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第3章 综合素质评价
限时:90分钟 满分:120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．[［2025扬州期末］]下列方程是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2．若代数式的值为5，则等于（ ）
A. 8 B. C. 2 D.
3．下列等式变形正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4．[［2025邵阳期末］]若方程是二元一次方程，则,的值分别为（ ）
A. 2， B. ，0 C. 3，0 D. ，0
5．解下列方程组：
（1）（2）（3） （4）
比较适宜的方法是（ ）
A. 用代入法，用加减法
B. 用代入法，用加减法
C. 用代入法，用加减法
D. 用代入法，用加减法
6．已知方程与关于的方程的解相同，则的值为（ ）
A. 18 B. 20 C. 26 D.
7．已知关于,的方程组的解满足，则的值为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何 ”意思是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗 如果设换了清酒斗，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
9．利用两块大小相同的长方体木块（阴影部分）测量一件长方体物品的高度，首先按图①的方式放置，再按图②的方式放置，测量的数据如图所示，则长方体物品的高度是（ ）
A. B. C. D.
10．已知关于，的方程组 给出下列结论：
是该方程组的一个解；②当 时，，的值互为相反数；③若，则；取任意实数，的值始终不变.
其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④
二、填空题（每题3分，共24分）
11．请写出一个解为的一元一次方程：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
12．已知二元一次方程，若用含的代数式表示，则_ _ _ _ _ _ _ _ .
13．小红在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得，请根据以上已知条件，求得原方程正确的解为_ _ _ _ _ _ _ _ .
14．如果关于,的方程组的解是二元一次方程的一个解，那么的值为_ _ _ _ .
15．定义运算“*”，规定,其中，为常数，若,，则.
16．[［2024宿迁］]若关于，的二元一次方程组的解是则关于，的方程组的解是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
17．在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用260元购买,,三种奖品，种奖品每个10元，种奖品每个20元，种奖品每个30元，在种奖品只能购买3个或4个且钱全部用完的情况下（注：每种方案中都有三种奖品）,购买方案共有种.
18．某摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走到C市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，则A，B两市相距_ _ .
三、解答题（19，20题每题6分，题每题8分，其余每题10分，共66分）
19．解下列方程（组）：
（1） ；
（2） ；
（3）
（4）
20．[［2025张家界期末］]若是关于的一元一次方程.
（1） 求的值；
（2） 若该方程与关于的方程的解相同，求的值.
21．凤凰古城始建于清康熙四十三年，至今已有三百多年的历史.凤凰古城以内部建筑、历史文化和民族风情而著称.古城内的青石板街道、吊脚楼、古城墙、名胜古迹等都保存完好，古色古香，令人流连忘返.为了增强学生的文化素养和团队协作能力，某学校计划组织学生前往凤凰古城开展户外教学活动.已知凤凰古城内某景点的成人票为每张80元，学生票则享受成人票五折的优惠.某班级教师与学生共计50人参与了此次活动，门票费用总计2 160元.请问这个班级中参与活动的教师和学生分别有多少人？
22．“曹冲称象”是流传很广的故事，按照他的方法：先将象牵到船上，并在船的侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3名搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1名搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知每名搬运工的体重为130斤，求象的体重.请将下列解答过程补充完整：
解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的质量 名搬运工的体重 块等重的条形石的质量 名搬运工的体重，所以：
①已知每名搬运工的体重为130斤，设每块条形石的质量是 斤，则可列方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
②解这个方程，得 _ _ _ _ _ _ ；
③实际上由题意也可直接得到：一块条形石的质量 名搬运工的体重；
④最终可求得象的体重为_ _ _ _ _ _ _ _ 斤.
的解恰好为，则称此方程为“合并式方程”.
例如：，因为，且 是方程 的解，
所以方程 为“合并式方程”.
请根据上述定义，解答下列问题：
（1） 一元一次方程是不是“合并式方程”？并说明理由.
（2） 已知关于的一元一次方程是“合并式方程”，求的值.
24．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为根据上面的信息解答下列问题：
（1） 甲把看成了什么数，乙把看成了什么数？
（2） 求出正确的,的值.
（3） 求出原方程组的正确解，并代入代数式求值.
25．某城市正在实施垃圾分类制度，居民需要将垃圾分为可回收垃圾、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类.某小区为了鼓励居民积极参与垃圾分类，决定设立积分奖励机制.规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤可获得的积分 100 无
积分可以兑换部分物品，具体如下表：
物品 1卷垃圾袋 1张5元话费券 1张水果店打折券 1张小区临时停车券
积分数 800 1 500 2 000 1 000
已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分.
（1） 求，的值.
（2） 小明家一季度产出了46公斤可回收垃圾、100公斤易腐垃圾、1公斤有害垃圾，将这一季度获得的所有积分都兑换成物品，可以有哪些兑换方案？
26．根据以下素材，探索完成任务.
如何设计制作木箱方案？
素材1 如图①，这是一个无盖的木箱，该木箱由，，三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一张大长方形板材按图②中甲、乙、丙三种不同的切割方式进行无废料切割得到.已知.
素材2 若有24张大长方形板材，将板材按图②中的三种方式进行切割，无材料剩余且恰好可以制作若干个木箱.
素材3 若有20张型号木板和张大长方形板材，将板材按图②中的三种方式进行切割，无材料剩余且恰好可以制作若干个木箱.
任务解决
任务1．求，，三种型号木板的面积.
任务2．以素材2为背景，一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积.
任务3．以素材3为背景，请你设计一种合适的切割方案，并求出的值.
答案
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
【点拨】 由，得，所以.又因为，所以，解得.
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】B
【点拨】 两式相加，得，即，当,时，，解得.所以当时，是该方程组的解.故①正确；当时，，即,的值互为相反数，故②正确；解方程组 得 因为，所以，解得，故③正确；因为，所以当取任意实数时，的值会改变，故④不正确.故选.
11.【答案】（答案不唯一）
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】1
15.【答案】10
16.【答案】
【点拨】把代入得因为所以即，得.因为方程组有解，所以，所以.把代入①，得，解得.所以方程组的解为
17.【答案】14
【点拨】设购买种奖品个，购买种奖品个.当种奖品的个数为3时，根据题意得,整理得.因为,都是正整数，所以,所以,2,3,4,5,6,7,8.当种奖品的个数为4时，根据题意得,整理得.因为,都是正整数，所以,所以,2,3,4,5,6.所以购买方案共有（种）.
18.【答案】750
19.【答案】
（1） 【解】移项，得.
合并同类项，得.
系数化为1，得.
（2） 原方程可化为.
去分母，得.
去括号，得.
移项，得.
合并同类项，得.
系数化为1，得.
（3）
，得,
，得，所以.所以.将代入，得,解得.
所以.
所以原方程组的解为
（4）
,得,即,
，得,即,
④和⑤组成方程组解得
将代入，得.
所以原方程组的解为
20.【答案】（1） 【解】因为是关于的一元一次方程,所以解得所以.
（2） 由（1）得，方程为，解得.因为该方程与关于的方程的解相同，所以，解得.
21.【解】设参与活动的教师有人，学生有人，则解得
答:这个班级中参与活动的教师有4人,学生有46人.
22.【答案】； ； 两；
23.【答案】
（1） 【解】一元一次方程不是“合并式方程”，理由如下：
因为，而不是一元一次方程的解，
所以不是“合并式方程”.
（2） 因为关于的一元一次方程是“合并式方程”，所以，且是方程的解.
所以，解得.
24.【答案】
（1） 【解】把代入，得，解得.把代入，得，解得.
所以甲把看成了1，乙把看成了3.
（2） 把代入，得，解得，
把代入，得，解得.
所以正确的,的值分别为，5.
（3） 由（2）可得原方程组为
解得所以.
根据题意，得，化简，得.
因为15，20，10均为5的倍数，所以易得.
所以原式可化为.
又因为，，均为自然数，
所以或
所以共有两种兑换方案.分别是：
方案1：兑换垃圾袋3卷，水果店打折券1张；
方案2：兑换垃圾袋3卷，小区临时停车券2张.
25.【答案】
（1） 【解】根据题意，得
解得
（2） 小明家一季度获得的积分为设兑换垃圾袋卷，5元话费券张，水果店打折券张，小区临时停车券张，
26.【答案】
任务1 【解】由题图②甲可知，型号木板的宽为，由题图②乙和丙可知,型号木板的宽和型号木板的长均为由题图①可知，型号木板的宽与型号木板的宽相同，均为.由题图②丙可知，型号木板的长型号木板的宽，由题图②乙可知，型号木板的长型号木板的长，
所以型号木板的面积为，
B型号木板的面积为，
C型号木板的面积为.
任务2 设用张，张大长方形板材分别按甲、乙两种切割方式进行切割，则按丙种切割方式切割的大长方形板材有张，所以共制作型号木板张，共制作型号木板张，共制作型号木板张.
由题图①可知，制作一个木箱需要2张型号的木板，2张型号的木板和1张型号的木板，
所以解得
所以共制作型号木板（张）.
所以一共能制作（个）木箱.
所以由题易知木箱的总体积为
任务3 设用张，张大长方形板材分别按甲、乙两种切割方式进行切割，则用张大长方形板材按丙种方式切割，所以共制作型号木板张，共制作型号木板张，共制作型号木板张.
又因为原来有20张型号木板，所以共有张型号木板.
由题意，得
解得.
因为,,均为正整数，所以当，，时，满足题意.即按甲种方式切割5张，按乙种方式切割8张，按丙种方式切割3张，此时（答案不唯一）.
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