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-2025学年高一下学期数学
（人教A版）期末模拟试题
一、单选题
1．已知点，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．设样本数据的均值和方差分别为2和4，若（为非零常数，），则的均值和方差分别为（ ）
A．，4 B．， C．2，4 D．2，
5．正方体 中，直线与直线夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨 西安 兰州 济南 延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．中，角所对应的边分别是，，则的形状是 （ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若是复数，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则或
10．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的有（ ）
A． B．与异面 C．与异面 D．
11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．面积的最大值为 D．周长的最大值为
三、填空题
12．一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．如果样本按比例分配，那么男运动员应抽取 人．
13．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也”，意思是：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶”.现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .
14．已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 .
四、解答题
15．已知向量，满足与的夹角为．
(1)求；
(2)若，求k的值．
16．某项考试科目 科目依次进行，只有当科目成绩及格时，才可继续参加科目的考试.已知每个科目只有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目每次考试合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
(1)求该应试者不需要补考就可获得证书的概率；
(2)设科目考试 补考费用均为100元/次，科目考试 补考费用均为200元/次，求该应试者花费大于300元且不超过500元获得证书的概率.
17．树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）；
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；
(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
18．在锐角中，分别为内角的对边，已知，
(1)求的大小；
(2)求的取值范围.
19．如图，三棱柱中，在底面内的射影为的外心，且，，三棱柱的侧面积为.
(1)求证：；
(2)求三棱柱的体积；
(3)分别求二面角和二面角的大小.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A A A D C BCD AC
题号 11
答案 BCD
1．A
【分析】由向量的坐标运算即可求解.
【详解】为，所以，
则．
故选：A
2．D
【分析】由复数乘法以及复数的几何意义即可求解.
【详解】，它对应的点位于第四象限.
故选：D.
3．A
【分析】根据向量的线性运算即可求解.
【详解】
故选：A
4．A
【分析】结合期望，方差的线性公式，即可求解.
【详解】样本数据的均值和方差分别为2和4， （为非零常数，），
则的均值为，方差为；
故选：A
5．A
【分析】根据正方体的线面关系，将平移至，找到异面直线所成角，求解即可．
【详解】如图，连接，
因为，所以四边形为平行四边形，
则，所以为异面直线与直线的夹角，
又因为，所以，
所以直线与直线夹角的余弦值是.
故选：A
6．A
【分析】根据古典概型的概率公式计算即可求解.
【详解】记哈尔滨 西安 兰州 济南 延吉5个城市分别为，
则甲乙分别购买盲盒机票一张共有种可能，
其中两人恰好到达城市相同的情况有，共5种可能，
所以满足题意的概率为.
故选：A
7．D
【分析】首先利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简，判断三角形的形状.
【详解】由正弦定理边化角可知，，
又，
所以，即，
所以或，则或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
故选：D
8．C
【分析】法一：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接，设，则，，即可求解.
【详解】方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）．
设，则．因为，所以．
由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上，
所以，所以的取值范围是．
方法二：如图2，连接．易知，
设，则．
由已知可得，所以，
所以
．
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是.
故选：C．
9．BCD
【分析】根据复数的乘、除法运算即可判断A；举例说明，结合复数的乘方计算即可判断BCD.
【详解】A：设，由，
得，故A正确；
B：当时，满足，但，故B错误；
C：当时，满足，
但，故C错误；
D：当时，满足，但，故D错误．
故选：BCD．
10．AC
【分析】可画出展开图对应的立体图形，根据图形即可判断每个选项的正误，从而得出正确的选项.
【详解】根据正方体的展开图画出正方体如图所示：
可以看出：，与相交，与异面，相交.
故选：AC.
11．BCD
【分析】对于AB，由正弦定理求解即可判断；对于C，由余弦定理及基本不等式得，代入三角形面积公式即可判断，对于D，由余弦定理及基本不等式得，即可判断.
【详解】对于A，若，又，，由正弦定理得，故A错误；
对于B，由题意，，，由正弦定理得，故B正确；
对于C，由余弦定理得，，
所以，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最大值为，故C正确；
对于D，由，，及余弦定理得，
，所以，
当且仅当时取等号，
所以的周长，
所以周长的最大值为，故D正确.
故选：BCD
12．
【分析】根据分层抽样计算规则计算可得.
【详解】田径队运动员的总人数是，容量为的样本占总体的比例为，
则应该在男运动员中随机抽取人．
故答案为：
13．/
【分析】作平行四边形，得到，找到异面直线与所成角为，在中求出三边边长，利用余弦定理即可求解.
【详解】
在CD上取点H使DH=2CH，连接EH，GH，如图所示.
设EF=1，则由题知AD=2，AB=3，DH=2，CH=1.
，底面为矩形，.
又，∴底面为平行四边形，，，
或其补角即为异面直线与所成角.
和是正三角形，为的中点，
.
在中，，
由余弦定理可得，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
14．
【分析】在平面直角坐标系中画出表示的有向线段，再利用向量的线性运算将向量的模转化为线段的长，根据几何关系求出最小值即可.
【详解】在如下图所示的平面直角坐标系中，设、、，
不妨设，，，由题意可得
，
将绕点逆时针旋转得到，
则，，
其中点，故，
当且仅当点与点重合时，此时，点也与点重合，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，再利用向量数量积的运算律即可；
（2）根据向量垂直得，展开代入数据即可得到答案.
【详解】（1）由题意可得，，
因此.
（2），
利用向量数量积的分配律得，
代入已知条件，得，即.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；
（2）根据题意，由应试者花费大于300元且不超过500元获得证书，得到应试者恰好不可一次，结合独立事件乘法公式和互斥事件的概率加法，即可求解.
【详解】（1）解：设“科目第一考试合格”为事件，“科目第一次考试合格”为事件，
该应试者不需要补考就可获得证书的事件为,且与相互独立，
所以该应试者不需要补考就可获得证书的概率.
（2）解： 设“科目第考试合格”为事件，“科目第次考试合格”为事件，
由科目考试 补考费用均为100元/次，科目考试 补考费用均为200元/次，
若应试者花费大于300元且不超过500元获得证书，可得应试者恰好补考一次，
其概率为.
17．(1)0.01，88.33；
(2)10人；
(3)“美食”工作需要进一步整改，理由见解析.
【分析】（1）根据频率分布图，求得，然后推得第70百分位数位于区间内，即可根据第百分位数的求法，得出答案.
（2）根据分层抽样，即可求得评分在的学生人数.
（3）根据频率分布直方图，即可求得平均数，进而得出答案.
【详解】（1）由图可知：，所以；
评分在内的频率为，内的频率为，
则第70百分位数位，，
所以第70百分位数为88.33.
（2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为，
则应选取评分在的学生人数为：（人）.
（3）由图可知，认可程度平均分为：
，
显然认可系数低于，所以 “美食”工作需要进一步整改.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解；
（2）利用正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）因为，
由余弦定理得，
整理得，
所以，
又，所以；
（2）由正弦定理得
，
因为，所以，
所以，所以，
而，
所以，则，
所以.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
19．(1)证明见详解.
(2)
(3).
【分析】（1）连接并延长交于，由在底面内的射影为的外心得平面，，再通过证明平面即可；
（2）由（1）可知，证明，，根据侧面积为得，再由余弦定理计算底面外接圆半径即可；
（3）取中点，连接,证明为等边三角形，即二面角即为,同理可得二面角为.
【详解】（1）连接并延长交于.如图①所示，
因为在底面内的射影为的外心，
且，即为等腰三角形，
所以平面，,为的中点，
因为平面，
所以，
因为平面，且，
所以平面,
因为，
所以.
（2）由题意可知，，，
在三棱柱中，,，，
所以四边形与四边形全等，
所以，，
设，
因为三棱柱的侧面积为，
所以，解得.
即，
在中，由余弦定理得，
所以,
由正弦定理得，即，
所以三棱柱的高，
所以三棱柱的体积为.
（3）取中点，连接,如图②所示，
由（2）可知，，，
所以均为等边三角形，
所以，,
即，
所以为等边三角形，
所以二面角即为,
延长至点，过作，延长至，使得，连接,即四边形为矩形，，
因为,
所以,即，
故为等边三角形,
所以二面角为.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了线面垂直、棱柱的体积及二面角，解题的关键在于通过侧面积求侧棱的长度，由正弦定理求三角形外接圆半径以及作二面角.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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