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复旦附中2024-2025学年第二学期高二年级数学期中
2025.4
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．直线的倾斜角为________．
2．圆的圆心坐标为________．
3．已知向量为直线的一个法向量，则的值为________．
4．已知椭圆的左焦点为，，为椭圆上两点，且直线经过椭圆的右焦点，则的周长为________．
5．在平面直角坐标系中，为原点，为曲线上一动点，则线段的中点轨迹方程为________．
6．双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为________．
7．已知为圆上一动点，则的最大值为________．
8．若椭圆的一条弦的中点为，则直线的斜截式方程为_____．
9．圆与曲线有且仅有三个公共点，则的取值范围
是________．
10．已知为抛物线上一点，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为________．
11．若曲线上的点都在某个圆内或圆上，则该圆半径的最小值为________．
12．直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（、、、从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是________．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共4题，第13-14题4分，第15-16题5分．
13．圆与圆的位置关系为（ ）．
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
14．已知直线，直线，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充分必要 D．既非充分又非必要
15．某颗卫星的运行轨道可以看作是以地球的地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为，若椭圆近地点、远地点（距离地心最近、最远的点）离地面的距离分别是、，则该运行轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
16．已知曲线的对称中心为，如果对于曲线上的任意一点，都存在上另外的两点、，使得的垂心为，则称为“自垂曲线”．现有如下两个命题：
①任意双曲线都是“自垂曲线”； ②任意椭圆都是“自垂曲线”．
则下列判断正确的是（ ）．
A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是假命题
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题．
17．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．
已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线斜率为1，且过点，求线段的长度；
（3）若直线过点，求、的横坐标之积．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线的方程为．过原点作直线的平行线与椭圆交于、两点．
（1）求证：直线与椭圆有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标；
（2）记（1）中的公共点为，求证：、、、四个点在同一圆上，并求该圆的一般方程．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆、半圆拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有、两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求、的距离尽可能远．
（1）、两位同学应处在什么位置？请说明理由：
（2）若要在操场边界上关于中轴线对称的两点、处分别放置两个音箱（、两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时、两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）．
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
在平面直角坐标系中，对于及直线，记、、分别表示、、到的距离，且．对于给定的，记的最小值为．
（1）已知定点，，，直线的方程为，求的值；
（2）已知定点，，，直线过原点，求此时的取值范围；
（3）已知定点，，，若直线使得，求证：直线过的重心．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
如图所示，平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点是角终边上的点（异于原点），设，将点绕逆时针旋转后得到．
（1）求证：
（2）已知曲线是函数的图像，曲线绕原点逆时针旋转后得到，求的标准方程：
（3）已知曲线表示一个中心在原点的椭圆，为第一象限内一点，且在椭圆的长轴上，满足，过点作直线交曲线于点、，过原点作直线与直线垂直，直线交曲线于点、，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
12．直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，与双曲线的两条渐近线分别交于、两点（、、、从左到右依次排列），若，且，，成等差数列，则双曲线的离心率的取值范围是________．
【答案】
【解析】设，
设直线的方程为，联立，
整理得，则①，
联立，整理得，
则②，
即③，
即，故④，
中点为的中点，即，成等差数列，又从左到右依次排列，，
翻译，将①②③代入得
即
综上所述，双曲线的离心率的取值范围是，故选D．
二、选择题
13.C 14.A 15.A 16.B
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题．
17．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．
已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，、是抛物线上两个不同的点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线斜率为1，且过点，求线段的长度；
（3）若直线过点，求、的横坐标之积．
【答案】（1） （2） （2）
【解析】（1）则，即，2分；所以抛物线为．4分
（2）此时的方程为，联立抛物线和直线的方程：
得．2分
，设、，则由Vieta定理的，
那么由弦长公式得．4分
（3）由题意可知所在直线斜率不为0，所在直线方程为．
联立抛物线和直线的方程：，化简可得：，2分
则．由Vieta定理可得，因此．4分
因此、的横坐标之积为一定值，该定值为4．6分
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图所示，、分别为椭圆的左、右顶点，直线的方程为．过原点作直线的平行线与椭圆交于、两点．
（1）求证：直线与椭圆有且仅有一个公共点，并求该公共点的坐标；
（2）记（1）中的公共点为，求证：、、、四个点在同一圆上，并求该圆的一般方程．
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
【解析】（1）联立与的方程得，
该方程仅有一解．4分；故与有且仅有一个公共点．6分
（2）依题意，直线的方程为，联立椭圆可得，
即，于是，，，．2分
设圆的方程为，代入、、，可得：
，解得，4分解得，，，
此时圆方程为，6分
将点代入上述方程，得，
所以点也在此圆上，故、，，四点共圆．8分
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
学校在操场开展春季运动会，如图所示，操场由长100米、宽60米的长方形及两个以长方形宽为直径的半圆、半圆拼接而成，整个操场关于中轴线对称．现有、两位同学分别在左右两个半圆弧上值勤，并要求、的距离尽可能远．
（1）、两位同学应处在什么位置？请说明理由：
（2）若要在操场边界上关于中轴线对称的两点、处分别放置两个音箱（、两点在线段上），要求两个音箱间的距离尽可能大，同时、两位同学听到两个音箱传来的声音时间差不超过0.2秒（声音在空气中的传播速度为340米/秒），求音箱距中轴线的距离（精确到0.1米）．
【答案】（1）分别在两圆弧中点，距离为160米；（2）36.8
【解析】（1）由题意可得
，2分
当、、、四点共线时，、两点间的距离最大 4分
此时、两点分别在圆弧的中点，距离为160米．6分
（2）如图所示，以所在的直线为轴，以中轴线为轴建立平面直角坐标系．
则，．2分
根据题意可得，则、两点在以、为焦点的双曲线上，，即．4分
设双曲线方程为，则，解得，6分
所以，即．
因此音箱距中轴线距离约为36.8时为最佳放置点．8分
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
在平面直角坐标系中，对于及直线，记、、分别表示、、到的距离，且．对于给定的，记的最小值为．
（1）已知定点，，，直线的方程为，求的值；
（2）已知定点，，，直线过原点，求此时的取值范围；
（3）已知定点，，，若直线使得，求证：直线过的重心．
【答案】（1）17 （2） （3）见解析
【解析】（1），2分
，，
故．4分
（2）若斜率不存在，则．2分；若斜率存在，设，
此时．
综上所述，的取值范围为．6分
（3）的重心坐标为．1分
若斜率不存在，设，则，
当且仅当时取到等号，此时过点．3分
若斜率存在，设，
那么 5分
，
对任意的正整数，当时取得最小值，
因此取最小值时，直线，7分
即，也过点．8分
综上所述，命题得证．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
如图所示，平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点是角终边上的点（异于原点），设，将点绕逆时针旋转后得到．
（1）求证：
（2）已知曲线是函数的图像，曲线绕原点逆时针旋转后得到，求的标准方程：
（3）已知曲线表示一个中心在原点的椭圆，为第一象限内一点，且在椭圆的长轴上，满足，过点作直线交曲线于点、，过原点作直线与直线垂直，直线交曲线于点、，试判断：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2） （3）2
【解析】（1）经过逆时针旋转到后，角终边与重合，
所以，
，得证．4分
（2）设曲线上一点为，逆时针旋转后的点在的图像上，由（1）知：，，2分
代入得，4分
即化简即得曲线的方程为．6分
（3）设长轴在轴上的椭圆一点为，逆时针旋转得到点在的图像上，由（1）知，，满足，于是得．
因此，由此得，．2分
方法一：点旋转后的坐标为（2，0）．
当直线旋转后斜率不存时，，， 3分
当直线旋转后斜率存在时，设直线旋转后为，直线旋转后为，旋转后，，．
与椭圆方程联立，即，可得，4分
则由Vieta定理得
，， ，6分
将代入椭圆方程中，有，，，则．8分
方法二：，当斜率不存在时，直线方程为，则此时、满足，于是，，此时．2分
当斜率为0时，直线方程为，此时同理得；3分
当斜率存在且不为0时，设直线，．
，，联立与得，故．5分
则联立椭圆联立得
有，
则 7分，
故．8分

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