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曹杨二中2024-2025学年第二学期高一年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知扇形的圆心角为2，半径为1，则扇形的弧长为________．
2．已知角的终边上有一点，则实数________．
3．已知角满足，则________．
4．化简：________．
5．已知，，则________．
6．已知向量，，则在上的投影的坐标为________．
7．已知等腰三角形的底角的余弦值为，则该三角形顶角的正弦值为________．
8．已知，若，，则________．
9．在锐角中，若，则的取值范围是________．
10．已知，，，函数图像上的每一点纵坐标不动，横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，的部分图像如图所示．若，则________．
11．已知平面向量，，满足，且，则的最大值
为________．
12．已知，，，直线与函数，的图像的交点为，， ，．若对，的最小值为，最大值为，则________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．若为第一象限角，则为（ ）．
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一象限角或第三象限角 D．第二象限角或第四象限角
14．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
15．在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
16．对于实数，记表示不超过的最大整数，例如，．已知，．有下列三个命题：①是周期函数；②函数的图像关于对称；③方程有且仅有2个实根．则真命题的个数为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知向量满足，，．
（1）求；
（2）设，若，求的值．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知向量，，设．
（1）求函数的表达式及单调减区间；
（2）将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，直接写出函数的表达式，并求关于的方程在区间上的解集．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，某小区有一块空地，其中米，，小区物业拟在中间挖一个小池塘，，在边上（，不与，重合，且在，之间），．设．
（1）若米，求的值；
（2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小．问：当为多大时的面积最小？并求出面积的最小值．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，在等腰梯形中，，，为线段上的一个动点．
（1）若，，，求的值；
（2）若，为线段上一点，且，求实数的值；
（3）设，，求的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若实数，，满足，则称比远离．
（1）若0比远离，求的取值集合；
（2）已知函数的定义域为，任取，为与中远离0的值．
①求的表达式；
②写出函数的奇偶性，最小正周期，值域（只需写出结论，不要求证明）；
（3）对于（2）中的，设，若，则函数是否有最大值？如果有最大值求出该值，如果没有最大值请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.2; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.C 14.B 15.C 16.A
15．在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在三角形中，，
所以由余弦定理得：，所以为钝角；
又因为，所以点在三角形底边的高线上，
则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立如图所示的平面直角坐标角：
又因为，所以
所以，，
则，
设，则，,
所以，当且仅当时取得等号，
所以的最小值为．故选C．
三．解答题
17.（1） （2）
18.（1），减区间为
（2），解集为
19.（1） （2）
20．（1）（2） （3）
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
若实数，，满足，则称比远离．
（1）若0比远离，求的取值集合；
（2）已知函数的定义域为，任取，为与中远离0的值．
①求的表达式；
②写出函数的奇偶性，最小正周期，值域（只需写出结论，不要求证明）；
（3）对于（2）中的，设，若，则函数是否有最大值？如果有最大值求出该值，如果没有最大值请说明理由．
【答案】（1）或．
（2）① ②
（3）分类讨论
【解析】（1）由题意得，，即，解得，
即．所以或．
（2）①若（＊），
则当时，，上式成立，此时，；
当时，（＊）可化为，即或，
解得．
所以，当时，．
同理可得，若.
综上可知，
②由图像可得，函数的周期．

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