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【决战期末·50道综合题专练】华东师大版八年级下册期末数学试卷
1．很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米成反比例，且y与x的反比例函数图象如图所示．
（1）当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距是多少米？
（2）小明原来佩戴度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为米，则小明的眼镜度数下降了多少度？
2．大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，．
（1）求关于的函数表达式．
（2）若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高．
3．小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：
a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；
b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．
在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：
难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7#
3.5 打分 7.5 8.5 4.0 9.0 8.0 8.5 7.0
（1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝ ， 得分A甲＝ ； （直接写出答案）
（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲' P甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；
（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分．
4．如图，四边形 为矩形，G是对角线 的中点．连接 并延长至F，使 ，以 、 为邻边作 ，连接 ．
（1）若四边形 是菱形，判断四边形 的形状，并证明你的结论．
（2）在（1）条件下，连接 ，若 ，求 的长．
5．“一杯咖啡解决一个教育问题”．学校筹建的“”，意在为师生与家长创造一个互动空间，促进家校共育．已知咖啡店施工面积为，有甲、乙两个工程队参与了咖啡店施工，甲工程队每天的劳务费比乙工程队少，甲、乙两个工程队同时施工一天的总劳务费为4000元．
（1）求甲工程队每天的劳务费；
（2）咖啡店的面积由甲工程队施工，其余面积由乙工程队施工．甲工程队每天的施工面积比乙工程队多，甲工程队施工的总天数是乙工程队的2倍．求甲工程队此次施工获得的总劳务费．
6．肥西县祥源花世界管理委员会要添置办公桌椅A，B两种型号，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）直接写出A型桌椅每套　 　元，B型桌椅每套　 　元；
（2）若管理委员会需购买两种型号桌椅共20套，若需要A型桌椅不少于12套，B型桌椅不少于6套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套，总费用为y元．
①求y与x之间的函数关系，并直接写出x的取值范围；
②求出总费用最少的购置方案．
7．如图是边长为1的小正方形拼成的网格，将经过平移后得，图中标出了点B的对应点．利用网格点和直尺，完成下列各题：
（1）补全；
（2）连接，，请写出与的位置与数量关系；
（3）若点A（0，－3），点B（4，3），请直接写出点的坐标．
8． 某镇道路改造工程，预计由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲队单独施工完成的天数是乙队单独施工完成天数的2倍．
（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
（2）若甲队独做n天后，再由甲、乙两队合作q天可完成此项工程，则n，q之间的关系式为　 　；
（3）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后甲队的工作效率是，乙队的工作效率是甲队工作效率的m（m为常数）倍．若提高效率后两队合作10天完成整个工程的，求甲队提高后的工作效率是提高前工作效率的几倍（用含m的代数式表示）．
9．某校组织七、八年级各400名学生参加“远离溺水·珍爱生命”安全知识竞赛，试卷题目共20题，每题5分.现从中各随机抽取20名学生的成绩（单位：分）进行调查，过程如下.
①数据收集，从七、八年级各随机抽取20名学生的成绩（单位：分）
七年级 90 77 88 73 100 75 81 68 85 70 80 95 88 72 87 88 67 76 86 84
八年级 72 86 61 98 99 74 75 82 93 84 78 83 80 92 81 76 82 65 62 63
②整理数据
成绩x（分） 60七年级人数 3 6 9 a
八年级人数 4 6 6 4
③分析数据
年级 平均数 中位数 众数
七 81.5 b 88
八 79.3 80.5 82
④得出结论
（1）表格中的数据：a＝　 　，b＝　 　；
（2）估计该校七、八年级学生在本次比赛中成绩为优秀（90（3）你认为哪个年级比赛成绩的总体水平较好？说明理由．
10．某童装店购进某种品牌的童装若干件，销售了一部分后，剩下的童装每件降价10元销售，全部售完．销售总额y（元）与销售量x（件）之间的函数关系如图所示，请完成下列问题：
（1）降价前该童装的销售单价是　 　元/件；
（2）求a的值；
（3）求降价后销售总额y（元）与销售量x（件）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
11．如图，双曲线上点的坐标为，过点直线交轴于点，交轴于点，过作轴于点．
（1）求、的值；
（2）求的周长．
12．裕华酒店有104间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的空调一台，已知甲工程队每天比乙工程队多安装4台，甲工程队的安装任务有60台，两队同时安装．
（1）甲，乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？
（2）裕华酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时耗电2度．据预估，每天至少有90间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时，若电费0.9元/度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费W（元）的范围．
13．在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
项目 购进数量（件） 购进所需费用（元）
酒精消毒液 测温枪
第一次 30 40 7560
第二次 40 30 5880
（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售.为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润.
14．王过酥梨，山西省运城市盐湖区特产，全国农产品地理标志．酥梨果皮光滑，皮质较厚，果肉白色，多汁、味甜、可口，营养丰富．某梨农今年共投入15000元，风调雨顺，酥梨喜获丰收．他了解到酥梨的市场销售信息为：秋季新鲜的酥梨直接销售每千克6元，若将酥梨储存到第二年春天再销售，售价为每千克8元，但重量会减少20%，还需要付冷藏费5000元．
（1）设该梨农今年收获新鲜酥梨 千克，直接销售的利润为 元，储存到第二年春天再销售的利润为 元．请写出 ， 与 之间的关系式．
（2）帮该梨农计算一下，如何销售可以获得较多利润？
15．已知反比例函数y＝(m为常数)的图象在第一、三象限
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为(0，3)，(－2，0).求出函数解析式.
16．今年冬季支原体肺炎流行高发，我区某药品公司接到生产1200万盒某种治疗药品的任务，马上安排了甲乙两个车间生产药品．试产时，甲车间的日生产数量是乙车间日生产数量的倍，各生产100万盒，甲比乙少用了2天．
（1）求甲乙两生产车间的日生产数量各是多少？
（2）若甲乙两生产车间每天的运行成本分别是万元和万元，要使完成这批任务总运行成本不超过25万元，则最少要安排甲生产车间生产多少天？
17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点.过点A作轴，垂足为C，且，
（1）求一次函数与反比例的数的解析式；
（2）若是函数图象上的两点，且写出实数p的取值范围.
18．小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：
（1）数据分析：
①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数；
②若将车辆的外观造型，舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按2：3：3：2的比例统计，求A款新能原汽车四项评分数据的平均数。
（2）合理建议：
请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由。
19．正方形的边长为4，，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
（1）如图（1），双曲线过点E，完成填空：点C的坐标是　 　．点E的坐标是　 　，双曲线的解析式是　 　；
（2）如图（2），双曲线与，分别交于点M，N（反比例图像不一定过点E）．求证；
（3）如图（3），将正方形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．
20．如图，点A在直线l外，点B在直线l上，利用尺规按要求在l上求作一点C，l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形．
（1）在图1中作一个以为边的菱形；图2中作一个以为对角线的菱形；
（2）在图2中连接，若，且点A到直线l的距离为4，求所作菱形的面积和另一条对角线的长．
21．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（-3，-2）及点B（0，4）.
（1）求此一次函数的解析式；
（2）当y=-5时求x的值；
（3）求此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积.
22．在抗击新型冠状病毒期间，某公司计划购买一批口罩捐给疫区，已知A型口罩比B型口罩的单价高3.2元，用2500元购买A型口罩与用900元购买B型口罩的数量相同.
（1）求每个A型口罩和B型口罩的单价；
（2）公司决定从口罩制造厂购买A，B两种型号口罩共80万个，采用专项经费总计不超过192万元.，问最多可购买A型口罩多少万个？
23．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．
（1）请根据下表中所给x，y的对应值，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数y的值为纵坐标，在平面直角坐标系中（如图所示）画出函数图象：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 2 3 2 1 0 1 2 …
（2）结合表格和图像，解回答下列问题：
①若点（﹣，），（，）在函数图象上，则 ▲ （填“＞”，“＝”或“＜”）；
②点A的坐标是（0，a），过点A作直线l垂直于y轴，当直线l与函数图象有三个不同交点时，直接写出a的取值范围；
③当y＝5时，求x的值．
24．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．
求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
25．如图，反比例函数的图象与过点 ， 的直线交于点B和C.
（1）求直线AB和反比例函数的解析式.
（2）已知点 ，直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求 的面积.
26．如图，函数与的图象交于．
（1）求出，的值；
（2）直接写出不等式的解集．
27．2021年4月13日，日本政府召开内阁会议正式决定，将福岛第一核电站超过100万公吨的核污水经过滤并稀释后排入大海，这一决定遭到包括福岛民众、日本渔民乃至国际社会的谴责和质疑．鉴于此次事件的恶劣影响，某校为了强化学生的环保意识，校团委在全校举办了“保护环境，人人有责”知识竞赛活动，初、高中根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队进行复赛，复赛成绩如图所示．
根据以上信息解答下列问题：
（1）高中代表队五名学生复赛成绩的中位数为　 　分；
（2）分别计算初中代表队、高中代表队学生复赛成绩的平均数；
（3）已知高中代表队学生复赛成绩的方差为20，请计算初中代表队学生复赛成绩的方差，并结合两队成绩的平均数和方差分析哪个队的复赛成绩较好．
28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为 A（-3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点 C（m，4）．
、
（1）求m的值及一次函数 y=kx+b的表达式；
（2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标．
29．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线经过点D（3，0），与直线交于点C（m，3）.
（1）求直线CD的解析式；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）现有一点P在直线AB上，过点P作PQy轴交直线CD于点Q.若线段PQ的长为5，求点P的坐标.
30．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，AD＝13cm，折叠纸片使C点落在边AD上的E处，折痕为MN，过点E作EF∥CD交MN于F，连接CF
（1）求证：四边形CFEN为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定M、N分别在边BC、CD上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
31．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE//AC，CE//BD.
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）连接AE交BD于点F，如图，
①求证：△AFO≌△EFD；
②当∠ADB=30°，DE=4时，求AF的长度.
32．货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时 吨，设卸货的时间是 小时
（1）当 是 的函数时，求 与 之间的函数关系式；
（2）若卸货的速度是每小时40吨，求乙港卸完全部货物所需的时间；
（3）在（2）的条件下，当卸货时间在4小时的时候，问船上剩余货物是多少吨？
33．某饰品店经营某种女孩子束发用的小装饰品．该商铺第一次批发购进该装饰品共花费3000元，很快全部售完．接着该商铺第二次批发购进该装饰品共花费9000元．已知第二次所购进该装饰品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次的进价比第一次的进价提高了．
（1）求第一次购进该装饰品的进价是多少元？
（2）若该装饰品的第一次售价为10元/个，由于第二次进价提高了，商家也相应地将第二次售价在第一次的售价基础上提高了，两次所购装饰品全部售完后，求该装饰品两次共盈利多少元？
34．A，B两地距离24km，甲、乙两人同时从A地出发前往B地．甲先匀速慢走2h，而后匀速慢跑；乙始终保持匀速快走，设运动时间为x（单位：h）．甲、乙距离A地的路程分别为，（单位：km），，分别与x的函数关系如图所示．
（1）求关于x的函数解析式；
（2）相遇前，是否存在甲、乙两人相距1km的时刻？若存在，求运动时间；若不存在，请说明理由．
35．为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：
汽车行驶时间（小时） 0 1 2 3 …
油箱剩余油量（升） 100 94 88 82 …
（1）如表反映的两个变量中，自变量是　 　，因变量是　 　．
（2）根据表可知，汽车行驶3小时时，该车油箱的剩余油量为　 　升，汽车每小时耗油　 　升．
（3）请直接写出两个变量之间的关系式（用表示）．
36．在平面直角坐标系中，分别根据下列条件，求出各点的坐标．
（1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度；
（2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度；
（3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度；
（4）点D在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度；
（5）点E在x轴下方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度．
37．农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量。根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的麦苗的株树为　 　，图①中m的值为　 　．
（2）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数.
38．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度共三个项目对甲、乙和丙三名应聘者进行了测试，各人各项得分情况如下表（各项满分均为10分）：
项目 应聘者
甲 乙 丙
学历 7 8 8
能力 7 8 9
态度 9 6 5
（1）如果将学历、能力和态度三项得分按1：1：1的比例确定录用人选，那么被录用的应聘者是　 　；
（2）根据实际需要，公司将学历、能力和态度三项得分按2：2：1的比例确定各人的测试成绩，请通过计算各人的测试成绩说明谁将被录用.
39．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数为常数，的图像交于，B（n，-3）两点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集．
40．春节期间，南坪万达永辉超市准备从厂家购进甲、乙糖果进行销售，若甲种糖果每千克进价比乙种糖果每千克进价多5元，且用6000元购进甲种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2倍．
（1）求每千克甲种糖果的进价是多少元？
（2）该超市准备将每千克甲种糖果的售价定为45元，每千克乙种糖果的售价定为36元．根据市场需求，超市决定向厂家再购进一批糖果，且购进乙种糖果的数量比购进甲种糖果的数量的2倍还多100千克，若本次购进的两种糖果全部售出后，总获利不少于19600元，求该超市本次购进甲种糖果至少是多少千克？
41．如图，在正方形中，M是边上的一点，连接，作于点M，交正方形的外角的平分线于点N
（1）若正方形的边长为，当M是边上的中点时，求的长；
（2）求证：；
（3）如图2，连接，交边于点F，连接，探究线段、和之间的数量关系，并说明理由．
42．端午节前夕，某大型超市采购了一批礼盒进行销售，这批礼盒有甲型和乙型两种共600个，其进价与标价如下表所示（单位：元）：
进价 标价
甲型 90 120
乙型 50 60
（1）该超市将甲型礼盒按标价的九折销售，乙型礼盒按标价进行销售，当销售完这批礼盒后可获利9200元，求该商场购进甲型、乙型这两种礼盒各多少个？
（2）这批礼盒销售完毕后，该超市计划再次按原进价购进甲、乙两种礼盒共200个，且均按标价进行销售，请问如何进货能保证这批礼盒销售完之后获得利润最大，且利润不能超过成本的25%．
43．如图，设反比例函数的解析式为y= （k＞0）．
（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为 时，求直线l的解析式．
44．甲乙两地相距260km，A、B两车都从甲地驶向乙地，并以各自的速度匀速行驶。A车比B车早行驶，A车途中休息了0.5h。设A车行驶时间为x(h)，下图是A、B两车行驶的路程y(km)与x(h)的函数图象，根据题中信息回答问题
（1）求a、b的值
（2）当B车出发后，求B车行驶路程yB(km)与x(h)的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；
（3）在B车到达乙地前，求A车行驶多长时间时，两车恰好相距50km
45．如图4， 、 分别表示 步行与 骑车在同一路上行驶的路程 与时间 的关系.
图4
（1） 出发时与 相距　 　千米；
（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是　 　小时；
（3） 出发后　 　小时与 相遇；
（4）若 的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，　 　小时与 相遇，相遇点离 的出发点　 　千米，在图中表示出这个相遇点 ；
（5）求出 行走的路程 与时间 的函数关系式.
46．如图，一次函数y＝－3x＋3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 过点A且垂直于x轴.两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止），运动速度分别是每秒1个单位长度和3个单位长度.点G、E关于直线 对称，GE交AB于点F.设D、E的运动时间为t（s）.
（1）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；
（2）当△ADF是直角三角形时，求△BEF与△BFG的面积之比.
47．问题呈现如图是李老师在一节课中的例题内容．
例：已知：如图，在中，、是对角线上的两点，并且．求证：．
证明：四边形是平行四边形，
（平行四边形的对边相等），（平行四边形的定义）．
．
又，
≌．
．
（1）【结论应用】
如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，连接、，请判断四边形的形状，并证明；
（2）【拓展提升】
如图，点是正方形对角线上的两点且，；、分别是、的中点；
①则四边形的形状为　 　 ；
②若正方形的面积为．则四边形的面积为　 　 ．
48．已知正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF.
（1）如图1，连接AC交BF于点G，求证：∠AGF＝∠AEB＋45°；
（2）如图2，延长BF到点M，连接MC，若∠BMC＝45°，求证：AH＋BH＝BM；
（3）如图3，在(2)的条件下，若点H为BM的三等分点，连接BD，DM，若HE＝1，求△BDM的面积．
49．如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y=交于点A（a，2）和点B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标和△AOB的面积；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
50．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是矩形，已知点B坐标为（10，8），M，N分别是OC，AB的中点．
（1）求证：四边形BCMN是矩形；
（2）点F是直线BC上一点，连接OF交直线MN于点E，当OF＝OA时，求直线AF的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线l经过点A，且解析式为y＝kx+b（k≠0），若直线l与线段EM相交，求k的取值范围．
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【决战期末·50道综合题专练】华东师大版八年级下册期末数学试卷
1．很多学生由于用眼不科学，导致视力下降，需要佩戴眼镜．研究发现，近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米成反比例，且y与x的反比例函数图象如图所示．
（1）当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距是多少米？
（2）小明原来佩戴度的近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为米，则小明的眼镜度数下降了多少度？
【答案】（1）当近视眼镜的度数是度时，镜片焦距是米
（2）小明的眼镜度数下降了度
2．大约在两千四五百年前，如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数．当时，．
（1）求关于的函数表达式．
（2）若物距（小孔到蜡烛的距离）为，求火焰的像高．
【答案】（1）
（2）
3．小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：
a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；
b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．
在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：
难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7#
3.5 打分 7.5 8.5 4.0 9.0 8.0 8.5 7.0
（1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝ ， 得分A甲＝ ； （直接写出答案）
（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲' P甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；
（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分．
【答案】（1）8.0，84；
（2）<；
（3）9.0分
4．如图，四边形 为矩形，G是对角线 的中点．连接 并延长至F，使 ，以 、 为邻边作 ，连接 ．
（1）若四边形 是菱形，判断四边形 的形状，并证明你的结论．
（2）在（1）条件下，连接 ，若 ，求 的长．
【答案】（1）解：四边形 是菱形，理由如下：
∵四边形 为矩形，G是对角线 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形
（2）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）证出GB=GC=GD=CF，由菱形的性质的CD=CF=DE，DE∥CG，则DE=GC，证出四边形CEDG是平行四边形，进而得出结论；
（2）证出△CDG是等边三角形，得∠GCD=60°，证明△BGC≌△DCF，即可得DF．
5．“一杯咖啡解决一个教育问题”．学校筹建的“”，意在为师生与家长创造一个互动空间，促进家校共育．已知咖啡店施工面积为，有甲、乙两个工程队参与了咖啡店施工，甲工程队每天的劳务费比乙工程队少，甲、乙两个工程队同时施工一天的总劳务费为4000元．
（1）求甲工程队每天的劳务费；
（2）咖啡店的面积由甲工程队施工，其余面积由乙工程队施工．甲工程队每天的施工面积比乙工程队多，甲工程队施工的总天数是乙工程队的2倍．求甲工程队此次施工获得的总劳务费．
【答案】（1）1600元
（2）32000元
6．肥西县祥源花世界管理委员会要添置办公桌椅A，B两种型号，已知2套A型桌椅和1套B型桌椅共需2000元，1套A型桌椅和3套B型桌椅共需3000元．
（1）直接写出A型桌椅每套　 　元，B型桌椅每套　 　元；
（2）若管理委员会需购买两种型号桌椅共20套，若需要A型桌椅不少于12套，B型桌椅不少于6套，平均每套桌椅需要运费10元．设购买A型桌椅x套，总费用为y元．
①求y与x之间的函数关系，并直接写出x的取值范围；
②求出总费用最少的购置方案．
【答案】（1）600；800
（2）解：①据题意，总费用y=600x+800(20－x)+20×10=－200x+16200，
∵A型桌椅不少于12套，B型桌椅不少于6套，
∴，解得：12≤x≤14，
所以y与x之间的函数关系为y=－200x+16200（12≤x≤14，x为整数）；
②由①知y=－200x+16200，且－200＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=14时，总费用y最少，最少费用为－200×14+16200=13400元，
即购买A型桌椅14套、B型桌椅6套，总费用最少，最少总费用为13400元．
【解析】【解答】解：(1)设A型桌椅每套a元，B型桌椅每套b元，
根据题意，得：，
解得：，
所以A型桌椅每套600元，B型桌椅每套800元；
【分析】（1）设A型桌椅每套a元，B型桌椅每套b元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）①根据题意列出函数解析式y=600x+800(20－x)+20×10=－200x+16200即可；
②利用一次函数的性质求解即可。
7．如图是边长为1的小正方形拼成的网格，将经过平移后得，图中标出了点B的对应点．利用网格点和直尺，完成下列各题：
（1）补全；
（2）连接，，请写出与的位置与数量关系；
（3）若点A（0，－3），点B（4，3），请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如（1）图可知：，；
（3）解：由点A（0，－3），点B（4，3）可建立如图所示坐标系：
∴点的坐标为（－2，2）．
【解析】【分析】（1）根据点B、B1的位置可得平移方式为：先向左平移6个单位长度，再向下平移1个单位长度，据此找出点A1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质进行解答；
（3）将点A向上平移3个单位长度后的对应点作为坐标原点，建立直角坐标系，据此可得点B1的坐标.
8． 某镇道路改造工程，预计由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲队单独施工完成的天数是乙队单独施工完成天数的2倍．
（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
（2）若甲队独做n天后，再由甲、乙两队合作q天可完成此项工程，则n，q之间的关系式为　 　；
（3）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后甲队的工作效率是，乙队的工作效率是甲队工作效率的m（m为常数）倍．若提高效率后两队合作10天完成整个工程的，求甲队提高后的工作效率是提高前工作效率的几倍（用含m的代数式表示）．
【答案】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要x天，则甲队单独完成需要天，
根据题意得，（3分）
解得．（2分）
经检验是原分式方程的解．．
答：甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要30天；
（2）
（3）解：根据题意得，解得，∴．
答：甲队提高后的工作效率是提高前工作效率的倍．
【解析】【解答】解：（2）由（1）知： 甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要30天 ，
∴，
∴ 。
故答案为：。
【分析】（1） 设乙队单独完成此项工程需要x天，则甲队单独完成需要天， 根据 甲、乙两工程队合作20天可完成 ，即可得出方程：，解方程，并检验，即可得出答案；
（2）根据 甲队独做n天后，再由甲、乙两队合作q天可完成此项工程， 可得：，整理即可得出：；
（3）首先根据 提高效率后两队合作10天完成整个工程的， 可得等式 ，可得：， 然后计算即可得出结果。
9．某校组织七、八年级各400名学生参加“远离溺水·珍爱生命”安全知识竞赛，试卷题目共20题，每题5分.现从中各随机抽取20名学生的成绩（单位：分）进行调查，过程如下.
①数据收集，从七、八年级各随机抽取20名学生的成绩（单位：分）
七年级 90 77 88 73 100 75 81 68 85 70 80 95 88 72 87 88 67 76 86 84
八年级 72 86 61 98 99 74 75 82 93 84 78 83 80 92 81 76 82 65 62 63
②整理数据
成绩x（分） 60七年级人数 3 6 9 a
八年级人数 4 6 6 4
③分析数据
年级 平均数 中位数 众数
七 81.5 b 88
八 79.3 80.5 82
④得出结论
（1）表格中的数据：a＝　 　，b＝　 　；
（2）估计该校七、八年级学生在本次比赛中成绩为优秀（90（3）你认为哪个年级比赛成绩的总体水平较好？说明理由．
【答案】（1）2；82.5
（2）解：七年级学生成绩为优秀的人数有： 人，
八年级学生成绩为优秀的人数有： 人，
故该校七、八年级学生在本次比赛中成绩为优秀（90故答案为：120人；
（3）解：七年级比赛成绩的总体水平较好，理由如下：
七年级的平均成绩大于八年级的平均成绩，七年级成绩的中位数和众数均大于八年级成绩的中位数和众数．
【解析】【解答】解：（1）七年级的学生分数在大于90分小于等于100分的有2人，故a=2，
七年级的学生分数从小到大排列最中间的两个分数为81分和84分，
故中位数 ，
故答案为：a=2，b=82.5；
【分析】（1）根据表中的数据计算求解即可；
（2）先求出七年级学生成绩为优秀的人数有40人，八年级学生成绩为优秀的人数有80人，最后计算求解即可；
（3）利用平均数，中位数和众数进行判断即可。
10．某童装店购进某种品牌的童装若干件，销售了一部分后，剩下的童装每件降价10元销售，全部售完．销售总额y（元）与销售量x（件）之间的函数关系如图所示，请完成下列问题：
（1）降价前该童装的销售单价是　 　元/件；
（2）求a的值；
（3）求降价后销售总额y（元）与销售量x（件）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【答案】（1）45
（2）解：依题意，得：
，
；
（3）解：设降价后销售金额y（元）与销售量x（件）之间的函数关系式为： ，由题意知，该函数过点 ，
则 ，
解之得： ，
．
【解析】【解答】解：（1）销售某种品牌的童装40件，销售额为1800元，每件服装销售金额=1800÷40=45元/件，
故答案案为：45；
【分析】（1）利用销售单价=销售总额÷销售量即可求解；
（2）利用降价后的销售总额÷降价后的销售量=降价后的销售单价，据此计算即可；
（3）利用待定系数法求出解析式即可.
11．如图，双曲线上点的坐标为，过点直线交轴于点，交轴于点，过作轴于点．
（1）求、的值；
（2）求的周长．
【答案】（1），
（2）
12．裕华酒店有104间客房需安装空调，承包给甲、乙两个工程队合作安装，每间客房都安装同一品牌同样规格的空调一台，已知甲工程队每天比乙工程队多安装4台，甲工程队的安装任务有60台，两队同时安装．
（1）甲，乙两个工程队每天各安装多少台空调，才能同时完成任务？
（2）裕华酒店响应“绿色环保”要求，空调的最低温度设定不低于26℃，每台空调每小时耗电2度．据预估，每天至少有90间客房有旅客住宿，旅客住宿时平均每天开空调约8小时，若电费0.9元/度，请你估计该酒店每天所有客房空调所用电费W（元）的范围．
【答案】（1）解：设乙工程队每天安装台空调，则甲工程队每天安装台空调，
由题意得，解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（台），
答：甲工程队每天安装15台空调，乙工程队每天安装11台空调，才能同时完成任务．
（2）解：设每天有间客房有旅客住宿，
由题意得，
，
随的增大而增大，
，
当时，；当时，；
．
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天安装台空调，则甲工程队每天安装台空调，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设每天有间客房有旅客住宿，根据题意列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可。
13．在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：
项目 购进数量（件） 购进所需费用（元）
酒精消毒液 测温枪
第一次 30 40 7560
第二次 40 30 5880
（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售.为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润.
【答案】（1）解：设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是x元，y元
由题意可得：
解得：
答：酒精消毒液的进价为12元，测温枪的进价为180元；
（2）解：设购进酒精消毒液a件，则购进测温枪件，销售完这1000件商品获得的利润为W，
由题意可得：，
酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，
，
解得：，
利润W是关于a的一次函数，同时，
W随着a的增大而减小，
当时，W有最大值为，
该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为元.
【解析】【分析】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是x元，y元，根据酒精消毒液的件数×单价+测温枪的件数×单价=总费用可得关于x、y的方程组，联立求解即可；
（2）设购进酒精消毒液a件，则购进测温枪(1000-a)件，销售完这1000件商品获得的利润为W，根据(售价-进价)×件数=总利润可得W与a的关系式，根据酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍可得a的范围，然后利用一次函数的性质进行解答.
14．王过酥梨，山西省运城市盐湖区特产，全国农产品地理标志．酥梨果皮光滑，皮质较厚，果肉白色，多汁、味甜、可口，营养丰富．某梨农今年共投入15000元，风调雨顺，酥梨喜获丰收．他了解到酥梨的市场销售信息为：秋季新鲜的酥梨直接销售每千克6元，若将酥梨储存到第二年春天再销售，售价为每千克8元，但重量会减少20%，还需要付冷藏费5000元．
（1）设该梨农今年收获新鲜酥梨 千克，直接销售的利润为 元，储存到第二年春天再销售的利润为 元．请写出 ， 与 之间的关系式．
（2）帮该梨农计算一下，如何销售可以获得较多利润？
【答案】（1）解：由题意可得：
（2）解：令 ，解得：
∴当 时，选择第二种方式出售；
当 时，两种方式都可以；
当 时，选择第一种方式出售.
【解析】【分析】（1）第一年的售价乘以重量减去成本即可得出第一年的利润；第二年的售价乘以重量的80%减去成本以及冷藏费即可得出第二年的利润；
（2）令 ，求出零界点，再分三种情况进行讨论即可得出答案。
15．已知反比例函数y＝(m为常数)的图象在第一、三象限
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为(0，3)，(－2，0).求出函数解析式.
【答案】（1）解：根据题意得1-2m＞0解得m＜
（2）解：∵四边形ABOC为平行四边形，∴AD∥OB，AD=OB=2，而A点坐标为（0，3），∴D点坐标为（2，3），∴1-2m=2×3=6，∴反比例函数解析式为y=.
【解析】【分析】（1）根据反比例函数所在的象限可得1-2m＞0，求解即可；
（2）由平行四边形的性质可得AD∥OB，AD=OB=2，结合点A的坐标可得D（2，3），然后代入y=中可得1-2m，据此可得反比例函数的解析式.
16．今年冬季支原体肺炎流行高发，我区某药品公司接到生产1200万盒某种治疗药品的任务，马上安排了甲乙两个车间生产药品．试产时，甲车间的日生产数量是乙车间日生产数量的倍，各生产100万盒，甲比乙少用了2天．
（1）求甲乙两生产车间的日生产数量各是多少？
（2）若甲乙两生产车间每天的运行成本分别是万元和万元，要使完成这批任务总运行成本不超过25万元，则最少要安排甲生产车间生产多少天？
【答案】（1）甲生产车间每天的生产的数量是75万盒，乙生产车间每天生产的数量为万盒；
（2）最少要安排甲生产车间生产14天．
17．如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点.过点A作轴，垂足为C，且，
（1）求一次函数与反比例的数的解析式；
（2）若是函数图象上的两点，且写出实数p的取值范围.
【答案】（1）解：∵点A在反比例函数的图象上，轴，垂足为C，且，
∴，
∴，
∴反比函数的解析式为，
把代入反比例函数，可得m=3，n=-3，
∴，
把代入一次函数，可得，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由图可得，当在第三象限时，
要使，则；
当在第一象限时，
要使，则；
故实数p的取值范围是或.
【解析】【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义可得， 据此求出k2值，即得，然后将A、B的坐标代入反比例函数解析式中，可求出m、n的值，即得点A、B的坐标，再将其代入中，求出 k2、b的值即可；
（2）由图可知分两种情况： 当在第三象限时和当在第一象限时， 根据反比例函数的性质分别求解即可.
18．小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车．在爸爸的预算范围内，小明收集了A，B，C三款汽车在2022年9月至2023年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务等四项评分数据，统计如下：
（1）数据分析：
①求B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量的中位数；
②若将车辆的外观造型，舒适程度、操控性能，售后服务等四项评分数据按2：3：3：2的比例统计，求A款新能原汽车四项评分数据的平均数。
（2）合理建议：
请按你认为的各项“重要程度”设计四项评分数据的比例，并结合销售量，以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车？说说你的理由。
【答案】（1）①将B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量从低到高的顺序排列为：2475、2595、2822、3015、3037、3106、3279，
∴中位数为3015.
②分.
（2）比如给出的权重时，A，B，C三款新能源汽车评分的加权平均数分别为67.8分、69.7分、65.7分，结合2023年3月的销售量，可以选B款（答案不唯一，言之有理即可）．
【解析】【分析】（1）①将B款新能源汽车在2022年9月至2023年3月期间月销售量从低到高进行排列，找出最中间的数据即为中位数；
②利用A款新能原汽车的外观造型评分×2+舒适程度评分×3+操控性能评分×3+售后服务评分×2，然后除以(2+3+3+2)即可求出平均数；
（2）给出1：2：1：2的权重，利用加权平均数的计算方法分别求出A、B、C三款新能源汽车评分的加权平均数，然后进行比较即可.
19．正方形的边长为4，，交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．
（1）如图（1），双曲线过点E，完成填空：点C的坐标是　 　．点E的坐标是　 　，双曲线的解析式是　 　；
（2）如图（2），双曲线与，分别交于点M，N（反比例图像不一定过点E）．求证；
（3）如图（3），将正方形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．
【答案】（1）(4，4)；(2，2)；
（2）解：∵双曲线与，分别交于点M，N，
∴设，
∴，
∴，
∴，
由正方形可知，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵正方形边长为4，
由（1）知，
∴，
∵AE为腰，分两种情况：
①当 时，
∵，，点P、E在反比例数图象上，
，
∴，
②当时，点P与点B重合，
∵，点P、E在反比例数图象上，
∴，
∴；
综上所述，满足条件的m的值为2或．
【解析】【解答】解：（1）∵正方形的边长为4，，交于点E，
∴，
将E点坐标代入双曲线，
得，
解得，
∴双曲线的解析式为，
故答案为：，；
【分析】（1）根据正方形的性质可得点C和点E的坐标，再将将E点坐标代入双曲线，可得双曲线的解析式为；
（2） 设， 可得，由正方形的性质可知，，则，，可证；
（3）先求出 ， 再根据为腰的等腰三角形分为两种情况解答即可。
20．如图，点A在直线l外，点B在直线l上，利用尺规按要求在l上求作一点C，l外求作一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形．
（1）在图1中作一个以为边的菱形；图2中作一个以为对角线的菱形；
（2）在图2中连接，若，且点A到直线l的距离为4，求所作菱形的面积和另一条对角线的长．
【答案】（1）解：如图所示，菱形 即为所作，
（2）解：如图，过点A作 ，垂足为H
在 中， ，
∴ ，
设菱形边长为x，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得，
∴ ，
∴ ，
又∵
∴
【解析】【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形，画出符合题意的菱形；
（2）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，先画出AB的垂直平分线，再让对角线互相平分即可；利用勾股定理、列方程的方法求出菱形的边长；再利用菱形面积等于对角线乘积的一半，计算出另外一条对角线的长。
21．已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（-3，-2）及点B（0，4）.
（1）求此一次函数的解析式；
（2）当y=-5时求x的值；
（3）求此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积.
【答案】（1）把点A（-3，-2）和B（0，4）代入一次函数的解析式得：，
解之得：，
∴ 一次函数的解析式 为：y=2x+4；
（2）解：把y=-5代入解析式可得：-5=2x+4，解之得：x=-4.5；
（3）解：如图，
y=2x+4，当y=0时，2x+4=0，
∴x=-2，即OC=2，
∵B（0，4），
∴OB=4，
∴此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积=×2×4=4.
【解析】【分析】（1）由题意把A、B两点的坐标代入解析式可得关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，于是可得一次函数的解析式；
（2）由题意把y=-5代入（1）中求得的解析式可得关于x的方程，解方程可求解；
（3）令y=0，可得直线与x轴的交点C的坐标，则可得OC的值，由直线与y轴的交点B的坐标可得OB=4，然后根据S BOC=OC×OB可求解.
22．在抗击新型冠状病毒期间，某公司计划购买一批口罩捐给疫区，已知A型口罩比B型口罩的单价高3.2元，用2500元购买A型口罩与用900元购买B型口罩的数量相同.
（1）求每个A型口罩和B型口罩的单价；
（2）公司决定从口罩制造厂购买A，B两种型号口罩共80万个，采用专项经费总计不超过192万元.，问最多可购买A型口罩多少万个？
【答案】（1）解：设B型口罩的单价为x元，则A型口罩的单价为（x+3.2）元，
由题意得
解得，x=1.8
经检验： x=1.8是原方程的解
则 x+3.2=5
答：A型口罩的单价为5元，B型口罩的单价为1.8元.
（2）解：购买A型口罩a万个，则购买B型口罩（80-a）万个
由题意得，
5a+1.8（80-a）≤192
解得，a≤15
∴最多可购买A型口罩15万个
答：最多可购买A型口罩15万个.
【解析】【分析】（1）设B型口罩的单价为x元，则A型口罩的单价为（x+3.2）元，根据“2500元购买A型口罩与用900元购买B型口罩的数量相同”列出方程，求解并检验即可；
（2）设购买A型口罩a万个，则购买B型口罩（80-a）万个，根据：购买A型口罩的费用+购买B型口罩的费用≤192万元，列出不等式，求出其最大整数解即可.
23．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质．
（1）请根据下表中所给x，y的对应值，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数y的值为纵坐标，在平面直角坐标系中（如图所示）画出函数图象：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 0 1 2 3 2 1 0 1 2 …
（2）结合表格和图像，解回答下列问题：
①若点（﹣，），（，）在函数图象上，则 ▲ （填“＞”，“＝”或“＜”）；
②点A的坐标是（0，a），过点A作直线l垂直于y轴，当直线l与函数图象有三个不同交点时，直接写出a的取值范围；
③当y＝5时，求x的值．
【答案】（1）解：函数图象如图所示：
（2）解：①＞；
②0＜a＜3；
③当y＝5时，x﹣2＝5或x-2= -5， 解得x＝7，或x= -3舍去；当x+4=5，解得x=1，不符合题意，舍去，故x=7．
【解析】【解答】解：（2）①点（﹣，），（，）在函数图象上，根据图象可知，＞，
故答案为：＞；
②根据图象可知，直线l与函数图象有三个不同交点时，a的取值范围是0＜a＜3；
【分析】（1）利用描点法作出函数图象即可；
（2）①根据函数图象求解即可；
②结合函数图象直接求解即可；
③结合函数图象求解即可。
24．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．
求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC= ×180°=60°，
∴∠ABO= ∠ABC=30°，
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB=2cm，
∴OA= AB=1cm
∴
∴AC=2OA=2cm，BD=2OB=2 cm
（2）解：S菱形ABCD= （cm2）．
【解析】【分析】（1）由菱形的性质可得AB=BC，AD∥BC，由平行线的性质可得∠ABC+∠BAD=180°，结合已知条件可求得∠ABC==60°，∠ABO=30°，由菱形的周长可得AB，进而求得OA、OB，据此可得对角线长；
（2）根据菱形的面积为对角线乘积的一半进行求解.
25．如图，反比例函数的图象与过点 ， 的直线交于点B和C.
（1）求直线AB和反比例函数的解析式.
（2）已知点 ，直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，直接写出点E的坐标，并求 的面积.
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为 ，
将点 ， 代入解析式得：
，解得： ，
∴直线AB的解析式为： ；
设反比例函数解析式为： ，
将 代入解析式得： ，
∴反比例函数的解析式为：
（2）解：联立 ，解得： 或 ，
∴C点坐标为： ，
设直线CD的解析式为： ，
将 ， 代入得：
，解得： ，
∴直线CD的解析式为： ，
联立 ，解得： 或 ，
∴E点的坐标为： ；
如图，过E点作EF∥y轴，交直线AB于F点，
则F点坐标为 ， ，
∴
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标分别代入一次函数解析式，建立关于k，b的方程组，解方程组求出k，b的值，可得到一次函数解析式；将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出m的值，由此可得到反比例函数解析式.
（2）将两函数解析式联立方程组，求出方程组的解，可得到点C的坐标；再由点C，D的坐标求出直线CD的函数解析式，将直线CD的函数解析式和反比例函数解析式联立方程组，求出方程组的解，根据直线CD与反比例函数图象在第一象限的交点为E，可得到点E的坐标；过E点作EF∥y轴，交直线AB于F点，可表示出点F的坐标，从而可求出EF的长，然后利用三角形的面积公式进行计算.
26．如图，函数与的图象交于．
（1）求出，的值；
（2）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：将代入得，
解得
将代入得，
解得
∴的值分别为，．
（2）解：
【解析】【解答】（2）解：由图象知，不等式的解集为．
【分析】（1）将点P的坐标代入求出n的值，再将点P的坐标代入求出m的值即可；
（2）根据函数图象，直接利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
27．2021年4月13日，日本政府召开内阁会议正式决定，将福岛第一核电站超过100万公吨的核污水经过滤并稀释后排入大海，这一决定遭到包括福岛民众、日本渔民乃至国际社会的谴责和质疑．鉴于此次事件的恶劣影响，某校为了强化学生的环保意识，校团委在全校举办了“保护环境，人人有责”知识竞赛活动，初、高中根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队进行复赛，复赛成绩如图所示．
根据以上信息解答下列问题：
（1）高中代表队五名学生复赛成绩的中位数为　 　分；
（2）分别计算初中代表队、高中代表队学生复赛成绩的平均数；
（3）已知高中代表队学生复赛成绩的方差为20，请计算初中代表队学生复赛成绩的方差，并结合两队成绩的平均数和方差分析哪个队的复赛成绩较好．
【答案】（1）95
（2）解：高中代表队的平均数＝（分），
初中代表队的平均数＝（分）；
（3）解：初中代表队学生复赛成绩的方差＝，
∵，
∴高中代表队成绩较好．
【解析】【解答】解：（1）五个人的成绩从小到大排列为：90，90，95，100，100，
一共有5个数，第3个数为中位数，
∴中位数是95；
【分析】（1）先将五个人的成绩从小到大排列，再根据中位数的定义求解即可；
（2）利用平均数的计算方法求解即可；
（3）利用方差的计算方法求解即可。
28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为 A（-3，0），与y轴交点为B，且与正比例函数的图象的交于点 C（m，4）．
、
（1）求m的值及一次函数 y=kx+b的表达式；
（2）若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：∵ 点C（m，4）在正比例函数的图象上，
∴，m=3，即点C坐标为（3，4）．
∵ 一次函数 经过A（－3，0）、点C（3，4），
∴ 解得： ，
∴ 一次函数的表达式为 ；
（2）点P 的坐标为（0， 6）或（0，－2）
【解析】【解答】解：（2）将x=0代入 ，
∴点B的坐标为（0，2），
∵点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，
∴，
解得：PB=4，
∴点P的坐标为（0， 6）或（0，－2）.
【分析】（1）根据题意先求出点C坐标为（3，4），再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意先求出点B的坐标为（0，2），再利用三角形的面积公式计算求解即可。
29．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线经过点D（3，0），与直线交于点C（m，3）.
（1）求直线CD的解析式；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）现有一点P在直线AB上，过点P作PQy轴交直线CD于点Q.若线段PQ的长为5，求点P的坐标.
【答案】（1）解：∵直线与直线交于点C（，3），
∴把点C（，3）代入，得3＋6＝3，解得＝－1，
∴点C（－1，3）.把点C（－1，3），点D（3，0）代入，
得，
解得，
∴直线CD的解析式为.
（2）解：由（1）得点C（－1，3），
即，
也就是的图象在的上方部分，
由上图可得解集为：.
（3）解：∵点P在直线AB上，点Q在直线CD上，且PQ∥轴，
∴设点P（ ，），则点Q（，），
∵线段PQ的长为3，
∴＝5，
解得或，
当时，＝7；
当时，＝－1，
∴点P的坐标为（，7）或（，－1）.
【解析】【分析】（1）把点C（，3）代入 求出C点坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式即可；
（2）结合C点坐标，观察图象找出的图象在的上方时x的范围，即可解答；
（3）设点P（ ，），根据PQ∥轴，得出点Q为（，） ， 然后根据线段PQ的长为3， 建立关于n的绝对值方程求解，即可解答.
30．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，AD＝13cm，折叠纸片使C点落在边AD上的E处，折痕为MN，过点E作EF∥CD交MN于F，连接CF
（1）求证：四边形CFEN为菱形；
（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定M、N分别在边BC、CD上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．
【答案】（1）证明：由折叠得：FC＝FE，NC＝NE，∠CFN＝∠EFN，
∵EF∥CD，
∴∠EFN＝∠CNF，
∴∠CFN＝∠CNF，
∴CF＝CN，
∴CF＝CN＝NE＝EF，
∴四边形CFEN为菱形
（2）解：①当点N与点D重合时，如图1所示：
由折叠可知，四边形CDEM是正方形，此时DE＝5cm，
②当点M与点B重合时，如图2所示：
由折叠得，BC＝BE＝13，
四边形是矩形，，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝cm，
DE＝13﹣12＝1cm，
因此，点E在边AD上移动的最大距离为5－1＝4cm．
【解析】【分析】（1）由折叠得出对应角相等，对应边相等，再根据EF∥CD，可以证出CF＝CN，进而证出四条边相等，证明四边形CFEN为菱形；
（2）从两个特殊的情况，分别求出DE的长，进而求出点E在边AD上移动的最大距离．
31．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE//AC，CE//BD.
（1）求证：四边形DECO是矩形；
（2）连接AE交BD于点F，如图，
①求证：△AFO≌△EFD；
②当∠ADB=30°，DE=4时，求AF的长度.
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DECO是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形DECO是矩形；
（2）解：①证明：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=OC，AC⊥BD，
∵四边形DECO是矩形，
∴OC=DE，
∴AO=DE，
∵DE∥AC，
∴∠FAO=∠DEF，
在△AFO和△EFD中，
，
∴△AFO≌△EFD（AAS）；
②解：∵四边形DECO是矩形，四边形ABCD是菱形，
∴OC=DE=AO=4，AC⊥BD，
∵△AFO≌△EFD，
∴OF=DF，
∵∠ADB=30°，AO=4，
∴AD=8，
∴OD==4，
∴OF=OD=2，
∴AF=.
【解析】【分析】（1）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形DECO是平行四边形，由菱形的性质可得AC⊥BD，进而根据有一个角是直角的平行四边形是菱形进行证明；
（2）①由菱形的性质可得AO=OC，AC⊥BD，由矩形的性质可得OC=DE，则AO=DE，根据平行线的性质可得∠FAO=∠DEF，然后利用全等三角形的判定定理进行证明；
②根据矩形、菱形的性质可得OC=DE=AO=4，AC⊥BD，由全等三角形的性质可得OF=DF，根据含30°角的直角三角形的性质可得AD=8，由勾股定理求出OD，进而得到OF，然后利用勾股定理就可求出AF.
32．货轮从甲港往乙港运送货物，甲港的装货速度是每小时30吨，一共装了8小时，到达乙港后开始卸货，乙港卸货的速度是每小时 吨，设卸货的时间是 小时
（1）当 是 的函数时，求 与 之间的函数关系式；
（2）若卸货的速度是每小时40吨，求乙港卸完全部货物所需的时间；
（3）在（2）的条件下，当卸货时间在4小时的时候，问船上剩余货物是多少吨？
【答案】（1）解：总货量＝30×8＝240吨，
∴xy＝240，
∴
（2）解：x＝40，代入 ，可得y＝6，
乙港的卸完全部货物的时间是6小时
（3）解：∵x＝40，
即当卸货时间在4小时的时候共卸货4×40＝160吨.
∴船上剩余货物是240 160＝80（吨）
【解析】【分析】（1） 先求出总货量＝30×8＝240吨，根据乙港卸货的速度每小时x吨×卸货的时间y小时=总货量，列式即得；
（2）将x=4代入中，求出y值即可；
（3）先求出卸货时间在4小时的时候共卸货4×40＝160吨，利用总货量减去已卸货，即得结论.
33．某饰品店经营某种女孩子束发用的小装饰品．该商铺第一次批发购进该装饰品共花费3000元，很快全部售完．接着该商铺第二次批发购进该装饰品共花费9000元．已知第二次所购进该装饰品的数量是第一次的2倍还多300个，第二次的进价比第一次的进价提高了．
（1）求第一次购进该装饰品的进价是多少元？
（2）若该装饰品的第一次售价为10元/个，由于第二次进价提高了，商家也相应地将第二次售价在第一次的售价基础上提高了，两次所购装饰品全部售完后，求该装饰品两次共盈利多少元？
【答案】（1）5元
（2）共盈利12000元
34．A，B两地距离24km，甲、乙两人同时从A地出发前往B地．甲先匀速慢走2h，而后匀速慢跑；乙始终保持匀速快走，设运动时间为x（单位：h）．甲、乙距离A地的路程分别为，（单位：km），，分别与x的函数关系如图所示．
（1）求关于x的函数解析式；
（2）相遇前，是否存在甲、乙两人相距1km的时刻？若存在，求运动时间；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当0≤x2时，设y1=kx，把（2，8）代入得：
2k=8，
解得k=4，
∴y1=4x，
当x2时，设y1=kx+b，
把（2，8）（3，16）代入得：
解得
∴y1=8x-8，
∴y1关于x的函数解析式为
（2）解：∵乙3小时运动16千米，乙的速度是千米/小时，
∴
当时，解得＜3，
当时，解得＜3；
答：相遇前，存在甲、乙两人相距1km的时刻，运动时间为小时或小时
【解析】【分析】（1）分段用待定系数法即可得出解析式；
（2）分两种情况分别列方程即可得出答案。
35．为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：
汽车行驶时间（小时） 0 1 2 3 …
油箱剩余油量（升） 100 94 88 82 …
（1）如表反映的两个变量中，自变量是　 　，因变量是　 　．
（2）根据表可知，汽车行驶3小时时，该车油箱的剩余油量为　 　升，汽车每小时耗油　 　升．
（3）请直接写出两个变量之间的关系式（用表示）．
【答案】（1）汽车行驶时间t；汽车油箱的剩余油量Q
（2）82；6
（3）解：由表格可知，汽车一开始的油量为100升，每行驶一小时汽车耗油6升，则汽车油箱刺余油量和汽车行驶时间的关系为．
故答案为：．
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，自变量为汽车行驶时间t，因变量为汽车油箱的剩余油量Q．
故答案为：汽车行驶时间t，汽车油箱的剩余油量Q．
（2）由表格可知，当行驶3小时的时候，汽车油箱的剩余油量为82升，且汽车每行驶一小时，耗油量为6升．
故答案为：82，6．
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义求解即可；
（2）根据表格中的数据计算求解即可；
（3）根据题意先求出 汽车一开始的油量为100升，每行驶一小时汽车耗油6升， 再求函数解析式即可。
36．在平面直角坐标系中，分别根据下列条件，求出各点的坐标．
（1）点A在y轴上，位于原点上方，距离原点2个单位长度；
（2）点B在x轴上，位于原点右侧，距离原点1个单位长度；
（3）点C在x轴上方，y轴右侧，距离每条坐标轴都是2个单位长度；
（4）点D在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度；
（5）点E在x轴下方，y轴右侧，距离x轴2个单位长度，距离y轴4个单位长度．
【答案】（1）解：∵点A在y轴上，
∴点A的横坐标为0，
而点A位于原点上方，距离原点2个单位长度，
∴点A的纵坐标为2，
∴点A的坐标为（0，2）；
（2）解：点B在x轴上，
∴点B的纵坐标为0，
而点A位于原点右侧，距离原点1个单位长度，
∴点B的横坐标为1，
∴点B的纵坐标为（1，0）；
（3）解：∵点C在x轴上方，y轴右侧，
∴点C在第一象限，
∵距离每条坐标轴都是2个单位长度，横纵坐标都为2，
∴点C的坐标为（2，2）；
（4）解：∵点D在x下轴上方，y轴左侧，
∴点D在第三象限，
∵距离每条坐标轴都是3个单位长度，横纵坐标都为-3，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣3）；
（5）解：∵点E在x轴下方，y轴右侧，
∴点E在第四象限，
∵距离x轴2个单位长度，纵坐标为-2，距离y轴4个单位长度，横坐标为4，
∴点E的坐标为（4，﹣2）．
【解析】【分析】（1）由于点A在y轴上，可得点A的横坐标为0，又由于点A位于原点上方，距离原点2个单位长度，可得点A的纵坐标为2；
（2） 由点B在x轴上可得点B的纵坐标为0，又由点A位于原点右侧，距离原点1个单位长度，可得点B的横坐标为1；
（3）由点C在x轴上方，y轴右侧，可得点C在第一象限，由距离每条坐标轴都是2个单位长度，可得横纵坐标都为2；
（4） 由点D在x下轴上方，y轴左侧，可得点D在第三象限，由距离每条坐标轴都是3个单位长度，可得横纵坐标都为-3；
（5） 由点E在x轴下方，y轴右侧，可得点E在第四象限，由距离x轴2个单位长度，可得纵坐标为-2，根据距离y轴4个单位长度，可得横坐标为4.
37．农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高（单位：cm）进行了测量。根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的麦苗的株树为　 　，图①中m的值为　 　．
（2）求统计的这组苗高数据的平均数、众数和中位数.
【答案】（1）25；24
（2）解：平均数：15.6 cm；众数：16 cm；中位数：16 cm.
【解析】【解答】解：（1）本次抽取的麦苗的株数为：2+3+4+10+6＝25（株），
m%＝1﹣8%﹣12%﹣16%﹣40%＝24%，
∴m=24.
故答案为：25，24；
（2）平均数是=（13×2+14×3+15×4+16×10+17×6）÷25=15.6cm，
∵16cm出现的次数最多，
∴苗高的众数为16cm，
∵按从小到大排列后，第13个数在16cm组中，
∴苗高的中位数为16cm．
【分析】（1）根据条形统计图可知所有抽取麦苗不同苗高的株树，全部相加即可求得抽查的总株树，再根据扇形统计图及不同苗高麦苗各所占百分比的和为1，计算即可求出m的值；
（2）根据平均数、众数及中位数的定义计算即可求解．
38．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度共三个项目对甲、乙和丙三名应聘者进行了测试，各人各项得分情况如下表（各项满分均为10分）：
项目 应聘者
甲 乙 丙
学历 7 8 8
能力 7 8 9
态度 9 6 5
（1）如果将学历、能力和态度三项得分按1：1：1的比例确定录用人选，那么被录用的应聘者是　 　；
（2）根据实际需要，公司将学历、能力和态度三项得分按2：2：1的比例确定各人的测试成绩，请通过计算各人的测试成绩说明谁将被录用.
【答案】（1）甲
（2）解：丙将被录用，理由如下：
甲的测试成绩（分）
乙的测试成绩（分）
丙的测试成绩（分）
，
丙将被录用.
【解析】【解答】解：（1）甲的得分：7+7+9=23（分），
乙的得分：8+8+6=22（分），
丙的得分：8+9+5=22（分），
∴甲被录用；
故答案为：甲.
【分析】（1）分别求出三人的得分，再比较即可；
（2）利用加权平均数分别求出三人的最后得分，再比较即可.
39．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数为常数，的图像交于，B（n，-3）两点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：∵一次函数的图像经过点，B（n，-3）两点，
∴，
解得，，
∴，，
把的坐标代入得
，
解得，
反比例函数的解析式为．
（2）解：如图，∵ A的横坐标为-1，B的横坐标为2，
∴不等式的解集是．
【解析】【分析】（1）先求出点A的坐标，再将点A的坐标代入求出k的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
40．春节期间，南坪万达永辉超市准备从厂家购进甲、乙糖果进行销售，若甲种糖果每千克进价比乙种糖果每千克进价多5元，且用6000元购进甲种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2倍．
（1）求每千克甲种糖果的进价是多少元？
（2）该超市准备将每千克甲种糖果的售价定为45元，每千克乙种糖果的售价定为36元．根据市场需求，超市决定向厂家再购进一批糖果，且购进乙种糖果的数量比购进甲种糖果的数量的2倍还多100千克，若本次购进的两种糖果全部售出后，总获利不少于19600元，求该超市本次购进甲种糖果至少是多少千克？
【答案】（1）解：设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是元，
由题意得：
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
答：每千克甲种糖果的进价是30元；
（2）解：由（1）可知，该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果千克，
由题意得：
解得：
∵m为正整数，
∴m的最小值为500
答：该超市本次购进甲种糖果至少是500千克.
【解析】【分析】（1）设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是（x-5）元，根据总价除以单价等于数量及用6000元购进甲种糖果的数量是用2500元购进乙种糖果数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果（2m+100）千克，根据销售甲种糖果m千克的利润+销售(2m+100)千克乙种糖果的利润不少于19600元，列出一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．
（1）设每千克甲种糖果的进价是x元，则每千克乙种糖果的进价是元，
由题意得：
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
答：每千克甲种糖果的进价是30元
（2）由（1）可知，
该超市本次购进甲种糖果是m千克，则购进乙种糖果千克，
由题意得：
解得：
∵m为正整数，
∴m的最小值为500
答：该超市本次购进甲种糖果至少是500千克
41．如图，在正方形中，M是边上的一点，连接，作于点M，交正方形的外角的平分线于点N
（1）若正方形的边长为，当M是边上的中点时，求的长；
（2）求证：；
（3）如图2，连接，交边于点F，连接，探究线段、和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解： 正方形 的边长为 ，点M是 边上的中点，
，
；
（2）证明：如图 ，在边 上截取 ，连接 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
；
（3）解： ，理由如下：
如图 ，延长 至H，使 ，连接 ，
由（2）可知： ，
，
，
，
， ， ，
，
， ，
，
又 ．
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质先求出BM=2，再利用勾股定理计算求解即可；
（2）利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）结合图形，利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
42．端午节前夕，某大型超市采购了一批礼盒进行销售，这批礼盒有甲型和乙型两种共600个，其进价与标价如下表所示（单位：元）：
进价 标价
甲型 90 120
乙型 50 60
（1）该超市将甲型礼盒按标价的九折销售，乙型礼盒按标价进行销售，当销售完这批礼盒后可获利9200元，求该商场购进甲型、乙型这两种礼盒各多少个？
（2）这批礼盒销售完毕后，该超市计划再次按原进价购进甲、乙两种礼盒共200个，且均按标价进行销售，请问如何进货能保证这批礼盒销售完之后获得利润最大，且利润不能超过成本的25%．
【答案】（1）解：设甲型礼盒购进x个，乙型礼盒购进y个，
依题意得：，
解得：，
答：甲型礼盒购进400个，乙型礼盒购进200个
（2）解：设甲型礼盒购进m个，则乙型礼盒购进（200-m）个，销售完这批礼盒后的利润为w元，
由题意得：w＝（120－90）m＋（60－50）（200-m）＝20m＋2000，
因利润不能超过成本的25%，
所以20m＋2000≤25%[90m＋50（200－m）]，
解得：m≤50，
∵w＝20m＋2000中20＞0 ，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝50时，w取得最大值，w最大＝20×50＋2000＝3000，
此时应购进50盒甲型礼盒，150盒乙型礼盒，
答：当购进50盒甲型礼盒，150盒乙型礼盒时，销售完后可获最大利润3000元．
【解析】【分析】（1）设甲型礼盒购进x个，乙型礼盒购进y个， 根据：礼盒有甲型和乙型两种共600个，销售完这批礼盒后可获利9200元 ，列出方程组并解之即可；
（2）设甲型礼盒购进m个，则乙型礼盒购进（200-m）个，销售完这批礼盒后的利润为w元，根据利润=每个利润×销售量，可得W＝20m＋2000，由利润不能超过成本的25%， 可求出m范围，根据一次函数的性质求解即可.
43．如图，设反比例函数的解析式为y= （k＞0）．
（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为 时，求直线l的解析式．
【答案】（1）解：由题意A（1，2），
把A（1，2）代入y= ，得到3k=2，
∴k= ．
（2）解：把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，
∴y=kx+2k，
由 消去y得到x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或1，
∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），
∵△ABO的面积为 ，
∴ 2 3k+ 2 k= ，
解得k= ，
∴直线l的解析式为y= x+ ．
【解析】【分析】（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，可得y=kx+2k，由 消去y得到x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为 ，可得 2 3k+ 2 k= ，解方程即可解决问题；
44．甲乙两地相距260km，A、B两车都从甲地驶向乙地，并以各自的速度匀速行驶。A车比B车早行驶，A车途中休息了0.5h。设A车行驶时间为x(h)，下图是A、B两车行驶的路程y(km)与x(h)的函数图象，根据题中信息回答问题
（1）求a、b的值
（2）当B车出发后，求B车行驶路程yB(km)与x(h)的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；
（3）在B车到达乙地前，求A车行驶多长时间时，两车恰好相距50km
【答案】（1）解：a=1.5-0.5=1．∵甲车匀速行驶，∴b= =40；
（2）解：设B车行驶路程的函数表达式为yB=kx+p，依题意得，
解得 ，∴B车行驶路程的函数表达式为yB=80x-160，
当y=260km时，80x-160=260，解得x=5.25，
∴自变量x的取值范围为2≤x≤5.25；
（3）解：设A车在后一段路程的函数表达式为y=mx+n，依题意得，
，解得
∴A车在后一段行驶路程的函数表达式为y=40x-20．
①当1≤x≤2时，由两车相距50km得，40x-20=50，解得x=
②当2解得x= 或
【解析】【分析】（1）根据图象，结合题目描述即可得到a和b的值；
（2）根据点的坐标列出B车行驶的函数解析式，求出x的解即可；
（3）根据题意，列出A车行驶一段时间后的函数解析式，根据x的取值范围，进行分类讨论，即可得到答案。
45．如图4， 、 分别表示 步行与 骑车在同一路上行驶的路程 与时间 的关系.
图4
（1） 出发时与 相距　 　千米；
（2）走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是　 　小时；
（3） 出发后　 　小时与 相遇；
（4）若 的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，　 　小时与 相遇，相遇点离 的出发点　 　千米，在图中表示出这个相遇点 ；
（5）求出 行走的路程 与时间 的函数关系式.
【答案】（1）10
（2）1
（3）3
（4）；
（5）解： 设S=kt+b，将（0，10），（3，22.5）两点代入得解得，所以函数关系是为S=t+10.
【解析】【解答】（1）从图上纵轴A与B的起始路程可以看出，B与A相距10千米。
（2）图中横向距离不变的一段表示的就是自行车的修理过程，时间为1.5-0.5=1（小时）。
（3）B与A相遇时，两条线相交，对应的时间为3小时。
（4）B出发前的速度为7.5÷0.5=15（千米/时），A的速度为（22.5-10）÷3=（千米/时），可以设x小时相遇，10+x=15x，解得x=。此时，B行驶了 15×=（千米）。
【分析】（1）（2）（3）题由图可以直接分析得到；
（4）分别计算出B出发前的速度和A的速度，然后用方程法或算式法都可以解决，此时，B行驶的路程利用速度×时间可以得到。
（5）设S=kt+b，用待定系数法将（0，10），（3，22.5）两点代入解析式即可得到函数关系式。
46．如图，一次函数y＝－3x＋3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 过点A且垂直于x轴.两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止），运动速度分别是每秒1个单位长度和3个单位长度.点G、E关于直线 对称，GE交AB于点F.设D、E的运动时间为t（s）.
（1）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；
（2）当△ADF是直角三角形时，求△BEF与△BFG的面积之比.
【答案】（1）∵一次函数y＝－3x＋3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（1，0），B（0，3）
∴由勾股定理得：AB=
由题意可得：BE=3t，AD=t，∴OE=3-3t，
∵点G、E关于直线 对称，
∴EF∥AD，
将y=3-3t代入y＝－3x＋3得x=t；
∴EF=t，
∴EF=AD，且EF∥AD，
∴四边形ADEF为平行四边形.
当DE=EF=t时， ADEF是菱形，
∴ED∥AB，
∴△ODE∽△OBA
∴
∴
∴
∴当 秒时，四边形ADEF是菱形
当四边形 ADEF是菱形时，t＝ 秒，
此时△AFG与△AGB不相似 ，
理由：当t＝ 时，OE=3-3t=
∴E(0， )，
∴G(2， )，
∵AG2＝ ，AF AB＝ =
∴AG2≠AF AB
∴△AFG与△AGB不相似
（2）∵△ADF 是直角三角形，
∴∠ADF＝90°或∠AFD＝90°
①当∠ADF＝90°时
∵EF∥x轴， 得四边形OEDF为矩形，∴OD＝EF
又∵由⑴知：EF＝AD，得OD＝AD＝t
∴t＝ ，则FG=
∴EF∶FG＝1∶3
∴S△BEF∶S△BFG＝1∶3
②∠AFD＝90°时
∵由⑴知：
∴DE＝AF＝
∵∠DFA＝∠AOB，∠OAB＝∠FAD
∴△ADF∽△ABO
∴
∴
∴t＝ ，则FG=
∴EF∶FG＝5∶6
∴S△BEF∶S△BFG＝5∶6
【解析】【分析】（1）由EF∥AD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，当AD=AF=t时， ADEF是菱形，再根据相似三角形的性质列方程求出t的值，根据所求的t值得出点E和点G的坐标，再得出AG2 和AF AB的值即可做出判断；
（2）分两种情况：当∠ADF=90°时，OD＝AD；当∠AFD=90°时， ，分别列方程求出t的值，从而求得EF，FG，进一步得到△BEF与△BFG的面积之比.
47．问题呈现如图是李老师在一节课中的例题内容．
例：已知：如图，在中，、是对角线上的两点，并且．求证：．
证明：四边形是平行四边形，
（平行四边形的对边相等），（平行四边形的定义）．
．
又，
≌．
．
（1）【结论应用】
如图，在平行四边形中，是对角线上的两点，且，连接、，请判断四边形的形状，并证明；
（2）【拓展提升】
如图，点是正方形对角线上的两点且，；、分别是、的中点；
①则四边形的形状为　 　 ；
②若正方形的面积为．则四边形的面积为　 　 ．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
同理，
，
四边形是平行四边形；
（2）矩形；
【解析】【解答】解：（2）拓展提升①矩形，
理由：如图，连接，交于点，
四边形是正方形，
，，
、分别是和的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是矩形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是矩形；
故答案为：矩形；
②正方形的面积为，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
四边形的面积的面积．
故答案为：．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可证明， 同理，可得：AE=CF，BE=DF，即可求出答案。
（2） ① 连接，交于点，根据正方形性质，平行四边形性质，得出四边形是矩形。
②根据正方形性质得出，由勾股定理求出AO长，根据，求得四边形的面积，即可取出答案。
48．已知正方形ABCD中，点E，F分别为BC，CD上的点，连接AE，BF相交于点H，且AE⊥BF.
（1）如图1，连接AC交BF于点G，求证：∠AGF＝∠AEB＋45°；
（2）如图2，延长BF到点M，连接MC，若∠BMC＝45°，求证：AH＋BH＝BM；
（3）如图3，在(2)的条件下，若点H为BM的三等分点，连接BD，DM，若HE＝1，求△BDM的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∵AE⊥BF，
∴∠AEB＋∠FBC=90°，
∵∠FBC＋∠BFC=90°，
∴∠AEB=∠BFC，
∵∠AGF=∠BFC＋∠ACF，
∴∠AGF=∠AEB＋45°.
（2）解：过C作CK⊥BM于K，
∴∠BKC=∠AHB=90°，
∵∠BMC=45°，
∴CK=MK，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABH=∠BCK，
∴△ABH≌△BCK(AAS)，
∴BH=CK=MK，AH=BK，∴BM=BK＋MK=AH＋BH
（3）解：由(2)得，BH=CK=MK，∵H为BM的三等分点，
∴BH=HK=KM，
过E作EN⊥CK于N，∴四边形HENK是矩形，
∴HK=EN=BH，∠BHE=∠ENC，∴△BHE≌△ENC(ASA)，
∴HE=CN=NK=1，∴CK=BH=2，
∴BM=6，
连接CH，
∵HK=MK，CK⊥MH，∠BMC=45°，∴CH=CM，∠MCH=90°，
∴∠BCH=∠DCM，∴△BHC≌△DMC(SAS)，
∴BH=DM=2，∠BHC=∠DMC=135°，
∴∠DMB=90°，
∴△BDM的面积为 DM·BM=6.
【解析】【分析】（1）、由正方形的性质得到 ∠ACB=∠ACD=45° ，再由余角性质得 ∠AEB=∠BFC ；
（2）、首先 过C作CK⊥BM于K ， ∠BKC=∠AHB=90° ，根据正方形的判定推出四边形ABCD是正方形，再根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=∠BCD=90° ，推出 ∠ABH=∠BCK ，根据全等三角形的判定和性质可得结论；
（3）、 过E作EN⊥CK于N，得到四边形HENK是矩形， 根据矩形的性质得到HK=EN=BH，∠BHE=∠ENC ，再由全等三角形的性质得到 HE=CN=NK=1 ，求得 CK=BH=2 ，得到BM=6 ，
连接CH ，根据全等三角形的性质得到BH=DM=2，∠BHC=∠DMC=135°，求得∠DMB=90°，于是得到结论。
49．如图，已知一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y=交于点A（a，2）和点B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标和△AOB的面积；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数图象y=x+b与y轴交于点C（0，1），
∴b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1，
∵点A（a，2）在直线y=x+1上
∴a=1，
即A（1，2），
又∵反比例函数y=过A点，
∴k=2，
∴反比例函数为y=；
（2）解：∵反比例函数与一次函数交于点A和点B，
联立两解析式得，
解得或，
∴B（-2，-1），
设直线AB与x轴交于点D，则D（-1，0），
∴OD=1，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=OD yA+OD yB=×1×1+×1×2=，
即△AOB的面积为；
（3）解：分三种情况讨论：
①当∠BAM=90°时，
设M1（0，y），
则AM2+AB2=BM2，
∴12+（2-y）2+（1+2）2+（2+1）2=4+（y+1）2，
解得y=3，
∴M（0，3）；
②当∠ABM=90°时，
同理可得：M（0，-3），
③当∠AMB=90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，
则J（-，），
∵AB=，
∴AJ=BJ=JM=，
∴（-）2+（-m）2=（）2，
解得m=，
∴M3（0，），M4（0，），
综上，满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，-3）或（0，）或（0，）．
【解析】【分析】（1） 将点C（0，1）、A（a，2）分别代入y=x+b中求出b、a值，再将点A坐标代入y=中即可求出k值；
（2） 联立两解析式得 解出方程组，即得B（-2，-1）， 再求出D（-1，0）即得OD=1， 根据S△AOB=S△AOD+S△BOD=即可求解；
（3）分三种情况 ： ①当∠BAM=90°时，②当∠ABM=90°时，③当∠AMB=90°时 ，根据矩形的性质及勾股定理分别求解即可.
50．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是矩形，已知点B坐标为（10，8），M，N分别是OC，AB的中点．
（1）求证：四边形BCMN是矩形；
（2）点F是直线BC上一点，连接OF交直线MN于点E，当OF＝OA时，求直线AF的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线l经过点A，且解析式为y＝kx+b（k≠0），若直线l与线段EM相交，求k的取值范围．
【答案】（1）解： 四边形 是矩形，
，
分别是 的中点，
，
，
，即 ，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形；
（2）解： ，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
在 中，
，
设直线 的解析式为 ，
①若点 在 上，则 ，
， ，
，
解得 ，
；
②如图，若点 在 的延长线上，
， ，
，
，
即 关于 轴对称，
，
， ，
，
解得 ，
；
综上所述：直线 的直线解析式为 或者 ；
（3）解：设直线 的解析式为 ，
①若点 ，
则 ，
，
当 时， ，
，
，四边形 是矩形，
，
设 的直线解析式为 ，
， ，
，
解得 ，
的解析式为： ；
，
，
设直线 的解析式为 ，
， ，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
，
若点 的坐标为 ，
则直线 的解析式为 ，
当 时， ，
，
设 的直线解析式为 ，
， ，
，
解得 ，
的解析式为： ，
直线 的解析式为 ，
综合①②可知：
【解析】【分析】（1）先证明四边形BCMN是平行四边形，又因为∠B=90°，即可证明四边形CMN是矩形；
（2）根据勾股定理求出CF的长，再分F点在BC上和BC延长线上两种情况，分别求出直线AF的解析式即可；
（3）根据F点的坐标，分别求出OF的解析式，得出E点的坐标，求出直线AE的解析式，再根据M点的坐标求出直线AM的解析式，即可得出k的取值。
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