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期末综合素质评价
限时:90分钟 满分:120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．[［2024无锡］]4的倒数是（ ）
A. B. C. 2 D.
2．祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩.据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1 665 000人次.将1 665 000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3．[［2025衡阳期末］]如果代数式的值是，则代数式的值是（ ）
A. B. 4 C. D. 2
4．[［2024宿迁］]全国两会，习近平总书记在参加江苏代表团审议时指出，我们能不能如期全面建成社会主义现代化强国，关键看科技自立自强.将“科技、自立、自强”六个字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种表面展开图，在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是（ ）
（第4题）
A. 自 B. 立 C. 科 D. 技
5．[［2025长沙雨花区期末］]有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列选项正确的是（ ）
（第5题）
A. B. C. D.
6．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长尺，竿长尺，（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托 尺）根据题意得（ ）
A. B.
C. D.
7．如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起，且平分，则的度数为（ ）
（第7题）
A. B. C. D.
8．某超市在“六一”儿童节这天，将一种儿童玩具按标价的9折出售，仍获利润，若该玩具标价为40元，那么该玩具进价为（ ）
A. 29元 B. 30元 C. 31元 D. 32元
9．已知关于的方程的解为正整数，则非负整数的所有可能取值为（ ）
A. 3，4，5 B. 2，3，4，5
C. 0，2，3，4，5 D. ，，，0，2，3，4，5
10．用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形.拼第1个图形所用两种卡片的总数为7张,拼第2个图形所用两种卡片的总数为12张，拼第3个图形所用两种卡片的总数为17张， ，若按照这样的规律拼出的第个图形中,所用正方形卡片比等边三角形卡片多10张,则拼第个图形所用两种卡片的总数为（ ）
A. 57张 B. 52张 C. 50张 D. 47张
二、填空题（每题3分，共24分）
11．科学实验表明，原子中的原子核与核外电子所带电荷是两种相反的电荷.物理学规定：原子核所带电荷为正电荷，核外电子所带电荷为负电荷.已知氢原子中的原子核与电子各带一个电荷，其中原子核所带电荷可记作，则电子所带电荷应记作_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．一个二元一次方程组的解是 这个二元一次方程组可以是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
13．[［2025邵阳期末］]已知一个角的余角为，则这个角的补角为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
14．若与是同类项，则.
15．定义一种新运算“ ”，其规则为.若，，则的值为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
16．如图，这是一个计算机的运算程序，若一开始输入的值为，则输出的值是_ _ _ _ _ _ .
17．某市为提倡节约用水，采取分段收费.若每户每月的用水量不超过，每立方米收费3.5元；若用水量超过，超过的部分每立方米加收1元.小明家5月份交水费106元，则他家该月的用水量为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
18．如图，数轴上有，，，，五个整数点（即各点均表示整数），且，若，两点表示的数分别为，8，为的中点，则数轴上点所表示的数为_ _ _ _ .
三、解答题（19，20题每题6分，题每题8分，其余每题10分，共66分）
19．计算：
（1） ；
（2） ;
（3） ;
（4） .
20．解下列方程（组）：
（1） ；
（2）
21．[［2025重庆开州区开学考试］]小刚在做一道题“已知两个多项式，，计算”时，误将看成，求得的结果是，已知.
（1） 求整式；
（2） 若的值与的取值无关，求的值.
22．已知平面内,,,四点的位置如图所示，请完成下列问题：
（1）作射线交直线于点；
（2）连接,用圆规在线段的延长线上截取;
（3）在线段上确定点,使点到点,的距离之和最小.
23．[［2025广州花都区期末］]每年的3月14日为“国际数学日”，在国际数学日到来之际，学校计划订购一批数学益智玩具魔方.下表是某商店给出的优惠方案：
销售量 单价/元
不超过100个 15
超过100个的部分 打八折
（1） 若购买80个魔方，则花费_ _ _ _ _ _ _ _ 元；若购买130个魔方，则花费_ _ _ _ 元；
（2） 若购买个魔方，当时，花费_ _ _ _ _ _ 元；当时，花费_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 元；
（3） 学校购买魔方共花了2 220元，请求出购买魔方的个数.
24．如图①，点为直线上一点，过点作射线，将一个直角三角尺按图中所示的方式摆放.
（1） 将图①中的三角尺绕点在平面内旋转一定的角度得到图②，使边恰好平分，问：是否平分？请说明理由.
（2） 将图①中的三角尺绕点在平面内旋转一定的角度得到图③，使边在的内部，如果 ，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由.
25．2025年上海车展于2025年4月23日至5月2日在国家会展中心（上海）举行，本届车展主题为“拥抱创新，共赢未来”.自主品牌的新能源车型成为该车展的亮点.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元.
（1） 求A，B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元；
（2） 若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），通过计算帮该公司求出全部的购买方案；
（3） 若该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利9 000元，销售1辆B型新能源汽车可获利4 000元，在（2）的购买方案中，若每种方案中的新能源汽车都全部售出，则购买_ _ _ _ 辆A型新能源汽车，辆B型新能源汽车的方案获利最大，最大利润为_ _ _ _ _ _ 元.
26．【问题背景】落实“双减”政策后，某校开展了丰富多彩的科技活动.如图①，电子蚂蚁，在长18分米的赛道上同时相向匀速运动，电子蚂蚁从出发，速度为4分米/分钟，电子蚂蚁从出发，速度为2分米/分钟，当电子蚂蚁到达时，电子蚂蚁，停止运动，经过几分钟，之间相距6分米？
【问题解决】小辰同学在学习《有理数》之后，发现运用数形结合的方法建立数轴可以较快地解决上述问题：如图②，将点与数轴的原点重合，单位长度定为1分米，点落在正半轴上.设运动的时间为分钟.
（1） 分钟后点在数轴上对应的数是_ _ _ _ _ _ ，点在数轴上对应的数是_ _ _ _ _ _ _ _ .（用含 的代数式表示）
（2） 我们知道，如果数轴上，两点分别对应数,，则.试运用该方法求经过几分钟，之间相距6分米.
（3） 在赛道上有一个标记位置,分米,若电子蚂蚁与标记位置之间的距离为分米，电子蚂蚁与之间的距离为分米，在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得 若存在，请求出运动的时间；若不存在，请说明理由.
答案
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
【点拨】解，得，易知．因为方程的解为正整数，为非负整数，所以的所有可能取值为5，4，3，2，0．
10.【答案】B
【点拨】第1个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（张），第2个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（张）,第3个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（张）， ，依此规律，第个图形中所用正方形卡片比等边三角形卡片多（张）.当时，所用正方形卡片为（张），所用等边三角形卡片为（张）.所以所用两种卡片的总数为（张）.
11.【答案】
12.【答案】（答案不唯一）
13.【答案】
14.【答案】27
15.【答案】
【点拨】因为，，，所以.
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】4
【点拨】设,则,.因为，两点表示的数分别为，8，所以.因为，所以，解得.所以，，，所以.又因为点
表示的数为8，为的中点，所以点表示的数为0，.所以数轴上点表示的数为4.
19.【答案】（1） 【解】原式
（2） 原式.
（3） 原式.
（4） 原式.
20.【答案】
（1） 【解】去分母，得.
去括号，得.
移项、合并同类项，得.
系数化为1，得.
（2） ，得，③
，得，解得.
把代入①，得，解得.
故原方程组的解为
21.【答案】
（1） 【解】由题意知，，
所以.
（2） 由（1）可得
.
因为的值与的取值无关，
所以，所以.
22.【解】（1）（2）（3）如图所示.
23.【答案】（1） ；1 860
（2） ；
（3） 【解】当购买100个魔方时，花费（元）.
因为，
所以购买魔方的个数大于100.
设购买魔方个，则花费为元，
所以，
解得，
所以购买魔方的个数为160个.
【解析】
（2） 【点拨】若购买个魔方，当时，花费元；当时，花费元.
24.【答案】
（1） 【解】平分.理由如下：
因为 ，所以 ， .
所以.
因为平分，
所以，
所以，所以平分.
（2） .理由如下：
因为, ,
所以 .
25.【答案】
（1） 【解】设A型新能源汽车每辆的进价为万元，B型新能源汽车每辆的进价为万元.
由题意，得解得
答：A型新能源汽车每辆的进价为25万元，B型新能源汽车每辆的进价为10万元.
（2） 设购买A型新能源汽车辆，B型新能源汽车辆.由题意，得,
整理，得.
因为,均为正整数，
所以或或
所以该公司共有三种购买方案：
①购买6辆A型新能源汽车，5辆B型新能源汽车；②购买4辆A型新能源汽车，10辆B型新能源汽车；③购买2辆A型新能源汽车，15辆B型新能源汽车.
（3） 2；15；78 000
【解析】
（3） 【点拨】方案①获得的利润为（元）;方案②获得的利润为（元）;方案③获得的利润为（元）.
因为74 000元元元，
所以购买2辆型新能源汽车，15辆型新能源汽车的方案获利最大，最大利润为78 000元.
26.【答案】（1） ；
（2） 【解】由题意得,
所以,
所以或,
解得或,
所以经过2分钟或4分钟，，之间相距6分米.
（3） 存在.因为分米,所以点表示的数为6.
因为电子蚂蚁与标记位置之间的距离为分米,电子蚂蚁与之间的距离为分米,
所以，.
又因为，
所以,所以,
所以或,
解得或，
所以存在某一时刻，使得,此时运动的时间为分钟或1分钟.
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