．308天 D．307天
【答案】C
【思路引导】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设改搭公交车上下班x天，利用减少产生的碳排放量=每天减少产生的碳排放量×改搭公交车上下班的天数，结合减少产生的碳排放量超过她搭飞机产生的碳排放量，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【完整解答】解：设改搭公交车上下班x天，
根据题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴x的最小值为308，
∴至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量．
故选：C．
【变式1】（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）某地推出“筑梦学子，共享未来”共享单车租赁服务计划，具体资费规则如下：
租赁类型 基础费用（元） 免费时长（分钟） 超时每分钟收费（元）
标准租赁 1.5 15 0.2
学生会员租赁 1.5 30 0.1
包日畅骑 10 不限时长 /
以上资费有以下补充说明：
①学生会员需缴纳月费5元，租赁时出示有效学生证即可享受优惠．
②包日畅骑仅限当日有效，不限使用次数．
出发前有8人请假，现只有32人参加此次活动，班级计划部分同学打车（每车36元，每辆车坐满4人），其余同学骑行包日畅骑．恰逢节假日，包日畅骑基础费用打4折．若总交通预算为200元，最多允许几个人打车（ ）
A．8人 B．12人 C．16人 D．20人
【答案】B
【思路引导】本题考查一元一次不等式的实际应用，设最多允许x个人打车，则有人骑行包日畅骑，根据总交通预算为200元，列出不等式求解即可．
【完整解答】解：设允许x个人打车，则有人骑行包日畅骑，
根据题意：，为4的倍数且为正整数，
整理得：，
解得：，
则最多允许个人打车，
故选：B．
【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）有若干名学生星期天去公园游玩，公园售票窗口标明票价：每人10元，团体票25人以上（含25人）可享八折优惠．若选择购买单人票比选择购买团体票更划算，则学生最多有（ ）
A．23名 B．25名 C．19名 D．20名
【答案】C
【思路引导】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键．
设有x人．则买团体票需要的钱数是，买单人票需要的钱数是购买单人票比选择购买团体票更划算列出不等式求解即可．
【完整解答】解：设有x人．则，解得：，
所以他们至少有19名．
故选C．
考点讲练21：命题
【典例】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列命题中，属于真命题的是
A．如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．如果两个角是同位角，那么这两个角一定相等
D．如果，那么
【答案】A
【思路引导】本题考查了命题与定理，根据对顶角的定义与性质对A、B进行判断；根据同位角的定义和平行线的性质对C进行判断；根据平方根的定义对D进行判断．判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
【完整解答】解：A、如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角，所以A选项正确；
B、如果两个角相等，那么这两个角不一定为对顶角，所以B选项错误；
C、如果两个角是两平行直线被第三条直线所截得的同位角，那么这两个角一定相等，所以C选项错误；
D、如果，那么或，所以D选项错误．
故选：A．
【变式1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列命题中，①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种；④不相交的两条直线是平行线；⑤有公共顶点且有一条公共边的两个角互为补角是假命题的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引导】本题考查命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义、邻补角的定义．
根据解平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义、邻补角的定义进行分析，即可得到答案．
【完整解答】①过一点有且只有一条直线与已知直线平行，应强调过直线外一点，故错误；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确；
③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交，平行两种，故正确；
④不相交的两条直线叫做平行线，没有说明是否在同一个平面内，故错误；
⑤有公共顶点且有一条公共边的两个角不一定互为邻补角，互为补角需两角之和为故错误；
综上所述正确的有∶②、③ 共2个；错误的有∶①、④、⑤共3个
故选：C．
【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列语句中真命题的个数是（ ）
①两直线平行，同旁内角相等；
②三角形的三条高交于三角形内一点；
③若，，则；
④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤命题“对顶角相等”的逆命题是真命题；
⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【思路引导】本题主要考查了对顶角相等、平行公理、平行线的性质．根据对顶角相等、线段、平行公理、平行线的性质逐个判断即可得．
【完整解答】解：①两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，不是真命题；
②锐角三角形的三条高交于三角形内一点，原说法错误，不是真命题；
③在同一平面内，若，，则，原说法错误，不是真命题；
④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，是真命题；
⑤命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”不是真命题；
⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直，说法正确，是真命题；
综上，真命题的个数有2个，
故选：B．
考点讲练22：证明
【典例】（23-24八年级下·福建漳州·期中）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设三角形的三个内角（，，）中有两个直角，不妨设．正确顺序的序号为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】本题考查了反证法，根据反证法的步骤即可判断，先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，正确理解反证法的步骤是解题的关键．
【完整解答】解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立，
所以，正确的步骤是
假设三角形的三个内角（，，）中有两个直角，不妨设；
，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角；
正确顺序的序号为：，
故选：．
【变式1】（22-23八年级上·浙江丽水·阶段练习）下列各数中可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【思路引导】根据选取的a的值符合题设，但不满足结论即可作为反例，由此即可解答．
【完整解答】解：当时，不符合，故不可判定命题“若，则”是假命题，A不符合题意；
当时，，但，即可判定命题“若，则”是假命题，B符合题意；
当时，， ，即不可判定命题“若，则”是假命题，C不符合题意；
当时，， ，即不可判定命题“若，则”是假命题，D不符合题意；
故选B．
【考点点拨】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可，掌握反例的特征是解题的关键．
【变式2】（21-22七年级下·山东济宁·期末）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【思路引导】根据有理数的乘方法则、有理数的大小比较法则即可解答．
【完整解答】解：A选项，，则，满足“若，则”，不是反例；
B选项，，且，满足“若，则”，不是反例；
C选项，，且，不满足“若，则”，是反例；
D选项，，且，满足不满足“”，不是反例；
故选：C．
【考点点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解判断一个命题是假命题的时候可以举出反例，难度不大．
考点讲练23：定理
【典例】（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（ ）
A．若两角之和为，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角
C．同角的余角相等 D．延长至D使
【答案】B
【思路引导】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【完整解答】解：A. 若两角之和为，则这两个角互余，不是定义，不符合题意；
B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意；
C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意；
D. 延长至D使，不是定义，不符合题意；
故选：B
【变式1】（23-24八年级上·江苏盐城·开学考试）下列语句中，是定义的是（　　）
A．点A到点B的距离是 B．两直线平行，同位角相等
C．直角都相等 D．两边相等的三角形是等腰三角形
【答案】D
【思路引导】本题考查定义．根据定义的概念判断即可．
【完整解答】解：A、点A到点B的距离是，不是定义，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等是定理，不是定义，不符合题意；
C、直角都相等，不是定义，不符合题意；
D、两边相等的三角形是等腰三角形，是定义，符合题意；
故选：D．
【变式2】（22-23八年级下·吉林松原·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理
C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题
【答案】B
【思路引导】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【完整解答】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意；
B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意；
C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意；
D、定理的逆定理一定是真命题，故本选项不符合题意；
故选：B．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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